2023年高考全國乙卷理科數(shù)學試卷真題（含答案）

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

理科數(shù)學

一、選擇題

2+i

z=-------_

1.設l+i2+F,則2=（）

Al-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

2.設集合0=1<,集合M={x|x<l},N={x[—l<x<2},則{*xN2}=（）

A.6u（MUN）B.NU^M

C.加（MflN）D.MUMN

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為（）

5.設。為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域尤2+,2<4}內(nèi)隨機取一點，記該點為A,則直線OA

71

的傾斜角不大于一的概率為（）

4

111.

A.—B.—C.—D.-y

8642

6.已知函數(shù)/（x）=sin（斯+協(xié)在區(qū)間'牛9兀[?調遞增，直線％=兀和x=27t為函數(shù)y=/（x）的圖像的

r~

兩條對稱軸，則（）

第1頁/共29頁

D-_￡

2

7.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有

()

A.30種B.60種C.120種D.240種

8.已知圓錐PO的底面半徑為、行，。為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，ZAOB=120°,若APAB的面

積等于%g,則該圓錐的體積為()

4

A.71B.\I67TC.3兀D.36好

9.已知AA3c為等腰直角三角形，AB為斜邊，△A3。為等邊三角形，若二面角C—AB-。為150°,則

直線CD與平面ABC所成角的正切值為()

A.1B.乃C.正D,3

5555

10.已知等差數(shù)列｛。｝的公差為女，集合S=｛cosa?eN*｝,若5=｛。,可，則()

"3"I

11

A-1B.C.OD._

22

II.設A,B為雙曲線丁-1上兩點，下列四個點中，可為線段48中點的是()

9

A.(Ll)B.(-1,2)C.(l,3)D.(-1,-4)

12.已知。。的半徑為1,直線以與。。相切于點4,直線P8與。。交于B,C兩點，。為BC的中點，

若|PO|=萬，則P4PO的最大值為()

A1+&R1+22/~

22

C.1+72D.2+丘

二、填空題

13.已知點冷)在拋物線C：9=2庶上，則A到c的準線的距離為.

x-?>y<-\

14.若x,y滿足約束條件，x+2y<9,則z=2x-y的最大值為.

3x+y>7

15.已知｛。“｝為等比數(shù)列，生。35=。3。6，?9?10=-8r則%=_____.

第2頁/共29頁

16.設ae(O,l),若函數(shù)〃X)=廢+(1+。)*在(0,+匈上單調遞增，則”的取值范圍是.

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質

相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為為，％[=1,2,…,10).試驗結果如下：

試驗序號i12345678910

伸縮率Xi545533551522575544541568596548

伸縮率yi536527543530560533522550576536

記Zi=xi-yi(i=1,2,-,10),記zi,Z2,…,zio的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為

(1)求之，$2；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

z>2^，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

則不認為有顯著提高)

18.在AABC中，已知N3AC=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sinZABC；

(2)若。為BC上一點，且NB4O=90。，求△ADC的面積.

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2?5，PB=PC=、％，BP,AP,8c的

中點分別為。，E,O,AO=，點尸在AC上，BFLAO.

(1)證明：E/7//平面AOO；

(2)證明：平面AOO_L平面BEF；

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(3)求二面角?！狝O—C的正弦值.

20.已知橢圓0：,：I亡=13>?！?)的離心率是亙，點A(—2,0)在。上?

(1)求。的方程；

(2)過點(—2,3)的直線交。于P,Q兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明：線段MN的

中點為定點.

21.已知函數(shù)/(九)=『+0)ln(l+x).

x

(1)當。=-1時，求曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線方程；

門、

(2)是否存在“，兒使得曲線y=/一關于直線x=b對稱，若存在，求小6的值，若不存在，說明理

由.

(3)若/(X)在(0,+石)存在極值，求a的取值范圍.

四、選做題

【選修4-4](10分)

22.在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程

為片Zsin/"W/''fx=2cosaa為參數(shù)，71<a<n).

I__|，曲線C,：-

[42)一{c.(c

'7<y=2sina2

(1)寫出G的直角坐標方程；

(2)若直線y=x+〃?既與G沒有公共點，也與C?沒有公共點，求機的取值范圍.

【選修4-5】(10分)

23.己知/(x)=2*4x—,.

