2019年人教A版高二數(shù)學(xué)選修4-5全冊(cè)預(yù)習(xí)案導(dǎo)學(xué)案匯編

人教A版高中數(shù)學(xué)選修4-5

全冊(cè)學(xué)案

目錄

1.1.1不等式的基本性質(zhì)

1.1.2基本不等式

1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

1.2.1絕對(duì)值三角不等式

1.2.2絕對(duì)值不等式的解法

2.1比較法

2.2證明不等式的基本方法

2.3反證法與放縮法

3.1二維形式的柯西不等式

3.2一般形式的柯西不等式

3.3排序不等式

4.1數(shù)學(xué)歸納法

4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例

第一講總復(fù)習(xí)

第二講章末復(fù)習(xí)

2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

1.1.1不等式的基本性質(zhì)

預(yù)習(xí)目標(biāo)

1.理解實(shí)數(shù)大小與實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)間的關(guān)系.

2.理解不等式的性質(zhì)，能用不等式的性質(zhì)比較大小和證明簡(jiǎn)單的不等式.

一、預(yù)習(xí)要點(diǎn)

教材整理1兩實(shí)數(shù)的大小比較

閱讀教材P2?P3"探究”以上部分，完成下列問(wèn)題.

a>boa—b___0：a—b<^>a—b=Oi<0.

教材整理2不等式的基本性質(zhì)

閱讀教材P3?P5第一行，完成下列問(wèn)題.

性質(zhì)1對(duì)稱性a>b<^>b<a

性質(zhì)2傳遞性如果a>b,b>c,那么

可加性如果a>h,那么a+c>h+c

性質(zhì)3

推論如果a>h,c>d,那么_____>h+d

如果a>b,c>0,那么_______；

可乘性

如果cob,c〈0,那么

性質(zhì)4

推論如果c>d>0,那么

性質(zhì)5乘方性質(zhì)如果a>h>Of那么a"__b"(n￡N,n>2)

性質(zhì)6開(kāi)方性質(zhì)如果a>b>0,那么y[a___y[h(n￡N,n>2)

1

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二、預(yù)習(xí)檢測(cè)

1.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)4,B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為x,若x<y<0,則㈤與|j|對(duì)應(yīng)的點(diǎn)尸，。的位置

關(guān)系是（）

A.P在。的左邊B.P在。的.右邊

C.P,Q兩點(diǎn)重合D.不能確定

2.已知a,b,cGR,且”6>0,則下面推理中正確的是（）

22

A.a>b=>am>bm

cc

12

C.?3>/?3=>"<TD.a>b=>a>b

ab

3.己知a<0,-]<b<0f那么()

A.a>ah>ah2B.ab2>ab>a

C.ab>a>ab1D.ah>ab1>a

4.如果且下+4<0,那么a,42,~a,一/的大小關(guān)系是()

22

A.a>a>~a>~a

B.-Q2>〃

C.-a>cT>a>—a

D.cT>—a>a>—a2

5.若*x)=3d—x+1,^(x)=2x2+x—1,則7U)與g(x)的大小關(guān)系是#x)g(x).

三、思學(xué)質(zhì)疑

把你在本次課程學(xué)習(xí)中的困惑與建議填寫在下面，與同學(xué)交流后，由組長(zhǎng)整理后并拍照上傳平臺(tái)

討論區(qū)。

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參考答案

一、預(yù)習(xí)要點(diǎn)

1.>a-b

2.a>ca+c

3.ac>bcac<bcac>bd>>

二、預(yù)習(xí)檢測(cè)

1.B2.C

3.解析：選Dab2—ab=ab(b—1),

Vi?<0,-l<Z?<0,

：.b~l<0,。/?>0.???。匕2一。人<0.即ahr<ab,

又ab1—a=a(b1—\

V-l</?<0,J從VI,即/一IVO.又aVO,

/.ah2—a>0,HPah2>a.^ah>al^>a.

4解析:選BVa2+a<0,即a(a+l)V0可得,-l<a<0,

：.-a>a>0,：.0>~a>a.

