2020年甘肅省天水市中考數(shù)學試卷 （解析版）

2020年甘肅省天水市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（共10小題）.

1.下列四個實數(shù)中，是負數(shù)的是（）

A.-（-3）B.（-2）2C.|-4|D.

2.天水市某網(wǎng)店2020年父親節(jié)這天的營業(yè)額為341000元，將數(shù)341000用科學記數(shù)法表

示為（）

A.3.41X10sB.3.41X106C.341X103D.0.341X106

3.某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種表面展開圖，那么在原正方體中，

與“伏”字所在面相對面上的漢字是（）

A.文B.<C.弘D.化

4.某小組8名學生的中考體育分數(shù)如下：39,42,44,40,42,43,40,42.該組數(shù)據(jù)的

眾數(shù)、中位數(shù)分別為（）

A.40,42B.42,43C.42,42D.42,41

5.如圖所示，PA.尸5分別與。0相切于A、8兩點，點C為。。上一點，連接AC、BC,

若NP=70°,則NAC8的度數(shù)為（）

A.50°B.55°C.60°D,65°

6.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

7.若函數(shù)了=。必+加汁<;（aHO）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=ar+方和y=￡在同一平面直角

坐標系中的圖象大致是（）

8.如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿5E測量建筑物的高度，已知標桿5E高1.5m,

測得A8=1.2/n,BC=12.8m,則建筑物CD的高是（）

□

□

□

A.17.5mB.17ntC.16.5/nD.18m

9,若關于x的不等式3x+a這2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）

A.-7<a<-4B.-7WaW-4C.-74V-4D.-7<a4-4

10.觀察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已知按一定規(guī)律排列

的一組數(shù)：21°°,2101,2102,2'",22。。，若2i°°=S,用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的

和是（）

A.2S2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-2S-2

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分.只要求填寫最后結(jié)果）

11.分解因式：m3n-mn=.

12.一個三角形的兩邊長分別為2和5,第三邊長是方程7-8x+12=0的根，則該三角形

的周長為.

13.已知函數(shù)7=運2,則自變量X的取值范圍是

x-3

14.已知a+2。=-^,3a+4/>=里"，則a+b的值為

33_

15.如圖所示，NAOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sinNAOB的值是

16.如圖所示，若用半徑為8,圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），

則這個圓錐的底面半徑是.

17.如圖，將正方形OEPG放在平面直角坐標系中，。是坐標原點，點E的坐標為（2,3）,

則點尸的坐標為.

18.如圖，在邊長為6的正方形A3CZ）內(nèi)作NEAF=45。，AE交8c于點E,4F交

于點尸，連接EF,將尸繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A8G.若。F=3,則8E的

三、解答題（本大題共3小題，共28分.解答時寫出必要的文字說明及演算過程）

19.(1)計算：4sin60°-|A/3-21+2020°-^124-(1)

(2)先化簡，再求值:1a-l.a-1,其中

a~la2+2a+la+1

20.為了解天水市民對全市創(chuàng)建全國文明城市工作的滿意程度，某中學數(shù)學興趣小組在某

個小區(qū)內(nèi)進行了調(diào)查統(tǒng)計.將調(diào)查結(jié)果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、

整理好全部問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計圖.

滿意

請結(jié)合圖中的信息，解決下列問題：

(1)此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為人；

(2)請你補全條形統(tǒng)計圖；

(3)扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分的圓心角為度；

(4)該興趣小組準備從調(diào)查結(jié)果為“不滿意”的4位市民中隨機選擇2位進行回訪，已

知這4位市民中有2位男性，2位女性.請用畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一

男一女”的概率.

21.如圖所示，一次函數(shù)(，”手0)的圖象與反比例函數(shù)(A=#0)的圖象交

X

于第二、四象限的點A(-2,a)和點、B(b,-1),過4點作x軸的垂線，垂足為點

C,ZiAOC的面積為4.

(1)分別求出a和》的值；

(2)結(jié)合圖象直接寫出，"x+“＞上'中x的取值范圍；

x

(3)在y軸上取點P,使P3-尸4取得最大值時，求出點尸的坐標.

