2020-2021學年廣東省江門市高一（下）期末數(shù)學試卷（解析版）

2020-2021學年廣東省江門市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復數(shù)z=4+3i（其中z?為數(shù)單位），則z在復平面上對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

TT

2.下列四個函數(shù)中，在定義域內(nèi)是偶函數(shù)且在區(qū)間（白，兀）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=|sinx|B.y=cosxC.y=|tanx|D.y=cos2x

3.為了更好了解高中學生的身高發(fā)情況，現(xiàn)抽取某中學高一年級的學生作為樣木，其中某

班的24位男生身高由低到高排序情況如下：164.0,165.0,165.0,166.0,167.0,168.0,

168.0,169.0,170.0,170.0,171.0,171.0,172.0,172.0,172.0,173.0,174.0,175.0,

175.0,176.0,176.0,177.0,177.0,178.0（單位：cm）,則這24個數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾

數(shù)，以及預估該班男生的第30百分位數(shù)為（）

A.171、170、168.5B.171、170、169

C.171.5、172、169D.172、172、169

4.下列命題中，錯誤的是（）

A.平行于同一條直線的兩條直線平行

B.已知直線:"垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線，則直線機垂直于平面a

C.已知直線相〃平面a,直線“ua,則直線相〃”

D.已知，〃為直線，a、0為平面，若且則尊_1_0

5.經(jīng)過科學的研究論證，人類的四種血型與基因類型的對應為：。型的基因類型為it,A

型的基因類型為出或aa，B型的基因類型為方或防，AB型的基因類型為漏，其中a、

b是顯性基因，，是隱性基因.若一對夫妻的血型一個A型，基因類型為am一個2型，

基因類型為瓦；則他們的子女的血型為（）

A.。型或A型B.A型或B型C.8型或型D.A型或型

6.在AABC中，為BC邊上的中線，E為AQ的中點，若旗=入標+口而則入+日=（）

A.——B.—C.—D.1

424

7.在棱長為。的正方體ABCO-4BCQ1中，E為441的中點，則過B、G、E三點的平面

截正方體ABCD-AjBiCiA所得的截面面積為（）

3&2

,丁&

8.高一年級某同學為了豐富自己的課外活動，參加了學?！拔膶W社”“詠春社”“音樂社”

三個社團的選拔，該同學能否成功進入這三個社團是相互獨立.假設該同學能夠進入“文

學社”“詠春社”“音樂社”三個社團的概率分別為“、仇3,該同學可以進入兩個社

團的概率為高，且三個社團都進不了的概率為之，則必=（）

51U

A.—B.—C.—D.—

2010155

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分。

9.下列敘述中，正確的是（）

A.某班有40名學生，若采用簡單隨機抽樣從中抽取4人代表木班參加社區(qū)活動，那么

學號為04的學生被抽到的可能性為40%

B.某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，采用分層抽樣的方法從該

校四個年級的科生中抽取一個容量為500的樣木進行調(diào)查.已知該校一、二、三、四年級木

科生人數(shù)之比為8：5：4：k,若從四年級中抽取75名學生，則上=3

C.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，得到四組數(shù)據(jù)，若某組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)為2,方差為2.4,則這組數(shù)據(jù)一定沒有出現(xiàn)6

D.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,4,x,7,8（其中xW7）,若該組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)是眾數(shù)嗚倍，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6

10.已知函數(shù)/（x）—sin（2x+-^-）+cos（2x-^）+a的最大值為1，則（）

A.a=-1

B.（-至-，0）是函數(shù)/（x）的對稱中心

c./（X）在區(qū)間［二，二］上單調(diào)遞減

62

D./（X）20成立的X的集合為［k兀，k兀（住Z）

11.如圖，矩形ABC。中，4B=2AD,E是邊4B的中點，將△ADE沿直線OE翻折成△4OE

（點4不落在底面內(nèi)），連接42、AiC.若M為線段4C的中點，則在△ADE

的翻折過程中，以下結(jié)論正確的是（）

1

AEB

A.〃平面AiOE1恒成立

B.V三棱錐A-A：DE：V四棱錐A「氏DE=1：3

C.存在某個位置，使DELAiC

D.線段2M的長為定值

12.已知△O4B的頂點坐標為O(0,0)、A(2,9)、B(6,-3),點P的橫坐標為14,

且。、B、尸三點共線，點。是邊上一點，且5?樂=0，R為線段。。上的一個動

點，則()

