2023年河南省高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知向量〃=（1,2）,b=（4A,—1）,且則4=（）

11

A.一B.-C.1D.2

24

22

2.設(shè)月，工是雙曲線一馬=1（。>0/>0）的左，右焦點，。是坐標原點，過點尸2作C的一條漸近線的垂

線，垂足為P.若|「制=后|0耳，則C的離心率為（）

A.&B.73C.2D.3

3.正項等差數(shù)列｛4｝的前〃和為S,，已知-d+15=0,則Sg=（）

A.35B.36C.45D.54

4.如圖所示，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（）

Q

A.2B.-C.6D.8

3

5.設(shè)非零向量7,b,c,滿足|b|=2,Ia|=1,且5與日的夾角為。，貝!J“||=G"是“夕=?”的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.若樣本1+芭,1+々，1+電，…，1+尤”的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本2+2知2+2孫2+2孫…,2+2%,下列

結(jié)論正確的是（）

A.平均數(shù)為20,方差為4B.平均數(shù)為11,方差為4

C.平均數(shù)為21,方差為8D.平均數(shù)為20,方差為8

7.函數(shù)/(x)=sin(ox(a)>0)的圖象向右平移亮個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象，并且函數(shù)g(x)在區(qū)間盧二］上

1263

單調(diào)遞增，在區(qū)間［三,彳］上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的值為()

735

A.—B.-C.2D.一

424

8.已知(1+x)"的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為().

A.2'2B.2"C.2'0D.29

9.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與

一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,

在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)''.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項為

()(注：F+”+32+…+心迎里空巴W)

6

A.1624B.1024C.1198D.1560

1

—X3+X2,X<1

10.已知函數(shù),f(x)={a\nx,

，若曲線y=/(x)上始終存在兩點A,B,使得OAJ_QB,且A5的中點在y

-------,x>1

x(x+l)

軸上，則正實數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,+oo)C.-，+eJD.fe,4-oo)

11.已知函數(shù)/(X)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R的奇函數(shù),且=則“2019)的值為()

A.2B.0C.-2D.±2

x+2y-2>0

12.已知實數(shù)x,y滿足約束條件，x—2y+2N0,則f+丁的取值范圍是()

x<2

A.---,2>/2B.—,8C.D.［1,8］

L」上」L」

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在三棱錐S—A3C中，SA,SB,SC兩兩垂直且叢=S8=SC=2,點Af為S—ABC的外接球上任意一點,

則MA-MB的最大值為.

14.若函數(shù)〃2=411(皿+0)3>0,0<0<2萬)滿足：①/(x)是偶函數(shù)；②的圖象關(guān)于點三,0對稱.則

同時滿足①②的0,。的一組值可以分別是.

15.已知數(shù)列｛4｝滿足4M=3a?，且4+%+/=9,則l°g：(。5+%+%)=.

16.利用等面積法可以推導出在邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和為定值叵，類比上述結(jié)論，利用

2

等體積法進行推導，在棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和也為定值，則這個定值是

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=at+lnx(aeR)有兩個零點區(qū),看.

⑴求”的取值范圍；

⑵是否存在實數(shù);I,對于符合題意的任意占,”,當/=/1%+(1-幾)%>0時均有/(力<0?

若存在，求出所有X的值；若不存在，請說明理由.

18.(12分)已知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，4=4,牝是生與的等比中項.

(1)求s“；

(2)設(shè)數(shù)列優(yōu)｝滿足4=%，%=d+3x2冊,求數(shù)列也｝的通項公式.

x2

19.(12分)已知橢圓C：1(?>/?>0)的左、右頂點分別為A、B,焦距為2,點P為橢圓上異于A、

3

3的點，且直線以和m的斜率之積為

(1)求C的方程;

IAPWAQI

(2)設(shè)直線AP與y軸的交點為。，過坐標原點。作Q0〃AP交橢圓于點"，試探究是否為定值，若

\0M|2

是，求出該定值；若不是，請說明理由.

20.(12分)近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心

肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機的對入院50人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：

患心肺疾病不患心肺疾病合計

男5

女10

合計50

已知在全部5()人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為1.

(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān)？請說明你的理由；

(2)已知在不患心肺疾病的5位男性中，有2位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導市民盡可能地減少因霧霾天氣對身

體的傷害，現(xiàn)從不患心肺疾病的5位男性中，選出3人進行問卷調(diào)查，求所選的3人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)

的概率.

下面的臨界值表供參考：

P(R2明

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（參考公式K2=7——、/'、，）、/——其中“=a+b+c+d）

（Q+〃）（c+d）（Q+c）（Z?+d）

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x2-2xlnx,函數(shù)g(x)=x+@—(Inx)2,其中ae/?,%是g(x)的一個極值點，且

X

g(%)=2?

