2024高考學(xué)習(xí)資料：立體幾何

2024高考學(xué)習(xí)資料：立體幾何

目錄

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖......................................2

1.1.課堂作業(yè).................................................................5

1.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練......................................................9

1.2.1.考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征自主練習(xí)..............................9

1.2.2,考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖微專題..............................10

1.2.3.考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖.......................................14

2.空間幾何體的表面積與體積..................................................16

2.1.課堂作業(yè)................................................................17

2.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練....................................................19

2.2.1.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積與體積自主練習(xí).........................19

2.2.2.考點(diǎn)二轉(zhuǎn)化法求幾何體體積.......................................20

2.2.3,考點(diǎn)三空間幾何體的外接球問(wèn)題微專題..........................23

2.2.4.【例1】（配合考點(diǎn)一使用）一個(gè)六棱錐的體積為2m，其底面是邊長(zhǎng)為2

的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為。..................28

2.3.課外閱讀?增分培優(yōu).....................................................29

3.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系...........................................34

3.1.課堂作業(yè)..............................................................37

3.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練....................................................40

3.2.1.考點(diǎn)一平面基本性質(zhì).............................................40

3.2.2.考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系...................................42

3.2.3.考點(diǎn)三異面直線所成的角.........................................43

4.直線、平面平行的判定與性質(zhì).................................................48

4.1.課堂作業(yè)................................................................50

4.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練.....................................................52

4.2.1.考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與證明..............................52

4.2.2.考點(diǎn)二直線與平面平行的性質(zhì)應(yīng)用.................................54

4.2.3.考點(diǎn)三平面與平面平行的判定與證明..............................56

4.2.4.考點(diǎn)四平面與平面平行的性質(zhì)應(yīng)用................................58

5.直線、平面垂直的判定與性質(zhì).................................................60

5.1.課堂作業(yè)..............................................................62

5.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練.....................................................64

第1頁(yè)共130頁(yè)

5.2.1.考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)................................64

5.2.2.考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)................................66

5.2.3.考點(diǎn)三垂直關(guān)系的應(yīng)用微專題....................................68

6.空間向量及其運(yùn)算............................................................77

6.1.課堂作業(yè)................................................................80

6.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練.....................................................82

6.2.1.考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算........................................83

6.2.2.考點(diǎn)二共線、共面向量定理的應(yīng)用..................................84

6.2.3.考點(diǎn)三利用向量證明平行與垂直問(wèn)題..............................86

7.立體幾何中的向量方法......................................................91

8.教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)........................................................92

8.1.自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀.....................................................92

8.2.課堂作業(yè)..............................................................93

9.利用空間向量求空間角........................................................96

9.1.互動(dòng)課堂?考向探究.....................................................96

9.1.1.考點(diǎn)一直線與直線所成的角自主練習(xí)............................96

9.1.2.考點(diǎn)二直線與平面所成的角.......................................98

9.1.3.考點(diǎn)三二面角..................................................101

9.2.立體幾何的綜合問(wèn)題..................................................105

9.2.1,考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練..............................................105

9.2.2.考點(diǎn)一探究問(wèn)題..................................................105

9.2.3.考點(diǎn)二翻折問(wèn)題..................................................108

9.2.4.考點(diǎn)三最值與范圍問(wèn)題...........................................112

10.總結(jié)反思.................................................................113

11.教師備用題...............................................................116

12.空間向量中垂直關(guān)系、長(zhǎng)度關(guān)系的隱形問(wèn)題.................................117

12.1.垂直關(guān)系的隱性問(wèn)題..................................................118

12.2.長(zhǎng)度關(guān)系的隱性問(wèn)題..................................................121

13.增分訓(xùn)練..................................................................124

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

第2頁(yè)共130頁(yè)

1認(rèn).識(shí)柱、錐、臺(tái)、

球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)