A.點P的縱坐標為-5

B.向量示在向量而上的投影向量為-3■而

=2

c.ABAQ

D.而?曲的最大值為1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若復數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則復數(shù)z=.

14.已知向量Z、芯滿足|胃=3,|%=4,二E的夾角為60。，則.

15.古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，如圖所示，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個

球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們

來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)吧！記圓柱的體積和表面積分別為0、S,球的體積和表面積分別

,%s2

為丫2、$2,則不一XT；—=_____.

V2S1

16.隨著經(jīng)濟發(fā)展，江門市居住環(huán)境進一步改善，市民休閑活動的公園越來越多，其中，最

新打造的網(wǎng)紅公園有兒童公園、湖連潮頭中央公園、下沙公園.某個節(jié)假日，甲、乙、

丙、丁四組家庭到這個網(wǎng)紅公園打卡，通過訪問和意向篩查，最后將這四組家庭的意向

匯總?cè)缦?

公園兒童公園湖連潮頭中央公園下沙公園

有意向的家族組甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁

若每組家庭只能從已登記的選擇意向中隨機選取一項，且每個公園至多有兩組家庭選擇,

則甲、乙兩組家庭選擇同一個公園打卡的概率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.夏天是用電的高峰期，為了既滿足居民基本用電需求，又提高能源利用效率，某市統(tǒng)計

局調(diào)查了200戶居民去年一年的月均用電量(單位:/7),發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在34KW

./z至474KW4之間，適當分組后，畫出頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求機的值；并求被調(diào)查用戶中，用電量在［200,350)(W-/1)的戶數(shù)；

(2)為了更合理地滿足居民們基本用電需求，增強市民的環(huán)保意識，市政府計劃采用階

梯定價，希望使75%的居民繳費在第一檔，使90%的居民繳費在第二檔，請給出居民繳

費位于第二檔月平均用電量標準的范圍(單位：kw-h).

18.已知函數(shù)/(x)=cos4j;-sin4x,g(無)是由尸sinx橫坐標縮短到原來的方，縱坐標保

持不變得到的函數(shù)，令h(x)=g(x)-f(x).

(1)求函數(shù)〃(無)的最小正周期及其對稱軸方程；

(2)當n］時，J①(x)》加2+3/〃恒成立，求機的取值范圍.

19.如圖，AB是圓。的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓。上的點.

(1)求證：3cl,平面FAC；

(2)設。為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：面OQG〃平面PBC.

20.已知關于x的二次函數(shù)/(x)=/nx2-nx-\,令集合M={1,2,3,4},N={-1,2,

4,6,8},若分別從集合M、N中隨機抽取一個數(shù)機和〃，構成數(shù)對(%，n).

(1)列舉數(shù)對(m,")的樣本空間；

(2)記事件A為“二次函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8)”,求事件A的概率;

(3)記事件3為“關于x的一元二次方程，(x)|=2有4個零點”，求事件B的概率.

IT7T

21.如圖，在平面四邊形ABCD中，ZABC=——，ZADC=—,BC=2.

32

(1)若△A3。的面積為旭，求AC的長;

2

7T

(2)若A0=F，ZACB=ZACD+—.求NAC0的大小.

22.如圖，ABC。-AiSCiDi是正方體，E、尸分別為AB、BC上的點，J.AE=BF.

(1)當三棱推Bi-BEF的體積最大時，求二面角Br-EF-B的正切值；

(2)求異面直線4E與2F所成的角的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復數(shù)z=4+3i（其中i為數(shù)單位），貝也在復平面上對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷即可.