(1)求不等式/(x)《6-x的解集；

_"(x)<y

⑵在直角坐標系X?！抵?，求不等式組《所確定的平面區(qū)域的面積.

\x+y-6<0

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2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國乙卷)

理科數(shù)學

一、選擇題

1.設l+i?+i5,則2=(

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先計算復數(shù)z的值，然后利用共輒復數(shù)的定義確定其共輸復數(shù)即可.

l+i2+i51-1+ii2-1

則牙=1+2i.

故選：B.

2.設集合〃=11,集合M={x|r<l},N={x[—l<x<2},則{》xN2}=()

A.加(MUN)

C.3u(MAN)D.M^MN

【答案】A

【解析】

【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為{》1x22}即可.

【詳解】由題意可得MUN={x|x<2},則.(MUN)={x|xN2},選項A正確；

MM={x|x>1},則NU*uM={x|x>-l},選項B錯誤；

Mn7V={x|-l<x<l},則加(McN)={x|x4—l或xNl},選項C錯誤；

6uN={x|x<—1或xN2},則MU6N={x|x<l或xN2},選項D錯誤；

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為()

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IIIIIIIIIIII

-r~~?--------fI---------1-------J--i

■■fi-i~PT

L!"十

二匚ti土匚LL：t±J：JJ

IIIII

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結構特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體中，AB=BC=2,A4,=3,

點為所在棱上靠近點86,4的三等分點，O,L,M,N為所在棱的中點,

則三視圖所對應的幾何體為長方體ABCD-A\B\C\D\去掉長方體ON/G-LMHB1之后所得的幾何體,

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形,

其表面積為：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（1x1）=30.

故選：D.

4.已知/(幻=-^是偶函數(shù)，則。=()

e,u-1

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.

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xe'、xe，（-x）e-熊一但打

0，

［詳解］因為/（x）=k二為偶函數(shù)，則=——r------廠=」--------~-

又因為X不恒為0,可得e"一e（5>=0，即e'=e（fl-1）x，

則X=（。-1）X,即1=。-1,解得〃=2.

故選：D.

5.設。為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域｛（%）］132+V0｝內(nèi)隨機取一點，記該點為A,嵋:線OA

71

的傾斜角不大于一的概率為（）

4

1111

A.—B.—C.-D.彳

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結合幾何概型運算求解.

【詳解】因為區(qū)域｛。4）|1<無2+>2<4｝表示以。（（）,0）圓心，外圓半徑R=2，內(nèi)圓半徑廠=1的圓環(huán)，

則直線OA的傾斜角不大于上的部分如陰影所示，在:第一象限部分對應的圓心角NMON=—,

44

2一x兀

結合對稱性可得所求概率pr=-----4--=1——.

2兀4

故選：C.

八

產(chǎn)y

6.已知函數(shù)/（幻=sin（@r+協(xié)在區(qū)間'孑/兀］M調遞增,直線％=兀和x=27t為函數(shù)y=/Q）的圖像的

r

兩條對稱軸，則/｛一,〕=（）

（）

A.-sZ3B.-1C.JD.空

22

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【答案】D

【解析】

57c

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入X即可得到答案.

/、12

（兀2兀1

【詳解】因為/W=sin（嬤+9）在區(qū)間［6,a|單調遞增，

I）

7**2兀兀兀e27r-

所以_=—且s0,則丁=n，w=_=2,

7T62T

當時，/（X）取得最小值，則2?丸+42柱二兀，keZ,

662/

571/x='5兀、

則^>=2E—6，ZeZ,不妨?。?（）,則（）sinl2x-—\,

故選：D.

7.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有

()

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況,

然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有&種，

根據(jù)分步乘法公式則共有C7A25=120種，

故選：C.

8.已知圓錐PO的底面半徑為、5，。為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，ZAOB=120°,若APAB的面

積等于當?，則該圓錐的體積為（）

4

A.71B.屈兀C.3兀D.36萬’

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.

