（人教A版2019必修第二冊）數(shù)學(xué)8 .5 空間直線、平面的平行單元教學(xué)設(shè)計

8.5空間直線、平面的平行（單元教學(xué)設(shè)計）

一、【單元目標(biāo)】

1.知識與技能：

1.正確理解基本事實4和等角定理；

2.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關(guān)問題.

3.理解直線和平面平行的判定定理并能運用其解決相關(guān)問題.

4.通過對判定定理的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力.

5.掌握空間平面與平面平行的判定定理，并能應(yīng)用這個定理解決問題.

6.平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用.

2.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.直觀想象：基本事實4及等角定理的理解：探究歸納直線和平面平行的判定定理，找平行關(guān)系;

2.邏輯推理：基本事實4及等角定理的應(yīng)用；空間直線、平面的平行.

3.數(shù)學(xué)運算：空間直線、平面的平行；

4.直觀想象：空間圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系。

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

直線與直線謝亍

空間直線、平面的平行直線與平面平行

平面與平面平行

三、【學(xué)情分析】

第一節(jié)是直線與直線平行是所有平行關(guān)系的基礎(chǔ)，在初中已經(jīng)學(xué)過平行四邊形，中位線與底邊等平行

關(guān)系，本節(jié)教材重點介紹了平面的基本事實4,等角定理，對平面中直線與直線的平行關(guān)系進一步深化.也為

后續(xù)線面平行、面面平行打下基礎(chǔ).

第二節(jié)是在直線與平面的位置關(guān)系中，平行是一種非常重要的關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容既是直線與直線平行關(guān)

系延續(xù)和提高，也是后續(xù)研究平面與平面平行的基礎(chǔ)，既鞏固了前面所學(xué)的內(nèi)容，又為后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)做

了知識上和方法上的準(zhǔn)備，在教材中起著承前啟后的作用。

第三節(jié)內(nèi)容在立體幾何學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用，具有重要的意義與地位?？臻g中平面與平面之間的

位置關(guān)系中，平行是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多。而且是空間問題平面化的典范空間中平面與

平面平行的判定定理給出了由線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行的方法。

本節(jié)課是在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)空間點、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)作為學(xué)習(xí)的出發(fā)點，類比直線與平面平行的判

定定理探究過程,結(jié)合有關(guān)的實物模型，通過直觀感知操作確認(rèn)（合情推理），歸納出平面與平面平行的判定定

理。本節(jié)課的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生空間感與邏輯推理能力起到重要作用。

四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】

課時安排：約3課時

第一課時：直線與直線平行

第二課時：直線與平面平行的判定

第三課時：平面與平面平行的判定

教學(xué)重點：直線與直線、直線與平面、平面與平面的判定定理；

教學(xué)難點：直線與直線、直線與平面、平面與平面性質(zhì)定理.

教學(xué)方法/過程：

課前預(yù)習(xí)

引入新課

基本事實4

等角定理

線面平行性質(zhì)定理

基本立體圖形

直線與平面平行的判定定理

平面與平面平行的判定定理

平面與平面平行的住質(zhì)定理

建木頌

課后作業(yè)

五、【教學(xué)問題診斷分析】

8.5.1直線與直線平行

問題1:平行于同一條直線的兩條直線有什么關(guān)系？用符號怎么表示？

【答案】平行線的傳遞性

基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

符號表示:a〃b,b〃c=a〃c.

【破解方法】通過教室里的具體線條舉例給學(xué)生演示基本事實，讓學(xué)生加深理解。

問題2：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角有什么關(guān)系？

【答案】定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.

【破解方法】通過對定理分2種情況，結(jié)合平行四邊形和三角形全等證明得定理，初步的感受立體幾

何的證明思路.

典例分析

題型一：基本事實4的應(yīng)用

例1.如圖所示，在正方體ABC。-A,SCQ中，M.N,P,Q分別為A"，AG，M-CQ的中點,

求證：M，N,P,Q四點共面.

【答案】證明：如圖，連接MN,PQ,AG，

因為正方體A88-A4CQ中，M,N,P,Q分別為AA，AG，M-C6的中點，

所以PQ〃AC1,MV//AG，所以MN//PQ,

由平面的基本性質(zhì)可知，M,N,P,。四點共面.