解：復數(shù)z=4+3i（其中，為數(shù)單位），則z在復平面上對應的點為（4,3）,在第一象

限.

故選：A.

JT

2.下列四個函數(shù)中，在定義域內(nèi)是偶函數(shù)且在區(qū)間（彳-，冗）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=|sinx|B.y=cos尤C.y=|tan%|D.y=cos2x

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和單調(diào)性，分別判斷各選項即可.

解：A./（-x）=|sin（-解|=|-sinx|=|sinx|=/（x）,則/（無）是偶函數(shù)，

當尤（￡~，兀）時，，（x）=sinx為減函數(shù)，不滿足條件.

B.y=cosx是偶函數(shù)，當xe兀）時，f（x）=cosx為減函數(shù)，不滿足條件.

C./（-x）=|tan（-x）|=|-tanx|=|tanx|=/（x）,則/（x）是偶函數(shù)，

IT

當花,兀）時，f（x）=-tanx為減函數(shù)，不滿足條件.

JT

D.y=cos2x是偶函數(shù)，當xe,兀）時，2xe（it,2ir）,f（x）=cos2x為增函數(shù)，

滿足條件.

故選：D.

3.為了更好了解高中學生的身高發(fā)情況，現(xiàn)抽取某中學高一年級的學生作為樣木，其中某

班的24位男生身高由低到高排序情況如下：164.0,165.0,165.0,166.0,167.0,168.0,

168.0,169.0,170.0,170.0,171.0,171.0,172.0,172.0,172.0,173.0,174.0,175.0,

175.0,176.0,176.0,177.0,177.0,178.0（單位：cm）,則這24個數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾

數(shù)，以及預估該班男生的第30百分位數(shù)為（）

A.171、170、168.5B.171、170、169

C.171.5、172、169D.172、172、169

【分析】利用中位數(shù)，眾數(shù)，百分位數(shù)的定義求解即可.

解：這24個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為"I?”=171.5,

眾數(shù)為172,

：24X30%=7.2,.?.第30百分位數(shù)為第8個數(shù)169,

故選：C.

4.下列命題中，錯誤的是（）

A.平行于同一條直線的兩條直線平行

B.已知直線機垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線，則直線小垂直于平面a

C.已知直線，"〃平面a,直線〃ua,則直線

D.已知根為直線，a、0為平面，若根〃a且加_L0,則

【分析】由平行線的傳遞性可判斷A;由線面垂直的定義可判斷&由線面平行的定義可

判斷C；由線面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理，可判斷D

解：由平行線的傳遞性可得，平行于同一條直線的兩條直線平行，故A正確；

由線面垂直的定義可得，若直線機垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線，則直線m垂直于平

面a,故8正確；

由線面平行的定義可得，若直線平面a,直線“ua,則直線相〃"或相，〃異面，故

C錯誤；

若必〃。，由線面平行的性質(zhì)，可得過7〃的平面與a的交線/與機平行，

又加，仇可得/，仇結(jié)合/ua,可得故。正確.

故選：C.

5.經(jīng)過科學的研究論證，人類的四種血型與基因類型的對應為：O型的基因類型為ii,A

型的基因類型為出或amB型的基因類型為瓦或仍，AB型的基因類型為"，其中a、

6是顯性基因，i是隱性基因.若一對夫妻的血型一個A型，基因類型為aa,一個8型,

基因類型為萬；則他們的子女的血型為（）

A.。型或A型B.A型或B型C.8型或型D.A型或型

【分析】利用已知條件，求出他們的子女的基因類型，即可得到答案.

解：因為一對夫妻的血型一個A型，基因類型為四，一個2型，基因類型為從，

則他們的子女的基因類型為：ab,ai,

所以對應的血型為A型或A8型.

故選：D.