綜上有一a〉/〉一〃2>q

5.解析：./(x)—g(x)=(3f—x+1)—(2x2+x_1)=X2-~2X+2=(X—1)2+1>1>0,.\/(x)>g(x).

答案：〉

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1.1.1不等式的基本性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

I.理解實(shí)數(shù)大小與實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)間的關(guān)系.

2.理解不等式的性質(zhì)，能用不等式的性質(zhì)比較大小和證明簡(jiǎn)單的不等式.

一、自學(xué)釋疑

根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè)，生生、師生交流討論，糾正共性問(wèn)題。

二、合作探究

不等式的基本性質(zhì)

探究1甲同學(xué)認(rèn)為4＞從=＞宗，乙同學(xué)認(rèn)為丙同學(xué)認(rèn)為請(qǐng)你

思考一下，他們誰(shuí)說(shuō)的正確？

探究2不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，要注意什么？

探究3.若x>y,a>h,則在①“一%>〃-y,?a+x>b-\-y,③?x-h>y—a,>§

這五個(gè)不等式中，恒成立的不等式有哪些?

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探究4.已知三個(gè)不等式：ah>0,hc-ad>0,§一,>0（其中a,b,c,d均為實(shí)數(shù)）,用其中兩

個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成的.正確命題有幾個(gè)？

例1xWR,比較與2f-2x的大小.

變式練習(xí)1.xWR,比較（x+1）僅+91）與的大小.

例2下列命題中正確的是（）

（1）若c>b,則〃>c；

5

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(2)若a>b,則1*>0；

(3)若a>b,c>dy則ac>hd；

(4)若〃>b>0,則!

(5)若則ad>bc\

(6)若a>b,c>d,則a—d>b—c.

A.⑴⑵B.⑷(6)

C.⑶(6)D.⑶⑷⑸

變式練習(xí)2.(廣州二模)設(shè)“，〃為正實(shí)數(shù)，貝『為?！笔?一!。一成立的"()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

例3已知一pxV6音，求gA的范圍.

［再練一題］

3.已知一6<。<8,2<6<3,分別求。一b,，的取值范圍.

利用性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式

ah

例4已知c>a>b>0,求證：>7.

c-ac—b

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［再練一題］

4.已知心Q0,c>d>0,求證：黑>吊

7

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參考答案

不等式的基本性質(zhì)

探究1【提示】他們說(shuō)的都不正確.

探究2【提示】要先判斷這個(gè)數(shù)是否為零，決定是否可以乘以(或除以)這個(gè)數(shù)，再判斷是正還

是負(fù)，決定不等號(hào)的方向是否改變，特別注意不等式兩邊同乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向

改變.

探究3提示：令x=-2,y=-3,a=3,b=2,

符合題設(shè)條件x>y,a>b,

則..Z_x=3_(_2)=5,h-y=2-(~3)=5,

.,.a-x=b-y,因此①不成立.

又'.'ax=-6,by=-6,.'.ax=by,因此③也不正確.

因此⑤不正確.

由不等式的性質(zhì)可推出②④恒成立.

即恒成立的不等式有②④.

探究4.提示：由己知可組成三個(gè)命題.

①若成>0,bc—ad>0,則'—此命題正確，只需在不等式。c—兩側(cè)同除以加，

根據(jù)不等式性質(zhì)，整理即得結(jié)論；

②若外>0,；d>0,則歷一加>0,此命題正確，只需在不等式；一卜0兩側(cè)同乘以"，根

據(jù)不等式性質(zhì)，整理即得結(jié)論；

③若^一g>0,bc—ad>0f則ab>3此命題正確，

e浦cdbc-ad

因?yàn)橐灰还?gt;0=-----;—>0,

abab

又因?yàn)閎c—ad>0,故ab>0.

即可組成的正確命題有3個(gè).

例1［解析］(d—1)—(2?—2x)

=(x3—x2)—(x2—2x+l)

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=X2(X-1)-(X—1)2

Vx2—x+l=(^x-￡)+|>|>0,

.,.當(dāng)x>l時(shí)，。-1)(小一天+1)>0.即*3-1>2?—2》；

當(dāng)x=l時(shí)，(X—l)(x2—x+l)=0,即f—i=2?—2x；

當(dāng)xVl時(shí)，(x—l)(f—x+l)V0,即/一1V2f—2x.

