2024屆武漢市武昌區(qū)高三年級上冊期末質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題含答案

武昌區(qū)2024屆高三年級上學(xué)期期末質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

本試題卷共4頁，共22題.滿分150分,考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，

并認真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無

效.

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.命題“有些三角形是直角三角形”的否定為

A.所有三角形都是直角三角形B.所有三角形都不是直角三角形

C.有些三角形不是直角三角形D.有些三角形不是銳角三角形

2.若復(fù)數(shù)z滿足z（i+l）=1,則z?云

A.iB.—iCXD——

22

3.已知正數(shù)Q,b滿足Q+2b=1,則

A.ab)B.db>C.0Vab<春D.0VabV1

OOOO

4.已知收)=｛抵合晨[，則嗚)=

A.2B.C.—D.1

與U

5.已知集合A={了巾=111久,久613},若411B=[0,e],則集合B可以為

A.(0,e]B.(0,1]C.(I,e]D.[l,e]

6.為了解決化圓為方問題,古希臘數(shù)學(xué)家希皮亞斯發(fā)明了“割圓曲線”，若割圓曲線的方程為y=

—0<允<1,則

tanl-X-J:）

A.y有最大值B.y有最小值

C.y隨工的增大而增大D.y隨z的增大而減小

7.已知函數(shù)/直）=sinQ+中），0V<p<n,若函數(shù)f（久）在[0,普）上存在最大值,但不存在最小值，則中的

取值范圍是

A.(0,y]B.(f,f]C年第D.信片]

高三數(shù)學(xué)第1頁（共4頁）

8..已知0是坐標(biāo)原點,過拋物線C:J=4z上異于0的點M（a,b）作拋物線的切線，交了軸于點N（b,0）,

則AOMN的外接圓方程為

A.(z+2)2+(》+6)2=40B.(X+2)2+6—6)2=40

C.(工+2)2+(y+6)2=20D.(工+2)2+6—6)2=20

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.對于隨機變量X,下列說法正確的有

A.若E(X)=L則E(2X—1)=1B.若D(X)=1,則D(2X—1)=4

C.若X?N(2,4),則E(x)=4D.若X?B(10,0.5),則E(X)=5

10.已知不重合的直線加，n,I和平面a,B，則

A,若m//I,n//I,則m〃nB.若租_LZ,”_LZ,則加_Ln

C.若加Ua,wUa,m〃B,n〃B,則a〃BD.若則a_l_B

11.已知數(shù)列｛a,｝滿足aj=1,—27--=1+工+—H-----1"--,數(shù)列｛b“｝滿足bn=l+—+—H------1,

貝lj

A.ajfej=a2b2=a3b3

B.=a.+ib.+i

C.存在keN*,使得

D,數(shù)列｛bj單調(diào)遞增，且對任意九eN*,都有句+慶+…+b“<2"+i

2

12.已知P（久「,抄），Q（xQ,yQ）是曲線C：6J?—6工+7/—21+|y+6a:—3|=0上不同的兩點，O為坐

標(biāo)原點，則

A.3+用的最小值為1

B.4WJ（久p—I）2+y（+J（馬+1）2+646

C.若直線y=Mz—3）與曲線C有公共點，則ke[—凈，尋]

D.對任意位于了軸左側(cè)且不在式軸上的點P,都存在唯一點Q,使得曲線C在P,Q兩點處的切線垂直

三、填空題;本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.設(shè)P為AABC所在平面內(nèi)一點，滿足Q?阮=尿?雙=0,則3?期=.

14.若點A（0,1）在圓C：頻—I）?+y=/&>0）上，則過八的圓的切線方程為.

15.楷書也叫正楷、真書、正書,是從隸書逐漸演變而來的一種漢字字體，其書寫特點是筆畫嚴(yán)整規(guī)范、線條

平直自然、結(jié)構(gòu)勻稱方正、運筆流暢有度,《辭?！方忉尶瑫靶误w方正，筆畫平直，可作楷?！保拭瑫?

楷書中豎的寫法有垂露豎、懸針豎和短豎三種，小君同學(xué)在練習(xí)用楷書書寫“十”字時，豎的寫法可能隨機

選用其中任意一種，現(xiàn)在小君一行寫了5個“十”字，若只比較5處豎的寫法,不比較其它筆畫，且短豎不

超過3處，則不同的寫法共有種.（用數(shù)字作答）

16.棱長為10cm的密閉正四面體容器內(nèi)裝有體積為18V2cm3的水，翻轉(zhuǎn)容器，使得水面至少與2條棱平行，

且水面是三角形,不考慮容器厚度及其它因素影響,則水面面積的最小值為cm2.