6.在△ABC中，A。為BC邊上的中線，E為A。的中點，若康=入屈+日'正，則入+日=()

A.—B.-C.—■D.1

424

【分析】根據(jù)A。為BC邊上的中線，￡為AD的中點，得到前而+［菽，然后結(jié)

合標=入標+以正，求出入+□的值?

解：為BC邊上的中線，E為AD的中點，

~?—1-*,1-*_1---*_1_1---*

BE=]BA+]BD=5BA+aBC

_1_*1z-*-*、—3-*1-?

=_彳施十五（AC_AB）—--^AB+'^AC-

—.—.—.31

???BE=>AB+UAC，???4一]尸]

?o—1

??入+n=-->

故選：B.

7.在棱長為a的正方體ABCn-AiBCid中，E為AAi的中點，則過3、G、E二點的平面

截正方體ABCD-AiBiCi。所得的截面面積為()

2

A.3V102B.2a?C.則2a?D.^a

8842

【分析】取4。中點，則有跖〃BC1,故四點3,Ci,E,P共面，所以過8、Ci、E三

點的平面截正方體ABCD-AiBiGDi所得的截面為等腰梯形EFC.B,根據(jù)已知，即可求

解.

解：如圖，取Aid中點，則有EE〃BCi,故四點B,Ci,E,尸共面，

所以過8、G、E三點的平面截正方體ABCD-AICQi所得的截面為等腰梯形所GB,

其中石尸=返BCi=V2a,BE=FCi=^a,

22

可得梯形的高h=

(1—V2a

梯形EFCiB的面積S=

故選：B.

8.高一年級某同學為了豐富自己的課外活動，參加了學?！拔膶W社”“詠春社”“音樂社”

三個社團的選拔，該同學能否成功進入這三個社團是相互獨立.假設該同學能夠進入“文

學社”“詠春社”“音樂社”三個社團的概率分別為八6、3,該同學可以進入兩個社

團的概率為《，且三個社團都進不了的概率為盤，則岫=()

510

A.—B.—C.—D.—

2010155

【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式，列出關于。，b的方程組，求解即可.

解：由題意可知，該同學可以進入兩個社團的概率為京，

5

4445

又三個社團都進不了的概率為得，

所以②，

由①②可得，今.

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分。

9.下列敘述中，正確的是()

A.某班有40名學生，若采用簡單隨機抽樣從中抽取4人代表木班參加社區(qū)活動，那么

學號為04的學生被抽到的可能性為40%

B.某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，采用分層抽樣的方法從該

校四個年級的科生中抽取一個容量為500的樣木進行調(diào)查.已知該校一、二、三、四年級木

科生人數(shù)之比為8：5：4：k,若從四年級中抽取75名學生，貝琳=3

C.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，得到四組數(shù)據(jù)，若某組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)為2,方差為2.4,則這組數(shù)據(jù)一定沒有出現(xiàn)6

D.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,4,x,7,8(其中x#7),若該組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)是眾數(shù)的2倍，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6

【分析】求出學生被抽到的可能性，即可判斷A;根據(jù)抽樣比列方程，求出匕即可判斷

B；假設這組數(shù)據(jù)有6,求出方程，即可判斷C,求出眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，即可判斷

D.

解：人???學號為04的學生被抽到的可能性為々=10%,.以錯誤,

40

75k

B：???抽樣比為'.k=3,.?.B正確,

5008+5+4+k

若這組數(shù)據(jù)有6,則方差‘2》(§二2產(chǎn)獸>2.4,正確,

55

的中位數(shù)為等，眾數(shù)為4,

D,:數(shù)據(jù)1,4,4,尤，7,8(其中xW7)

?4+x一/\/5?一(

>?4X,??x6,

24

???該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1+4+4+6+7+國=5??.D錯誤.

6

故選：BC.

10.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+_^_)+cos(2x一丁)+a的最大值為1，則()

A.a--1

B.(―,0)是函數(shù)/CO的對稱中心

6

C.f(x)在區(qū)間［-上單調(diào)遞減

62

D./(%)20成立的x的集合為［k兀，k兀七?。?在Z)

【分析】由條件利用三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)的解析式可得/(%)=2sin(2x+—)+〃,

6

進而利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐項分析即可得解.

