2019年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)試卷含解析

2019年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計(jì)24分.）

1.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）-2019的相反數(shù)是.

2.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）27的立方根為.

3.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）一組數(shù)據(jù)4,3,x,1,5的眾數(shù)是5,則x=.

4.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

5.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）氫原子的半徑約為0.00000000005/n,用科學(xué)記數(shù)法把0.00000000005

表示為.

6.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）己知點(diǎn)A（-2,力）、B（-1,冷）都在反比例函數(shù)y=-2的圖象

X

上，則》_______y2.（填“>”或“v”）

7.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）計(jì)算：V12-.

8.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）如圖，直線a〃從△ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，邊A8與直線匕

相交于點(diǎn)D若△BCD是等邊三角形，NA=20°,則Nl=°.

6

9.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）若關(guān)于x的方程/-2x+/n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的值

等于.

10.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）將邊長(zhǎng)為1的正方形A8CZ）繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到FECG的

位置（如圖），使得點(diǎn)。落在對(duì)角線CF上，E/與A。相交于點(diǎn)“，則”。=.（結(jié)

果保留根號(hào)）

11.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）如圖，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A、B,在每個(gè)轉(zhuǎn)盤各自的兩個(gè)扇形區(qū)域中分別

標(biāo)有數(shù)字1,2,分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A、B,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若事件“指針都落在標(biāo)有數(shù)字

1的扇形區(qū)域內(nèi)”的概率是1,則轉(zhuǎn)盤B中標(biāo)有數(shù)字1的扇形的圓心角的度數(shù)是

12.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）已知拋物線y=o?+4"+4〃+1QWO）過(guò)點(diǎn)AGn,3）,B（〃，3）

兩點(diǎn)，若線段48的長(zhǎng)不大于4,則代數(shù)式J+a+i的最小值是.

二、選擇題（本大題共有5小題，每小題3分，共計(jì)15分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中

恰有一項(xiàng)符合題目要求）

13.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）下列計(jì)算正確的是（）

A、卜

A.a2*a3_=a6Bn.a7—.a3=_a4Cx-.,（za3）5=_a_8D./Qab?x）=2_a_b12

14.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）一個(gè)物體如圖所示，它的俯視圖是（）

從正面看

15.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）如圖，四邊形48CO是半圓的內(nèi)接四邊形，A8是直徑，而=合.若

ZC=110°,則/ABC的度數(shù)等于（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

x+2>a

16.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）下列各數(shù)軸上表示的x的取值范圍可以是不等式組

(2a-l)x-6<0

的解集的是（）

A.

B.

C.023

17.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）如圖，菱形ABC。的頂點(diǎn)B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），頂點(diǎn)

A、。在x軸上方，對(duì)角線BO的長(zhǎng)是點(diǎn)E（-2,0）為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在菱

形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)F（0,6）到EP所在直線的距離取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好

落在AB的中點(diǎn)處，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)等于（）

三、解答題（本大題共有11小題，共計(jì)81分。解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程

或演算步驟。）

18.(8分)(2019?鎮(zhèn)江)(1)計(jì)算：(72-2)O+(J-)T-2cos60°；

3

(2)化簡(jiǎn)：(1+工)—

xY-1x2-1

19.（10分）（2019?鎮(zhèn)江）（1）解方程：-^L=-3_+i；

x-2x-2

(2)解不等式：4(x-1)

2

20.(6分)(2019?鎮(zhèn)江)如圖，四邊形ABCD中，AQ〃BC,點(diǎn)E、F分別在A。、BC上,

AE=CF,過(guò)點(diǎn)A、C分別作EF的垂線，垂足為G、H.

(1)求證：AAGE^ACWF；

(2)連接AC,線段GH與AC是否互相平分？請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(6分)(2019?鎮(zhèn)江)小麗和小明將在下周的星期一到星期三這三天中各自任選一天擔(dān)

任值日工作，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表格的方法，求小麗和小明在同一天值日的概率.

22.(6分)(2019?鎮(zhèn)江)如圖，在△ABC中，AB=AC,過(guò)AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。作OCAO,

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，以。為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓過(guò)點(diǎn)B.