變式練習(xí)：解：因?yàn)?x+1)僅+；+l)=(x+l).仗+x+L?

=(x+l)(x2+x+1)一5(1+1)，

-￡)(/+%+1)

?,?作差，得(x+1)^?+/+1)—G+g)(f+x+1)

=(x+1)(^+^+1)—^(x+1)—(x+l)(x2+x+l)+^(x2+x+l)=^(x2+x+l)—1(x2+x)=^>0,

/.(x+1)g+1)>G+2)"+X+1).

例2［解析］(1)錯(cuò)誤.因?yàn)楫?dāng)取a=4,b=2,c=6時(shí)，有a>b,c>b成立，但a>c不成立.

(2)錯(cuò)誤.因?yàn)閍、b符號(hào)不確定，所以無(wú)法確定￡>1是否成立，從而無(wú)法確定1點(diǎn)>0是否成立.

(3)錯(cuò)誤.此命題當(dāng)a、b、c、d均為正數(shù)時(shí)才正確.

(4)正確.因?yàn)閍>b>0,

所以必>0,兩邊同乘以上得沁.

(5)錯(cuò)誤.只有當(dāng)cd>0時(shí)，結(jié)論才成立.

(6)正確.因?yàn)閏>d,所以一d>—c,又a>b,

所以a—(T>b—c.綜上可知(4)(6)正確.

答案：B

變式練習(xí)2：解析：選C若4Vb且公>0,方>0,

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則￡*臺(tái)--

apr

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且〃>0,/?>0=>c^h——h<ah2——onc^h——a序——b+a<0,

ab（a一b）+伍-b）<0=（a—b）（ab+1）<O=>a—Z?<0=>a<b.

利用不等式的性質(zhì)求范圍

例3【解析】?.?一*（（脛，

,,4S2^4,4P41

?,222,

「71邛71.兀BK

又一?.一百不

._TIa—pTi

??-2<2<2'

又；a<夕，.?.因右。,

???告*0，

即（音,。/豆一看0）

［再練一題］

3.【解】-6<a<8,2<Z?<3.

—3<—b<—2,/.—9<〃一b<6,

則a—h的取值范圍是（一9,6）.

1

又K鏟汽1

⑴當(dāng)0%<8時(shí)，0<|<4；

（2）當(dāng)一6<“<0時(shí)，-3<|<0.

由⑴⑵得一3學(xué)<4.

因此月的取值范圍是（一3,4）.

利用性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式

例4【解析】'：d>b,：.-a<-b.

又c>a>b>Of

11

0<c—a<c—bf>>0.

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ab

又比>0,~c=^~c~i)

［再練--題］

4.【證明】'：a>b>0,c>d>0,

-44>o>①

dc

①+②得：+力*+90,

b+da+c

即>

~bd~h°，**a+cb-\-d

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1.1.2基本不等式

預(yù)習(xí)目標(biāo)

1.了解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均與幾何平均.

2.理解定理1和定理2.

3.掌握利用基本不等式求一些函數(shù)的最值及解決實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題.

一、預(yù)習(xí)要點(diǎn)

教材整理1兩個(gè)定理及算數(shù)平均與幾何平均

閱讀教材P5~P6“例3”以上部分，完成下列問(wèn)題.

1.兩個(gè)定理

定理內(nèi)容等號(hào)成立的條件

定理I/+tr>____（。，加R）當(dāng)且僅當(dāng)_____時(shí)，等號(hào)成立

a+b

定理22N____3,。＞0）當(dāng)且僅當(dāng)_____時(shí)，等號(hào)成立

教材整理2利用基本不等式求最值

閱讀教材P6~P8,完成下列問(wèn)題.

已知X,y為正數(shù)，X+y=S,芽=P，貝U

(1)如果。是那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，S取得最小值

(2)如果S是那么當(dāng)且僅當(dāng)x=)?時(shí)，P取得最大值—.