高三數(shù)學(xué)第2頁（共4頁）

四、解答題:共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

已知a,b,c分別為Z\ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，且c(acosB—bsinA)=a2—b2.

⑴求A；

(2)若a=2,AABC的面積為2,求b+c.

18.(12分)

如圖,在三棱柱ABC-AjBiCj中，CG，平面ABC,AC=CB=2,AAj=

3,ZACB=90°,P為BC的中點，點Q,R分別在棱AA,BB1上，A?=2AQ,

BR=2KBj.

(1)求證；AC，PR;

(2)求平面PQR與平面AiBiG所成二面角的余弦值.

19.(12分)

數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一,具備較好的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)一般體現(xiàn)為在運算中算法合理、計算

準(zhǔn)確、過程規(guī)范、細節(jié)到位，為了診斷學(xué)情、培養(yǎng)習(xí)慣、發(fā)展素養(yǎng)，某老師計劃調(diào)研準(zhǔn)確率與運算速度之間是

否有關(guān)，他記錄了一段時間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

項目速度快速度慢合計

準(zhǔn)確率高102232

準(zhǔn)確率低111728

合計213960

(1)依據(jù)a=0.010的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運算速度相關(guān)？

(2)為鼓勵學(xué)生全面發(fā)展，現(xiàn)隨機將準(zhǔn)確率高且速度快的10名同學(xué)分成人數(shù)分別為3,3,4的三個小組

進行小組才藝展示，若甲、乙兩人在這10人中,求甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率.

附：

a0.1000.0500.0250.0100.0050.001

久a2.7063.8415.0246.6357.87910.828

"(女穴其中-a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)

20.(12分)

已知數(shù)列｛4｝的前幾項和為Sn,ai=?n(7nW0),［-=------.

Q/i+1

(1)求證:數(shù)列｛冊｝是等差數(shù)列；

(2)若［句表示不超過z的最大整數(shù)，［Si。］=10,求實數(shù)m的取值范圍.

21.(12分)

22

已知雙曲線C:方一條=l(a>0,b>0),點F(4,0)是C的右焦點，C的一條漸近線方程為y=V3x.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點F的直線與C的右支交于A,B兩點，以AB為直徑的圓記為M,是否存在定圓與圓M內(nèi)切?

若存在，求出定圓的方程;若不存在，說明理由.

22.(12分)

已知函數(shù)f(h)=4+ln(—x+m),meR.

e

⑴當(dāng)機=1時，求曲線y=f⑺在(0,f(0))處的切線方程;

(2)若/(力有且僅有1個零點，求取的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)

武昌區(qū)2024屆高三年級上學(xué)期期末質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題參考答案及評分細則

選擇題：

題號123456789101112

答案BCCDDDDAABDADABDAD

填空題：

13.014.x-y+l=015.23216.9G

解答題：

17.（10分）

解：（1）由余弦定理，得ac------------------bcsinA=a2-b2,......................（1分）

2ac

z,2,2_2

化簡，得sin/=---------------,所以sinZ=cos4,即tanZ=l....................（3分）

2bc

TT

因為/e（0,兀），所以/=；.........................................................（4分）

（2）因為△48C的面積為2,所以，bcsin/=2,即be=4夜..........（6分）

2

a2=b2+c2-2bccosA,所以/+廿二口，......................（8分）

所以3+c>=/+/+2bc=12+8&=（2+20>,

所以b+c=2+2VL.......................................................................（10分）

18.（12分）

解：（1）證明:

因為eq，平面MC,ZCu平面48C,所以ZC_LCC]..............................（1分）

又4c3=90°,即/CL3C,.............................................（2分）

且8cncq=c，5Cu平面8CC]4，C￡u平面5CC4，

所以平面Bcqg.............................................................（3分）

因為尸Au平面BCC/i，所以網(wǎng)................................（4分）

（2）以。為原點，分別以啟，刎，配為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐

標(biāo)系，如圖，則尺（0,2,1）,尸（0,1,3）,。（2,0,2）,

于是麗=（0,1,—2）,函=（—2,2,—1）..........................................（6分）

高三數(shù)學(xué)試題參考答案及評分細則第1頁（共8頁）

設(shè)tz=（x,y,z）是平面尸Q?的一個法向量,

,—??

aJLPR,a-PR=0,v-2z=0,

則《__^即＜____.所以

aJLQR.a-QR=0,—2x+2,y—z=0.

x=3,

取z=2,貝1」＜；；=4,所以2=（3,4,2）.

z=2.