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【詳解】在AAOB中，NAOB=120",而OA=OB=石，取AC中點C,連接。C,PC,有

OCLAB,PC1AB,如圖,

MQ1Q3廠

ZABO=30°>OC=2_,AB=2BC=3>由APAB的面積為得x3xPC二-，

2424

解得PC=?’于是尸。=，尸。2一OC2=^1^）2—（亭）2=#,

所以圓錐的體積丫=1兀*。42*尸。=［兀、（3）2、苫=默

33

故選：B

9.已知AABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△A8O為等邊三角形，若二面角C—AB-。為150。，則

直線C￡）與平面A8C所成角的正切值為（）

1132

A._B.Y2C.《D._

5555

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取AB的中點E,連接,因為AABC是等腰直角三角形，且AB為斜邊，則有CE4B,

又△A3。是等邊三角形，則OEZ48，從而NCEC為二面角C—AB-O的平面角，即NCEO=150。，

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顯然CEcDE=E,CE,DEu平面CDE,于是ABI平面COE,又45u平面ABC,

因此平面C￡>E1平面ABC,顯然平面CDEc平面ABC=CE,

直線CDu平面COE,則直線CO在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而NDCE為直線CO與平面ABC所成的角，令AB=2,則CE=1,DE=,在ACDE中，由余弦

定理得：

所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為史.

5

故選：C

10.已知等差數(shù)列{。}的公差為組,集合S=「osaweN*},若5={。,可，則必=()

〃3〃1

A.-1B.-1C.OD.L

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理

作答.

2兀2兀2兀

【詳解】依題意，等差數(shù)列{。}中，a=?+(n-l)-2=%+(?-n，

""13313

2兀2

顯然函數(shù)丁=8$[」+(a—』的周期為3,而〃eN*,即cosa最多3個不同取值，又

T1T"

{cosan\nGN*}={a,h},

則在cos,cosa2,cosay中,cosax=cosa?手cosa3或cosaAwcosa2=cosa3,

于是有cos@cos(8+-2：^即有孫(分攵￡Z,解得QE-兀，

333

所以4eZ,ab=cos(E-%cos[(fou-%+什L=-cos/Tt-3coskit--cos2k兀cos?=-L

333332

故選：B

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II.設A,8為雙曲線￡-2_=1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）

9

A.。/）B.(-1,2)C.(l,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)點差法分析可得kAB-k=9,對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷;

對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設A（尤,y）,8（x,y）,則AB的中點”

1122——---------------------

y+%

可得以_2_凹+%

—X—X，KX'--X+X?

12J-----------212

2

X。1

'，兩式相減得(犬_尤2)_KF=0，

因為48在雙曲線上，則

12

2元4=1-9-

,29

所以以/攵4^=9.

再一石

對于選項A：可得k=1,&A8=9,則A8:y=9x-8,

y=9x-8

班麥+在Vy2，消去y得2_X72X+73=0,

聯(lián)"方程J，=I72%2

I￥

此時△=(―2x72)2—4x72x73=-288<0.

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；

995

對于選項B：可得k=-2,k=一_，則A3:y=-_x-_,

ABTTT

95

聯(lián)立方工x-

27

消去y得45f+2x45x+61=0.

IX

此時△=(2x45)2-4x45x61=-4x45x16<0,

第11頁/共29頁

所以直線4B與雙曲線沒有交點，故B錯誤；

對于選項C：可得k=3,k,\B=3，則AB:y=3x

由雙曲線方程可得a=\,b=3,則=為雙曲線的漸近線，

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；

一997

對于選項D：k=4,k=,貝ijAB:y=x-,

AB444

f97

y=x-

I44

聯(lián)立方程《，,'消去y得63/+126%一193=°‘

J-T-1

此時△=126?+4x63x193>0，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；

故選：D.

12.已知。。的半徑為1,直線而與。。相切于點A,直線PB與交于8,C兩點，。為BC的中點，

若1Poi=，則P4PO的最大值為（）

A1+點R1+2獷

22

C.1+0D.2+J2

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得

PAPO=L-WZsin|’2a—；或=，+tZsin12的2然后結合三角函數(shù)的性質即可確定

22V4）22I4J

PA-PD的最大值.

【詳解】如圖所示，|Q4|=1,|OP|=\；Q,則由題意可知:NAPO=45°,

由勾股定理可得PA=yj0P2-OA2=1

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B

D

TT

當點A,。位于直線PO異側時，設NOPC=a,0<a<_,

4

——(

則：PA-PD=\P^\-\PD\C(^S\a-h-|

=cos2a-sin?cos?