(1)求證：直線A3與。。相切；

(2)若AB=5,的半徑為12,則lan/BCO=.

23.(6分)(2019?鎮(zhèn)江)如圖，點(diǎn)A(2,n)和點(diǎn)。是反比例函數(shù)y=工Lx>0)

X

圖象上的兩點(diǎn)，一次函數(shù)>=心計(jì)3awo)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,與X軸交

于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為E,連接04,OD.已知△048與△ODE的面積

滿足SZXOAB：S^ODE=3：4.

(1)S&OAB=>m=；

(2)已知點(diǎn)P(6,0)在線段0E上，當(dāng)NPDE=NCB。時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

24.（6分）（2019?鎮(zhèn)江）在三角形紙片ABC（如圖1）中，NBAC=78°,AC=10.小霞

用5張這樣的三角形紙片拼成了一個(gè)內(nèi)外都是正五邊形的圖形（如圖2）.

（1）ZABC=°；

（2）求正五邊形GHMNC的邊GC的長(zhǎng).

參考值：sin78°弋0.98,cos780=0.21,tan78°?=4.7.

25.（6分）（2019?鎮(zhèn)江）陳老師對(duì)他所教的九（1）、九（2）兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了一次檢

測(cè)，批閱后對(duì)最后一道試題的得分情況進(jìn)行了歸類統(tǒng)計(jì)（各類別的得分如下表），并繪制

了如圖所示的每班各類別得分人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖（不完整）.

各類別的得分表

得分類別

0A：沒(méi)有作答

1B-.解答但沒(méi)有正確

3C：只得到一個(gè)正確答案

6￡）：得到兩個(gè)正確答案，解答完全正確

已知兩個(gè)班一共有50%的學(xué)生得到兩個(gè)正確答案，解答完全正確，九（1）班學(xué)生這道試

題的平均得分為3.78分.請(qǐng)解決如下問(wèn)題:

（1）九（2）班學(xué)生得分的中位數(shù)是；

（2）九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于B類和C類的人數(shù)各是多少？

每班各類別得分人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖

地球是一個(gè)球體，任意兩條相對(duì)的子午線都組成一個(gè)經(jīng)線圈（如圖1中的。0）.人們?cè)?/p>

北半球可觀測(cè)到北極星，我國(guó)古人在觀測(cè)北極星的過(guò)程中發(fā)明了如圖2所示的工具尺（古

人稱它為“復(fù)矩”），尺的兩邊互相垂直，角頂系有一段棉線，棉線末端系一個(gè)銅錘，這

樣棉線就與地平線垂直.站在不同的觀測(cè)點(diǎn)，當(dāng)工具尺的長(zhǎng)邊指向北極星時(shí)，短邊與棉

線的夾角a的大小是變化的.

【實(shí)際應(yīng)用】

觀測(cè)點(diǎn)A在圖1所示的。。上，現(xiàn)在利用這個(gè)工具尺在點(diǎn)A處測(cè)得a為31°,在點(diǎn)4所

在子午線往北的另一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)8,用同樣的工具尺測(cè)得a為67°.PQ是。。的直徑，

PQLON.

（1）求/POB的度數(shù)；

（2）已知。尸=6400h",求這兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)之間的距離即。。上AB的長(zhǎng).（7T取3.1）

一次函數(shù)y=2r+l的圖象與x軸交于點(diǎn)A,且與直線OA關(guān)于/的對(duì)稱直線交于點(diǎn)B.

5

（1）點(diǎn)。的坐標(biāo)是；

（2）直線/與直線AB交于點(diǎn)C,N是線段力C上一點(diǎn)（不與點(diǎn)。、C重合），點(diǎn)N的縱

坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)N作直線與線段D4、08分別交于點(diǎn)P、Q,使得△DP0與△D4B相似.

①當(dāng)〃=空時(shí)，求DP的長(zhǎng)；

5

②若對(duì)于每一個(gè)確定的〃的值，有且只有一個(gè)△DPQ與△D4B相似，請(qǐng)直接寫出〃的取

值范圍.

28.（11分）（2019?鎮(zhèn)江）學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

在相距150個(gè)單位長(zhǎng)度的直線跑道A8上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、

B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)8出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)8、A之間.他們

到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì).