四、解答題（本大題共50分，解答時寫出必要的演算步驟及推理過程）

22.為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理.如圖所

示，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時40海里的速度向正東方向航行，在A處測得

燈塔尸在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達8處，此時測得燈塔尸在北偏東

45°方向上.

（1）求N4PB的度數(shù)；

（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

（參考數(shù)據(jù)：&=1.414,百=1.732）

23.如圖，在△A8C中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于點、D,點、。在AB上,以點

。為圓心，04為半徑的圓恰好經(jīng)過點O,分別交AC、A3于點E、F.

（1）試判斷直線BC與。0的位置關系，并說明理由；

（2）若80=2愿，AB=6,求陰影部分的面積（結(jié)果保留TT）.

如圖（1）,在等腰三角形ABC中，ZACB=120°,則底邊AB與腰AC的長度之比

為.

理解運用

(1)若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+2百，則它的面積為;

(2)如圖(2),在四邊形中，EF=EG=EH,在邊FG,G/7上分別取中點M,

N,連接MN.若NbGH=120°,E尸=20,求線段MN的長.

類比拓展

頂角為2a的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為.(用含a的式子表示)

C

圖(1)圖(2)

25.天水市某商店準備購進4、5兩種商品，4種商品每件的進價比B種商品每件的進價

多20元，用2000元購進4種商品和用1200元購進8種商品的數(shù)量相同.商店將A種

商品每件的售價定為80元，3種商品每件的售價定為45元.

(1)A種商品每件的進價和5種商品每件的進價各是多少元？

(2)商店計劃用不超過1560元的資金購進4、8兩種商品共40件，其中A種商品的數(shù)

量不低于B種商品數(shù)量的一半，該商店有幾種進貨方案？

(3)“五一”期間，商店開展優(yōu)惠促銷活動，決定對每件A種商品售價優(yōu)惠,“(10V”?

<20)元，8種商品售價不變，在(2)的條件下，請設計出m的不同取值范圍內(nèi)，銷

售這40件商品獲得總利潤最大的進貨方案.

26.如圖所示，拋物線了=0^+加什,(a#:0)與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,且

點A的坐標為A(-2,0),點C的坐標為C(0,6),對稱軸為直線x=l.點。是

拋物線上一個動點，設點。的橫坐標為m(l</n<4),連接AC,BC,DC,DB.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當?shù)拿娣e等于△40C的面積的金■時，求機的值；

4

(3)在(2)的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否

存在這樣的點M,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，請

直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題(本大題共1()小題，每小題4分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是正確的，請把正確的選項選出來)

1.下列四個實數(shù)中，是負數(shù)的是()

A.-(-3)B.(-2)2C.|-4|D.一灰

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義、乘方的定義、絕對值的性質(zhì)及負數(shù)和正數(shù)的概念判斷可得.

解：A.-(-3)=3,是正數(shù)，不符合題意；

B.(-2)2=4,是正數(shù)，不符合題意；

C.|-4|=4,是正數(shù)，不符合題意；

D.-灰是負數(shù)，符合題意；

故選：D.

2.天水市某網(wǎng)店2020年父親節(jié)這天的營業(yè)額為341000元，將數(shù)341000用科學記數(shù)法表

示為()

A.3.41X105B.3.41X106C.341X103D.0.341X106

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aXIO"的形式，其中1WI0V1O,"為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)

相同.當原數(shù)絕對值＞10時，”是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，”是負數(shù).

解：341000=3.41X105,

故選：A.

3.某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種表面展開圖，那么在原正方體中，

與“伏”字所在面相對面上的漢字是()

A.文B.羲C.弘D.化

【分析】根據(jù)正方體的展開圖的特點，得出相對的面，進而得出答案.

解：根據(jù)正方體表面展開圖可知，“相間、Z端是對面”，因此“伏與化”相對，“弘

與文”相對，“揚與羲”相對，

故選：D.

4.某小組8名學生的中考體育分數(shù)如下：39,42,44,40,42,43,40,42.該組數(shù)據(jù)的

眾數(shù)、中位數(shù)分別為（）

A.40,42B.42,43C.42,42D,42,41

【分析】先將數(shù)據(jù)按照從小到大重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得.

解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為39,40,40,42,42,42,43,44,

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為42,中位數(shù)為絲;共=42,

故選：C.