特征，并能運(yùn)用這些特征2020?全國(guó)n

描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體卷?T7（三視圖還原幾何考情分析：空間幾何

的結(jié)構(gòu)體）體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、

2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間2020?全國(guó)III直觀圖是高考重點(diǎn)考查的

圖形（長(zhǎng)方體、球、圓卷?T8（三視圖及表面積）內(nèi)容。主要考查根據(jù)幾何

柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易2019?全國(guó)n體的三視圖求其體積與表

組合）的三視圖，能識(shí)別卷?T16（空間幾何體結(jié)構(gòu)面積。對(duì)空間幾何體的結(jié)

上述三視圖所表示的立體特征）構(gòu)特征、三視圖、直觀圖

模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)2018?全國(guó)I的考查，以選擇題和填空

出它們的直觀圖卷?T7（三視圖與距離）題為主

3.會(huì)用平行投影方2018?全國(guó)III核心素養(yǎng)：直觀想象

法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三卷-T3（三視圖的辨析）

視圖與直觀圖，了解空間

圖形的不同表示形式

教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)

自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀

\\基礎(chǔ)細(xì)梳理知識(shí)必備?固根基■

1.簡(jiǎn)單幾何體

（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征

名

棱柱棱錐棱臺(tái)

稱

第3頁(yè)共130頁(yè)

E'D'一頂點(diǎn)X

共!!\\

\側(cè)面\\\

圖：：D'\

4必二滂V上底面

形

~八'頂點(diǎn)1底面A&____彳下底面

底

互相平行且全等多邊形互相平行且相似

面

側(cè)相交于一點(diǎn)，但

互相平行且相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

棱不一定相等

側(cè)

面

平行四邊形三角形梯形

形

狀

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

力

層

圖形

廢二

中-底面

互相平行

長(zhǎng)度相等延長(zhǎng)線交

母線且相等，垂直—

且相交于一點(diǎn)于^盧

于底面

全等的矩全等的等全等的等

軸截面圓

形腰三角形腰梯形

側(cè)面

展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)—

?微提醒?

球的截面的性質(zhì)

1.球的任何截面是圓面。

第4頁(yè)共130頁(yè)

2.球心和截面(不過(guò)球心)圓心的連線垂直于截面。

3.球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r=

^/R2-d2o

2.直觀圖

(1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法。

(2)規(guī)則：①原圖形中，x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x'軸、y'軸

的夾角為45。(或135。)，z'軸與x'軸和y'軸所在平面垂直。②原圖形中平行于

坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸。平行于x軸和z軸的線段在直觀圖

中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半。

?微提醒?

斜二測(cè)畫(huà)法中的"三變"與"三不變”

’坐標(biāo)軸的夾角改變，

"三變”<與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半,

、圖形改變。

［平行性不改變，

“三不變與x軸和z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變,

〔相對(duì)位置不改變。

3.三視圖

幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前

方、正左方和正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線。

?微提醒?

三視圖的長(zhǎng)度特征

"長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”，即正俯同長(zhǎng)、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬。

1.1.課堂作業(yè)

第5頁(yè)共130頁(yè)

一、常規(guī)題

1.若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個(gè)三棱

柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為（]

T

2

1

正視圖

側(cè)視圖

俯視圖

A.2,2^3B.2y[2,2

C.4,2D.2,4

解析由三視圖可知，正三棱柱的高為2,底面正三角形的高為2出，故

底面邊長(zhǎng)為4。故選D。

答案D

答案C

二、易錯(cuò)題

3.（棱柱的概念不清）如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'被截去一部分，其中EH

〃A'D'。剩下的幾何體是（）

A.棱臺(tái)B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知，剩下的幾何體為五棱柱。故選C。

第6頁(yè)共130頁(yè)

答案c

4.（三個(gè)視圖間的關(guān)系不清）將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)

棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為

（）

正視圖

便視圖

解析先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)視圖。由幾何體的

正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)視圖為圖②。故選B。

答案B

5.（斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則不清）利用斜二測(cè)畫(huà)法，以下結(jié)論正確的是（）

