大題06圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）（30題）（學生版）

黃金沖刺大題06圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）（精選30題）1．（2024·山東·二模）已知橢圓的焦點分別是，點在橢圓上，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，且，求實數(shù)的值．2．（2024·江蘇南通·模擬預測）在平面直角坐標系中，設橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，且的周長是.(1)求橢圓的方程；(2)當時，求的面積.3．（2024·河北邯鄲·二模）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸、軸，且過兩點．(1)求的方程．(2)是上兩個動點，為的上頂點，是否存在以為頂點，為底邊的等腰直角三角形？若存在，求出滿足條件的三角形的個數(shù)；若不存在，請說明理由．4．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知橢圓，右頂點為，上?下頂點分別為是的中點，且.(1)求橢圓的方程；(2)設過點的直線交橢圓于點，點，直線分別交直線于點，求證：線段的中點為定點.5．（2024·遼寧·二模）平面直角坐標系xOy中，面積為9的正方形的頂點分別在x軸和y軸上滑動，且，記動點P的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)過點的動直線l與曲線交于不同的兩點時，在線段上取點Q，滿足．試探究點Q是否在某條定直線上？若是，求出定直線方程；若不是，說明理由．6．（2024·福建廈門·三模）在直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過的直線與交于兩點，且當?shù)男甭蕿?時，．(1)求的方程；(2)設與的準線交于點，直線與交于點（異于原點），線段的中點為，若，求面積的取值范圍．7．（2024·浙江麗水·二模）已知拋物線，點在拋物線上，且在軸上方，和在軸下方（在左側），關于軸對稱，直線交軸于點，延長線段交軸于點，連接.(1)證明：為定值（為坐標原點）；(2)若點的橫坐標為，且，求的內(nèi)切圓的方程.8．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知點，，和動點滿足是，的等差中項．(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線按向量平移后得到曲線，曲線上不同的兩點M，N的連線交軸于點，如果（為坐標原點）為銳角，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，如果時，曲線在點和處的切線的交點為，求證：在一條定直線上．9．（2024·江蘇南通·二模）已知雙曲線的漸近線為，左頂點為.(1)求雙曲線的方程；(2)直線交軸于點，過點的直線交雙曲線于，，直線，分別交于，，若，，，均在圓上，①求的橫坐標；②求圓面積的取值范圍.10．（2024·江蘇南京·二模）已知拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點F，且．過F的直線1與拋物線C交于A，B兩點，與E的兩條近線交于P，Q兩點(均位于y軸右側).(1)求E的漸近線方程；(2)若實數(shù)滿足，求的取值范圍．11．（2024·重慶·三模）已知，曲線上任意一點到點的距離是到直線的距離的兩倍.(1)求曲線的方程；(2)已知曲線的左頂點為，直線過點且與曲線在第一、四象限分別交于，兩點，直線、分別與直線交于，兩點，為的中點.（i）證明：；（ii）記，，的面積分別為，，，則是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.12．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率．(1)若橢圓過點，求橢圓的標準方程．(2)若直線，均過點且互相垂直，直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于兩點，分別為弦和的中點，直線與軸交于點，設.（?。┣?；（ⅱ）記，求數(shù)列的前項和．13．（2024·遼寧沈陽·二模）以坐標原點為圓心的兩個同心圓半徑分別為和，為大圓上一動點，大圓半徑與小圓相交于點軸于于點的軌跡為．(1)求點軌跡的方程；(2)點，若點在上，且直線的斜率乘積為，線段的中點，當直線與軸的截距為負數(shù)時，求的余弦值．14．（2024·廣東佛山·二模）兩條動直線和分別與拋物線相交于不同于原點的A，B兩點，當?shù)拇剐那∈荂的焦點時，.(1)求p；(2)若，弦中點為P，點關于直線的對稱點N在拋物線C上，求的面積.15．（2024·廣東深圳·二模）設拋物線C：（），直線l：交C于A，B兩點．過原點O作l的垂線，交直線于點M．對任意，直線AM，AB，BM的斜率成等差數(shù)列．(1)求C的方程；(2)若直線，且與C相切于點N，證明：的面積不小于．16．（2024·湖南·一模）已知雙曲線的漸近線方程為，的半焦距為，且．