FY2024蘇科版新八年級數(shù)學暑假大師課-第12講 實數(shù)與近似數(shù)（8種題型）

第12講實數(shù)與近似數(shù)(8種題型)

《學胃目標彳

1、體驗發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的過程，知道什么是無理數(shù)。

2、會區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)。

3、了解數(shù)的范圍，從整數(shù)一有理數(shù)一實數(shù)的擴展過程，知道實數(shù)的意義及分類

4.理解有理數(shù)的運算法則及運算律在實數(shù)范圍內仍然適用；

5.掌握實數(shù)的加、減、乘、除、開方、乘方運算；

6.理解近似數(shù)和有效數(shù)字的概念；

：廛］基礎知識

----------------------IlllllUIIIIIIIIIIIllIlllllllilllllllllll-----------------------

一.無理數(shù)

(1)、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).如圓周率、2的平方根

等.

(2)、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，

比如4=4.0,13=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能.

(3)學習要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有TT的

數(shù)，如分數(shù)冗2是無理數(shù)，因為n是無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型

(1)開不盡的方根，如如,相等.

(2)特定結構的無限不循環(huán)小數(shù)，

如0.303003000300003…(兩個3之間依次多一個0).

(3)含有TT的絕大部分數(shù)，如27T.

注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結果.如05是有理數(shù)，而不是無理數(shù).

二.實數(shù)

(1)實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

(2)實數(shù)的分類：

/'正有理數(shù)

有理數(shù)0'正實數(shù)

、負有理數(shù)或實數(shù)：

實數(shù)：0

〔正無理數(shù)負實數(shù)

無理數(shù)

負無理數(shù)

三.實數(shù)的性質

(1)在實數(shù)范圍內絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內一樣.實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與

原點的距離.

(2)實數(shù)的絕對值：正實數(shù)“的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.

(3)實數(shù)a的絕對值可表示為同={a(a20)-a(?<0),就是說實數(shù)a的絕對值一定是一個非負數(shù)，即

|a|20.并且有若W=a(a>0),則x=±a.

實數(shù)的倒數(shù)

乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若。與人互為倒數(shù)，則岫=1；反之，若而=1,則。與人互為倒數(shù)，這

里應特別注意的是0沒有倒數(shù).

四.實數(shù)與數(shù)軸

(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系.

任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).數(shù)軸上的任一點表

示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)”的絕對值就是在

數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與原點的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點

左側，絕對值大的反而小.

五.實數(shù)大小比較

實數(shù)大小比較

(1)任意兩個實數(shù)都可以比較大小.正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負

實數(shù)比大小，絕對值大的反而小.

(2)利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點左側，絕對值大的反而小.

六.估算無理數(shù)的大小

估算無理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

七.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又

可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加

減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三

角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算,

無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

八.近似數(shù)和有效數(shù)字

（1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是。的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字.

（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法.

（3）規(guī)律方法總結：

“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前

者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些.

Q考點剖析^

---------------------Ittllllllllllllllllllllllllllllllllllllll—

近似數(shù)和有效數(shù)字（共3小題）

1.（2022秋?蘇州期末）據統(tǒng)計，2022年前三季度蘇州市國民生產總值（GDP）為16976.70億元，數(shù)據

16976.70精確到個位是（）

A.16970B.16976C.16977D.17000

【分析】根據“四舍五入法”確定近似值即可.

【解答】解：數(shù)據16976.70^16977（精確到個位）.

故選：c.

【點評】本題考查求一個數(shù)的近似數(shù).求一個精確到某一數(shù)位的近似數(shù)時，對這一數(shù)位后面的那個數(shù)進行

四舍五入即可.

2.（2022秋?泗陽縣期末）由四舍五入法得到的近似數(shù)8.8X103,下列說法中正確的是（）

A.精確到十分位B.精確到個位

C.精確到百位D.精確到千位

【分析1由于1。3代表1千，所以8.8X103等于8.8千，小數(shù)點后一位是百.