A.三角形的直觀圖一定是三角形

B.正方形的直觀圖一定是菱形

C.等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形

D.菱形的直觀圖一定是菱形

解析由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知A正確；B錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形;

C錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；菱形的直觀圖不一定是菱

形，D錯(cuò)誤。

第7頁(yè)共130頁(yè)

答案A

第8頁(yè)共130頁(yè)

1.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練

互動(dòng)課堂?考向探究

1.2.1.考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征自主練習(xí)

1.下列命題中正確的是（）

A.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母

線

B.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐

C.棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等

D.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

解析A不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；B不一定，

當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓

錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；C錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底

面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定

相等；由棱臺(tái)的定義知，棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，D正確。

答案D

2.（多選）下列命題中正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為

直四棱柱

C.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)

解析A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但

不一定全等；B正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直

于底面；C正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個(gè)面

都是直角三角形；D正確，由棱臺(tái)的概念可知。

第9頁(yè)共130頁(yè)

AB

答案BCD

3.若四面體的三對(duì)相對(duì)棱分別相等，則稱之為等腰四面體，若從四面體

的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，則稱之為直角四面體，以長(zhǎng)方體

ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)為四面體的頂點(diǎn)，可以得到等腰四面體的個(gè)數(shù)是

，直角四面體的個(gè)數(shù)是。

解析因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線構(gòu)成2個(gè)等

腰四面體。因?yàn)閺拈L(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱都是兩兩垂直的，所以長(zhǎng)方

體中有8個(gè)直角四面體。

答案28

練后

解決空間幾何體概念辨析題的常用方法

1.定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變

換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定。

2.反例法：通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析。

1.2.2.考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖微專題

微考向1：由幾何體識(shí)別三視圖

【例1】（2021?湖南師大附中月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1

中，M為線段BB1的中點(diǎn)，現(xiàn)用一個(gè)過(guò)點(diǎn)M,C,D的平面去截正方體，得到

上下兩部分，用如圖的角度去觀察上半部分幾何體，所得的側(cè)視圖為（）

第10頁(yè)共130頁(yè)

ABCD

解析上半部分的幾何體如圖：

由此幾何體可知，所得的側(cè)視圖為1-------1。故選B。

答案B

總結(jié)反思

空間幾何體的三視圖的畫(huà)法

i.搞清正（主）視、側(cè)（左）視、俯視的方向，同一物體由于放置的位置不

同，所畫(huà)的三視圖可能不同。

2.看清簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)基本幾何體組成。

3.畫(huà)三視圖時(shí)要遵循"長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的原則，還要注意幾何體

中與投影垂直或平行的線段及面的位置關(guān)系。

微考向2：由三視圖還原幾何體

【例2】（2020?全國(guó)H卷）如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條

棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)

在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）

第11頁(yè)共130頁(yè)

A.EB.F

C.GD.H

解析由三視圖知，該幾何體是由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的，其直觀圖如圖

所示，由圖知該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E。故選A。

答案A

總結(jié)反思

由三視圖確定幾何體的3個(gè)步驟

定底面H7轉(zhuǎn)宿而畝畫(huà)麗也宸百麗'：

.,II

。二二二二二二二二二二二二二二二

良菽而畝卜藏轉(zhuǎn)定、祠就畝W品元有麻麻向麻金祠市而分紀(jì)

■,I>

0

定形狀卜注要三版由爭(zhēng)鹿旗花羹旗而獲,而意而麗我：

?,II

【題組對(duì)點(diǎn)練】

L（微考向1）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,B在平面a上，

AB=巾,若平面A1B1C1D1與平面a所成的角為30。，由如圖所示的俯視方

向，正方體ABCD-A1B1C1D1在平面a上的俯視圖的面積為（）

A.2B.I+A/3

C.2^3D.2y[2

解析由題意得AB在平面a上，且平面a與平面A1B1C1D1所成的角為

30°,則平面a與平面A1B1BA所成的角為60。，故所得的俯視圖的面積5=

業(yè)業(yè)os30。+陋cos60°）=1+V3O

第12頁(yè)共130頁(yè)