5.如圖所示，PA.尸3分別與相切于A、B兩點，點C為。。上一點，連接AC、BC,

若NP=70°,則NAC8的度數(shù)為（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【分析】連接04、OB,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得。4-LPA,OB1.PB,則利用四邊形內(nèi)

角和計算出NA05=UO°,然后根據(jù)圓周角定理得到NAC5的度數(shù).

解：連接04、OB,如圖，

\,尸A、尸8分別與。0相切于4、B兩點、,

J.OAA.PA,OBA.PB,

：.ZOAP=ZOBP=90a,

：.ZAOB+ZP=180°,

VZP=70°,

AZA6>B=110°,

/.ZACB=—ZAOB=55°.

2

故選：B.

6.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

［分析］根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

解：4、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

3、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：C.

7.若函數(shù)7=4好+"+<:（。手0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=ax+b和y=￡■在同一平面直角

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上可知對稱軸在y軸的右側(cè)可知5V0,再

由函數(shù)圖象交y軸的正坐標可知c>0,利用排除法即可得出正確答案.

解：?由函數(shù)圖象交y軸的正坐標可知c>0,

...反比例函數(shù),=工的圖象必在一、三象限，故C、。錯誤；

X

:據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上可知。>0,對稱軸在y軸的右側(cè)，Z><0,

.?.函數(shù)？="*+6的圖象經(jīng)過一三四象限，故A錯誤，B正確.

故選：B.

8.如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.5m,

測得AB=L2?i,BC=12.8m,則建筑物CD的高是（）

□

□

□

A.17.5mB.17mC.16.5mD.18m

【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計算出的長，從而可以解答本題.

解：'：EB±AC,DCA.AC,

：.EB//DC,

.,.△ABE<?AACD,

.ABBE

,?而F，

BE=1.5m,AB=1.2m,BC=12.8m,

：.AC=AB+BC=14m,

.1.2_1.5

??H=DC，

解得，DC=17.5,

即建筑物CD的高是17.5m,

故選:A.

9.若關于x的不等式3x+a這2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）

A.-7<a<-4B.-74W-4C.-7WaV-4D.-7<aW-4

【分析】先解不等式得出xW空，根據(jù)不等式只有2個正整數(shù)解知其正整數(shù)解為1和2,

據(jù)此得出2W當■V3,解之可得答案.

3

解：?.?3x+〃W2,

.?.3xW2-a9

則丫在芋，

:不等式只有2個正整數(shù)解，

不等式的正整數(shù)解為1、2,

則2W2^V3,

3

解得：-7VaW-4,

故選：D.

10.觀察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已知按一定規(guī)律排列

的一組數(shù)：2i°°,2101,2血，…，2"9,22。。，若少。。=5,用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的

和是()

A.2S2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-IS-2

【分析】根據(jù)已知條件和21°°=S,將按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：21°°,2'01,2102,…，

2199,22。。，求和，即可用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和.

解：T2WS,

.?.2|00+2|01+2|02+—+2199+2200

=S+2S+22S+-+2"S+2UM,S

=S(1+2+22+-+2"+2100)

=S(1+2I00-2+21,M,)

=S(2S-1)

=2S2-S.

故選：A.

二、填空題(本大題共8小題，每小題4分，共32分.只要求填寫最后結(jié)果)

11.分解因式：m3n-mn=nm(雁-1)(>n+l).

【分析】先提出公因式析明再利用平方差公式即可解答.

解：m^n-mn=mn(.m2-1)—mn.(.m-1)(/n+1),

故答案為：inn(.in-1")(m+1).

12.一個三角形的兩邊長分別為2和5,第三邊長是方程x2-8x+12=0的根，則該三角形

的周長為13.

【分析】先利用因式分解法解方程*2-8X+12=0,然后根據(jù)三角形的三邊關系得出第三

邊的長，則該三角形的周長可求.

解：Vx2-8x+12=0,

二(x-2)(x-6)=0,

,*.xi=2,X2=6,

?.?三角形的兩邊長分別為2和5,第三邊長是方程x2-8x+12=0的根，2+2V5,2+5>6,

三角形的第三邊長是6,

,該三角形的周長為：2+5+6=13.

故答案為:13.