興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的”迎面相遇“包括面對(duì)面相遇、

在端點(diǎn)處相遇這兩種.

【觀察】

①觀察圖1,若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單

位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；

②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為40個(gè)單位長(zhǎng)度，

則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；

【發(fā)現(xiàn)】

設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們

第二次迎面相遇時(shí).，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度.興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了

y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP,不包括點(diǎn)O,如圖2所示）.

①a=；

②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象；

【拓展】

設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們

第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度.

若這兩個(gè)機(jī)器人第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過(guò)60個(gè)單位長(zhǎng)度,

則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是.（直接

寫出結(jié)果）

2019年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計(jì)24分.）

1.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）-2019的相反數(shù)是2019.

【解答】解：-2019的相反數(shù)是：2019.

故答案為：2019.

2.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）27的立方根為3.

【解答】解：；33=27,

：.27的立方根是3,

故答案為：3.

3.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）一組數(shù)據(jù)4,3,x,1,5的眾數(shù)是5,則x=5.

【解答】解：?.?數(shù)據(jù)4,3,x,1,5的眾數(shù)是5,

???￥=5,

故答案為：5.

4.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x24.

【解答】解：由題意得x-420,

解得G4.

故答案為：x24.

5.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）氫原子的半徑約為0.00000000005，〃，用科學(xué)記數(shù)法把0.00000000005

表示為5X10”.

【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法把0.00000000005表示為5XIO”.

故答案為：5X10'".

6.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）已知點(diǎn)A（-2,力）、6（-1,y2）都在反比例函數(shù)），=-2的圖象

X

上，則WV（填“>”或“V”）

【解答】解：；反比例函數(shù)尸-2的圖象在二四象限，而4（-2,力）、B（-1,近）

X

都在第二象限，

???在第二象限內(nèi)，），隨X的增大而增大，

V-2<-1

?』v處

故答案為：V

7.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）計(jì)算：V12-V3=_V3_.

【解答】解：712^3=273-V3=V3.

故答案為：V3,

8.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）如圖，直線a〃6,△ABC的頂點(diǎn)C在直線匕上，邊AB與直線匕

相交于點(diǎn)D若△BCD是等邊三角形，/4=20°,則Nl=40°.

a

【解答】解：???△8CZ）是等邊三角形，

.\ZBDC=60°,

■:a1/b,

.\Z2=ZBDC=60°,

由三角形的外角性質(zhì)可知，Zl=Z2-ZA=40°,

故答案為：40.

B

9.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）若關(guān)于x的方程2"機(jī)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的值

等于1.

【解答】解：根據(jù)題意得△=（-2）2-4m=0,

解得m—l.

故答案為1.

10.（2分）（2019?鎮(zhèn)江）將邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到FECG的

位置（如圖），使得點(diǎn)D落在對(duì)角線CF上,EF與AD相交于點(diǎn)H,則HD=Jg-1.（結(jié)

果保留根號(hào)）

【解答】解：?.?四邊形48CZ)為正方形，

：.CD=\,ZC￡)A=90°,

???邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到FECG的位置，使得點(diǎn)D落在對(duì)

角線C尸上，

，CF=&,ZCFDE=45°,

為等腰直角三角形，

：.DH=DF=CF-CD=?-T.

故答案為a-1.

II.(2分)(2019?鎮(zhèn)江)如圖，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A、B,在每個(gè)轉(zhuǎn)盤各自的兩個(gè)扇形區(qū)域中分別

標(biāo)有數(shù)字1,2,分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A、B,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若事件“指針都落在標(biāo)有數(shù)字

1的扇形區(qū)域內(nèi)”的概率是上,則轉(zhuǎn)盤B中標(biāo)有數(shù)字1的扇形的圓心角的度數(shù)是80°.

【解答】解：設(shè)轉(zhuǎn)盤B中指針落在標(biāo)有數(shù)字1的扇形區(qū)域內(nèi)的概率為x,

根據(jù)題意得：上乂工，

29

解得x￡，

X9

轉(zhuǎn)盤B中標(biāo)有數(shù)字1的扇形的圓心角的度數(shù)為：360°X2.=80°.

