2023-2024學(xué)年浙江省A9協(xié)作體高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年浙江省A9協(xié)作體高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1+i)(3?iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量a=(12,1)，bA.?2 B.2 C.?123.如圖所示的點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，用符號(hào)語(yǔ)言表示正確的是(

)A.α∩β=m，n?α，A?α，A?β

B.α∩β=m，n∈α，m∩4.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若b=2，c=2A.30° B.45° C.135°5.在平行四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，則用a，A.a+b和a?b B.a?b和a+b

C.6.已知圓臺(tái)的上、下半徑分別為r1，r2，3r1A.5π B.12π C.6π7.在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若B=60°，b=A.[213,3] B.8.折扇深受各階層人民喜愛(ài).古人曾有詩(shī)贊曰：“開(kāi)合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉棚齊編鳳翅長(zhǎng)”.折扇平面圖為如圖的扇形OCD，其中∠AOB=120°，OD=4，OB=1，動(dòng)點(diǎn)P在弧CD上(含端點(diǎn))A.若y=x，則x+y=2 B.AB?P二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如果a，b是兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.a=b=1 B.a⊥b10.對(duì)于△ABC，有如下判斷，其中正確的是A.若sinA=sinB，則△ABC為等腰三角形

B.若sin2A11.已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1A.球O的體積為43π

B.球O內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為4π

C.球O在正方體外部的體積小于43(2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1?i)=3i，求復(fù)數(shù)13.已知平面向量a，b，c不共線，且兩兩所成角相等，若|a|=|b|=2，|c14.如圖，2024年元宵節(jié)在浙江桐鄉(xiāng)鳳凰湖舉行“放孔明燈”活動(dòng).為了測(cè)量孔明燈的高度，在地上測(cè)量了一根長(zhǎng)為200米的基線BC，在點(diǎn)B處測(cè)量這個(gè)孔明燈的仰角為∠OBA=45°，在C處測(cè)量這個(gè)孔明燈的仰角為∠OCA=30°，在基線BC上靠近B

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=(m2?4)+(m2?m?6)i，m∈R16.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)．

(17.(本小題15分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，G為BC上一點(diǎn)且滿足CG=2GB，AB=a，AD=b．

(1)試用向量a，b18.(本小題17分)

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，面對(duì)角線A1D，CD1上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，使得直線MN/?/平面A1ACC1．

(119.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b=2，sinC=3sinA．

(1)若△ABC為銳角三角形時(shí)，求邊a的取值范圍；

(2)求△AB答案和解析1.【答案】A

【解析】解：(1+i)(3?i)=42.【答案】D

【解析】解：平面向量a=(12,1)，b=(?1,k)，若a⊥3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，“A?α，A?β”應(yīng)該是“A∈α，A∈β”，錯(cuò)誤；

對(duì)于B，“n∈α”應(yīng)該是“n?α”，錯(cuò)誤；

對(duì)于C，正確；

對(duì)于D，“4.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閎=2，c=23，C=60°，

由正弦定理得，bsinB=csinC，

所以sin5.【答案】C

【解析】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，AC=a，BD=b，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，

則AD6.【答案】B

【解析】解：如圖，

設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為O1，O2，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在O1O2的中點(diǎn)處，

設(shè)球O與母線AB切于M點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AB，所以O(shè)M=OO1=OO2=2，

所以△AOO1與△AOM全等，所以AM=r1=1，同理BM=r27.【答案】B

【解析】解：因?yàn)锽D是ΔABC邊AC上的中線，所以BD=12(BA+BC)，

則|BD|2=14(|BA|2+|BC|2+2BA?BC)=14(c2+a2+2cacosπ3)=14(a2+c2+a8.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A，當(dāng)P為CD的中點(diǎn)時(shí)，連接CD，交OP于點(diǎn)E，則OE=OCcos60°=12OC，可得OP=2OE，