1+cos2al.c

=----------sinla

22

J_,2(7T\

---sinIla---I

24U4J

0<a<，則2

4444

7F

當點A,。位于直線PO同側時.，設NOPC=a,0<a士,

4

——.(公

則：PA-PD=\P^\-\PD\C^S\a—|

AG

=]x2.cosacos.a-,

J4

第13頁/共29頁

2.、

COSCH-sin

Bai)

=cos2a+sinacosa

1+cos2al.c

------------+—sin2a

22

=1，殳(

—+--sinI26H-

22%7C71

0<a<,則42

a+<

444~2

2:J

當華?二時,P4PO有最大值

42

綜上可得，PAP。的最大值為匹.

故選：A.

【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉化為三角函數(shù)求最值的問題,考查

了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

二、填空題

13.已知點在拋物線C：V=2px上，則A到C的準線的距離為.

9

【答案】一

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為

x=T,最后利

4

用點的坐標和準線方程計算點A到C的準線的距離即可.

【詳解】由題意可得：（同？=2pxl，則2P=5,拋物線的方程為V=5x,

準線方程為x=-1，點A到C的準線的距離為1一（一I'=?.

一I"J-

9

故答案為：一.

4

x-3y<-1

14.若x,y滿足約束條件，x+2y<9,則z=2x—y的最大值為.

3x+y>7

【答案】8

第14頁/共29頁

【解析】

【分析】作出可行域，轉化為截距最值討論即可.

【詳解】作出可行域如下圖所示：

z=2x-y,移項得y=2x-z,

[x-'iy=-1fx=5

聯(lián)叫x+2y=9，解得

設A（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過點A,此時截距-z最小，則z最大,

代入得z=8,

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對a2a化簡得。停=1，聯(lián)立為即）=—8求出q3=-2,最后得

a=ciq?q5=q5=c-2.

7I

【詳解】設｛??｝的公比為q（q。0）,則a2a4a5=a3a（=a2q,a5q,顯然a產(chǎn)0,

2

則〃=q,即。"二寸，則。4二匕因為=-8,則〃/.4,9=_8,

41I9101I

則I"=）=—8=（―2），,則/=—2,則a-aq-q5—q5——2,

故答案為：-2.

16.設aw（O,l）,若函數(shù)〃x）=a'+（l+a）*在（0,+匈上單調遞增，則〃的取值范圍是.

「5T八

【答案】—,1

【解析】

第15頁/共29頁

【分析】原問題等價于廣(x)=a'lna+(l+ayin(l+a)20恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，

(1+?\'Ina

可得,力，由右側函數(shù)的單調性可得實數(shù)“的二次不等式，求解二次不等式后可確定實

數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得廣(x)=優(yōu)Ina+(1+a)'In(1+a)20在區(qū)間(0,+匈上恒成立，

則(1+a)'ln(l+a)N—aUna,即11+〃］士-Ina在區(qū)間(0,+。)上恒成立,

I4JIn(1+a)

(\+aVIna,/、

故||=1>-,而a+lw(l,2、),故ln(l+a)>0,

(ajIn(1+n)

fln(n+l)>-lna

故〈即《故

b

10<?<10<a<12

「5-1

"

結合題意可得實數(shù)a的取值范圍是EI-,l1.

故答案為:

\I

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質

相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為為，％(i=1,2,…,10).試驗結果如下:

試驗序號i12345678910

伸縮率Xi545533551522575544541568596548

伸縮率yt536527543530560533522550576536

記z,=x,-y,(z=l,2,-,10),記zi,Z2,…,zio的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為

(1)求Z，S2；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

彳22,言，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

第16頁/共29頁

則不認為有顯著提高)

【答案】(1)z=11,鏟=61；

(2)認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計算HTqy,再得到所有的馬值，最后計算出方差即可；

(2)根據(jù)公式計算出21記的值，和Z比較大小即可.

【小問1詳解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+5484…

x-----------------------------------------------552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536..「

y=---------------------------------------------=541.3,

10

否9=552.3-541.3=11,

Zi=x「y的值分別為：9,6,8,—8,15,11,19,18,20,12,

,,2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-II)2+(12-11)^,

故s=---------------------------------------------------------------------------------------------------=61

10

【小問2詳解】

由(1)知:彳=11,2篇=2向="1，故有522濡，

所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

18.在AABC中，已知N3AC=120°,AB=2，AC=1.

