橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：橢圓的定義1．定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2．焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3．焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a>|F1F2|.考點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2＝a2－c2考點(diǎn)三：求軌跡方程的方法直譯法——“四步一回頭”，四步：（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）寫出適合條件的點(diǎn)M的集合；

（3）將“翻譯”成代數(shù)方程；（4）化簡(jiǎn)代數(shù)方程為最簡(jiǎn)形式.【題型歸納】題型一：利用橢圓的定義求方程1．（2023秋·上海浦東新·高二校考）平面內(nèi)點(diǎn)P到、的距離之和是10，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】由題意，平面內(nèi)點(diǎn)P到、的距離之和是10，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓,焦點(diǎn)在軸上,,解得：，∴，∴軌跡方程為:，故選:B.2．（2022秋·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為，且，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：C3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義可求，結(jié)合三角形的面積可求，進(jìn)而可得答案.【詳解】如圖，連接，由橢圓的對(duì)稱性得四邊形為平行四邊形，所以，得.又因?yàn)椋运倪呅螢榫匦?，設(shè)，則，所以得或；則，則，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.題型二：橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題4．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)即可求解.【詳解】由，即，可得，根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：B.5．（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓最大時(shí)，求（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可得時(shí)最大，利用三角形的面積公式即得.【詳解】由橢圓的方程可得，，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)則時(shí)等號(hào)成立，即為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，.故選：C.題型三：根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)問(wèn)題7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知曲線C：，則“”是“曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，列不等式求出的取值范圍，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】將曲線C的方程化為，若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，即，而“”不能推出“”；“”可以推出“”，故“”是“曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選：A.8．（2021秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．（－3，1） B．（－3，5）C．（4，5） D．【答案】A【分析】由方程表示橢圓，結(jié)合橢圓的性質(zhì)有，即可求m范圍.【詳解】由題設(shè)，，可得.故選：A9．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知命題p：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則使命題成立的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得即可得的范圍，再選取該范圍的一個(gè)真子集即可求解.【詳解】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得：．所以成立的充要條件是：．結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知：成立的充分不必要條件是，故選：B.題型四：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法10．（2022秋·江蘇南通·高二?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由橢圓面積公式求得關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合等邊三角形性質(zhì)可得的基本關(guān)系，聯(lián)立方程即可求解.【詳解】由橢圓面積公式可得，當(dāng)時(shí)，①，如圖，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，②，聯(lián)立①②得：，故橢圓的方程為.故選：B11．（2022秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是和，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)可求，根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，進(jìn)而可求解，即可得橢圓方程.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為和，所以.橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:A.12．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可設(shè)橢圓的方程為，將代入可求得結(jié)果.【詳解】由題意可設(shè)橢圓的方程為.又所求橢圓過(guò)點(diǎn)，所以將代入橢圓方程，得，解得（舍去）.故所求的橢圓方程為.故選：B.題型五：與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，則點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軌跡方程的求解方法列方程求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，所以，即，整理得，故選:C.14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，,，利用為線段的中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，將點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)坐標(biāo)表示，然后代入圓的方程即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；【詳解】設(shè)，,，則,．為線段的中點(diǎn)，，即，．又點(diǎn)在圓上，，即．故點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A15．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過(guò)動(dòng)點(diǎn)，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，動(dòng)圓的半徑為，由圓與圓的位置關(guān)系可得，判斷出的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，即可求出的軌跡方程.【詳解】設(shè)，動(dòng)圓的半徑為，則，因?yàn)閯?dòng)圓在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，所以,所以，即，因?yàn)椋?所以,由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故選：A題型六：橢圓的最值問(wèn)題16．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D.17．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】解：設(shè)圓的圓心為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，所以．故選：B．18．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足且，則的最大值為（

