專題12 模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型-共頂點的等腰三角形壓軸題三種模型全攻略（原卷版）

專題12模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型——共頂點的等腰三角形壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一共頂點的等邊三角形】 1【類型二共頂點的等腰直角三角形】 10【類型三共頂點的一般等腰三角形】 17【典型例題】【類型一共頂點的等邊三角形】例題：（2023春·陜西西安·八年級西北大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，A、C、B三點在同一條直線上，和都是等邊三角形，、交于點P，且分別與、交于點M，N，證明：

(1)；(2)；(3)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，與是等邊三角形，連接、，有以下結(jié)論：（）；（）；（）；（）；（）無論如何改變的度數(shù)，與始終全等．其中正確結(jié)論的序號為．2．（2023·安徽安慶·校考三模）已知和△ADE都是等邊三角形，分別連接．

(1)如圖1，若．①求的度數(shù)；②延長交于點F，求證：；(2)如圖2，若點D在邊上，延長交于點G，連接．求證：平分．3．（2021春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）已知圖1是邊長分別為a和b的兩個等邊三角形紙片和三角形疊放在一起（C與重合）的圖形．

(1)將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．如圖2：在圖2中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)若將上圖中的，繞點C按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度，連接、，如圖3：在圖3中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論：(3)根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當(dāng)為多少度時，線段的長度最大，最大是多少？當(dāng)為多少度時，線段的長度最小，最小是多少？請直接寫出答案．4．（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐特例感知：如圖1，在等邊三角形中，是延長線上一點，且，以為邊作等邊三角形，連接，分別過點作，過點作，交于點，連接與交于點．

(1)試判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)猜想論證：將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到圖2，則（1）中和的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．(3)拓展延伸：將如圖1所示的繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，當(dāng)時，請直接寫出的值．【類型二共頂點的等腰直角三角形】例題：（2023秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知和均為等腰直角三角形，且(1)試說明：(2)試判斷和的位置關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如圖1，點D、E在，上，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？（直接寫出答案不證明）(2)如圖2，點D在內(nèi)部，點E在外部，連接，，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．2．（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，和都是等腰直角三角形，且，與交于點，(1)求證：；(2)求證：．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）與均為等腰直角三角形，．(1)如圖1，當(dāng)，，在同一直線時，的延長線與交于點．求證：；(2)當(dāng)與的位置如圖2時，的延長線與交于點，猜想的大小并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，當(dāng)，，在同一直線時（，在點的異側(cè)），與交于點，，求證：．【類型三共頂點的一般等腰三角形】例題：（2023秋·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖①中，若和互為“兄弟三角形”，，．則①___________（填>、＜或=）②連接線段和，則___________（填>、＜或=）(2)如圖②，和互為“兄弟三角形”，，，若點D、點E均在外，連接、交于點M，連接，則線段還滿足以上數(shù)量關(guān)系嗎？請說明理由【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東泰安·七年級校考開學(xué)考試）如圖，與都是等腰三角形，相交于點．

(1)試說明：；(2)求的度數(shù)．2．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當(dāng)時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由；②如圖3，當(dāng)時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由．3．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(