兀兀兀

解：f(x)=sin(2x+----)+cos(2x-------)=sin2x?cos----+cos2x?

636

〃

sin—+cos2xcos—+sin2xsin-7^+4=V^sin2x+cos2x+=2sin(2x+^-)+a,

63

又/(x)3=2+〃=1,

所以解得。=-1,故A正確；

可得/(x)=2sin(2x+-^-)-1,

6

JTTT"IT

因為/(丁)=2sin(2X—+—)-1=1WO,故3錯誤；

666

TTTTQTTTTOTT

令2kR+——<2x+——^2^n+———，keZ,解得：kn+————，keZ,

26263

TTOTT

可得/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為肉i+——，kn+———］,kez,

63

可得/(x)在區(qū)間［3，上單調(diào)遞減，故C正確；

o2

令/(x)=2sin(21十二-)-1>0,解得sin(21+二-)>—,可得2X+E-C(2hr+'-,

66266

RTT

2kn+----),依Z,

6

解得xE(hi,hr+f-),在Z,故。正確.

o

故選：ACD.

11.如圖，矩形ABC。中，AB^IAD,E是邊4B的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△4DE

(點4不落在底面BCDE內(nèi))，連接A］、AiC.若M為線段4C的中點，則在△&￡>￡

的翻折過程中，以下結(jié)論正確的是()

B-V三棱錐A-A：DE：V四棱錐A「BCDE=1：3

C.存在某個位置，使DEL4C

D.線段8M的長為定值

【分析】利用線面平行的判定定理，即可證明從而判斷A；4到平面E2CZ)

的距離為//,。到AB的距離為“，直接求出VA-A、DE：VA.-BCDE，即可判斷8;由AC

在平面ABC。中的射影在AC上，AC與。E不垂直，OE與4C不垂直，從而判斷C；

由余弦定理，可得MB,結(jié)合MR處為定值，即可判斷D

解：取C。中點F,連接MF,BF,如圖所示，

則敏〃AQ,FB//DE,則可得平面〃平面AQE,

平面MBF,BMC平面AiDE,

：.BM//A\DE,故A選項正確，

設4到平面EBCD的距離為h,D到AB的距離為h',

VVX

則A-A1DE:A：-BCDE=fXSAADE><h：|xS梯形EBCDh

z

=SAADE：s梯形EBCD,XAEXh'：yX(CD+BE)Xh=1：故B選項正確，

AC在平面ABC。中的射影在AC上，

?；AC與。E不垂直，與AC不垂直，故C選項錯誤，

VZMFB=ZAiDE=45°,

又?.?由余弦定理，可得MB?=MP+FB2-2MF?FB?cos/MFB,且〃尸，尸8為定值，

.?.MB為定值.

故選：ABD.

12.已知△0A2的頂點坐標為。(0,0)、A(2,9)、8(6,-3)，點尸的橫坐標為14,

且O、B、P三點共線，點。是邊AB上一點，且5?廂=0,R為線段。。上的一個動

點，則()

A.點P的縱坐標為-5

B.向量示在向量而上的投影向量為-1而

cAB=2AQ

D.諉?誣的最大值為1

【分析】對于A：設尸(14,y),再由由O、B、P三點共線，得存在入6R,使得而=入麗,

即可記得入，戶即可判斷A是否正確；

對于8：向量示在向量而上的投影向量為嗎里??基g_,計算即可判斷B是否正確；

IBPIIBPI

對于C：設。(a,b),由麗?赤'=0，得3a=48①，由點。在邊AB上，得￥=小導②,

-4a-6

解得a,b,進而可得。點坐標，計算瓦，歪，即可判斷C是否正確；

對于。：由R為線段OQ上的一個動點，設R(4f,3力，且0W/W1,利用二次函數(shù)的

性質(zhì)，計算了,而最大值，即可判斷D是否正確.