二、預(yù)習(xí)檢測(cè)

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1.設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)，且xy-（x+y）=1,則（）

A.x+y>2（V2+1）B.x+y<2（yf2+\）

C.x+y<（y[2+\）2D.x+y>（yj2+I）2

5x2-4x+5

2..已知后5,貝=---------有（）

"2x-4

A.最大值:B.最小值七

C.最大值1D.最小值1

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3.（湖南高考）若實(shí)數(shù)a,6滿足2+官=4而,則"的最小值為（）

A.&B.2

C.2吸D.4

4.（陜西高考）設(shè)0<。<匕，則下列不等式中正確的是（）

-a+b-a+b

A.a<b<y]ab<B.a<yjab<~—<b

—a+b_a+b

C.a<y]ab<b<.D.yjab<a<?<b

5.已知x,用R+,且滿足升;=1,則孫的最大值為.

三、思學(xué)質(zhì)疑

把你在本次課程學(xué)習(xí)中的困惑與建議填寫在下面，與同學(xué)交流后，由組長(zhǎng)整理后并拍照上傳平臺(tái)

討論區(qū)。

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參考答案

一、預(yù)習(xí)要點(diǎn)

1.2aba=ba=b

a+b

2.-------

2

g

3.定值x=y定值

4

二、預(yù)習(xí)檢測(cè)

1.解析：選Ax>0,y>0,xy-(x+y)=1nxy=1+(%+y)n1+(x+y)<=>x+>->2(^2+1)

2.解析：選D：x>^，:-r-22.

(x-2)2+1?1lx-2~

=-------------------=-2)+--------------->2A/-5—?---------------=1,

2(x-2)22(x-2)\j22(x-2)

x-21

當(dāng)且僅當(dāng)亍=——!——，即x=3時(shí),等號(hào)成立.

22(x-2)

?式K)min-1.

I2__

3..解析：選C由z+g=y[ab，知〃>0,/?>0,

即ab>2y[2,

即4=版，b=2%時(shí)取“=”,

所以ab的最小值為2吸.

,—廠a+b

4.解析：選B代入a=1，/?=2,則有0v〃=1<V^=V2<^—=1.5</?=2,我們知道算術(shù)

a+b._

平均數(shù)亍與幾何平均數(shù)M不的大小關(guān)系，其余各式作差(作商)比較即可，答案為B.

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5.解析：因?yàn)橛?gt;0,y>0,

所%+加2y*?即2^1，

解得x)W3,所以其最大值為3.

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1.1.2基本不等式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均與幾何平均.

2.理解定理1和定理2.

3.掌握利用基本不等式求一些函數(shù)的最值及解決實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題.

一、自學(xué)釋疑

根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè)，生生、師生交流討論，糾正共性問(wèn)題。

二、合作探究

探究I函數(shù)代r)=x+f的最小值是2嗎？

a+b.-

探究2在基本不等式-^-汽/7中，為什么要求a>0，力>0?

a+h._

探究3利用M必勵(lì)求最值的條件是怎樣的？

探究4你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？

名師點(diǎn)撥

1.常用基本不等式

(1)((?-b)2>0^>a2+b2>2ah(a,beR).

a+b._

(2)均值不等式2~壬河(〃，反R+).

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這兩個(gè)不等式都是在時(shí)，等號(hào)成立.而(1)只要求a,加R，而公式(2)條件加強(qiáng)了，要求a>0,

6>0.注意區(qū)別.

(3)利用基本不等式還可以得到以下不等式：

a+^2(<z>0,當(dāng)且僅當(dāng)a-1時(shí)取等號(hào)).

當(dāng)">0時(shí)，如金2(當(dāng)且僅當(dāng)。■時(shí)取等號(hào)).

a+b2

cr+b^>----2---->2ab(a,Z;eR,當(dāng)且僅當(dāng)〃二人時(shí)，等號(hào)成立).

2.均值不等式的應(yīng)用

應(yīng)用均值不等式中等號(hào)成立的條件，可以求最值.