答案B

2.（微考向2）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱

的表面積為（）

im□

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.B.6+2A/3

C.12+V3D.12+2/

解析將三視圖還原為直觀圖（圖略），知該三棱柱是正三棱柱，其高為

1

2,底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，正三棱柱的上、下兩個(gè)底面的面積均為5

x2x2xsin60°=2><2X2X^-=^3,三個(gè)側(cè)面的面積均為2X2=4,故其表面積為

2小+12。故選D。

答案D

3.（微考向2）漢朝時(shí)，張衡得出圓周率的平方除以16等于|。如圖，網(wǎng)格

紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的

曲線為圓，利用張衡的結(jié)論可得該幾何體的體積為（）

「32?40vl5

L13U,3

解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是半個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐的組合

11132

體，其底面半徑為2,高為4,則體積丫=5箝22*4+§、571*22義4=不工，利用

第13頁(yè)共130頁(yè)

張衡的結(jié)論可得彩=宗所以n=E，從而丫=嗎嗎故選C。

loOY3

答案c

1.2.3.考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖

[例3](1)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所

示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是(]

解析由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為明，所以

原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2加。故選A。

答案A

(2)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,那么4ABC的直觀圖△A'B'C'的面積為

解析如圖，圖①、圖②分別表示aABC的實(shí)際圖形和直觀圖。從圖②可

知，A'B'=AB=2,

O'C'=，OC=坐，C'D'=0'C'sin45o=坐x*=坐。所以SaA‘B'C'=￡

,,,,

AB-CD=1X2X^=^O

L44*

第14頁(yè)共130頁(yè)

答案平

總結(jié)反思

平面圖形與其直觀圖的關(guān)系

1.在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段。平行于X軸的線段的平

行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段的平行性不變，長(zhǎng)度減半。

2.按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的

關(guān)系：S直觀圖=#S原圖形。

【變式訓(xùn)練】有一塊多邊形的菜地，其水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直

觀圖是直角梯形（如圖所示），ZABC=45°,AB=AD=1,DC±BC,則這塊菜

地的面積為。

解析在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE_LBC,垂足為E,則在Rt^ABE中，AB

=1,ZABE=45°,所以BE=為-。而四邊形AECD為矩形，AD=1,所以EC

也一

=AD=1,所以BC=BE+EC=4-+1。由此可還原原圖形如圖所示。在原圖

形中，A'D'=1,A'B'=2,且A'D‘〃B'C',A'B'_LB'C',所以這塊

菜地的面積為S=T（A，D，+B9）WB，="x（l+l+￥jx2=2+乎。

第15頁(yè)共130頁(yè)

2.空間幾何體的表面積與體積

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

2020?全國(guó)I考情分析：主要考查

卷TIO］球的表面積）空間幾何體的表面積與體

2020?全國(guó)n積。常以選擇題與填空題

卷-T10（球的幾何性質(zhì)）為主，涉及空間幾何體的

了解柱、錐、臺(tái)、球

2020?全國(guó)III結(jié)構(gòu)特征、三視圖等內(nèi)

的表面積和體積的計(jì)算公

卷?T15（圓錐的內(nèi)切球）容，要求考生要有較強(qiáng)的

式

2019?全國(guó)I空間想象能力和計(jì)算能

卷?T12（球的體積）力，難度為中低檔

2019?全國(guó)m核心素養(yǎng)：直觀想

卷-T16（組合體體積）象、數(shù)學(xué)運(yùn)算

教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)

自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀

\\基礎(chǔ)細(xì)梳理知識(shí)必備?固根基■

1.多面體的表面積、側(cè)面積

因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積

之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和。

表面積體積

第16頁(yè)共130頁(yè)

柱體S表面積=s側(cè)

V=S底h

（棱柱和圓柱）+2S底

錐體S表面積=5側(cè)1

V=3S底h

（棱錐和圓錐）+S底

1

臺(tái)體S表面積=5側(cè)V=§（S上+S下+

（棱臺(tái)和圓臺(tái)）+S上+S卜

/上S下）h

4

球S=4nR2V=3iiR3

?微提醒?

幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

1.正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R,

（1）若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=，§a。

（2）若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a。

（3）若球與正方體的各棱相切，則2R=/a。

2.若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,

則2R=^/a2+b2+c2o

3.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1。

2.1.課堂作業(yè)

一、常規(guī)題

1.圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱的體積比V

球：V柱為（）

A.1：2B.2：3

C.3：4D.1：3

第17頁(yè)共130頁(yè)

V球3成3?

解析設(shè)球的半徑為R,則品=0九”二7。故選慶

VttITK/X/KD

答案B

2.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

32

A.12n

C.8TTD.4TI

解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則a3=8,解得a=2。設(shè)球的半徑為R,則

2R=,a,即R=小。所以球的表面積S=4irR2=12n。故選A。

答案A

3.如圖是將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出的一個(gè)棱錐，

則該棱錐的體積與剩下的幾何體的體積的比為o

解析設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,它截出的棱錐的體積VI

111111147

=gx-x-ax-bx-c=^abc,剩下的幾何體的體積V2=abc—而abc=^abc,所

以VI：V2=l：47o

答案1:47

二、易錯(cuò)題

4.（長(zhǎng)度單位與體積單位的換算出錯(cuò)）《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形

谷倉(cāng)，高1丈3尺3日寸，容納米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛為容

積單位，1斛*1.62立方尺，11x3）,則圓柱底面圓的周長(zhǎng)約為（）

A.1丈3尺B.5丈4尺

C.9丈2尺D.48丈6尺

解析設(shè)圓柱高為h尺，底面圓的半徑為r尺，依題意，得圓柱體積為V

=nr2h=2000xL62*3xr2xl3.33,所以r2?：81,即r?9,所以圓柱底面圓的周

長(zhǎng)為2nr“54,54尺=5丈4尺，即圓柱底面圓的周長(zhǎng)約為5丈4尺。故選B。

第18頁(yè)共130頁(yè)

答案B

5.(不會(huì)分類討論致誤)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6n和4n的矩形，則

圓柱的表面積為o

解析分兩種情況：①以長(zhǎng)為6n的邊為高，411為圓柱底面的周長(zhǎng)時(shí)，則

2nr=4n,r=2,所以S底=4n,S側(cè)=6nx4Tl=24n2,S表=2S底+5側(cè)=

8n+247T2=8TT(3TT+1)；②以長(zhǎng)為4n的邊為高，6n為圓柱底面的周長(zhǎng)時(shí)，則

2irr=6ir,r=3,所以S底=9ir,S表=2S底+S側(cè)=187T+24n2=6n(4it+

3)o

答案6M4n+3)或8TT(3IT+1)

2.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練

互動(dòng)課堂?考向探究

2.2.1.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積與體積自主練習(xí)

1.(2018?全國(guó)I卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為01,02,過(guò)直線

0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

()

A.12陋nB.121T

C.8^/2ITD.10n

解析因?yàn)檫^(guò)直線0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方

形，所以圓柱的高為2短，底面圓的直徑為2節(jié)，所以該圓柱的表面積為

2X7TX(^/2)2+2V2ITX2^/2=12TTO

答案B

7-

2.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為宙SA與圓錐底

面所成的角為45。。若4SAB的面積為5恒，則該圓錐的側(cè)面積為()

A.20-72B.4072

C.20&RD.40&n

解析如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S',連接AS',SS'。則4SAB的面

積為當(dāng)SASB-sinNASB4sA271—852乙諛=曙92=5恒,所以SA2

=80,SA=4鄧。因?yàn)镾A與底面所成的角為45。，所以NSAS'=45。，AS'=

第19頁(yè)共130頁(yè)