解：對于A：設尸(14,y),

則而=(14,y),pB=(-8,-3-y),

由O、B、P三點共線，得存在入ER,使得而=入?yún)^(qū)，

得(14,y)=入(-8,-3-y),

解得入=--7,y=-7,

4

所以尸(14,-7),故A錯誤；

對于8：由上可知A(2,9),gp=(8,-4)

一一OA-BPBP⑵9)-(8,-4)BP

向量0A在向量BP上的投影向量為―>>—>=/2/、6-'/99

IBPIIBPIV82+(-4)2V82+(-4)2

=--7BP，故2正確；

4

對于C：設。(a,b),則而=(a,b),

又屈=(12,-16),

則由祈?族=0,得3a=46①，

因為點。在邊AB上，

所以~^~=b十°,即3a+b-15=0(2),

-4a-6

由①②得，a=4,6=3,

所以。(4,3),

所以與=(2，-6),無=(4,-12),

所以標=2與，故C正確；

對于D：因為R為線段。。上的一個動點，

設R141,3。,且0WW1,

則赤=(4-4,3/-3),誣=(6-4r,-3r-3),

所以而?而=(4,-4，3/-3)?(6-4],-3r-3)=-251+40,-15,0W/W1,

所以當，=%時，底?麗的最大值為1.故。正確.

5

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若復數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則復數(shù)z=1+，.

【分析】利用復數(shù)的運算法則即可得出.

解：*.*(1+0z—2i,(1-0(1+z)z—2i(1-z),

化為2z=2(z+1),

?\z=1+z.

故答案為：1+i.

14.已知向量2、滿足國=3，￡1=4,Z、E的夾角為6。。，則—

【分析】直接利用向量的模的運算法則，結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.

解：向量2E滿足國=3，忘=4，二E的夾角為6。。，

則1-：=式2+/_2；吊=小+16-2X3X4X-1=V13.

故答案為：V13.

15.古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，如圖所示，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個

球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們

來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)吧！記圓柱的體積和表面積分別為％、Si,球的體積和表面積分別

v,s2

為V2、S2,則不一—=1.

V2%

【分析】設球的半徑為R,確定圓柱的底面半徑以及高，利用圓柱和球的體積公式以及

表面積公式，列式求解即可.

解：設球的半徑為R,

則圓柱的底面半徑為R,高為2R,

所以％=7TR2?2R=2幾代，V4冗R3,

148

2

S『2兀R?2R+2?兀R2=6兀R2,S2=4HR,

V,S22冗R34兀R?

故不一二2

43JATTp?

V251yKR6兀R

J

故答案為：1.

16.隨著經(jīng)濟發(fā)展，江門市居住環(huán)境進一步改善，市民休閑活動的公園越來越多，其中，最

新打造的網(wǎng)紅公園有兒童公園、湖連潮頭中央公園、下沙公園.某個節(jié)假日，甲、乙、

丙、丁四組家庭到這個網(wǎng)紅公園打卡，通過訪問和意向篩查，最后將這四組家庭的意向

匯總?cè)缦拢?/p>

公園兒童公園湖連潮頭中央公園下沙公園

有意向的家族組甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁

若每組家庭只能從已登記的選擇意向中隨機選取一項，且每個公園至多有兩組家庭選擇,

則甲、乙兩組家庭選擇同一個公園打卡的概率為-.

-9-

【分析】分以下三種情況枚舉所有情況即可，①選兒童公園和湖連潮頭中央公園，②選

兒童公園和下沙公園，③選下沙公園和湖連潮頭中央公園，利用古典概型計算公式即可.