）A． B． C．8 D．63【答案】B【分析】依題意知，該橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在以為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)PF最長(zhǎng)時(shí)，切線長(zhǎng)PM最大，作出圖形，即可得到答案．【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)M在以為圓心，1為半徑的圓上，又因?yàn)?，所以，PM為圓的切線，，所以當(dāng)PF最長(zhǎng)時(shí)，切線長(zhǎng)PM最大．當(dāng)點(diǎn)P與橢圓的左頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大值為．此時(shí)的最大值為．故選：B．題型七：橢圓方程的綜合問(wèn)題19．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，橢圓上的點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離之和等于8；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及焦點(diǎn)坐標(biāo)可計(jì)算出，，即可求得橢圓方程；（2）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知且在y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知得，因此．又因?yàn)?，所以，易知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由已知得，又因?yàn)?，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．從而有，解得或（舍去）．因此，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．20．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)，焦距為，設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，、是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，求：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)的面積．【答案】(1)(2)【分析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；利用橢圓定義以及余弦定理、面積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得解得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如圖，由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．21．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：，左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C經(jīng)過(guò)，．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上的點(diǎn)P使得，求的面積．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由題意可知，，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；（2）假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)，使得，則，可求出，根據(jù)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C經(jīng)過(guò)，．則，解得，．所以橢圓C的方程為．（2）由（1）知，，假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)，使得，則，即，聯(lián)立，解得，．∴橢圓C上存在點(diǎn)P使得．∴．【雙基達(dá)標(biāo)】單選題22．（2023秋·江蘇淮安·高二?？迹┙裹c(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為，焦距為的橢圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題干列出方程，即可.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為，則，且，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D23．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，并且在圓B：的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，整理等式，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.【詳解】由圓，則其圓心，半徑為，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由圓在圓的內(nèi)部與其相切，則，由圓過(guò)點(diǎn)，則，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，，，所以其軌跡方程為.故選：D.24．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出含有參數(shù)的不等式組求解即可.【詳解】根據(jù)題意,要使方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,需滿足,解得.故選:C.25．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知的周長(zhǎng)為，，，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依題意可得，根據(jù)橢圓的定義可知頂點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓（不含軸上的頂點(diǎn)），從而求出軌跡方程.【詳解】解：∵的周長(zhǎng)為，，∴，，∴頂點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓（不含軸上的頂點(diǎn)），又，，可得，∴頂點(diǎn)的軌跡方程為：．故選：D．26．（2023秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）分別根據(jù)下列條件求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)為(2)與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知可得a，c，然后由求出b，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)已知橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)所求橢圓方程為，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由題知，，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，又，所以，所以，橢圓方程為.（2）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)所求橢圓方程為，則有，解得，所以所求橢圓方程為.27．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知平面上兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P滿足時(shí)，求P點(diǎn)的縱坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)和橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，根據(jù)和橢圓定義得關(guān)于的方程組，從而可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)?，由橢圓的定義可得的軌跡為橢圓，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)，故，又因?yàn)?，，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，半焦距，故，故方程為：.（2）由（1）知，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)，在中，因?yàn)?，所以，即，又，所以，在中，，又，所以，得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．【高分突破】一、單選題28．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．9【答案】A【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和橢圓定義列方程組可解.【詳解】因?yàn)?，所以，又記，則，②2①整理得：，所以故選：A29．（2022秋·江蘇南京·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，，分別為C的左、右焦點(diǎn)，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合余弦定理、橢圓的定義求得，從而求得的面積.【詳解】設(shè)，根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理得，整理得，即，所以的面積為.故選：C30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P為橢圓上的點(diǎn)，，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】先利用橢圓得到，根據(jù)橢圓的定義可得到，結(jié)合可算出，，即可算出答案【詳解】解：由橢圓可得即，因?yàn)镻為橢圓上的點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，，故，故選：B．31．（2022秋·江蘇南京·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓定義確定點(diǎn)軌跡是橢圓，然后求出，可得其方程．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點(diǎn)，所以，所以，而，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4的橢圓．設(shè)其方程為，，，，則，所以點(diǎn)軌跡方程是．故選：C．32．