9

故答案為：80.

12.(2分)(2019?鎮(zhèn)江)己知拋物線>=以2+4公+44+1(aWO)過(guò)點(diǎn)A(m,3),B(〃，3)

兩點(diǎn)，若線段A8的長(zhǎng)不大于4,則代數(shù)式J+a+1的最小值是工.

【解答】解：；拋物線y=o?+4ar+4a+l(a#0)過(guò)點(diǎn)4(m,3),B(n,3)兩點(diǎn)，

?nri-n_4a__9

22a

?.?線段45的長(zhǎng)不大于4,

.*.4a+lN3

的最小值為：（工）2+工+1=工；

224

故答案為工.

4

二、選擇題（本大題共有5小題，每小題3分，共計(jì)15分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中

恰有一項(xiàng)符合題目要求）

13.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）下列計(jì)算正確的是（）

A.cC'a=aB.aa=aC.（a）5—a'D.（ab）2=ab1

【解答】解：A、J./：/,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、a1-i-a3=a4,正確；

C、（J）5=/5,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

￡＞、（ab）2—a2b2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

故選：B.

14.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）一個(gè)物體如圖所示，它的俯視圖是（）

從正面看

【解答】解：俯視圖從圖形上方觀察即可得到，

故選：D.

15.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）如圖，四邊形ABC。是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，DC=CB,若

ZC=110°,則NABC的度數(shù)等于（）

A.55°B.60C.65°D.70°

【解答】解：連接AC

???四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形,

???NDAB=1800-ZC=70°,

VDC=CB）

ZCAB=LZDAB=35°，

??,48是直徑，

AZACB=90°,

ZABC=90°-ZCAB=55°,

故選：A.

16.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）下列各數(shù)軸上表示的x的取值范圍可以是不等式組J

(2a-l)x-6<0

的解集的是（

D.0

【解答】解：由x+2>。得-2,

A.由數(shù)軸知x>-3,則。=-1,二-3x-6<0,解得x>-2,與數(shù)軸不符;

B.由數(shù)軸知x>0,則a=2,.?.3x-6V0,解得x<2,與數(shù)軸相符合；

C.由數(shù)軸知x>2,則a=4,，7x-6<0,解得與數(shù)軸不符；

7

D.由數(shù)軸知x>-2,則a=0,-x-6V0,解得x>-6,與數(shù)軸不符；

故選:B.

17.（3分）（2019?鎮(zhèn)江）如圖，菱形ABCZ）的頂點(diǎn)從C在x軸上（3在C的左側(cè)），頂點(diǎn)

4、力在x軸上方，對(duì)角線BD的長(zhǎng)是點(diǎn)E（-2,0）為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在菱

形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)F（0,6）到EP所在直線的距離取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好

)

16D.3

~3

【解答】解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，作FGLPE于G,連接EF.

F(0,6),

,*?EF=422+42=2-\/Yo,

VZFGE=90°，

:.FGWEF,

???當(dāng)點(diǎn)G與E重合時(shí)，/G的值最大.

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，連接4C交BO于〃，PE交BD于J.設(shè)BC=2a.

9：PA=PB,BE=EC=a,

：.PE//AC,BJ=JH,

???四邊形ABC。是菱形，

：.AC1BD,BH=DH=^^,

36

：.PE1BD,

'：ZBJE=ZEOF=ZPEF=90°,

：.ZEBJ=ZFEO,

：./\BJE^/\EOF,

.?.匪=11,

EFE0

V10

???—a,—__6__,

2V102

."=回，

3

；.8C=2a=@

3

故選：A.

三、解答題（本大題共有11小題，共計(jì)81分。解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程

或演算步驟。）

18.（8分）（2019?鎮(zhèn)江）（1）計(jì)算：（A/2-2）°+（工）-'-2cos60

3

（2）化簡(jiǎn)：（1+」^）+T—.

x-1*

【解答】解：（1）（V2-2）°+（―）1-2cos60°

3

=1+3-1

=3；

（2）（1+^^）—

2

x-lx-l

二（9+，）

x-lx-l乂2_]

=x.（x+l）（x-l）

x-lx

=x+l.