解：①選兒童公園和湖連潮頭中央公園時，有以下情況：甲丙、乙??；乙丙、甲??；

②選兒童公園和下沙公園時，有以下情況：甲乙、丙??；甲丙、乙??；

③選下沙公園和湖連潮頭中央公園時，有以下情況：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙；

④選3個公園時，有以下幾種情況：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙

丙、甲、??；

丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；

甲、丁、乙丙；丙、甲、乙??；甲、乙、丙??；乙、甲、丙??；

共有18種選擇，其中甲、乙兩組家庭選擇同一個公園打卡的4種，則甲、乙兩組家庭選

擇同一個公園打卡的概率為亮欄■.

189

故答案為：看.

9

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.夏天是用電的高峰期，為了既滿足居民基本用電需求，又提高能源利用效率，某市統(tǒng)計

局調(diào)查了200戶居民去年一年的月均用電量(單位:KW"),發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在34KW

./7至474KW1之間，適當分組后，畫出頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求機的值；并求被調(diào)查用戶中，用電量在［200,350)的戶數(shù)；

(2)為了更合理地滿足居民們基本用電需求，增強市民的環(huán)保意識，市政府計劃采用階

梯定價，希望使75%的居民繳費在第一檔，使90%的居民繳費在第二檔，請給出居民繳

費位于第二檔月平均用電量標準的范圍(單位：kW-h).

【分析】(1)由頻率分布直方圖即可求出根及樣本落在［200,350)的頻率，由此能求

出樣本中用電量在［200,350)的用戶數(shù).

(2)由圖計算可得頻率和為0.75對應的數(shù)據(jù)在第七組，即可對應求出第一檔用電量最高

值；再求出前八組頻率和，即可得到第二檔用電量最高值.

解：(1)依題意，(0.0008X2+0.0016X2+0.002X2+0.0024+0.0036+z/z)X50=l,解得

m=0.004,

根據(jù)頻率分布直方圖，用電量在［200,350)的頻率為(0.004+0.0024+0.0002)X50=0.42,

則用電量在［200,350)的戶數(shù)為0.42X200=84戶;

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，前六組的頻率和為：

(0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024)X50=0.72<0.75,

前七組的頻率和為：(0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002)X50=0.82>

0.75,

所以，頻率和為0.75對應的數(shù)據(jù)在第七組，第一檔用電量最高為300+E普產(chǎn)=315；

前八組的頻率之和為：0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002+0.0016)X50

=0.9,

第二檔用電量最高為400W-/1,

所以，第二檔月平均用電范圍為［315,400)(HV1).

18.已知函數(shù)/(x)=cos4x-sin4x,g(x)是由y=sinx橫坐標縮短到原來的縱坐標保

持不變得到的函數(shù)，令h(x)=g(x)-f(x).

(1)求函數(shù)萬(x)的最小正周期及其對稱軸方程；

(2)當尤it］時，血/z(無)與加2+3小恒成立，求機的取值范圍.

【分析】(1)化簡函數(shù)了(無)，求出了(無)的解析式，由圖象變換求出函數(shù)g(x),再

寫出函數(shù)〃(x)的解析式，求出它的最小正周期和對稱軸方程；

(2)求出疣［-“，IT］時"(x)的最小值，把不等式(x)2/+3根化為m2+3nt+2W

0,求出解集即可.

解：(1)函數(shù)/(x)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2^)=cos2x,

y=sinx橫坐標縮短到原來的縱坐標保持不變得到函數(shù)g(x)=sin2x,

h(x)=g(x)-/(%)=sin2x-cos2x=*^sin(2x----)；

所以函數(shù)〃(x)的最小正周期為7=等=冗,

.兀7兀7r

令A2x----=加+---,kEZ,

42

右刀舛k兀工3兀

觸得X=Q-+-^一,依Z；

所以函數(shù)〃(X)的對稱軸方程為％=母+等，住Z；

28

、「兀,兀兀7兀

(2)當x￡［-^―,n1時，2x----］,

4444

當2X-子=三；時，h(X)取得最小值為h(X),nin=-'/2>

所以不等式立人(X)2/+3加恒成立，等價于加義(-&)^m2+3m,

整理得機2+3m+2W0,

解得-2W比W-1,

所以加的取值范圍是［-2,-1］.