(1)討論/(x)的單調(diào)性

(2)求實數(shù)與和。的值

(3)證明［亍^=>小11(2〃+1)(〃eN*)

22.(10分)已知/(力=,一同+卜+磯4>0,8>0).

(I)當a=/?=l時，解不等式〃力48-??；

(II)若/(力的最小值為1,求」」的最小值.

a+12b

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得2的值.

【詳解】

由于向量￡=(1,2),^=(42,-1),且￡，人所以lx44+2x(—1)=0解得丸=,.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

12,<2>\

設(shè)過點E(c,o)作y=2x的垂線，其方程為y=—f(x—c),聯(lián)立方程，求得x=L,y=—,即P—,由

abccycc)

歸國=遙|04，列出相應方程，求出離心率.

【詳解】

解：不妨設(shè)過點石(c,0)作y=3x的垂線，其方程為y=-￡(x-c),

b

y=—x2,(i

由a解得工=土，y=—,即P,

T(…)‘。"°J

,ip^i/7inpi的m有a"?(丫_八/。4

由|=>/6|OP],所以有——F1-c=6—H-9

C\C7\CC)

化簡得3/=02,所以離心率e=￡=6.

a

故選：B.

【點睛】

本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題.

3.C

【解析】

由等差數(shù)列｛4｝通項公式得/+%-%2+15=0,求出生，再利用等差數(shù)列前〃項和公式能求出S9.

【詳解】

???正項等差數(shù)列｛%｝的前"項和S,,

生+%一+15=0,

2a$—15-0,

解得%=5或%=-3(舍)，

9

S9=萬(q+%)=9%=9x5=45,故選C.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應用等差數(shù)列的性質(zhì)

<+4=q“+%=2q(〃+q=〃?+〃=2r)與前〃項和的關(guān)系.

4.A

【解析】

先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀，以及四棱錐的高，再由體積公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

由三視圖可知，該四棱錐為斜著放置的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，上底為1,下底為2,高為2,四棱錐的高

為2,

所以該四棱錐的體積為V=gxgx(l+2)x2x2=2.

故選A

【點睛】

本題主要考查幾何的三視圖，由幾何體的三視圖先還原幾何體，再由體積公式即可求解，屬于常考題型.

5.C

【解析】

利用數(shù)量積的定義可得即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

解：|Z?—a|=V3?b2+a2—2a?h=3,z.22+1-2x2x1xcos0=39

1JI

解得cos6=—，0e\Q,何，解得。=一，

23

二"Id|=6”是"。?！钡某浞直匾獥l件.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系，可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系，方差的關(guān)系，進而可得到答案.

【詳解】

樣本1+為,1+9,1+占,…,l+x”的平均數(shù)是10,方差為2,

所以樣本2+2內(nèi),2+2々,2+2天,…,2+2%的平均數(shù)為2x10=20,方差為2?x2=8.

故選:D.

【點睛】

222

樣本xt,x2,x3,---,xn的平均數(shù)是X,方差為s>則叫+力g+仇仁+加…,%+b的平均數(shù)為ax+b，方差為as?

7.C

【解析】

由函數(shù)/(x)=sma)x((o>0)的圖象向右平移個單位得到g(x)=sin[c^x-奈)]=sind8-普)，函數(shù)g(九)在

TTTTTTTT

區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間

_o3J|_32_

上單調(diào)遞減，可得x時，g(x)取得最大值，即(3x(-符)=^+2%乃，keZ,0>0,當左=0時，解得出=2,

故選C.

點睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”

的規(guī)律求解出g(x),根據(jù)函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得無1時，g(x)取

得最大值，求解可得實數(shù)。的值.

8.D

【解析】

因為(1+x)"的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以C：=C：,解得”=10,

所以二項式(1+x)'°中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為-x2l0=29.

2

考點：二項式系數(shù)，二項式系數(shù)和.

9.B

【解析】

根據(jù)高階等差數(shù)列的定義，求得等差數(shù)列｛%｝的通項公式和前〃項和，利用累加法求得數(shù)列｛4｝的通項公式，進而求

得%9-

【詳解】

依題意

an：1,4,8,14,23,36,54,

兩兩作差得

bn：3,4,6,9,13,18,......

兩兩作差得

：1,2,3,4,59...

設(shè)該數(shù)列為｛%｝,令b,=*-a,,設(shè)也｝的前"項和為紇，又令%=為+|-瓦,設(shè)｛%｝的前"項和為C”.