【解答】解：近似數(shù)8.8X?精確到百位.

故選：C.

【點評】本題考查了近似數(shù)精確度的意義，近似數(shù)精確到哪一位，應當看末位數(shù)字實際在哪一位.

3.（2022秋?常州期末）用四舍五入法把圓周率11=3.1415926…精確到千分位得到的近似值是（）

A.3.141B.3.142C.3.1415D.3.1416

【分析】千分位即為小數(shù)點后第3為，用四舍五入法求得近似數(shù)即可.

【解答】解：看千分位的后一位，是5,應該入1,四舍五入后，

E3.142.

故選：B.

【點評】本題考查用四舍五入法求近似數(shù)，找對千分位是解題的關鍵.

二.無理數(shù)（共4小題）

4.（2022秋?沐陽縣期末）在實數(shù)0,―,-A,3.1415926,l.oo,1.01001000100001.......（相鄰兩個1

27

之間0的個數(shù)逐次增加1）中，

無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據無理數(shù)的定義逐個判斷即可.

【解答】解：無理數(shù)有三，1.01001000100001……（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次增加1）,共2個，

2

故選:B.

【點評】本題考查了無理數(shù)的定義，能熟記無理數(shù)的定義是解此題的關鍵，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù).

5.（2022秋?秦淮區(qū)月考）請你寫出一個比1大且比2小的無理數(shù)，該無理數(shù)可以是n-2（答案不唯一）.

【分析】此時是一道開放型的題目，答案不唯一，根據無理數(shù)的定義得出即可.

【解答】解：無理數(shù)為n-2,

故答案為：ir-2（答案不唯一）.

【點評】本題考查了無理數(shù)的定義，能熟記無理數(shù)的定義是解此題的關鍵，無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù).

6.（2022秋吁B江區(qū)校級期末）在如，-2,0,0.454454445…中，無理數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】根據有理數(shù)和無理數(shù)的定義即可判斷.

【解答】解：無理數(shù)有2m0.454454445-,共有2個.

故選：C.

【點評】本題考查的是無理數(shù)，熟知無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解題的關鍵.

7.（2022秋?葉胎縣期末）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的為（）

A.3.；；B.3.1415926C.D.TT

【分析】根據有理數(shù)和無理數(shù)的定義即可判斷.

【解答】解：A、3.；；是循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；

B、3.1415926是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；

C、歿是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；

7

。、n是無理數(shù)，故此選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查的是無理數(shù)，熟知無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解題的關鍵.

三.實數(shù)（共9小題）

8.（2021?吳江區(qū)模擬）下列命題正確的個數(shù)有：（i）￥/=a,（2）J/=a，（3）無限小數(shù)都是無理

數(shù)，（4）有限小數(shù)都是有理數(shù)，（5）實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù)兩類.（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】（1）,（2）根據平方根和立方的性質即可判斷；

（3）根據無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)即可判定；

（4）根據原來的定義即可判定；

（5）根據實數(shù)分為正實數(shù)，負實數(shù)和0即可判定.

【解答】解：（1）根據立方根的性質可知：貨=〃，故說法正確；

（2）根據平方根的性質：可知療=間，故說法錯誤；

（3）無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故說法錯誤;

（4）有限小數(shù)都是有理數(shù)，故說法正確；

（5）0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，此題漏掉了0,故說法錯誤.

故選：B.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的相關概念及其分類方法，以及開平方和開立方的性質，比較簡單.

9.（2022秋?相城區(qū)校級月考）實數(shù)：一弧,m0.27,當，牛二豆，炯,0.3,0.101001000…中，有理

數(shù)的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，即可解答.

【解答】解：實數(shù)：-JE，m0.27,孕，V豆，煙,0.3,0.101001000…中，有理數(shù)有0.27,與牛兩

=-2,0.3,有理數(shù)的的個數(shù)是4.

故選:B.

【點評】本題考查了實數(shù)，熟練掌握整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)是解題的關鍵.