【變式訓(xùn)練】如圖，已知E、F分別是正方體A8CD-ABCQ的棱心和棱CQ上的中點，求證：四邊形

EBFR是菱形.

【答案】證明：取棱84中點為G,連GG、EG、

由正方體性質(zhì)，側(cè)面ABgA為正方形，

又E、G分別為邊想、8片中點，

所以EG=A5=GQ，EG//AA〃G〃，

從而四邊形EGC、D1為平行四邊形，

.■.D,E//CIG.RE=GG,

又F、G分別為棱CC,、Bg中點，

山側(cè)面C84G為正方形，知四邊形8GG尸為平行四邊形，

所以8F//GG,BF=C,G,

又;.D\EUC\G,DtE=CtG,

由平行公理可知￡>i￡=BF,D.EHBF,

從而四邊形殖在2為平行四邊形.

由A8C￡)-A4GA為正方體，不妨設(shè)其棱長為a,易

知BE=BF=^a

2

而山四邊形砂尸。為平行四邊形，從而即為菱形.

解題技巧(證明兩直線平行的常用方法)

(1)利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對邊，三角形的中位線與底邊；

(2)定義法:即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；

(3)利用基本事實4:找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.

題型二：等角定理的應(yīng)用

例2.已知44C=30。，AB//AB1,AC//AC,則NB\4e=()

A.30°B.150°C.30?；?50。D.大小無法確定

【答案】40。或140。

【解析】已知NE4c=30°,AB//A'B1,AC//A'C.

當(dāng)角的方向相同時，"AC=30。，

當(dāng)角的方向相反時，ZB,A,C=I50°.

故選C.

【變式訓(xùn)練】設(shè)Z4與々的兩邊分別平行，若44=40。，則4=

【答案】40?；?40。

【解析】如圖，

因為a//6

所以Nl=Na,Z2+Z<z=180°,

因為c//d,

所以N1=N3,Z2=Z4,

所以Z3=Nc，Z4+Za=180°,

即若兩角的兩邊互相平行，則這兩個角相等或互補.

所以N6與相等或互補，

因為Na=40。，

所以/尸=40?；?40。，

故答案為：40?；?40。.

解題技巧（應(yīng)用等角定理的注意事項）

空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.注意觀察兩角的方向是否相同，若

相同，則兩角相等；若不同，則兩角互補.

8.5.2直線與平面平行的判定

問題1：觀察開門與關(guān)門，門的兩邊是什么位置關(guān)系.當(dāng)門繞著一邊轉(zhuǎn)動時，此時門轉(zhuǎn)動的一邊與門框

所在的平面是什么位置關(guān)系？

【答案】平行.

【破解方法】通過開門與關(guān)門的具體的例子，體現(xiàn)從具體到抽象的處理思路.

問題2：直線與平面平行的判定定理是什么？

【答案】直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,

文字語言

那么該直線與此平面平行

符號語言bua,且a〃/?=4〃a

--a

圖形語言z一—

【破解方法】通過直線與平面平行的判定定理的證明結(jié)合教室里的具體例子，讓學(xué)生理解判定定理的

三個條件.

問題3：直線與平面平行的性質(zhì)定理是什么？

【答案】直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與

文字語言

此平面相交，那么該直線與交線平行

符號語言a//a,anB=b=a〃b

圖形語言/b/

【破解方法】利用性質(zhì)定理的證明揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行，即通過直線與平

面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

典例分析：

題型一：直線與平面平行的判定

例1.如圖，三棱柱ABC-A4G中，平面MC，。分別是A3的中點.

(I)證明：BG//平面ACD;

(II)設(shè)A4,=AC=CB=2,AB=2五,求三棱錐D-A。的體積.

【答案】(1)證明：連接AG交4c于點尸，則F為AG的中點.

直棱柱A8C-A4G中，D,E分別是AB,84的中點，

故DF為三角形ABC,的中位線，故DF/iBC、.

由于DFu平面A,CD,而BC,不在平面ACQ中，

故有8G//平面ACD.

(II)AA,=AC=CB=2,AB=2日

故此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形.