19.（10分）（2019?鎮(zhèn)江）（1）解方程：上士=旦+1；

x-2x-2

(2)解不等式：4(x-1)-L<x

2

【解答】解；(1)方程兩邊同乘以(x-2)得

2x=3+x-2

：.x=l

檢驗(yàn)：將x=l代入(x-2)得1-2=-1W0

是原方程的解.

??.原方程的解是％=1.

(2)化簡(jiǎn)4(x-1)得

2

4%-4--<x

2

；.3xV旦

2

??

2

...原不等式的解集為X<W.

2

20.(6分)(2019?鎮(zhèn)江)如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,點(diǎn)E、尸分別在A。、BC±,

AE=CF,過(guò)點(diǎn)A、。分別作EF的垂線，垂足為G、H.

(1)求證：MAGE經(jīng)△CHF：

(2)連接AC,線段G”與AC是否互相平分？請(qǐng)說(shuō)明理由.

CHIEF,

：.ZG=ZH=90°,AG//CH,

\'AD//BC,

：.NDEF=NBFE,

'：NAEG=NDEF,NCFH=NBFE,

：.NAEG=NCFH,

"ZG=ZH

在AAGE和中，，ZAEG=ZCFH，

AE=CF

:AAGE妾ACHF(A45)；

(2)解：線段GH與4c互相平分，理由如下:

連接A”、CG,如圖所示：

由(1)得：t\AGE妾△CHF,

：.AG=CH,

'：AG//CH,

四邊形AHCG是平行四邊形，

線段G”與AC互相平分.

21.(6分)(2019?鎮(zhèn)江)小麗和小明將在下周的星期一到星期三這三天中各自任選一天擔(dān)

任值日工作，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表格的方法，求小麗和小明在同一天值日的概率.

【解答】解：根據(jù)題意畫樹(shù)狀圖如下：

周一周二周二

周一周二周三周一周二周三周一周二周三

共有9種等情況數(shù)，其中小麗和小明在同一天值日的有3種，

則小麗和小明在同一天值日的概率是3=

93

22.(6分)(2019?鎮(zhèn)江)如圖，在△A5C中，AB=AC,過(guò)AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。作OQLAO,

交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，以。為圓心，0。長(zhǎng)為半徑的圓過(guò)點(diǎn)8.

(1)求證：直線A8與O。相切；

(2)若A8=5,。。的半徑為12,則tan/8QO=_Z_.

【解答】（1）證明：連接。3,如圖所示:

*：AB=AC,

???ZABC=NACB,

,:NACB=NOCD,

：.NABC=NOCD,

,/OZ）_LAO,

：.ZCOD=90°,

???ND+NOC￡>=90°,

*.?OB=OD,

：.ZOBD=ZD,

：.ZOBD+ZABC=90°,

即NABO=90°,

：.ABLOB,

???點(diǎn)8在圓。上,

，直線AB與。0相切；

(2)解:VZABO=90Q,

OA=VAB2+0B2=V52+122=13

"：AC=AB=5,

：.OC=OA-AC=S,

tanNBDO=_5_=2；

OD123

故答案為：-2.

23.（6分）（2019?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)A（2,n）和點(diǎn)。是反比例函數(shù)），=皿（機(jī)>0,x>0）

X

圖象上的兩點(diǎn)，一次函數(shù)y=fcr+3（攵W0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,與x軸交

于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作軸，垂足為E,連接。4,OD.已知△048與△ODE的面積

滿足S^OAB：S〉0DE=3:4.

（］）SACAR=3,m—8；

（2）已知點(diǎn)P（6,0）在線段OE上，當(dāng)NPQE=NCBO時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【解答】解：（1）由一次函數(shù)>=丘+3知，B（0,3）.

又點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,〃），

，SAOAB=LX3X2=3?

2

?：S^OAB：S~ODE=3：4.

***5AODE=4.

丁點(diǎn)。是反比例函數(shù)丁=變（機(jī)>0,x>0）圖象上的點(diǎn),

x

.??X/I=SAOZ）E=4,貝!J777=8.

2

故答案是：3；8：

（2）由（1）知，反比例函數(shù)解析式是y=&.