10.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）

A.一個數(shù)的算術平方根一定是正數(shù)

B.1的立方根是±1

C.^25=±5

D.2是4的平方根

【分析】根據平方根的定義進行解答即可.

【解答】4、0的平方根是0,0不是正數(shù)，故本選項不符合題意；

氏1的立方根是1,故本選項不符合題意；

C、725=5.故本選項不符合題意；

D.2是4的平方根，故本選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查的是實數(shù)，熟知平方根的定義是解題的關鍵.

H.（202。秋?江都區(qū)期末）在-22,三這三個實數(shù)中，分數(shù)是-22.

73—7-

【分析】根據分數(shù)的定義求解可得.

【解答】解：在-罵，-V71匹這三個實數(shù)中，分數(shù)是-21

737

故答案為：-21

7

【點評】本題主要考查實數(shù)，解題的關鍵熟練掌握分數(shù)的定義.

12.（2021秋?亭湖區(qū)校級月考）六個數(shù)：0,123,二叵，3.1416,-2m（-1.5）3,0.1020020002（相鄰兩

7

個2之間0的個數(shù)逐次加1）,若其中無理數(shù)的個數(shù)為x,整數(shù)的個數(shù)為y,非負數(shù)的個數(shù)為z,則x+y+z=

6

【分析】由于無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).初中范圍內學習的無理數(shù)有：m2n等；開方開不盡的數(shù)；以

及0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)，由此即可判定無理數(shù)x的值，根據整數(shù)的定義非負數(shù)的定義即可

判定y、z的值，然后即可求解.

【解答】解：無理數(shù)有：-2n,0.1020020002（相鄰兩個2之間0的個數(shù)逐次加1）,貝Ux=2；

沒有整數(shù)：則y=0；

非負數(shù)有：0.123,」立，3.1416,0.1020020002（相鄰兩個2之間0的個數(shù)逐次加1）,共4個;

7

則z=4.

貝I]x+y+z=6.

故答案為：6.

【點評】本題主要考查實數(shù)的分類.無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).有一定的綜合性.

13.（2022春?黃驊市校級期中）下列說法中正確的是（）

A.帶根號的數(shù)都是無理數(shù)

B.不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)

C.無限小數(shù)都是無理數(shù)

D.無理數(shù)是無限小數(shù)

（分析]根據無理數(shù)是無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)進行判斷即可.

【解答】解：帶根號的數(shù)不一定都是無理數(shù)，如y是有理數(shù)，4錯誤；

不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù)，如n是無理數(shù)，B錯誤；

無限小數(shù)不一定都是無理數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，c錯誤；

無理數(shù)是無限小數(shù)，。正確，

故選：D.

【點評】本題考查的是實數(shù)的概念，掌握實數(shù)的分類、正確區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)是解題的關鍵，注意無理

數(shù)是無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).

14.（2022春?海安市月考）在實數(shù)遙、22、n、3127、0.1212212221…（兩個1之間依次多一個2）中，

其中有理數(shù)的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】依據有理數(shù)的概念求解即可.

【解答】解：其中有理數(shù)包括：歿、3127.

7

故選:B.

【點評】本題主要考查的是實數(shù)的概念，掌握有理數(shù)的分類是解題的關鍵.

15.（2021秋?灌南縣校級月考）把下列各數(shù)的標號填在相應的大括號內：①2,②匹，③2代，④25%,

2

⑤0.25555…，⑥-0.040040004…（每兩個4多一個0）

（1）有理數(shù)集合：［①④⑤］:

（2）無理數(shù)集合：［②③⑥）.

【分析】根據有理數(shù)和無理數(shù)的定義，即可解答.

【解答】解：（1）有理數(shù)集合：｛①2,④25%,⑤0.25555…｝;

故答案為：①④⑤；

（2）無理數(shù)集合：｛②匹，③2百，⑥-0.040040004…（每兩個4多一個0）｝；

2

故答案為：②③⑥.

【點評】本題考查了實數(shù)，熟練掌握實數(shù)的分類是解題的關鍵.