(l)x,yeR+,且xy="?("z為定值)，那么當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值2、佃；

(2)x,yeR+,且x+y=為定值)，那么當(dāng)x=y時(shí)，不：有最大值了.

在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)“一正、二定、三相等”.否則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果.

例1已知a,〃，c為正實(shí)數(shù)，

(2)a+/?+c>\[cib+y[bc+y[ca.

變式練習(xí)

1.設(shè)a,/?,ccR+,求證:yjcr+b2+\jb2+c2+yjc2+a2>\[2(a+b+c).

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2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

_10

例2已知x>0,y>0,且《+;=1,求x+y的最小值.

變式練習(xí)

_-2x2+x-3

2.求函數(shù)｛x)=------------(x>0)的最大值及此時(shí)尤的值.

例3某單位決定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)(長(zhǎng)方體)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面

用鐵柵，每米長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)用磚墻，每米長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元.倉(cāng)庫(kù)底面積

S的最大允許值是多少？為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？

變式練習(xí)

3.某食品廠定期購(gòu)買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的

保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購(gòu)買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.

(1)求該廠多少天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？

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2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

(2)某提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購(gòu)買面粉不少于210噸時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠，問(wèn)該廠

是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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參考答案

探究1【提示】函數(shù)/(x)=x+：的最小值不是2.

當(dāng)x>0時(shí)，/x)=x+^>2yjx^.=2；

(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào))

當(dāng)x<0時(shí),J(x)=x+-=-(-X)4--<-2.

xL-x_

(當(dāng)且僅當(dāng)X二-1時(shí)取等號(hào))

顯然7U)無(wú)最小值，也無(wú)最大值.

a+b._

探究2【提示】對(duì)于不等式-y-即，如果〃，。中有兩個(gè)或一個(gè)為0,雖然不等式仍成立，

但是研究的意義不大，當(dāng)a,6都為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式不成立；當(dāng)a,6中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另一個(gè)為正

數(shù)，不等式無(wú)意義.

探究3【提示】利用基本不等式求最值的條件是“一正、二定、三相等"，即(1)各項(xiàng)或各因式

為正；(2)和或積為定值；(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.

探究4【提示】如圖，以a+b為直徑的圓中，DC=J石,且。CL4A

a+b._a+b

因?yàn)镃D為圓的半弦，。。為圓的半徑，長(zhǎng)為一廠，根據(jù)半弦長(zhǎng)不大于半徑，得不等式叫5丁.

顯然，上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=〃時(shí)，等號(hào)成立.因此，基本不等式的幾何意

義是圓的半弦長(zhǎng)不大于半徑；或直角三角形斜邊的中線不小于斜邊上的高.

20

2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

例U精講詳析]本題考查基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用解答本題需要分析不等式的特點(diǎn)，

先對(duì)〃+力,b+c,c分別使用基本不等式，再把它們相乘或相加即可.

(1。,c為正實(shí)數(shù),:.a+b>2y[ab>0,b+c>2y[bc>0,c+a>2y[ca>0,

由上面三式相乘可得(a+b)(b+c)(c+a)>^y[ab-y[bc-y[ca=8abe.

(2)-：a,b,c為正實(shí)數(shù),

：.a+b>2y[ab,b+c>2y[bc,

c+a>2y[ca,由上面三式相加可得

3+b)+(Z?+c)+(c+a)>2y[ab+2y[bc+2y[ca.

即。+b+c>y[ab+y[bc+y[ca.

變式練習(xí)

1.證明：,.,H+z7222H,,

：.2(cr+tr)>(a+bp

又。，Z?,ceR+,

，寸d+危坐1〃+b\=等(4+b).

同理：\jb2+c2>^(b+c),

yjc2++c).三式相加，

得yjc^+b2+y/b2+c2+c2+a2>y/2(a+b+c).

當(dāng)且僅當(dāng)a-b-c時(shí)取等號(hào).

例2[精講詳析]本題考查基本不等式的應(yīng)用，解答本題可靈活使用力”的代換或?qū)l件進(jìn)行必

要的變形，然后再利用基本不等式求得和的最小值.