13.已知函數(shù)y=2/運，則自變量x的取值范圍是上》-2且工手3.

x-3

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于或等于0,分母不等于0,可以求出X的范圍.

解：根據(jù)題意得：x+220且x-3手0,

解得：工2-2且工#=3.

故答案為：工》-2且工手3.

14.已知。+2/>=也*,3a+4Z>=-^-,則a+b的值為1.

33-------

【分析】用方程3a+4占=羋?減去。+2〃=當，即可得出2a+26=2,進而得出a+b=l.

OO

解：a+2b=,3a+4b=

②-①得2a+2b=2f

解得a+b=l.

故答案為：1.

15.如圖所示，NAOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sinNAOB的值是

【分析】如圖，連接AB.證明△Q45是等腰直角三角形即可解決問題.

解：如圖，連接A3.

\'OA=AB=y]~^,0B=2娓,

：.OB2=OA2+AB2,

：.ZOAB=90°,

二△408是等腰直角三角形，

，N408=45°,

如

:.sinZA0B=——,

2

故答案為返.

2

16.如圖所示，若用半徑為8,圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），

則這個圓錐的底面半徑是—.

-3-

【分析】根據(jù)半徑為8,圓心角為120°的扇形弧長，等于圓錐的底面周長，列方程求解

即可.

解：設圓錐的底面半徑為r,

上期喜徨

由題意得，-1-2-0—71——X8=2,nr,

loU

解得，r=*

故答案為：—.

3

17.如圖，將正方形OE/G放在平面直角坐標系中，。是坐標原點，點E的坐標為（2,3）,

則點尸的坐標為（-1,5）

【分析】結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可以求得點G的坐標，再由正方形的中心對稱的性質(zhì)求

得點尸的坐標.

解：如圖，過點E作x軸的垂線垂足為//.過點G作x軸的垂線GM,垂足為M,

連接GE、尸。交于點0'.

V四邊形0EFG是正方形,

：.0G=E0,NGOM=NOEH,ZOGM=ZEOH,

在△0GM與△E0H中，

，ZOGM=ZEOH

"OG=EO

,ZGOM=ZOEH

:AOGM沿AEOH(ASA)

0M=EH=3,

：.G(-3,2).

,點戶與點O關于點O'對稱,

點尸的坐標為(-1,5).

故答案是：(-1,5).

18.如圖，在邊長為6的正方形A5Q9內(nèi)作NEAF=45°,AE交3c于點E,AF交Q9

于點尸，連接EF,將△4。尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.若。產(chǎn)=3,則5E的

長為2.

D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△40尸義△ABG,然后即可得到。尸=8G,NZMf=N

BAG,然后根據(jù)題目中的條件，可以得到△EAGg尸，再根據(jù)。尸=3,48=6和勾

股定理，可以得到OE的長，本題得以解決.

解：由題意可得，

△ADF^AABG,

：.DF=BG,ZDAF=ZBAG,

VZDAB=90°,ZEAF=45°,

AZDAF+ZEAB=45°,

：.ZBAG+ZEAB=45°,

；.NEAF=ZEAG,

在4G和尸中，

'AG=AF

?ZEAG=ZEAF,

,AE=AE

/.△EAG^AEAF(SAS),

：.GE=FE,

設8E=x,則G￡=8G+8E=3+x,CE=6-x,

J.EF=3+x,

'：CD=6,DF=3,

:.CF=3,

VZC=90°,

(6-x)2+32=(3+x)2,

解得，x=2,

即CE=2,

故答案為：2.

D

三、解答題（本大題共3小題，共28分.解答時寫出必要的文字說明及演算過程）

中

19.(1)計算：4sin60°-173-21+2020°-71^-

（2）先化簡，再求值:

學W+*其中5

【分析】（1）先代入三角函數(shù)值、去絕對值符號、計算零指數(shù)蒸、化簡二次根式、計算

負整數(shù)指數(shù)幕，再計算乘法、去括號，最后計算加減可得；

（2）先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將“的值代入計算可得.

解：（1）原式=4X苧-（2-百）+1-2揚4

=2愿-2+揚1-2歷4

=3+百；

aT..a+1

(2)原式="

a-l(a+1產(chǎn)a-1

_____

a-1a+1

a+1a-1

(a+1)(a-1)(a+1)(a-1)

2

(a+1)(a-1)

2

=21，

a-1

當"=時，

2

原式=而可

_2

3-1

2_

=2

=1.