、歷

SA-cos45°=4-\/5x2=2^/10°所以底面周長(zhǎng)l=2TrAS'=WI5n,所以圓錐的

側(cè)面積為15n=40&ir。故選D。

答案D

3.（2021?八省聯(lián)考）圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面

上，其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺(tái)的體積為o

解析圓臺(tái)的下底面半徑為5,故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，

設(shè)球的球心為0,圓臺(tái)上底面的圓心為0',則圓臺(tái)的高OO'=qOQ2—O'Q2=

452—42=3,據(jù)此可得圓臺(tái)的體積V=§TIX3X（52+5X4+42）=61TI。

練后感悟

1.幾何體表面積的計(jì)算：根據(jù)幾何體的直觀圖或三視圖所給的條件，確

定幾何體的形狀，選擇正確的平面圖形的面積公式求解，注意表面積與底面

積、側(cè)面積的區(qū)別。

2.幾何體體積的計(jì)算：簡(jiǎn)單幾何體可用體積公式直接求解，一些組合體

的體積需用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解。

2.2.2.考點(diǎn)二轉(zhuǎn)化法求幾何體體積

【例1】（1）（2021?貴州部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）如圖，在直四棱柱

ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱

CC1上靠近C1的三等分點(diǎn)，且三棱錐A1-AEF的體積為2,則四棱柱

第20頁(yè)共130頁(yè)

ABCD-A1B1C1D1的體積為（]

A.12B.8

C.20D.18

解析設(shè)點(diǎn)F到平面ABB1A1的距離為h,由題意得VA1-AEF=

11AlAl1

VF-AlAEo又VF?AlAE=?SaAlAE?h=qx|jAAl?AB)h=d(AAl?AB)?h=%S四

1

邊形?所以?

ABBlAlh=zoVABCD-AlBlClDl,VABCDA1B1C1D1=6VA1-AEF=

6x2=12。所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為12。故選A。

答案A

(2)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為4cm,母線長(zhǎng)最短

5cm,最長(zhǎng)8cm,則斜截圓柱的體積V=cm3。

5cm

2、

解析解法一：(分割法)將斜截圓柱分割成兩部分，下面是底面半徑為2

cm,高為5cm的圓柱，其體積Vl=7rx22x5=20iT(cm3)；上面是底面半徑為

1

2cm,高為8—5=3(cm)的圓柱的一半，其體積V2=2xnx22x3=6n(cm3)。

所以該組合體的體積V=Vl+V2=20ii+6n=26Ti(cm3)。

解法二：(補(bǔ)形法)在該幾何體上方再補(bǔ)上一個(gè)與其相同的幾何體，讓截面

重合，則所得幾何體為一個(gè)圓柱，該圓柱的底面半徑為2cm,高為8+5=13

cm,該圓柱的體積Vl=7Tx22xl3=52n(cm3)。所以該幾何體的體積為圓柱體

1

積的一半，即V=2Vl=26n(cm3)。

答案267T

第21頁(yè)共130頁(yè)

總結(jié)反思

求體積的幾種轉(zhuǎn)化方法

1.分割法：通過(guò)對(duì)不規(guī)則幾何體進(jìn)行分割，化為規(guī)則幾何體，分別求出

體積后再相加即得所求幾何體的體積。

2.補(bǔ)形法：通過(guò)補(bǔ)形構(gòu)造出一個(gè)規(guī)則幾何體，然后進(jìn)行計(jì)算。

3.等體積法：三棱錐的體積求解具有較多的靈活性，因?yàn)槿忮F的任意

一個(gè)頂點(diǎn)都可以作為頂點(diǎn)，任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面，常常需要對(duì)其

頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以方便求解。

【變式訓(xùn)練】(1)如圖所示的幾何體是從棱長(zhǎng)為2的正方體中截去到正方

體的某個(gè)頂點(diǎn)的距離均為2的幾何體后的剩余部分，則該幾何體的表面積為

()