若y=x，則OP=x(OC+OD)=2xOE，可得2x=2，所以x=y=1，x+y=2，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B9.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A，單位向量是模等于1的向量，但不能認(rèn)為a=b=1，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B，兩個(gè)單位向量的夾角不一定是直角，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)閍、b是兩個(gè)單位向量，所以|a|=|b|=1，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D，只有單位向量a、b相等時(shí)，才有a?10.【答案】AB【解析】解：A中，因?yàn)閟inA=sinB，在△ABC中，由正弦定理可得a=b，

所以該三角形為等腰三角形，所以A正確；

B中，因?yàn)閟in2A=sin2B，在△ABC中，可得2A=2B或2A=π?2B，

即A=B或A+B=π2，可得C=π2，

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，所以B正確；

C中，在三角形中，A，B∈(0,π)，因?yàn)閥11.【答案】BC【解析】解：對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)題意可知：棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的棱切球O的直徑長(zhǎng)為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，

即球O的半徑為2，∴球O的體積為43πR3=82π3，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)B選項(xiàng)，設(shè)球O內(nèi)接圓柱的底面圓的半徑為r，高為h，

則(2R)2=(2r)2+h2，∴4r2+h2=8，

∴球O內(nèi)接圓柱的側(cè)面積為2πrh=π?2r?h≤π?4r2+h22=12.【答案】?3【解析】解：∵z(1?i)=3i，

∴z(1?i)(1+i)=13.【答案】6

【解析】解：因?yàn)槠矫嫦蛄縜，b，c不共線，且兩兩所成角相等，所以向量a，b，c兩兩成120°角，

由|a|=|b|=2，|c|=1，設(shè)c=(1,0)，a=(?1,3)，b=(?1,?3)，14.【答案】1507【解析】解：因?yàn)镺A⊥底面ABC，

AB，AP，AC?平面ABC，

所以O(shè)A⊥AB，OA⊥AP，OA⊥AC，

在Rt△OAB中，∠OBA=45°，可得AB=OA，

在Rt△OAC中，∠OCA=30°，

所以AC=OAtan∠OCA=3OA，

在Rt△OAP中，∠OPA=60°，所以15.【答案】解：(1)復(fù)數(shù)z=(m2?4)+(m2?m?6)i，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，

則m2?4=0m2?【解析】(1)結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解；

(216.【答案】(1)證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O，由題意可得O為BD的中點(diǎn)，連接OE，

因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，

因?yàn)镺E/?/BD1，OE?平面ACE，BD1?平面ACE，

所以BD1//平面ACE；

(2)解：因?yàn)镺E/?/BD1【解析】(1)連接BD，交AC于點(diǎn)O，由題意可得OE/?/BD1，進(jìn)而可證得結(jié)論；

(2)由(1)17.【答案】解：(1)根據(jù)題意，在平行四邊形ABCD中，

BF=BC+CF=b?12a，

DG=D【解析】(1)根據(jù)題意，由平面向量基本定理分析可得答案；

(218.【答案】(1)證明：因?yàn)镹，T分別是線段CD1，CD的中點(diǎn)，所以TN//DD1，

又DD1//AA1，從而NT//AA1，

因?yàn)镹T//AA1，AA1?平面A1ACC1，NT?平面A1ACC1，

所以NT//平面A1ACC1

又MN/?/平面A1ACC1，NT∩MN=N，

所以平面MNT//平面A1ACC1；

(2)解：過(guò)點(diǎn)M作AD的垂線，垂足為P，過(guò)點(diǎn)N作DC的垂線，垂足為Q，連接PQ，

因?yàn)镸P//AA1，AA1?平面A【解析】(1)由N，T分別是線段CD1，CD的中點(diǎn)，可證得TN//DD1，進(jìn)而可證得TN//平面A1A19.【答案】解：(1)因?yàn)閎=2，sinC=3sinA，

由正弦定理可得c=3a，

因