20.為了解天水市民對全市創(chuàng)速全國文明城市工作的滿意程度，某中學數(shù)學興趣小組在某

個小區(qū)內(nèi)進行了調(diào)查統(tǒng)計.將調(diào)查結(jié)果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、

整理好全部問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計圖.

不滿意

滿意程度

請結(jié)合圖中的信息，解決下列問題：

（1）此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為50人:

（2）請你補全條形統(tǒng)計圖；

（3）扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分的圓心角為144度:

（4）該興趣小組準備從調(diào)查結(jié)果為“不滿意”的4位市民中隨機選擇2位進行回訪，已

知這4位市民中有2位男性，2位女性.請用畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一

男一女”的概率.

【分析】（D由非常滿意的有18人，占36%,即可求得此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)；

（2）用總?cè)藬?shù)減去其他滿意程度的人數(shù)，求出滿意的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；

（3）用360°乘以滿意的人數(shù)所占的百分比即可得出答案；

（4）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選擇回訪市民為

“一男一女”的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1））..,非常滿意的有18人，占36%,

...此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)：18?36%=50（人）；

故答案為：50;

（2）此次調(diào)查中結(jié)果為滿意的人數(shù)為：50-4-8-18=20（人）；

on

(3)扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分的圓心角為：360°XWB=144°;

50

故答案為：144°;

(4)畫樹狀圖得:

?.,共有12種等可能的結(jié)果，選擇回訪市民為“一男一女”的有8種情況，

，選擇回訪的市民為“一男一女”的概率為：—.

123

21.如圖所示，一次函數(shù)y=mx+n(m#=0)的圖象與反比例函數(shù)y=—(k*0)的圖象交

X

于第二、四象限的點A(-2,a)和點6(d-1),過A點作x軸的垂線，垂足為點

C,ZUOC的面積為4?

(1)分別求出〃和〃的值；

(2)結(jié)合圖象直接寫出，〃x+”>K中x的取值范圍；

x

(3)在y軸上取點P,使尸5-PA取得最大值時，求出點尸的坐標.

【分析】(1)根據(jù)△AOC的面積為4和反比例函數(shù)圖象的位置，可以確定々的值，進

而確定反比例函數(shù)的關系式，代入可求出點A、5的坐標，求出“、》的值；

(2)根據(jù)圖象直接寫出mx+">K的解集；

x

(3)求出點A(-2,4)關于y軸的對稱點4'(2,4),根據(jù)題意直線4'8與y軸

的交點即為所求的點P,求出直線4'8的關系式，進而求出與y軸的交點坐標即可.

解：(1)???△AOC的面積為4,

.?.刎=4,

解得，k=-8,或4=8(不符合題意舍去)，

...反比例函數(shù)的關系式為y=-呈，

X

把點A(-2,。)和點、B(b,-1)代入y=一旦得，

X

。=4,b=8;

答：a=4,b=8;

(2)根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可知，不等式的解集為xV-2或0V

x

x<8;

(3);點A(-2,4)關于y軸的對稱點(2,4),

又5(8,-1),則直線A'〃與y軸的交點即為所求的點P,

設直線A，B的關系式為y=cx+d,

l七f2c+d=4

則1n有《,

[8c+d=_l

直線A'8的關系式為7=一2:+工工，

63

.,.直線7=-三+士-與y軸的交點坐標為(0,2工)，

633

即點尸的坐標為(0,與).

四、解答題(本大題共50分，解答時寫出必要的演算步驟及推理過程)

22.為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理.如圖所

示，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時40海里的速度向正東方向航行，在4處測得

燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達8處，此時測得燈塔尸在北偏東

45°方向上.

(1)求NAP8的度數(shù)；

(2)已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

(參考數(shù)據(jù)：、歷%1.414,后”.732)

【分析】⑴由題意得，NPAB=30°,ZAPB=135°由三角形內(nèi)角和定理即可得出

答案；

(2)作尸于則△P5”是等腰直角三角形，BH=PH,設海里,

求出43=20海里，在RtZkAP”中，由三角函數(shù)定義得出方程，解方程即可.