田=但，<，八一〃上八,，一n(n-\)nr1一

易e％="，C“=——，進而得=3+C“=3+—y—，所以2=3+---=---n+3,則

紇="("+>"一1)+3〃,所以為川=1+紇，所以69=1024.

6

故選：B

【點睛】

本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查累加法求數(shù)列的通項公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中

檔題.

10.D

【解析】

根據(jù)中點在>軸上，設(shè)出AB兩點的坐標A(T,r+*),(r>0).對/分成=三類，利用

Q4J_O3則3.a=0,列方程，化簡后求得。=」一，利用導數(shù)求得的值域，由此求得。的取值范圍.

InfIn/

【詳解】

根據(jù)條件可知A,8兩點的橫坐標互為相反數(shù),不妨設(shè)A(-t,t3+r),B(t,/(/)),(/>0),若r<1,則/⑺=―一+產(chǎn)，

由。4_LQB,所以麗.麗=0,即一/+任+產(chǎn)卜/+產(chǎn))=0,方程無解;若』，顯然不滿足QALQP；若/>1,

“、alnt____2/3八。In,八t(t\\nt-it

則/。)=“，八,由。4.°8=0，即-廠+?+廣)八=°，即。="；—?因為■;—=7~"，所以函數(shù)■；—

(+1)'勺a+1)Inf\\ntj(Inr)In/

在(0,e)上遞減，在(e,f。。)上遞增，故在/=e處取得極小值也即是最小值后=e,所以函數(shù)卜二士在(1+8)上的

值域為[e,+8),故ae[e,+8).故選D.

【點睛】

本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最

小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.

11.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于g(x)與/(x-1)關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于/(X)的關(guān)系式，通過變形求解出/(X)的周期，

進而算出“2019).

【詳解】

g(x)為R上的奇函數(shù)，，g(0)=/(-1)=0,g(-%)=_g(%)

而函數(shù)是R上的偶函數(shù)，???/(x)=〃—x),.?.〃x)=—/(x—2)

???"%-2)=-/(x-4),/(x)=/(x-4)

故為周期函數(shù)，且周期為4

."./(2019)=/(-1)=0

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應用，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.

【詳解】

由約束條件作出可行域是由A(2,0),B(0,l),C(2,2)三點所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而f+y2可

理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，顯然原點到A8所在的直線x+2y-2=()的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離

的最小值，此時9+3；2=002=(絲絲］=3,點C到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值，此時

IABJ5

82+產(chǎn)=22+22=8.所以％2+)；2的取值范圍是1,8.

故選：B

【點睛】

本小題考查線性規(guī)劃，兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應用意識.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2百+2

【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，求出外接球的半徑，結(jié)合向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點到一SAC外心距離最

大的問題，即可求得結(jié)果.

【詳解】

因為SA,SB,SC兩兩垂直且SA=SB=SC=2,

故三棱錐5-ABC的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.

且外接球的球心為正方體的體對角線的中點。，如下圖所示：

容易知外接球半徑為

設(shè)線段AB的中點為。一

故可得礪.麗=（胸+?。?（砌+?。?/p>

=（函+?。?（9-網(wǎng)

=阿-硒=阿—2,

故當|函|取得最大值時，祝晨荻取得最大值.

而當M,在同一個大圓上，且

點M與線段AB在球心的異側(cè)時，|麗|取得最大值，如圖所示：

此時，=W（后+『一=?+

故答案為：26+2.

【點睛】

本題考查球體的幾何性質(zhì)，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算，屬綜合性困難題.

y,3兀

14.―,—

22

【解析】

根據(jù)/（X）是偶函數(shù)和/（X）的圖象關(guān)于點對稱，即可求出滿足條件的0和。.

【詳解】

由/（X）是偶函數(shù)及。4。＜2兀，可取夕=],

貝!J/（x）=sin[8+=coscox,

由/（x）的圖象關(guān)于點11,0）對稱，得0x1=E+],kwZ,

33

即69=3kH—kwZ,可取co——?

2f2

371

故①，9的一組值可以分別是大，

22

故答案為：：，g.

22

【點睛】

本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.-5

【解析】

數(shù)列｛%｝滿足%=3%知，數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列，再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得叫1%+。7+°9）的值即

可.

【詳解】

數(shù)列｛4｝是以3為公比的等比數(shù)列，

又，+%+。6=9,

%+%=9x33=3"

「.log](a5+%+為)=I*?'=-5

3

故答案為：-5.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列定義，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題.

16屈

lo.----a

3

【解析】

計算正四面體的高，并計算該正四面體的體積，利用等體積法，可得結(jié)果.