由。為AB的中點可得CD±平面ABB^,

.3任工二

AB

40=4儲+3=屈，

同理，利用勾股定理求得。E=6，AE=3.

222

再由勾股定理可得\D+DE=AtE,%?！繢E.

c一L八八一3旅

??SADE=-^A^D.DE=>

?V—1.<?

..vC-A^DE~0AfDE?C￡>=1.

AlCl

例2.如圖四棱錐尸中，ABCE為菱形，E、G、產(chǎn)分別是線段4D、CE、尸5的中點.求證：FG//

【解答】解：證明：連接班）與CE交于點0,￡為4）的中點，ABCE為菱形,AE=BC=DE,

—=1,得到O為線段CE的中點，故。與點G重合.

ODDE

變=生=1,，G為的中點，又F為的中點，

GDED

.-.FG//PD,又?FG仁平面PDC，P￡）u平面PDC.

.?.16//平面叨＜7.

例3.已知：正方形與正方形43EF不共面，N、〃分別在他和3￡＞上，AN=DM.

求證：MN//平面BCE.

【解答】證明：（方法一）

連結(jié)AM并延長交BC于G

則ANDMAM

所以MV//EG…5'

又MV仁平面3CE

EGu平面BCE

故MN//平面3CE…10'

(方法二)過N作直線AW//E5交直線于H

連結(jié)

BHENBM

因為——=—=——

HANAMD

所以HW/MD//3C…5'

于是平面MHN//平面C8E

MNu平面MHN

所以腸V//平面3CE1…10'

解題技巧：(判定定理應(yīng)用的注意事項)

(1)欲證線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行解決.

(2)判斷定理中有三個條件，缺一不可,注意平行關(guān)系的尋求.常常利用平行四邊形、三角形中位線、等比

例線段、相似三角形.

【變式訓(xùn)練】如圖所示，邊長為4的正方形與正三角形所在平面互相垂直，M,。分別是PC,AO的

中點.

(1)求證：PA〃面

(2)求多面體P-A38的體積.

【解答】解：(1)連結(jié)AC、BD交于點、O,連接

則正方形中，AO=OC,

又?PM=MC,二。0是APAC的中位線，可得E4//OM.

24仁平面8M),QWu平面8A

:.PA/l^\BMD.

(2)PA=PD=AD=4,AQ=QD,

PQVAD,PQ=2-B.

又i?平面％。_L平面ABC。，平面月討C平面ABCD=">,

/.PQ底面ABCD，可得PQ是「一A8co的高線

因此多面體P-ABCD的體積為V=1?SABCD?P。=gx42x6=今叵.

題型二：直線與平面平行的性質(zhì)定理

例4.平面四邊形Afi。中，O在線段4)上，且04=1,OD=2,AOAB,△4)￡■都是正三角形.將四

邊形/WED沿AO翻折后，使點5落在點C位置，點E落在點尸位置，且尸點在平面上的射影恰為

線段8的中點(即垂線段的垂足點)，所得多面體如圖所示

(1)求棱錐尸-?！辍?的體積；

(2)證明：BCUEF.

【解答】解：(1)由已知可得△OACMZXOAB,AODE=AODF,

又.00=2,SMDE=5/3

F在平面ABCD的射影為線段OD的中點棱錐F-OED高4=&,

,?F-OED=S^OED*=1

(2)設(shè)QE中點為G,DF中點為H

連結(jié)CH、BG、GH,EF//GH,

由已知可得，在平面ADFC中有NCQ4=404=60。

OC//DH

又?OC=\,DF=2

：.DH=-DF=\

2

則OC//E>"，OC=DH

：.四邊形ODHC為平行四邊形

:.CH//OD.CH=OD

同理可證BG//OZ),BG=OD

..CH//BG,CH=BG

：.四邊形BCHG為平行四邊形

：.BC//GH

取BC11EF

E

例5.如圖所示，在多面體ABC。-EFG中，四邊形A88是邊長為2的正方形，平面A8G、平面4DF、

平面CDf都與平面AB8垂直，且AA8G、AADF、△(%>?都是正三角形.