16.（2021秋?棲霞區(qū)校級月考）把下列各數(shù)分別填入相應的橫線上.

-5,|一旦|,0,-3.14,歿，-12,+1.99,-（-6）,0.101001,口宿.

473

（1）非負整數(shù)：0、-（-6）.

（2）無理數(shù)：

3

【分析】（1）根據絕對值、相反數(shù)、立方根、非負整數(shù)解決此題.

（2）根據無理數(shù)解決此題.

【解答】解：|'|=3，-（-6）=6.

（1）根據非負整數(shù)的定義，非負整數(shù)有0、-（-6）.

（2）根據無理數(shù)的定義，無理數(shù)有t、煙.

故答案為：0、-（-6）；——>.

3

【點評】本題主要考查絕對值、相反數(shù)、立方根、非負整數(shù)、無理數(shù)，熟練掌握絕對值、相反數(shù)、立方根、

非負整數(shù)、無理數(shù)的定義是解決本題的關鍵.

四.實數(shù)的性質（共7小題）

17.（2022秋?錫山區(qū)期中）遍-2的相反數(shù)是（）

A.-0.236B.娓+2C.2-遙D.-2+代

【分析】根據相反數(shù)的定義即可得出結論.

【解答】解：遙一2的相反數(shù)是2-

故選C.

【點評】本題考查的是相反數(shù)，熟知只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù)是解題的關鍵.

18.（2021秋?工業(yè)園區(qū)期末）計算：13.14-nl=TT-3.14.

【分析】根據差的絕對值是大數(shù)減小數(shù)，可得答案.

【解答】解：|3.14--n|=Tt-3.14,

故答案為：TT-3.14.

【點評】本題考查了實數(shù)的性質，差的絕對值是大數(shù)減小數(shù).

19.（2022秋?崇川區(qū)校級月考）若”=遙避，人=遙-7^，則。與匕的關系是（）

A.互為倒數(shù)B.互為相反數(shù)C.相等D.互為負倒數(shù)

【分析】直接利用互為負倒數(shù)的定義分析得出答案.

【解答】解：3，b=yf5-V6，

'-ab=（V5-V6）=-1，

故a與6的關系是互為負倒數(shù).

故選：D.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的性質，正確掌握相關定義是解題關鍵.

20.（2022秋?寶應縣月考）64的相反數(shù)的立方根是-4.

【分析】先根據相反數(shù)的定義得到64的相反數(shù)，再根據開立方，可得到答案.

【解答】解：64的相反數(shù)是-64,-64的立方根是-4.

故答案為：-4.

【點評】本題考查了實數(shù)的性質，熟練掌握相反數(shù)的定義和利用立方根是解題關鍵.

21.（2009秋?宿遷校級期中）力軍的相反數(shù)是2.

【分析】根據。的相反數(shù)就是直解寫出然后化簡即可.

【解答】解：牛兩的相反數(shù)是-牛兩=2

故答案是2.

【點評】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號：一個正數(shù)的相反數(shù)

是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.

22.(2021秋?射陽縣校級期末)已知實數(shù)〃、匕互為相反數(shù)，c、”互為倒數(shù)，x的絕對值為'而，

求代數(shù)式(a+b+cd)x+J壽-a的值.

【分析】根據題意可得。+6=0,cd=\,x=+7,然后代入代數(shù)式求值即可.

【解答】解：J而=7,

?.4b互為相反數(shù),

a+b=0f

???c、d互為倒數(shù)，

/.cd=1,

的絕對值為西.

；?x=±7,

當x=7時，

原式=(0+1)X7+V0-加

=7-1

=6,

當x=-7時，

原式=(0+1)X(-7)+Vo-近

=-7-1

=-8,

二所求代數(shù)式的值為6或-8.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算和求代數(shù)式的值，關鍵是掌握相反數(shù)和為0,倒數(shù)積為1.