X

.??2〃=8,艮〃=4.

故A（2,4）,將其代入），=區(qū)+3得到：2攵+3=4.

解得k=L.

2

??.直線AC的解析式是：y=L+3.

2

令y=0,則L:+3=0,

.2

??x—~6,

/.C（-6,0）.

OC=6.

由（1）知，08=3.

設(shè)。（“，b）,則￡）E=8,PE=a-6.

,：ZPDE=NCBO,NCOB=NPED=90°,

:.△CBOS^PDE,

.?.強(qiáng)=理_,即旦=_LJQ,

DEPEba-6

又ab=8②.

聯(lián)立①②，得卜二一2（舍去）或卜=8

lb=-4Ib=l

故。（8,1）.

24.（6分）（2019?鎮(zhèn)江）在三角形紙片ABC（如圖1）中，NBAC=78°,AC=10.小霞

用5張這樣的三角形紙片拼成了一個(gè)內(nèi)外都是正五邊形的圖形（如圖2）.

（1）30°；

（2）求正五邊形GHMNC的邊GC的長(zhǎng).

參考值：sin78°心0.98,cos78°=0.21,tan78°=4.7.

【解答】解：（1）???五邊形48DEF是正五邊形,

.?.NBAF=（5-2）X180。=]08。,

5

：.ZABC=ZBAF-ZBAC=30°,

故答案為：30；

（2）作CQ_LA8于Q,

在RtZ\AQC中，sinNQAC=殷，

AC

???QC=AC?sinNQAC410X0.98=9.8,

在RtzXBQC中，ZABC=30°,

???3C=2QC=19.6,

:.GC=BC-BG=9.6.

25.（6分）（2019?鎮(zhèn)江）陳老師對(duì)他所教的九（1）、九（2）兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了一次檢

測(cè)，批閱后對(duì)最后一道試題的得分情況進(jìn)行了歸類統(tǒng)計(jì)（各類別的得分如下表），并繪制

了如圖所示的每班各類別得分人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖（不完整）.

各類別的得分表

得分類別

0A：沒(méi)有作答

1B：解答但沒(méi)有正確

3C：只得到一個(gè)正確答案

6D：得到兩個(gè)正確答案，解答完全正確

已知兩個(gè)班一共有50%的學(xué)生得到兩個(gè)正確答案，解答完全正確，九（1）班學(xué)生這道試

題的平均得分為3.78分.請(qǐng)解決如下問(wèn)題：

（1）九（2）班學(xué)生得分的中位數(shù)是6分：

（2）九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于8類和C類的人數(shù)各是多少？

每班各類別得分人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖

【解答】解：（1）由條形圖可知九（2）班一共有學(xué)生：3+6+12+27=48人，

將48個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，第24、25個(gè)數(shù)據(jù)都在。類，所以中位數(shù)是6分.

故答案為6分；

（2）兩個(gè)班一共有學(xué)生：（22+27）4-50%=98（人），

九（1）班有學(xué)生：98-48=50（人）.

設(shè)九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于B類和C類的人數(shù)各是x人、y人.

由題意，得［5+x+yf22=50,

l0X5+x+3y1-6X22=3.78X5C

解得卜=6.

ly=17

答：九（1）班學(xué)生中這道試題作答情況屬于3類和C類的人數(shù)各是6人、17人.

26.（6分）（2019?鎮(zhèn)江）【材料閱讀】

地球是一個(gè)球體，任意兩條相對(duì)的子午線都組成一個(gè)經(jīng)線圈（如圖1中的。0）.人們?cè)?/p>

北半球可觀測(cè)到北極星，我國(guó)古人在觀測(cè)北極星的過(guò)程中發(fā)明了如圖2所示的工具尺（古

人稱它為“復(fù)矩”），尺的兩邊互相垂直，角頂系有一段棉線，棉線末端系一個(gè)銅錘，這

樣棉線就與地平線垂直.站在不同的觀測(cè)點(diǎn)，當(dāng)工具尺的長(zhǎng)邊指向北極星時(shí)，短邊與棉

線的夾角a的大小是變化的.