(I)求證：AC//EF；

(II)求四棱錐F-ABCE>的體積.

【解答】(I)證明：如圖，分別取AD、8的中點P、Q，連接FP,EQ.

AADF和ACDE是為2的正三角形，

:.FP±AD,EQLCD,RFP=EQ=B

又1?平面4)-、平面C￡>E都與平面ABCD垂直，

FP±平面ABCD,EQ_1_平面ABCD

:.FPUQERFP=EQ,

.??四邊形Ef2P尸是平行四邊形，

：.EF//PQ.

PQ是AA8的中位線，

:.PQ//AC,

:.EF//AC.

例6.如圖，已知四棱錐P-ABCE)的底面ABC￡>為平行四邊形，M,N分別是棱AB,PC的中點，平面

CWN與平面皿)交于PE,求證：

(1)M/V//平面24。；

(2)MN//PE.

【解答】證明：(1)如圖，取”的中點Q,連接M。，NQ.

N,。分別是PC,DC的中點，

:.NQ//PD.

NQ,平面R4￡),PDu平面叢￡),

.?.NQ//平面PAD.

M是他的中點，四邊形4JCD是平行四邊形，

:.MQ//AD.

又?平面RAD，A￡>u平面B4。，

.?.MQ//平面Q4O.

MQ^NQ=Q,

平面MNQ//平面B4D.

M?Vu平面MNQ,

.?.MV〃平面皿).

(2)平面MNQ//平血PAD,

且平面PECC平面MNQ=MN,

平面PECC平面E4￡>=PE

:.MNIIPE

【變式訓(xùn)練】如圖：E、H分別是空間四邊形ABCD的邊他、AD的中點，平面a過￡77分別交8C、CD

于尸、G.

求證：EH//FG.

【解答】證明：E、H分別是空間四邊形/WCD的邊AB、4)的中點；

E”不在平面BCD內(nèi)，3￡＞在平面BCD內(nèi).

.?.E////平面BCD.

又平面a過EH分別交BC、8于尸、G;

:.EH//FG.

解題技巧(性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項)

(1)欲證線線平行可轉(zhuǎn)化為線面平行解決，常與判定定理結(jié)合使用.

(2)性質(zhì)定理中有三個條件，缺一不可，注意平行關(guān)系的尋求.常利用中位線性質(zhì).

8.5.3平面與平面平行

問題1：若平面a〃d則a中所有直線都平行。嗎？反之，若a中所有直線都平行。，則a〃p嗎？

【答案】平行，平行

【破解方法】通過思考與探究，讓學(xué)生思考怎樣判斷兩平面平行，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。

問題2：平面與平面平行的判定定理是怎么樣的？

【答案】如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

au0,bu(3

符號表示：aC\b-P〃夕

alla,blla

【破解方法】通過符號與圖形表示定理，提高學(xué)生分析問題的能力。

問題3：平面與平面平行的性質(zhì)定理是怎么樣的？

【答案】平面與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平行平面同時和第三個平a//p,aCly=a,pAY=b=>

面相交，那么它們的交線平行.

也!/a/7b.

【破解方法】通過平面與平面的性質(zhì)定理的三種語言表示及證明，結(jié)合具體的例子，讓學(xué)生理解由面面平

行證明線線平行的過程。

題型一：平面與平面的判定定理

例7.如圖四棱錐中，ABCE為菱形,E、G、尸分別是線段A￡>、CE、P8的中點.求證：FG//

【解答】證明：連接也）與CE交于點0,E為A￡）的中點，ABCE為菱形，AE=BC=DE,

—=1,得到O為線段CE的中點，故O與點G重合.

ODDE

變=變=1,「.G為8。的中點，又尸為依的中點，

GDED

-.FG//PD<又.FG仁平面PDC,P3u平面PDC.

?.RG//平面PDC.

例8.已知：正方形與正方形A8E尸不共面，N、M分別在AE和上，AN=DM.

求證：陰7//平面3?！?