A.24—311B.24—n

C.24+TTD.24+5n

解析由題意知該幾何體是從棱長(zhǎng)為2的正方體中截去以正方體某個(gè)頂點(diǎn)

111

為球心，為半徑的球后的剩余部分，則其表面積不

2Ro4-=o6'22—3*/r22+

X4XTTX22=24—iTo故選B。

答案B

(2)如圖，在正六棱錐P-ABCDEF中，若G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D-GAC

與三棱錐P-GAC的體積之比為()

p

B

A.1：1B.1：2

C.2：1D.3：2

第22頁(yè)共130頁(yè)

解析設(shè)正六棱錐的高為h,VD-GAC=VG-DAC=jsAADC-1,VP-GAC=1

1h

VP-ABC=VG-ABC=3SAABC-2O又SZXADC：SAABC=2：1,故VD-GAC：

VP-GAC=2：lo

答案C

2.2.3.考點(diǎn)三空間幾何體的外接球問(wèn)題微專題

微考向1：交軌法確定球心

【例2】（2021?安徽高三聯(lián)考）已知4ABC是以BC為斜邊的直角三角

形，P為平面ABC外一點(diǎn)，且平面PBC,平面ABC,BC=3,PB=2巾,PC=

乖，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為o

解析如圖所示，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，在平面PBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作MN,

BC,因?yàn)槠矫鍼BC_L平面ABC,所以MN,平面ABC。又4ABC是以BC為斜

邊的直角三角形，所以直線MN上任意一點(diǎn)到A,B,C的距離相等，在平面

PBC內(nèi)作線段PB的垂直平分線DE,設(shè)DE與MN的交點(diǎn)為0,則點(diǎn)。到P,

A,B,C的距離都相等，即點(diǎn)0為三棱錐P-ABC外接球的球心，并且。也是

△PBC的外心，因此三棱錐P-ABC外接球的半徑與4PBC的外接圓半徑相等。

又PB=2巾,BC=3,PC=y[5,所以cosNPBC=

2X2.V2X3=^；則sin/PBC=半，設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

則2R=g=?,即R=卑，則外接球的表面積S=4nR2=107i。

答案IOTT

總結(jié)反思

本題由過(guò)4ABC外心的平面ABC的垂線與線段PB的中垂線的交點(diǎn)找到了

第23頁(yè)共130頁(yè)

三棱錐P-ABC的外接球的球心，這種方法就是交軌法。

微考向2：補(bǔ)體積確定球心

【例3】在三棱錐A-BCD中，AB=CD=V5,AC=BD=2,AD=BC=

V3,若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（）

3TT

B.247T

C.-\[6nD.6U

解析將三棱錐A-BCD補(bǔ)為長(zhǎng)方體AEBF-GDHC,如圖所示。設(shè)DG=x,

DH=y,DE=z,則AD2=x2+z2=3,DB2=y2+z2=4,DC2=x2+y2=5,

上述三個(gè)等式相加得AD2+BD2+CD2=2（x2+y2+z2）=3+4+5=12,所以

該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為\x2+y2+z2=而,則其外接球的半徑為R=歹，因

此此球的體積為爭(zhēng)1x（坐，二,立。故選C。

答案C

總結(jié)反思

對(duì)棱相等的三棱錐，可補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，此時(shí)三棱錐的6條棱均為長(zhǎng)方體的

面對(duì)角線。計(jì)算時(shí)，可以設(shè)而不求，設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，利用勾股定理

列式，可以不計(jì)算出棱長(zhǎng)，直接得到外接球的半徑。

微考向3：球的截面問(wèn)題

【例4】（2020?全國(guó)I卷）已知A,B,C為球0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，0

01為aABC的外接圓。若001的面積為4mAB=BC=AC=OO1,則球。的

表面積為（）

A.64KB.48TT

C.36TCD.32K

解析如圖所示，設(shè)球。的半徑為R,。01的半徑為r,因?yàn)椤?1的面

第24頁(yè)共130頁(yè)

