專題14 等角存在性問題（原卷版）

等角存在性問題一、知識導(dǎo)航除了特殊幾何圖形存在性問題外，相等角存在性也是今年二次函數(shù)壓軸題中常見的題型，根據(jù)題目給的不同的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞饺?gòu)造相等角，是此類問題的關(guān)鍵．回顧一下在幾何圖形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；（2）角平分線：角平分線分的兩個角相等；（3）等腰三角形：等邊對等角；（4）全等（相似）三角形：對應(yīng)角相等；（5）三角函數(shù)：若兩個角的三角函數(shù)值相等，則兩角相等；（6）圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．也許還有，但大部分應(yīng)該都在此了，同樣，在拋物線背景下亦可用如下思路構(gòu)造相等角．想得到相等角，先考慮如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函數(shù)值，因此在以上6種方案當(dāng)中，若無明顯條件，可考慮求出角的三角函數(shù)值來構(gòu)造相等角．二、典例精析如圖，已知拋物線過點A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．（1）求拋物線的解析式；（2）點C和點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點P在拋物線上，且，求點P的橫坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）由題意得：坐標(biāo)為（2，-4），考慮到A、C、三點坐標(biāo)均已知，故可求的三角函數(shù)值．思路1：構(gòu)造直角三角形過點作⊥AC交AC于H點，不難求得H點坐標(biāo)為（1，3），故，，∴，則．轉(zhuǎn)化“”為“”，即．①當(dāng)時，設(shè)PA解析式為，將A（4，0）代入，得：，聯(lián)立方程：，解得：，，故坐標(biāo)為；②當(dāng)時，設(shè)PA解析式為，將A（4，0）代入，得：，聯(lián)立方程：，解得：，，故坐標(biāo)為．綜上所述，P點坐標(biāo)為或．思路2：發(fā)現(xiàn)特殊角．如圖構(gòu)造等腰直角三角形AMC，易解M點坐標(biāo)為（4，-4），故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，考慮，可知，下同思路1求解P點坐標(biāo)．三、中考真題演練1．（2023·湖南常德·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標(biāo)原點，．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若，求P點的坐標(biāo)．2．（2023·湖北十堰·中考真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(3)如圖2，點是拋物線上對稱軸右側(cè)的點，是軸正半軸上的動點，若線段上存在點（與點不重合），使得，求的取值范圍．3．（2023·湖南岳陽·中考真題）已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點．

(1)請求出拋物線的表達式．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，其中點的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點．①求該拋物線的函數(shù)表達式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．5．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，連接AC、BC．(1)求拋物線的表達式；(3)點P是拋物線上的一動點，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)．6．（2022·四川達州·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，與y軸交于點C．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使？若存在，請求出點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；7．（2022·湖北黃石·模擬預(yù)測）如圖：已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且．

(1)求拋物線的解析式(3)P為拋物線上一點且，求點P的坐標(biāo)．8．（2022·湖南株洲·二模）如圖1，已知拋物線交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C．

(1)若，求的長度；(2)若，