19.如圖，AB是圓。的直徑，PA垂直圓。所在的平面，C是圓。上的點.

(1)求證：3C_L平面尸AC；

(2)設。為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：面OQG〃平面PBC.

【分析】(1)根據(jù)圓直徑的性質(zhì)，得BC_LAC,由尸A_L平面ABC得BC_LFA.利用線

面垂直的判定定理，可BC_L平面PAC-

(2)取延長。G,交AC于跖連結(jié)GM、QM,證出QW是△尸AC的中位線，得QM〃

PC.利用線面平行的判定定理證出QM〃平面PBC,同理可得Q。〃平面PBC,根據(jù)面

面平行的判定定理，可得平面OQG〃平面PBC.

解:(1)TAB是圓。的直徑，...BC,AC,

又：尸4_1平面ABC,BCu平面ABC,：.BC±PA.

'：PAnAC=A,平面PAC；

(2)取延長OG,交AC于M,連結(jié)GM、QM,

：G為△AOC的重心，是△AOC的中線，

???。為PA的中點，M為AC的中點，J.QM//PC,

平面尸3C,PCu平面PBC,〃平面PBC,

同理可得QO〃平面PBC,

,：QM,。。是平面OQG內(nèi)的相交直線，，平面OQG〃平面PBC.

20.已知關于x的二次函數(shù)/(x)=m^-nx-1,令集合M={1,2,3,4},N={-1,2,

4,6,8},若分別從集合M、N中隨機抽取一個數(shù)機和〃，構成數(shù)對(m,n).

(1)列舉數(shù)對(m,n)的樣本空間；

(2)記事件A為“二次函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為口，+8)”，求事件A的概率;

(3)記事件3為“關于x的一元二次方程|/(無)|=2有4個零點”，求事件2的概率.

【分析】(1)直接列舉即可；

(2)由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，”=2加，求出總的基本事件數(shù)和符合條件的基本事件數(shù)，

利用古典概型的概率公式求解即可；

(3)由函數(shù)與方程的關系，求出層＞4〃?，求出總的基本事件數(shù)和符合條件的基本事件

數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可.

解:(1)由題意可得，，花{1,2,3,4},ne{-1,2,4,6,8),

數(shù)對(機，〃)的樣本空間為。={(1,-1),(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),

(2,-1),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,-1),(3,2),(3,

4),(3,6),(3,8),(4,-1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}；

(2)若二次函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為“，+8),

則二次函數(shù)/(尤)的對稱軸xT-=l，即n=2m,

2m

由(1)可得，總的基本事件個數(shù)為20個，

符合”=2利的基本事件為：(1,2),(2,4)(3,6),(4,8),共4個,

=_￡二

所以尸(A)

~20~5

(3)因為機＞0,二次函數(shù)的圖象開口向上,

方程，(尤)1=2有4個零點，即方程了(無)=2和/(無)=-2各有2個零點,

等價于二次函數(shù)/(x)=mx2-nx-\的最小值〉-2,

所以逢匚￡_＜_2，即層＞4優(yōu)，

4m

樣本空間中符合層＞4m的基本事件有：(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,

6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6)(4,8),共11個,

11

所以尸(B)

20

JT兀

21.如圖，在平面四邊形A3CD中，ZABC=—,ZADC=—,BC=2.

2

(1)若△ABC的面積為旭，求AC的長;

2

7T

(2)若AD=?,ZACB=ZACD+—.求/ACD的大小.

D

【分析】(1)由已知利用三角形的面積公式可求AB的值，在△ABC中，由余弦定理可

求AC的值.

(2)設NACQ=a,由已知可求AC=」^—,利用三角形內(nèi)角和定理可求4847=等

sinCl12

_______2___________亞—、5兀

-a,由正弦定理，可得.,5兀＞、=M，求得sina)=sina,由

sm(-^-a)詈