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，分別是的中點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，且，根據(jù)橢圓的定義求得，設(shè)，根據(jù)，求得，代入橢圓的方程，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，且，因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，，，由，可得，求得，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，求得，，所以橢圓的方程為.故選：B.33．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，的周長(zhǎng)是6B．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，面積的最大值為C．存在點(diǎn)P，使D．的取值范圍是【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義以及焦距即可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大即可判斷選項(xiàng)B；當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，為最大與比較即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí)取得最值，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由橢圓方程可知，，從而．對(duì)于選項(xiàng)A；根據(jù)橢圓定義，，又，所以的周長(zhǎng)是，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，則．因?yàn)?，則面積的最大值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，為最大．此時(shí)，，又，則為正三角形，，所以不存在點(diǎn)，使，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，所以，故選項(xiàng)D正確．故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：橢圓中焦點(diǎn)三角形的有關(guān)結(jié)論以橢圓上一點(diǎn)和焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的中，若，則（1）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為；（2）當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，為最大；（3），當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)取最大值，為；（4）.二、多選題34．（2023秋·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)說(shuō)法中正確的是（

）A．曲線C可能是圓B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則【答案】AD【分析】根據(jù)方程為圓列式求解判斷A，排除B，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解范圍即可判斷CD.【詳解】當(dāng)即時(shí)，方程為，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.35．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)），是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，是直角三角形，則的面積為（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【分析】對(duì)的直角進(jìn)行分類討論，結(jié)合橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程求得正確答案.【詳解】由得，不妨，，則，當(dāng)時(shí)，則①平方減去②得，∴，當(dāng)(或者)時(shí)，，令，則，解得，則，.故選：AB.36．（2023秋·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，則（

）A．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則B．的最大值為9C．若為直角，則的面積為9D．若為鈍角，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為【答案】BCD【分析】對(duì)A，可直接解出點(diǎn)P坐標(biāo)，求兩點(diǎn)距離；對(duì)B，最大值為對(duì)C，設(shè)，則，列勾股定理等式，可求面積；對(duì)D，所求點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)，求出橢圓與該圓的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即可判斷.【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸為，半焦距為，∴對(duì)A，時(shí)，代入橢圓方程得，，，A錯(cuò)；對(duì)B，的最大值為，B對(duì)；對(duì)C，為直角，設(shè)，則，則有，則的面積為，C對(duì)；對(duì)D，以原點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，則為圓的直徑，則點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，為鈍角，聯(lián)立，消y得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為，D對(duì).故選：BCD37．（2022秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為 B．的面積最大值為C．存在點(diǎn)，使得 D．的最大值為【答案】ABD【分析】利用橢圓的定義及幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A，由橢圓，可得的周長(zhǎng)為：，故A正確；對(duì)B，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，且最大面積為：，故B正確；對(duì)C，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，為最大，此時(shí)，即為銳角，所以不存在點(diǎn)P使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由橢圓，所以，又，所以，所以，故D正確.故選：ABD.38．（2023秋·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知P是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．△F1PF2的周長(zhǎng)為16 B．C．點(diǎn)到x軸的距離為 D．【答案】ABC【分析】根據(jù)橢圓的定義、橢圓內(nèi)三角形的周長(zhǎng)、面積、向量數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，，，所以三角形的周長(zhǎng)為，A選項(xiàng)正確，設(shè)，所以，整理得，所以，B選項(xiàng)正確，設(shè)到軸的距離為，則，C選項(xiàng)正確，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC39．（2022秋·江蘇常州·高二校考期中）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上（異于左右頂點(diǎn)），記的面積為S，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．的取值范圍為C．的面積的最大值為D．橢圓C上有且只有4個(gè)點(diǎn)P，使得是直角三角形【答案】BCD【分析】利用余弦定理和橢圓定義可求得，進(jìn)而得到的面積，即可判斷A；設(shè)點(diǎn)，利用平面向量的數(shù)量積求得，結(jié)合的范圍，即可判斷B；當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大，求出最大面積即可判斷C；驗(yàn)證討論的三個(gè)內(nèi)角是否為直角的情況，即可判斷D．【詳解】在橢圓中，，且，對(duì)于A，在中，由余弦定理可得，即①，又，即②由②－①解得8，∴的面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)，則，，，∵，，∴，∴的取值范圍為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離最大，所以面積的最大值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，，，則，所以不可能為直角；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)位于第二或第三象限，有2個(gè)直角三角形；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)位于第一或第四象限，有2個(gè)直角三角形．所以橢圓C上有且只有4個(gè)點(diǎn)P，使得是直角三角形，故D正確．故選：BCD．三、填空題40．（2023秋·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，列出不等式組，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：41．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的大小為．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，，在中，由余弦定理，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，則，因?yàn)?，可得，，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所?故答案為：42．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方