【實(shí)際應(yīng)用】

觀測(cè)點(diǎn)A在圖1所示的。。上，現(xiàn)在利用這個(gè)工具尺在點(diǎn)A處測(cè)得a為31°,在點(diǎn)A所

在子午線往北的另一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)B,用同樣的工具尺測(cè)得a為67。.PQ是。。的直徑，

PQLON.

（1）求NP08的度數(shù);

（2）已知OP=6400h〃，求這兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)之間的距離即OO上AB的長(zhǎng).（TT取3.1）

指向北極星

AG.所在直線與直線ON

指向北極星,/指向北極星平行，在觀測(cè)點(diǎn)處的地平線就

是過(guò)該點(diǎn)的。。的切線哦！

>（北極點(diǎn)）

/指向北極星

圖1圖2

【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)8的切線C8交ON延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,HDLBC于D,CHLBH交

BC于點(diǎn)C,如圖所示：

則NO”C=67°,

NHBD+/BHD=ZBHD+ZDHC=90°,

：./HBD=4DHC=B°,

'：ON//BH,

:.NBEO=NHBD=67°,

:.NBOE=90°-67°=23°,

"：PQLON,

：.ZPOE=90°,

AZFOB=90°-23°=67°；

（2）同（1）可證NPOA=31°,

：.NAOB=NPOB-NPOA=61°-31°=36°,

...第=36xJTX6400=3968（版），

180

27.（10分）（2019?鎮(zhèn)江）如圖，二次函數(shù)丫=-?+4x+5圖象的頂點(diǎn)為￡）,對(duì)稱軸是直線1,

一次函數(shù)），=2r+l的圖象與x軸交于點(diǎn)A,且與直線OA關(guān)于/的對(duì)稱直線交于點(diǎn)B.

5

（1）點(diǎn)。的坐標(biāo)是（2,9）；

（2）直線/與直線AB交于點(diǎn)C,N是線段CC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)。、C重合），點(diǎn)N的縱

坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)N作直線與線段D4、OB分別交于點(diǎn)P、Q,使得△。尸。與△D4B相似.

①當(dāng)〃=著寸，求。尸的長(zhǎng)；

②若對(duì)于每一個(gè)確定的n的值，有且只有一個(gè)△OPQ與△D4B相似，請(qǐng)直接寫出n的取

值范圍.

故答案為（2,9）；

（2）對(duì)稱軸x=2,

：.C（2,旦），

5

由已知可求A（-且0）,

2

點(diǎn)A關(guān)于x=2對(duì)稱點(diǎn)為（至，0）,

2

則A。關(guān)于x=2對(duì)稱的直線為y=-2x+13,

：.B（5,3）,

①當(dāng)寸，N（2,空），

55

：.DA=^^-,Z）N=絲，。。=變

255

當(dāng)PQ〃AB時(shí)，△DPQs^DAB,

■:/\DACS/\DPN,

?DPDN

"DA^DC"

：.DP=lyJs；

4

當(dāng)PQ與AB不平行時(shí)，叢DPQs叢DBA,

:.△DNQsXDCA,

?DPDN

"DB-^DC，

.?.￡>P=_|遙；

綜上所述，力p=25/虧或

43

②當(dāng)尸。〃AB,￡>B=￡>P時(shí)，

DB=3炳,

?DPDN

"DA^DC"

.?.QN=絲，

5

：.N（2,駕），

5

，有且只有一個(gè)△。尸Q與△D48相似時(shí)，2<〃<且_；

55

故答案為?<〃<義_;

55

28.（11分）（2019?鎮(zhèn)江）學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

在相距150個(gè)單位長(zhǎng)度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、

8之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)8出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)8、A之間.他們

到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì).

興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的”迎面相遇“包括面對(duì)面相遇、

在端點(diǎn)處相遇這兩種.

【觀察】

①觀察圖1,若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單

位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為90個(gè)單位長(zhǎng)度;

②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為40個(gè)單位長(zhǎng)度，

則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為120個(gè)單位長(zhǎng)度:

【發(fā)現(xiàn)】

設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們

第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度.興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了

y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP,不包括點(diǎn)。，如圖2所示）.

50；

②分