【解答】證明：（方法一）

連結(jié)AM并延長交BCTG

ANDMAM

則rilll---=----=----

NEMBMG

所以MN//EG...5'

又MV仁平面BCE

EGu平面BCE

故MV//平面5CE…10'

(方法二)過N作直線N////EB交宜線至于H

連結(jié)97

e4BHENM

因為——=—=——B

HANAMD

版以HMUADUBC…5'

于是平面MHN//平面C3E

MNu平面MHN

所以MV//平面3CE...10'

E

AD

例9.如圖，已知四棱錐P-A5CO的底面ABCD為平行四邊形，M,N分別是棱AS，PC的中點，平面

CMN與平面皿)交于PE,求證：

(1)MV//平面Q4D;

(2)MN//PE.

【解答】證明：（1）如圖，取DC的中點Q,連接MQ,NQ.

N,。分別是PC,DC的中點，

:.NQ//PD.

NQ仁平面R4。，PDu平面上4。，

??.NQ//平面F4D.

M是43的中點，四邊形4?8是平行四邊形，

:.MQ//AD.

又iM。仁平面R4￡）,A￡>u平面抬￡>，

.?.MQ〃平面R4D.

MQf]NQ=Q,

平面腸VQ//平面R4T).

MVu平面A/NQ,

.1MN〃平面上4￡).

(2)平面MNQ//平面PAD.

且平面PECC平面MNQ=MN,

平面尸ECC平面/HD=PE

：.MN//PE

【變式訓(xùn)練】如圖：E、，分別是空間四邊形A8CD的邊回、AQ的中點，平面a過E4分別交BC、CD

于尸、G.

求證：EHHFG.

【解答】證明：E、”分別是空間四邊形438的邊AB、AD的中點;

.-.EH//BD,

EH不在平面BCD內(nèi)，BD在平面BCD內(nèi).

:.EH//平面BCD.

又平面。過￡77分別交8C、CD于F、G;

.-.EH//FG.

解題技巧證明面面平行的方法

(1)要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個平面即

可.

(2)判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個面內(nèi)

找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線.

題型二：面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

例11.如圖所示，兩條異面直線BA,。。與兩平行平面a,4分別交于點8,A和。，C,

點M,N分別是4?,CD的中點，求證：MN〃平面a.

【證明】如圖，過點A作AE〃C。交a于點E,取AE的中點P,連

接MP,PN,BE,ED,BD,AC.

因為AE〃CO,所以AE,CO確定平面AEDC

則平面AEOCna=OE,AEDCH^=AC,因為a〃4，所以AC〃OE

又P,N分別為AE,CO的中點,

所以PN//DE,PNQa,DEua,所以PN//a.

又M,尸分別為AB,AE的中點，

所以MP〃BE,且MRa,BEua.

所以MP〃a,因為MPC/W=P,

所以平面MPN//a.

又MNu平面MPN,所以A/N〃平面a.

【變式訓(xùn)練】在本例中將M,N分別為AB,CD的中點換為M,N分別在線段AB,CD

,「AMCN什八七”

上,且麗=而'其他不變。

證明：〃平面a./c/

證明：作AE〃C。交a于點E,連接AC,8Q,如圖.

因為a〃4且平面AE0C與平面a,尸的交線分別為ED,AC,所以AC〃EO,

所以四邊形AEDC為平行四邊形，作NP//DE交住E于點P,

CNAP

連接MP,BE,于是筮=短.

NDrtL

pro“AMCNAMAP-,八“cl

又因為MB=ND，―以1力以MP〃BE.

而BEua,MPda,所以M尸〃a.同理PN〃九

又因為MPCNP=P,所以平面MPN〃平面a.

又MNu平面MPN,所以MN〃平面a.

【變式訓(xùn)練2】［變條件、變問法］兩條異面直線與三個平行平面a,p,7分別交于A,B,

ABDE

。和。，E,F,求證:~BC=~EF-

證明：連接AF交平面B于點M.

連接MB,ME,BE,AD,CF,因為a〃夕,

所以ME//AD.

DEAM

所以~EF^~MF'

同理，BM//CF,

ABAM

所以~BC='MF'

ABDE

即~BC~EF-

解題技巧應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟

3條隹）（審題看是否有平面與平面平行，

~（找（或作）第三個平面與已知兩個平面相交:

［確定交線位置:

_（得兩條交線互相平行:

［提醒］面面平行性質(zhì)定理的實質(zhì)：面面平行n線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.與判定定理交

替使用，可實現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化.