解：(1)由題意得，ZPAB=900-60°=30°,ZAPB=900+45°=135°,

：.ZAPB=180°-ZPAB-ZAPB=180°-30°-135°=15°;

(2)作PH_LA5于"，如圖：

則4PBH是等腰直角三角形，

：.BH=PH,

設8H=尸”=x海里，

由題意得：A8=40X*=20(海里)，

在RtZkAP”中，tanNPA8=tan30°=里=返，

AH3

即―~—=2^1.

r20+x3,

解得：x=10j》10=27.32>25,且符合題意，

海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全.

23.如圖，在△ABC中，NC=90°,AD平分NBAC交BC于點、D,春。在AB上,以點

。為圓心，04為半徑的圓恰好經(jīng)過點，分別交4C、A3于點E、F.

(1)試判斷直線BC與。0的位置關系，并說明理由；

（2）若50=2百，48=6,求陰影部分的面積（結(jié)果保留n）.

【分析】（1）連接。。，求出0Z）〃AC,求出0O_L8C,根據(jù)切線的判定得出即可；

（2）根據(jù)勾股定理求出0D=2,求出0B=4,得出N5=30°,再分別求出△005和

扇形。。廠的面積即可.

【解答】（1）證明：連接0,如圖：

"：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

平分NC45,

：.ZOAD=ZCAD,

：.ZCAD=ZODA,

：.AC//OD,

AZODB=ZC=90",

即BC±OD,

又為。。的半徑，

直線3c是。0的切線；

（2）解：設0A=0〃=r,則。B=6-r,

在RtZkOOB中，由勾股定理得：OD1+BI）1=OB2,

”+（2百）2=（6-r）2,

解得：r=2,

；.0B=4,

22=22=2

：?OD=V0B-BD74-（273）'

：.OD=^OB,

AZB=30°,

,NO03=18()°-ZB-ZODB=6Q",

陰影部分的面積S=S^ODB~SJ"§X2-.6。三52_=2，§-■―.

2T3603

如圖（1）,在等腰三角形A8C中，ZACB=m）°,則底邊AB與腰AC的長度之比為

理解運用

（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+2料，則它的面積為

（2）如圖（2）,在四邊形EFGH中，EF=EG=EH,在邊尸G,GH上分別取中點M,

N,連接MN.若NfG"=120°,EF=20,求線段MN的長.

類比拓展

頂角為2a的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為2sina:l.（用含a的式子表示）

【分析】性質(zhì)探究：如圖1中，過點C作COJLA8于Z）.解直角三角形求出A8（用AC

表示）即可解決問題.

理解運用：①利用性質(zhì)探究中的結(jié)論，設6=（78=,",則AB=揚?，構(gòu)建方程求出機

即可解決問題.

②如圖2中，連接尸”.求出尸”，利用三角形中位線定理解決問題即可.

類比拓展：利用等腰三角形的性質(zhì)求出AB與AC的關系即可.

解：性質(zhì)探究：如圖1中，過點C作CD_LA5于。.

圖⑴

,:CA=CB,ZACB=120°,CD±AB,

NA=N8=30°,AD=BD,

：.AB=2AD=2AC-cos30°=A/^4C,

：.AB:AC=M：1.

故答案為愿：1.

理解運用：（1）設C4=C5=機，則45=百%

由題意2m+6n=4+2代

:?m=2,

：.AC=CB=2,AB=20

：.AD=DB=-/j>CD=AC-sin30°=1,

:.SAA8C=AB?CD=M.

故答案為愿.

（2）如圖2中，連接/

圖（2）

VZFGH=120°,EF=EG=EH,

：.ZEFG=ZEGF,NEHG=NEGH,

:.NEFG+2EHG=NEGF+ZEGH=ZFGH=120°,

VZFEH+ZEFG+ZEHG+ZFGH=36Q°,

AZFEH=360°-120°-120°=120°,

?：EF=EH,

???△E尸〃是頂角為120°的等腰三角形，

工FH=0PF=2OM，

*：FM=MG.GN=GH,

，MN=/"=10愿.

類比拓展：如圖1中，過點C作C0JLA5于O.