AB

積為4TT,所以4n=irr2,解得r=2,又AB=BC=AC=001,所以S也60。

2r,解得AB=2小，故OO1=2V§,所以R2=OO2+r2=（2班）2+22=16,

所以球。的表面積S=4irR2=64n。故選A。

總結(jié)反思

求解球的表面積問(wèn)題的關(guān)鍵在于過(guò)好雙關(guān)：一是“方程關(guān)"，能借用圖形，

利用已知三角形的外接圓的面積，得三角形的邊長(zhǎng)，從而得球的半徑R所滿足

的方程，解方程，求出R的值；二是“公式關(guān)”，能應(yīng)用球的表面積公式5=

4TTR2,求其表面積。

【題組對(duì)點(diǎn)練】

L（微考向1）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面

上，若AB=3,AC=4,AB±AC,AA1=12,則球0的半徑為（）

B.2^10

C竽D.3^/10

解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M。又

AM=|BC=|,OM=|AA1=6,所以球。的半徑R=OA=]1|）2+62=

13

T°

答案c

第25頁(yè)共130頁(yè)

2.（微考向2）在直三棱柱ABC-A1B1CC中,AB±BC,BC=1,AB=小,

AA1=2小,則該直三棱柱的外接球的體積為（）

八32TT64ii

C-3-D-~T~

解析如圖所示，將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的外接

球即直三棱柱的外接球。長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為1232+小2+12=

4o設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R,則2R=4,得R=2,所以該直三棱柱的外

接球的體積V=14nR3=弩32TT。故選C。

答案C

3.（微考向3）（2020?全國(guó)II卷）已知AABC是面積為乎的等邊三角形，且

其頂點(diǎn)都在球。的球面上，若球。的表面積為16TT,則0到平面ABC的距離

為（]

A.y[3B.|

C.1D.申

解析由等邊三角形ABC的面積為厚，得好AB2=乎，得AB=3,則

△ABC的外接圓半徑r=|x曰AB等AB=小。設(shè)球的半徑為R,則由球的表

面積為16m得4TTR2=16IT,得R=2,則球心0到平面ABC的距離d=

、R2—r2=l。故選C。

答案C

4.（加強(qiáng)練）（多選）已知四面體ABCD是球0的內(nèi)接四面體，且AB是球0

的一條直徑，AD=2,BD=3,則下面結(jié)論正確的是（)

第26頁(yè)共130頁(yè)

A.球。的表面積為137T

B.AC上存在一點(diǎn)M,使得AD〃BM

C.若N為CD的中點(diǎn)，則ONJ_CD

D.四面體ABCD體積的最大值為華

解析如圖所示，因?yàn)锳B是球0的一條直徑，所以AC_LBC,AD_LBD,

所以AB=NAD2+BD2=M22+32=VI§,球0的半徑為58=隼，球0的

表面積為4nxp|q2=13冗，故A正確；若AC上存在一點(diǎn)M,使得AD〃

BM,又AD《平面ABC,BMu平面ABC,所以AD〃平面ABC,而AD與平面

ABC相交，故B錯(cuò)誤；連接OC,0D,因?yàn)镺C=OD,N為CD的中點(diǎn)，所以

0N1CD,故C正確；易知點(diǎn)C到平面ABD的距離的最大值為球的半徑R,所

以四面體ABCD體積的最大值為Vmax/MABD.R=2x2x2x3x"P=卑，

故D正確。故選ACD。

答案ACD

第27頁(yè)共130頁(yè)

區(qū)教師備用題

2.2.4.［例1］（配合考點(diǎn)一使用）一個(gè)六棱錐的體積為

2小，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則

該六棱錐的側(cè)面積為o

解析設(shè)六棱錐的高為h,則丫=/$11,所以與x乎x4x6h=2由，解得h=

I0設(shè)六棱錐的斜高為h',則h2+（d§）2=h'2,故h'=2。所以該六棱錐的側(cè)