(1)求sinZABC；

(2)若D為BC上一點,且N8AD=90。，求△ADC的面積.

【答案】(1)里；

14

⑵￡.

10

【解析】

【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為BC=7,然后由余弦定理可得cos8=過5T_,最后由同

14

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角三角函數(shù)基本關系可得sinB=上；

14

S&ABD1c

(2)由題意可得不----=4,則Sae=215%時，據(jù)此即可求得△AOC的面積.

,^AACD5

【小問1詳解】由

余弦定理可得：

BC1-a1-b2+c1-2bccosA

=4+l-2x2xlxcosl200=7.

-a2+c2-b27+4-1_5/

則BC=J7，cos8=---------

lac2x2x714

i-------I25如

sinB=Vl-cos2B-.1--=----

V2814

【小問2詳解】

S2.xABxADxsin900

由三角形面積公式可得出。=2-----------------=4,

S^ACD_xACxADxsin30°

2

則=卜△枷=*?x2xlxsinl2(r'=R.

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2Jl,PB=PC==，BP,AP,8c的

中點分別為。，E,O,AO=，點F在AC上，BFVAO.

(1)證明：EF//平面ADO；

(2)證明：平面A0O_L平面BEF；

(3)求二面角。一AO—C的正弦值.

【答案】(1)證明見解析：

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（2）證明見解析；（3）

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形OOE尸為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

（2）由（1）的信息，結合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

（3）由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小問1詳解】

DEOF—■——1-----

連接'，設=則BEnBA+ARna-DBA+fBC,AO=-BA+^.BC,BFLAO,

則訴?7TO=Kl_f）班+r碇卜（_麗+2_配）=?-1）用2+LtBC-=4（r-l）+4/=0,

22

解得/=L,則F為AC的中點，由D,E,O,F分別為PB,PA,BC,AC的中點，

2

于是。5//48,。E=248,0尸//48,0尸=145,即OE//0/，DE=0/，則四邊形ODE尸為平行四

22

邊形，

EF!IDO,EF=DO,又E/z平面ADO,DOu平面ADO,

所以E///平面ADO.

【小問2詳解】

由⑴可知EFHOD,則40=血。0=￡，得==

22

因此OU+AOZuAOZu?j則?！辏?，AO,有EF_LAO,

2

又AO1.BF,BFEF=F,BF,EFu平面BEF,

則有AOd.平面BEF，又AOu平面ADO，所以平面AOOJ■平面BEF.

【小問3詳解】

過點。作OH//8R交AC于點H,設AOnBE=G,

由AOLBF,得HOLAO,且

3

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又由(2)知，ODYAO,則N。?！盀槎娼?。―A?！狢的平面角,

因為D,E分別為PB,PA的中點，因此G為APAB的重心,

1113

即有DG=_AD,GE=_BE,又FH：AH,即有DHjGF,

3315332

4+—2

同理得8石=鳥

cosZABD=_4+6—PA，解得PA.=,-

2x2x^二百凝J"

2

T

5

于是BE2+EF2BF2=3，即有BE，￡7"則GF

3

從而GP=DH=3x55_<15.

3232

在△O?！爸?，OH=1BF=QQD=F,DH=1，

2222

6315

4+4—4/IC.丫戶

2x4曠2MI2：2

22

所以二面角?！狝O-C的正弦值為B.

2

點A(—2,0)在0上.

(1)求。的方程；

(2)過點(-2,3)的直線交。于P,Q兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明：線段MN的

中點為定點.

【答案】(1)2!+ti1

94

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(2)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解a,b,c,進而可得結果；

(2)設直線PQ的方程，進而可求點M,N的坐標，結合韋達定理驗證,："+小為定值即可

2

【小問1詳解】

-3

解得2

由題意可得。2=序+/,-

所以橢圓方程為二+二=1.

94

【小問2詳解】

由題意可知：直線尸。的斜率存在，設PQ：y=Mx+2）+3,P（x”yJ,Q（X2，%），

「y=Z（x+2）+3

聯(lián)立方程1y2H,消去y得：（4%2+9）/+8Z:（2Z+3