【詳解】

作PO_L平面A8C,。為AABC的重心

如圖

73

AD=ABsinZABD=a?sin60——a

2

則AO=—AD=—a，

33

所以PO=^AP--AO-=—a

3

設(shè)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為x

故答案為：旦a

3

【點睛】

本題考查類比推理的應用，還考查等體積法，考驗理解能力以及計算能力，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)(—,0)；(2)Z=—.

e2

【解析】

(1)對/(x)求導，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得.

(2)先根據(jù)尸(不)<0,得馬>二，再根據(jù)零點解得。=-皿-皿，轉(zhuǎn)化不等式得在+(1-勿々,

a%一再irLv2-inXj

令，=~化簡得幾十(1-4)，,因此，>1,/1<(—■；-------)min，。<，。，％)(一■；-----；)皿，最后根據(jù)導

XInZl—tIn/\—tInZ

數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，確定對應函數(shù)最值，即得4取值集合.

【詳解】

(1)/,(x)=4Z+—(x>0),

當〃之0時，./(x)>0對x>0恒成立，與題意不符，

wc￡、(、1cvc+1

當avO,f(x)=a+—=----,

xx

:.0<1<-1時/(%)>0,

即函數(shù)“X)在/—J單調(diào)遞增，在(一>,+81單調(diào)遞減，

：X.0和X-4<?時均有/(X)->-00,

二-：)=-1+1"-5)>0,解得:」<a<0,

綜上可知：a的取值范圍(-J。)

(2)由⑴可知/則玉)>一』(一!<〃<0),

ae

由知三的任意性及尸知，XHO,且2/1,

axx+InX]=0_lnx2-1njq

xx

ax2+lnx2=02~\

故Xo=4%+(1一九)馬>工一：,

lnx2-Inx,

強_]

又..F+O-)強令t=2,

xx

\ln&.l

王

則/>O/N1,且;l+(l—2)f>息>0恒成立，

令8?)=1巾一4+；[九(f>0),而g(l)=0,

二t>i時，gG)>o,o<f<1時，g(r)<o.(*)

(1一肛"/"八2(I)

?，，⑺=1______!_____=_____〔一(二一一:___，

t[2+(l-Z)/]'r[/+(l-2)r]'

22

令"E

若〃<1,貝時，g'(/)<(),即函數(shù)在(〃/)單調(diào)遞減，

??.g(r)>g(l)=O,與(*)不符；

若〃>1,貝口</<〃時，g'")<(),即函數(shù)g(r)在(1,〃)單調(diào)遞減，

.-.^(/)<^(1)=0,與(*)式不符；

若〃=1,解得/l=g,此時g'(r)?O恒成立，(g'(r)=O=f=l),

即函數(shù)g(f)在(0,+e)單調(diào)遞增，又g(l)=(),

.”>1時，g(f)>0；0</<1時,g(f)<0符合(*)式,

綜上，存在唯一實數(shù)2=]符合題意.

2

【點睛】

利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應

的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

n+3n

18.(1)'.(2)a=3x2/i-9.

2

【解析】

(1)根據(jù)題意，建立首項和公差的方程組，通過基本量即可寫出前〃項和；

(2)由(1)中所求，結(jié)合累加法求得力.

【詳解】

ai+2d=4(4+21=4,

⑴由題意可得/、2/、/、即〈二，，

2

(4+44)=(q+4)(6+104)2d=aid.

a,=2

又因為d#0,所以《，，所以a“=〃+L

a-1

_〃(2+〃+1)_n2+3〃

"-2-—2-

(2)由條件及(1)可得優(yōu)=%=3.

由已知得％-勿=3x2"、bn-bnA=3x2"(〃22)

所以％=(d—%)+(2i-%)+???+0-4)+Q

=3(2"+2"T+2"-2+L+22)+3=3x2n+l-9(/z>2).

又4=3滿足上式，

所以2=3x2"+i-9

【點睛】

本題考查等差數(shù)列通項公式和前〃項和的基本量的求解，涉及利用累加法求通項公式，屬綜合基礎(chǔ)題.

22

19.(1)—+^-=1(2)是定值，且定值為2

43

【解析】

3h2

(1)設(shè)出P點坐標并代入橢圓方程，根據(jù)列方程，求得」的值，結(jié)合2c=2求得a力的值，進而求

4a~

得橢圓C的方程.

(2)設(shè)出直線AP,OM的方程，聯(lián)立直線AP的方程和橢圓方程，求得尸點的橫坐標，聯(lián)立直線OM的方程和橢圓

,\AP\-\AQ\-

方程，求得白，由此化簡求得=2為定值.