圖(1)

YCA=CB,ZACB=2a,CD±AB,

AZA=ZB=30",AD=BD,ZACD=ZBCD=a

：.AB=2AD=2AC*sina

：.AB:AC=2sina:1.

故答案為2sina:1.

25.天水市某商店準備購進A、5兩種商品，A種商品每件的進價比B種商品每件的進價

多20元，用2000元購進4種商品和用1200元購進8種商品的數(shù)量相同.商店將4種

商品每件的售價定為80元，3種商品每件的售價定為45元.

(1)A種商品每件的進價和5種商品每件的進價各是多少元？

(2)商店計劃用不超過1560元的資金購進A、8兩種商品共40件，其中4種商品的數(shù)

量不低于8種商品數(shù)量的一半，該商店有幾種進貨方案？

(3)“五一”期間，商店開展優(yōu)惠促銷活動，決定對每件A種商品售價優(yōu)惠，"(10V"?

<20)元，5種商品售價不變，在(2)的條件下，請設計出m的不同取值范圍內(nèi)，銷

售這40件商品獲得總利泗最大的進貨方案.

【分析】(1)設A種商品每件的進價是x元，根據(jù)用2000元購進A種商品和用1200

元購進8種商品的數(shù)量相同，列分式方程，解出可得結(jié)論；

(2)設購買A種商品。件，根據(jù)用不超過1560元的資金購進A、8兩種商品共40件，

A種商品的數(shù)量不低于8種商品數(shù)量的一半，列不等式組，解出取正整數(shù)可得結(jié)論；

(3)設銷售A、8兩種商品共獲利y元，根據(jù)y=A商品的利潤+8商品的利潤，根據(jù)機

的值及一次函數(shù)的增減性可得結(jié)論.

解：(1)設4種商品每件的進價是x元，則5種商品每件的進價是(x-20)元，

由題意得：^^-=1200,

xx-20

解得：x=50,

經(jīng)檢驗，x=50是原方程的解，且符合題意,

50-20=30,

答：A種商品每件的進價是50元，5種商品每件的進價是30元；

(2)設購買A種商品a件，則購買6商品(40-a)件，

'50a+30(40-a)<156C

由題意得：\.1、，

a>^-(40-a)

解得當〈a<18,

,：a為正整數(shù)，

.,.<1=14、15、16、17、18,

...商店共有5種進貨方案；

(3)設銷售A、8兩種商品共獲利y元，

由題意得：y=(80-50-in)a+(45-30)(40-a)=(15-/n)a+600,

①當10V/?V15時，15-膽>0,y隨。的增大而增大，

，當a=18時，獲利最大，即買18件A商品，22件8商品，

②當m=15時，15-m=0,

y與a的值無關，即(2)問中所有進貨方案獲利相同，

③當15V，"V20時，15-mVO,y隨。的增大而減小，

...當a=14時，獲利最大，即買14件A商品，26件5商品.

26.如圖所示，拋物線y=ax2+8x+c(a#：0)與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,且

點A的坐標為A(-2,0),點C的坐標為C(0,6),對稱軸為直線x=l.點。是

拋物線上一個動點，設點。的橫坐標為m(l<m<4),連接AC,BC,DC,DB.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當△8C。的面積等于△AOC的面積的工?時，求機的值；

4

(3)在(2)的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否

存在這樣的點M,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，請

直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）由題意得出方程組，解方程組即可;

（2）過點。作。E_Lx軸于E,交8c于G,過點C作交E￡＞的延長線于死

求出點5的坐標為（4,0）,由待定系數(shù)法求出直線8c的函數(shù)表達式為丫=一手+6,

則點。的坐標為（m,--1-/n2+-^n+6），點G的坐標為（m,-去〃+6）,求出SABCD

9Q

=—-/w^+6/w=—,解方程即可；

22

（3）求出點。的坐標為（3,—）,分三種情況，①當OB為對角線時，證出ON〃x

4

軸，則點。與點N關于直線x=l對稱，得出N（-l,2殳）求出8Af=4,即可得出答

4

案；

②當OM為對角線時，由①得N（-l,—）,DN=4,由平行四邊形的性質(zhì)得出ON

4

=BM=4,進而得出答案;

___1R____

③當ON為對角