又豆二（0,0,1）是平面ARC的一個法向量,

所以，所求二面角的余弦值為?不_=二=2429

（12分）

㈤?⑺V2929

19.（12分）

解：（1）零假設(shè)笈。：數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運算速度無關(guān),

60（10x17—11x22）2311040匚…

--------------------------=----------?0A.424＜6.635=x（2分）

21x39x32x28733824n0n0i100

根據(jù)小概率值a=0.010的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷X。不成立，因此可以認為

%成立，即數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運算速度無關(guān).（4分）

（2）記事件/為“甲在3人一組”，則需從除甲以外的9人任選2人與甲形成一組,

再從剩下7人中任選3人形成一組，最后4人形成一組，

ccc

所以，P（A）=i\'i=~.（7分）

4

記事件為“甲在3人一組，乙在4人一組”，則需從除甲、乙以外的8人任選2人

與甲形成一組，再從剩下6人中任選3人與乙形成一組，最后3人形成一組，

所以‘P"屋裳（10分）

4

由條件概率公式，得P（8M）=口*=3

P⑷9

4

所以，甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率為一.（12分）

9

20.（12分）

高三數(shù)學(xué)試題參考答案及評分細則第2頁（共8頁）

解：（1）證明：由」~=2_:_，得'=%"加..........（1分）

S”ana.2（%+]一%）

當(dāng)〃》2時，S,_i..........................（2分）

2（%-%）

所以，%=S“—Si...................（3分）

2（a?+1-an）2（%-%_J

由%wO,得1=—a---------上—

化簡得%+i+%T=2an.（4分）

2（%+1-%）2（凡一用1）

所以，數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.............................................（5分）

（2）由（1）可知，數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,且dwO,

則/=機，a2=m+d..............................（6分）

在士17—-二2中取〃=1,得」_1=*2—士2，

aa

S”nn+lS[6/

即L1=7_￡_2_化簡得加=小...............................（7分）

mmm+d

所以S"="（”；[tn,S10=55m.........................（9分）

71

由[5,io]=10,得10WSi。<11,BP10<55m<11,于是nVm<-............（11分）

所以，實數(shù)機的取值范圍是[2A，31.....................................（12分）

21.（12分）

解：（1）由題可知c=4,-=V3,a2+b2=c2,..................（2分）

a

解得a=2fb=2A/3,c=4.

22

所以，C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上一工=1................................（4分）

412

（2）存在定圓O]:（x-6）2+=16.

證明如下：因為直線N8與雙曲線C右支交于N,B兩點,所以直線的斜率不為0,

設(shè)直線48：x=my+4,A（xA,yA）,M（xM,yM）,

高三數(shù)學(xué)試題參考答案及評分細則第3頁（共8頁）

__)L_i

由<412—,得(3加之-l)j?+24叼+36=0.

x=my+4

LLt、I_2477736.144/21\/C八、

所以為+力=三丁7，為力=“A=l44(m-+l)............................(6分)

3m-I3m-I

乃+力-12m-4

所以==^y+4=

23m2-IM3m2-I

由直線與雙曲線右支交于兩點得，結(jié)力=乎<0，解得加2<上

AB3m2-I3

12(1+/)12(1+/)

又因為Z8=Jl+為\y-y|=Vl+w2—、-

修A?B13m2-I|13加2一11l-3m2

所以圓M的方程為：(x+一一)2+(y+當(dāng)5/6(1+加?]...............(8分)

3m2-1,3m2-11l-3m2J

由對稱性可知：若存在定圓Q與圓M相內(nèi)切，則定圓圓心Q必在x軸上，不妨設(shè)定

22

圓Ox：(x-〃)2+y=r(r>0).

則由圓M與圓。1相內(nèi)切得：IW6(1+")一

l-3m

即:(10分)

整理得：[9/-(3r+6)2]m4+[6M(4-〃)+144-2(3r+6)(6-r)]m2+(4-n)2-(6-r)2=0.