(1)求的標準方程．(2)若為上的一點，且為圓外一點，過作圓的兩條切線（斜率都存在），與交于另一點與交于另一點，證明：（?。┑男甭手e為定值；（ⅱ）存在定點，使得關于點對稱．17．（2024·湖南岳陽·三模）已知動圓過定點且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．(1)已知、兩點的坐標分別為、，直線、的斜率分別為、，證明：；(2)若點、是軌跡上的兩個動點且，設線段的中點為，圓與動點的軌跡交于不同于的三點、、，求證：的重心的橫坐標為定值．18．（2024·湖北·二模）已知雙曲線的方程為，其中是雙曲線上一點，直線與雙曲線的另一個交點為，直線與雙曲線的另一個交點為，雙曲線在點處的兩條切線記為與交于點，線段的中點為，設直線的斜率分別為．(1)證明：；(2)求的值．19．（2024·湖北·模擬預測）已知橢圓和的離心率相同，設的右頂點為，的左頂點為，，(1)證明：；(2)設直線與的另一個交點為P，直線與的另一個交點為Q，連，求的最大值．參考公式：20．（2024·山東·二模）已知橢圓的離心率為，設的右焦點為，左頂點為，過的直線與于兩點，當直線垂直于軸時，的面積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)連接和分別交圓于兩點．（?。┊斨本€斜率存在時，設直線的斜率為，直線的斜率為，求；（ⅱ）設的面積為的面積為，求的最大值．21．（2024·山東濰坊·二模）已知雙曲線：的實軸長為，右焦點到一條漸近線的距離為1．(1)求的方程；(2)過上一點作的切線，與的兩條漸近線分別交于R，S兩點，為點關于坐標原點的對稱點，過作的切線，與的兩條漸近線分別交于M，N兩點，求四邊形的面積．(3)過上一點Q向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，，是否存在點Q，滿足，若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由．22．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，設拋物線在點處的切線分別為和，已知與軸交于點與軸交于點，設與的交點為.(1)證明：點在定直線上；(2)若面積為，求點的坐標；(3)若四點共圓，求點的坐標.23．（2024·福建漳州·一模）已知過點的直線與圓：相交于，兩點，的中點為，過的中點且平行于的直線交于點，記點的軌跡為．(1)求軌跡的方程．(2)若為軌跡上的兩個動點且均不在軸上，點滿足（，），其中為坐標原點，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①點在軌跡上；②直線與的斜率之積為；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．24．（2024·福建福州·模擬預測）點是橢圓：（）上（左、右端點除外）的一個動點，，分別是的左、右焦點.(1)設點到直線：的距離為，證明為定值，并求出這個定值；(2)的重心與內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心）分別為，，已知直線垂直于軸.（?。┣髾E圓的離心率；（ⅱ）若橢圓的長軸長為6，求被直線分成兩個部分的圖形面積之比的取值范圍.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐標系中，有真命題：函數(shù)的圖象是雙曲線，其漸近線分別為直線和y軸．例如雙曲線的漸近線分別為x軸和y軸，可將其圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到雙曲線的圖象．(1)求雙曲線的離心率；(2)已知曲線，過上一點作切線分別交兩條漸近線于兩點，試探究面積是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，則說明理由；(3)已知函數(shù)的圖象為Γ，直線，過的直線與Γ在第一象限交于兩點，過作的垂線，垂足分別為，直線交于點，求面積的最小值．26．（2024·浙江紹興·二模）已知拋物線：的焦點到準線的距離為2，過點作直線交于M，N兩點，點，記直線，的斜率分別為，.(1)求的方程；(2)求的值；(3)設直線交C于另一點Q，求點B到直線距離的最大值.27．（2024·浙江紹興·模擬預測）已知拋物線:的焦點，直線過且交C于兩點，已知當時，中點縱坐標的值為.(1)求的標準方程.(2)令，P為C上的一點，直線，分別交C于另兩點A，B.證明：.(3)過分別作的切線，與相交于，同時與相交于，求四邊形面積取值范圍.28．（2024·河北保定·二模）平面幾何中有一定理如下：三角形任意一個頂點到其垂心（三角形三條高所在直線的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對邊距離的2倍.已知的垂心為D，外心為E，D和E關于原點O對稱，.(1)若，點B在第二象限，直線軸，求點B的坐標；(2)若A，D，E三點共線，橢圓T：與內(nèi)切，證明：D，E為橢圓T的兩個焦點.29．（2024·浙江杭州·模擬預測）設雙曲線，直線與交于兩點.(1)求的取值范圍；(2)已知上存在異于的兩點，使得.（i）當時，求到點的距離（用含的代數(shù)式表示）；（ii）當時，記原點到直線的距離為，若直