21

2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

19

,,-r>0,y>0,-+-=1,

xy

.5+/=(：+凱+y)=++*10>6+10=16.

當(dāng)且僅當(dāng)、=曳，又，+2=1,

xy'xy，

即x=4,y=12時(shí)，上式取等號(hào).

故當(dāng)x=4,y=12時(shí)，(x+y)min=16.

變式練習(xí)

2.解：yu)=1-(2x+§.

因?yàn)閤>0,所以2x+『2加，

得-(2r+^)<-2#,因此火x)W-2#,

323

當(dāng)

當(dāng)

僅

時(shí)

且

即-

=一X=2

2X九

式子中的等號(hào)成立.

由于x>0,因而x=半時(shí)，等號(hào)成立.

因此?max=1-2#,此時(shí)尤=坐

例3［精講詳析］本題考查基本不等式的應(yīng)用，解答此題需要設(shè)出鐵柵和磚墻的長(zhǎng)，然后根據(jù)

投資費(fèi)用列出關(guān)系式，借助基本不等式即可解決.

設(shè)鐵柵長(zhǎng)為xm,一堵磚墻長(zhǎng)為ym,則有S=xy,由題意，得

40x+2x45y+20xy-=3200,

由基本不等式，得3200卻40*90），+20町

=12（h/^+20x），=120V5+20S，

.-.5+6^5<160,

即（小+16）（小-10）<0.

:鄧+16>0,

22

2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

二小-10<0,從而5<100.

因此S的最大允許值是100m2，取得此最大值的條件是40x=90.y,而肛=100，由此求得r=15,

即鐵柵的長(zhǎng)應(yīng)是15m.

變式練習(xí)

3.解：(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購(gòu)買一次面粉，其購(gòu)買量為6A-噸，由題意可知，面粉的保管等其

他費(fèi)用為

3[6x+6a-1)+6(x-2)+...+6x1J=9x(x+1),

設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為乃元，則

9x(x+1)+900900/900-

%=---------------+1800x6=—+9^-+10809>2A/--9x+10809=10989,

當(dāng)且僅當(dāng)9x=*,

(2)因?yàn)椴簧儆?10噸，每天用面粉6噸，所以至少每隔35天購(gòu)買一次面粉，設(shè)該廠利用此優(yōu)

惠條件后，每隔底史35)天購(gòu)買一次面粉.

平均每天支付的總費(fèi)用為兆元，則

y2=59x(x+1)+900]+6x1800x0.9

=絆+9%+9729佗35),

令7(x)=x+半(xN35),X2>X|N35,

則曲)-式乃)=￡+詈)-(J2+詈)

(應(yīng)7])(1007陽(yáng))

一即M

：X2>X|>35,：JC2->0,X\X2>0,100-X]X2V0,

??於1)?於2)V。，於1)<於2),

即yu)=x+半

23

2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

當(dāng)於35時(shí)為增函數(shù)，

..當(dāng)x=35時(shí)，於）有最小值,此時(shí)72=10069.7<10989.

..該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件.

24

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1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.探索并了解三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式的證明過(guò)程.

2.會(huì)用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大(小)值.

3.會(huì)建立函數(shù)不等式模型，利用其解決實(shí)際生活中的最值問(wèn)題.

一、自學(xué)釋疑

根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè)，生生、師生交流討論，糾正共性問(wèn)題。

二、合作探究

探究1.滿足不等式*?上之標(biāo)成立的a,b,c的范圍是什么？

探究2.應(yīng)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式，求最值應(yīng)注意什么？

探究3利用不等式嗎上之仍應(yīng)求最值的條件是什么？

探究4如何求的最小值?

例I已知xGR+,求函數(shù)y=x(l-r2)的最大值.

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變式練習(xí)1.已知x《R+,求函數(shù)y=P（l—x）的最大值.

例2設(shè)〃、b、c￡R+,求證:

(1)(十+表+/)(“+b+c住27；

（2）（“+'+c）E而不月

變式練習(xí)2.設(shè)0cx1,0<c<l,

求證：abc(1一4)(1—/?)(!—c)W(；J.