【詳解】

(1)已知點P在橢圓C：/十記一(a>b>0)上,

22

可設(shè)P(x。，%),即告+普=1，

ab

%%_巾_〃_3

又*AP,^BP-------------------=-----------=——=—

x0+axa-ciXQ—crci~4

X22

且2c=2,可得橢圓C的方程為二+二v=1.

43

(2)設(shè)直線AP的方程為：y=k(x+2),則直線OM的方程為丫=丘.

聯(lián)立直線AP與橢圓C的方程可得：(3+422)V+]6k2x+16r-12=0,

l+tC-pri-ZS6-8tc

由4=2可得x.=w

聯(lián)立直線QW與橢圓C的方程可得：(3+4公)/_12=0,即可：=不7,

J十^rK

gn\AP\-\AQ\_\xp-xA\]xQ-xA\_\Xp+2[\0+2\_

即KT二一V一二二2.

即唱肅型為定值，且定值為2.

【點睛】

本小題主要考查本小題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問題的求解，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查

運算求解能力，屬于中檔題.

9

20.(1)列聯(lián)表見解析，有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān)，理由見解析；(2)—.

【解析】

(1)結(jié)合題意完善列聯(lián)表，計算出K2的觀測值，對照臨界值表可得出結(jié)論;

(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為A、B,其余三人分別為。、〃、c,利用列舉法列舉

出所有的基本事件，并確定事件“所選的3人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的

概率公式可取得所求事件的概率.

【詳解】

3

（1）由于在全部50人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為《，所以5（）人中患心肺疾病的人數(shù)為3（）人，故

可將列聯(lián)表補充如下：

患心肺疾病不患心肺疾病合計

男20525

女101525

合計3()2050

,50x(20x15—5x10)225

K2=——----------------L=—?8.333>7.879?

25x25x30x203

故有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān)；

（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為A、B,其余三人分別為。、b.c.從中選取三人共

有以下1（）種情形：

（A,8,a）、（AB,。）、（AB,c）、（A,。,萬）、（A。,。）、（Ab,c）、（B,a⑼、（B,a,c）、、（a,b,c）.

其中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的有9種情形，分別為：（A,B,a）、（A,氏。）、（A,8,c）、（4,。力）、（A。,。）、

（A）,c）、、（民。,。）、（B,b,c）,

所以所選的3人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率為尸=5.

【點睛】

本題考查利用獨立性檢驗的基本思想解決實際問題，同時也考查了利用列舉法求解古典概型的概率問題，考查計算能

力，屬于中等題.

21.（1）/（x）在區(qū)間（0,+e）單調(diào)遞增；（2）x0=l,a=l；（3）證明見解析.

【解析】

⑴求出尸（X）,在定義域內(nèi)，再次求導，可得在區(qū)間（0,+8）上/（力之0恒成立,從而可得結(jié)論；⑵由g'（x）=0,

可得x；—2xolnxo—a=0,由g（毛）=2可得只—Xo（lnxo）2—2xo+a=0,聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；（3）由（1）知

=f_2xlnx在區(qū)間（0,+紇）單調(diào)遞增，可證明五一，=〉lnx,取1=竺土與匹乂*,可得

yjx2k—1

住包一2^^〉］+_而筐工—J隼二=—=,利用裂項相消法，結(jié)合放縮法可得

\2/c-lV2TH\2k-l\2k+l何—1

結(jié)果.

【詳解】

(1)由已知可得函數(shù)/(X)的定義域為(0,+8),且/'(x)=2x—21nx—2,

令/z(x)=/〈x),則有九'(x)=2("1),由力(尤)=0,可得x=l,

可知當x變化時，的變化情況如下表:

X(0,1)1(1.+OO)

"(X)-0+

〃(%)極小值

.?./z(x)>/i(l)=O,Bp/'(x)>0,可得〃x)在區(qū)間(0,+紇)單調(diào)遞增;

C1

(2)由已知可得函數(shù)g(x)的定義域為(0,+紇)，且g(x)=l卡-―首，

由已知得g'(x)=0,即日一2%oln%o-u=O,①

2

由g(x())=2可得，(inx0)-2x0+?=0,②

聯(lián)立①②，消去〃，可得2/-(in/)?-Zin/-2=0,③

人、-八、,…八…-21nx22(x—Inx-1)

令f(x)=2x-(lnx)~-21nx-2,貝!Jf(x)=2---------=------------,

xxx

由(1)知，x-lnx-l>0,故"力“，.?.《》)在區(qū)間(0,+e)單調(diào)遞增,

注意到，(1