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1.如圖，在空間六邊形（即六個頂點沒有任何五點共面）ABCGAA中，每相鄰的兩邊互相垂直，邊長均

等于a,并且A4,//CC1.求證：平面//平面AC。.

c&

【分析】在平面ABG內(nèi)的兩條相交直線BG和AG，證明AG〃平面ACD,,BCJI平面ACD｝即可證

明兩個平面平行.

【答案】證明：作正方形BCG8］和CGR。，并連接A向和45.

且A4,_LAB,A4,,

.■.AB4A和例〃。都是正方形，且ACGA是平行四邊形?

故它們的對應(yīng)邊平行且相等.

△ABC=4AB\C「:.AiBi

同理，ADA.CD.

BB、±AB,BB、±BC,BB,1平面ABC.

同理，OR_L平面ACD.

BBJIDD\,:.BB、±平面ACD.

.1A、B、C、。四點共面.

;.ABCD為正方形.

同理，ABGR也是正方形.

故ABCD-AgCQ］是正方體.

易知AG//AC,

AG//平面ACQ.

同理，86//平面4。2，

,平面A8G〃平面ACZV

2.如圖所示，已知正方體中，P、Q、R分別為A|A、AB,A￡＞的中點，求證：平面尸QR//

平面CBQ.

【分析】根據(jù)二角形中位線定理，結(jié)合正方體的幾何特征，我們易得QR//BR,同理可得尸Q//RC,

進而根據(jù)面面平行的判定定理即可得到平面PQR//平面CBR.

【答案】證明：在正方體48CD-A8CA中，對角線BD//BR,

Q、R分別為AB、AD的中點，

:.QR//BD

:.QR//B,D,,

同理可證：PQHD.C,

又QR'PQ=Q,8QJD、C=D、,

平面尸QR//平面CBQ.

3.已知，在正方體中，E、尸分別是CG、A4,的中點，求證：平面〃平面52尸.

D,C,

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理即可得到結(jié)論.

【答案】在正方體ABC。-A4GR中，BD//B,DT,

E、F分別是CC、、的中點，

，連結(jié)AG,（G為48的中點），DE,

則四邊形ADEG為平行四邊形，

:.BtF//AG//DE,

聽。蜴=口,

根據(jù)面面平行的推論可知，平面BQE//平面片。尸.

4.在正方體AC中，E、F、G、尸、Q、R分別是所在棱43、BC、BE、A77、”的中

點，求證：平面尸QR//平面￡FG.

【分析】連結(jié)AC,AT）,CD，連結(jié)AC,AB",CB，利用三角形的中位線定理證明線線平行，從而

證明面面平行，然后利用平行于同一平面的兩平面互相平行得結(jié)論.

【答案】證明：如圖，

連結(jié)AC,A'D,CD,連結(jié)AC,AB',CB.因為E,尸分別為AB，8c的中點，所以EF//AC,

A

Cu平面的。，EFU平面MC,所以EF//平面■<?，

同理EG//平面MC,因為EF'、EG=E,所以平面EFG//平面回。，

同理可證平面PQR//平面/VCD.又AC//AC,CD//AU,

所以平面ABC//平面ACD,則平面PQR//平面EFG.

2.課堂檢測

設(shè)計意圖：例題變式練.

【變式1】如圖，在三棱柱ABC-4SG中，D，分別為棱AC,AG的中點.求證：平面A8Q//平面

BCtD.

［分析］連接8c交8a于點E，連接DE，得出DE為△ABC的中位線，證明DE//4片，4用//平面BQ4,

四邊形AQGR為平行四邊形，得出4R//OG，4。//平面8&。，即可證明平面A8Q//平面8CQ.

【答案】證明：連接與C交BG于點E，連接。E.

由三棱柱48C-A8cl可知四邊形BCC石、ACGA均為平行四邊形，所以￡為耳。的中點.

因為。為AC的中點，所以Z5E為△48C的中位線，所以4E//AB-

又因為￡>￡u平面BCQ，4月仁平面BCQ,所以//平面8C0