例3已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高〃為何值時(shí)，圓柱的體積最

大？并求出這個(gè)最大的體積.

26

2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

變式練習(xí)3.制作一個(gè)圓柱形的飲料盒，如果容積一定，怎樣設(shè)計(jì)它的尺寸，才能使所用的材

料最少？

27

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參考答案

探究1【提示】a,b,c的范圍為“K),b>0,c>0.

探究2【提示】三個(gè)正數(shù)的和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值.當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)正

數(shù)相等時(shí)取得.

探究3【提示】“一正、二定、三相等“，即(1)各項(xiàng)或各因式為正；(2)和或積為定值；(3)各項(xiàng)

或各因式能取到相等的值.

44r，v"3口~r，JAJ_

探究4【提示】y=-T+x2=7+y+y>3-\/-5-y-y=:3,當(dāng)且僅當(dāng)/=亍即》=±^時(shí)，等號(hào)

成立，

*,ymin—3,

22

其中把f拆成與和與兩個(gè)數(shù)，這樣可滿足不等式成立的條件.

2

若這樣變形：y=*+f=[+H￥，雖然滿足了乘積是定值這個(gè)要求，但“三相等”不能成立，

4x23O

因?yàn)?=5=*時(shí)入無(wú)解，不能求出y的最小值.

例1【解析】Vy=x(l—x2),

A/=?(l-x2)2

=2X2(1—X2)(1—X2)-^.

V2?+(l-f)+(1—f)=2,

.JJ/.+T+L喬_4

-2<3J~2T

當(dāng)且僅當(dāng)2X2=1—X2=1—X2,

即尸坐時(shí)取“=”號(hào).

2V5.,,?-2V5

??><9.??y的瑯大值為9.

變式練習(xí)1.解：y=f(l—x)="x(l—x)="x-(2—2x)xfw娶上二號(hào)一耳=2XZ7=T7,

24

當(dāng)且僅當(dāng)％=2—2%,即4=,時(shí)取等號(hào).此時(shí)，>^=27?

例2【解析】b,c￡R+,?*.a+b+c>3y[abc>0f

從而(a+b+C)2>9>0,

又5+/+加:/焉>。，

28

2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

〃=6=c時(shí)，等號(hào)成立.

(2);小b,c￡R+,

.'.(〃+b)+(/?+c)+(c+a)>37(4+/?)(b+c)(c+〃)>0,

1113/[]丁

a+hb+c6z+c-Aja+hb+ca+c'

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c時(shí)，等號(hào)成立.

變式練習(xí)2.證明：VO<?<1,

：.l-a>0.

?八J~a+(1—a)"J21

.?0<〃(1一〃耳----5--------J=1

同理0<伙1—b)A,0<c(l—(?)三.

當(dāng)且僅?當(dāng)a=h=c=^\,

以上三個(gè)式子等號(hào)成立.將以上三個(gè)不等式相乘得

3

abc(1—a)(1—Z>)(1—^<(4)?

例3【解析】

設(shè)圓柱體的底面半徑為r,

H-hr

如圖，由相似三角形的性質(zhì)可得一萬(wàn)一=3

R

?>=/"一〃）.

J入柱=兀辦=器（”一/7力2（0</7<//）.

29

2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

根據(jù)平均不等式可得

4成2H-hH-h,4加倒3

47

=萬(wàn)兀

H-h

當(dāng)且僅當(dāng)一廠=九

即時(shí)，

Z_42

VBSHMA=2jnR~H.

變式練習(xí)3.解：設(shè)圓柱形飲料盒的體積為M定值），底面半徑為〃

高為力，表面積為S

則V="h,

???〃=5

、12V

S—2兀/+2nrh=2nr+~

=2兀/+孑+言3yj2nV~.

即當(dāng)27n2,=：V,

《^時(shí)表面積最小.

此時(shí)h=2r.

即飲料盒的底面半徑為r

高為2,用料最省.

30

2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

預(yù)習(xí)目標(biāo)

1.探索并了解三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式的證明過(guò)程.

2.會(huì)用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大（小）值.