因為上式與機無關(guān)，所以

9?2-(3r+6)2=0,

<6〃(4一〃)+144-2(3r+6)(6-r)=0,解得

(4—〃y—(6—廠)2=0,

所以存在定圓q:(x—6『+「=16................................................(12分)

22.(12分)

Y1—Y1

解：(1)當(dāng)加=1時，/(x)=—+ln(—x+1),f'(x)=--+——...............(2分)

e*e*x-1

因為/(0)=0,/'(0)=0,所以，切線方程為了=0............................................(4分)

(2)①當(dāng)切=1時，/(x)==+ln(—x+1),定義域為(-8,1),八》)=一~~，

ee(x-1)

高三數(shù)學(xué)試題參考答案及評分細則第4頁(共8頁)

設(shè)g(x)=e，—(x—1)2,xe(-00,1),則g(x)=e'—2(x—1)>0,

所以g(x)=e=(x—l)2在(一8,1)單調(diào)遞增.又g(0)=0,eXx-l)<0,

所以，當(dāng)0<x<l時，g(x)>0,f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<0時，g(x)<0,

/'(x)〉0,/(x)單調(diào)遞增.

所以/(x)〈/(0)=0，即“尤)有唯一零點x=0,滿足題意...............(7分)

Y

②當(dāng)加<1時，/(%)=一+ln(-x+m),定義域為(一8,加).

ex

XX

由①可得f(x)=—+ln(-x+m)<—+ln(-x+l)<0,

exex

所以，加)無零點，不合題意，舍................................(9分)

Y

③當(dāng)加>1時，/(%)=一+ln(-x+m),定義域為(一8,加)，且/(0)=ln加>0.

---1rn---1

所以/(加一J_)=——3+ln^=——冬―

em—em—

eeee

1

11tn—

e

由/?x+l，得e>m一一+1>加一一，所以----e<0.

eem--

ee

所以/(機一:)<0,所以/(0)/(機一:)<0.

ee

由零點存在性定理，“X)在(0,加-3至少有1個零點.

e

一加

又f(-m)=-+In2m=-mem+Inm+In2.

e

因為ln2<l,-mem<-em，

所以/(一加)=一加《一"+Inm+In2<-e"+lnm+l.

由加+1，得一e"(一加一1，e"T>相，Inm<m-1,

所以一e"+Inm+1<—m—1+m—1+1=—1<0，即/(一冽)<。，所以/(一加)/(0)<。.

由零點存在性定理，/(、)在(-九0)至少有1個零點.

所以/(%)至少有2個零點，不合題意.

綜上，m=1.........................................................................(12分)

高三數(shù)學(xué)試題參考答案及評分細則第5頁(共8頁)

其它參考解法:

21.

22

（2）由（1）可知，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為^—=1,設(shè)弦的中點為M,

412

/（盯，為），BQB，YB），M{XM,yM），

由焦半徑公式|MB|="；”I=2（D；2（x「l）=2x“_2.①

2222

因為4B在雙曲線上，所以比一上￡=1,強—絲=1.

412412

兩式作差得（X，—XB）（X/XB）_（九一為X為+力）=0

……412

由3'

所以〃點的軌跡方程為也.上』=3,

XM“一4

即(%-2)-_應(yīng)=]

412

所以，點M在以。乙為實軸，以2為離心率的雙曲線Ci上，。的方程為

（“[2）-*=1,其右焦點為。[（6,0）.

②

由焦半徑公式得：|=2（x”-3）=2XM-6.

由①②，得BPIW|-4=|MQ|.

所以，兩半徑之差4等于圓心距次/qI，故兩圓內(nèi)切.

即以q（6,0）為圓心，以4為半徑的圓0]:（x—6>+y2=16與M內(nèi)切,

因此，存在定圓O]：（x-6）2+y=16與圓M內(nèi)切.

另解：設(shè)定圓的方程為（X-加）2+3-〃）2=/,解出加=6,〃=0/=4.

22.

由/⑴=》14+"得/’（上士一^1

(2)

高三數(shù)學(xué)試題參考答案及評分細則第6頁（共8頁）

_111_1

當(dāng)x〉l時，上r」〉0,又一^<0,所以/'(%)=」——r—<0.

exx-mx-mex

1r_i1r_9

當(dāng)x<l時，令g(x)=--------—，g，(x)=------+―—<0.

x—me(x-m)e

ir_i

所以g(x)=--------1在(一8/)C(—8,加)單調(diào)遞減.

xe

Ix—11

當(dāng)機>1時，x^-co,------------>+co,g(l)=----<0,所以g(x)在

x-me1-m

xe(—s,l)存在唯一零點

、[,..1x-l]%_]

當(dāng)加?1時，x—>—GO,--------------------,+co,x->m,------------>—8,