3.會(huì)建立函數(shù)不等式模型，利用其解決實(shí)際生活中的最值問(wèn)題.

一、預(yù)習(xí)要點(diǎn)

教材整理1三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

閱讀教材P8?P9定理3,完成下列問(wèn)題.

1.如果a,b,c6R+,那么3abc,當(dāng)且僅當(dāng)_____時(shí)，等號(hào)成立.

2.定理3：如果a,cGR上,那么，土?土’31abc,當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立.

即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均它們的幾何平均.

教材整理2基本不等式的推廣

閱讀教材P9?P9“例5”以上部分，完成下列問(wèn)題.

對(duì)于〃個(gè)正數(shù)a””2,…，％，它們的算術(shù)平均它們的幾何平均，即心寧土義

%闋2…當(dāng)且僅當(dāng)"1=42=<..=""時(shí).，等號(hào)成立.

教材整理3利用基本不等式求最值

閱讀教材P9?P9”習(xí)題1.1”以上部分，完成下列問(wèn)題.

若a,b,c均為正數(shù)，①如果a+6+c是定值S,那么時(shí)，積abc有_____值；②如果

積abc是定值P,那么當(dāng)a=b=c1時(shí)，和有最小值.

二、預(yù)習(xí)檢測(cè)

4

1.設(shè)x>0,則y=x+7的最小值為（）

A.2B.2^2

C.3啦D.3

2.設(shè)x,y,zGR+且x+y+z=6,則Igx+lgy+lgz的取值范圍是（）

A.（-co,1g6JB.（—00,31g2J

C.[Ig6,+oo）D.[31g2,+oo）

3.若實(shí)數(shù)-y滿足孫>0,.且fy=2,則孫的最小值是（）

A.1-B.2

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2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

C.3D.4

,o+b+c3/H+b?+c2

z=

4.已知a,b,c￡R十，x=----j----,y=y[abcf\------3------，貝火)

A.x<y<zB.y<x<z

C.y<z<xD.”環(huán)

5-若">2,?3,則』+(1J"1)的最小值為—

三、思學(xué)質(zhì)疑

把你在本次課程學(xué)習(xí)中的困惑與建議填寫在下面，與同學(xué)交流后面組長(zhǎng)整理后并拍照上傳平臺(tái)

討論區(qū)。

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2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

參考答案

一、預(yù)習(xí)要點(diǎn)

教材整理1三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

1.>a=b=c

2.>a=b=c不小于

教材整理2基本不等式的推廣

不小于N

教材整理3利用基本不等式求最值

a=b=c最大a+b+c

二、預(yù)習(xí)檢測(cè)

1.解析：選D產(chǎn)工+*=5+5+33?守|^^=3,當(dāng)且僅當(dāng)5=千時(shí)取“=”號(hào).

2.解析:選BVIgx+lgy+lgz=lg(xjz),

Jx+y+z^

而xyz<\——I，

.??Ig(?z)Wlg8=31g2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2時(shí)，等號(hào)成立).

3魂軍析：選C孫+?=3孫+$)，+》2出\^5^；孫?%2=3、^(dy)2=3\^=3(當(dāng)且僅當(dāng)/V=

x2,即x=l,y=2時(shí)，等號(hào)成立).

4.解析：選BTa,b,CGR4.,

.a+b+c31—

j>\cibc,

2

.2_4+〃+c?+2〃。+2bc+Zac

??x^,y，乂9,

222

236r+3/?+3c

z=9，

*.*cT+t^^Zab,b1+c1>2bc,c2+屋2cle,

三式相加得6Z2+/?2+cI>ab-\-bc-\-ca,

3/+3/?2+3c1>(a+b+c)?,

z>xiAz>x.HPy<x<z,

5.解析：??Z>2,b>3,Aa-2>0,力一3>0.

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2018-2019高二數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案

二"1+(a-2)(b—3)

=(a-2)+S-3)+(?_2)，—3)+§

>3…(~3)32)1-3)+5=3+5=8.

（當(dāng)且僅當(dāng)。=3,匕=4時(shí)等號(hào)成立）.

答案：8

34