23.(2022秋?蘇州期中)小明在學完立方根后研究了如下問題：如何求出-50653的立方根？他進行了如

下步驟：

①首先進行了估算：因為l()3=iooo,10()3=1000OQ0,所以350653是兩位數(shù);

②其次觀察了立方數(shù):戶=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；

猜想痛面的個位數(shù)字是7；

③接著將50653往前移動3位小數(shù)點后約為50,因為33=27,43-64,所以病演的十位數(shù)字應為3,

于是猜想450653=37,驗證得：50653的立方根是37；

④最后再依據“負數(shù)的立方根是負數(shù)”得到*50653=-37,同時發(fā)現(xiàn)結論：若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這

兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立.

請你根據小明的方法和結論，完成下列問題：

⑴力-117649=-49；

⑵若知l-2x+狗=0,則彳=3_；

已知力x-2+2=x，且,3y-l與知l-2x互為相反數(shù)，求方y(tǒng)的值.

【分析】（1）根據題中的猜想得出%117649的個位數(shù)與十位數(shù)，再取其相反數(shù)即可；

（2）根據兩數(shù)相加等于0列出關于x的方程，求出x的值；由牛在+2=》求出x的值，再根據相反數(shù)的

定義列出關于y的方程，求出y的值即可.

【解答】解：（1）VIO3=1OOO,1OO3=1OOOOOO,

；?為117649是兩位數(shù).

?門3=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；年］“649的個位數(shù)

字是9.

?.?將117649往前移動3位小數(shù)點后約為117,因為33=27,43=64,53=125,所以燈50653的十位數(shù)字應

為4,

.?.117649的立方根是49,.

?.?兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)，

A5/-117649=-49?

故答案為：-49；

⑵:知l-2x+病=①

Al-2x=-5,解得x=3.

,A/X-2+2=X,

,Vx~2=x~2,

Ax-2=0,x-2=-1或x-2=1,解得冗=2,1或3；

：%3y_］與5/1-2X互為相反數(shù)，

.,.3y-\=2x-I,即

當x=2時，，3y-l=3,解得y=_l；

3

當x=l時，3y-l=l,解得y=2；

3

當x=3時，3^-1=5,解得y=2.

故答案為：3；x=2時，y=—ix=l時，y=—；x=3時，y=2.

33

【點評】本題考查的是實數(shù)的性質，熟知若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)是解題

關鍵.

五.實數(shù)與數(shù)軸（共5小題）

24.（2021秋?六合區(qū)期中）在數(shù)軸上畫出表示遙、-料的點，并標上必要的數(shù)據.

-3-2-10123

【分析】在數(shù)軸上作直角三角形，根據勾股定理可得兩個數(shù)的位置.

【解答】解：如圖，

【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，明確數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應是解題關鍵.

25.（2021?鹽城）如圖，點A是數(shù)軸上表示實數(shù)。的點.

（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實數(shù)圾的點P;（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）利用數(shù)軸比較&和a的大小，并說明理由.

401

【分析】（1）以數(shù)軸上1所在的位置為圓心，單位長度為半徑作圓，運用線段的垂直平分線作出數(shù)軸的垂

線，利用勾股定理，斜邊即為五,再以點。為圓心，為半徑作弧，交數(shù)軸的正半軸于點尸，點p即為

所求；

（2）根據在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的大比較大小.

【解答】解：（1）如圖所示，點P即為所求；

（2）理由如下：

；如圖所示，點A在點P右側,

???4>加?

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，運用線段的垂直平分線作出數(shù)軸的垂線是解題的關鍵.

26.（2022秋?徐州期末）如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是_遍_.

L-、、、

：\'、、

I\\

2'\'>

,:、i?M?

-2-10123

【分析】根據勾股定理求出BC的長度，即可求得點A表示的實數(shù).

【解答】解:如圖，

-2-I0I23

在RtZ\8C￡>中，由題意得，8=2,BD=l,NBDC=90°,

根據勾股定理得：BC={BI）2+C02=4F+22=

由圖可知AB=8C=A/M，

.?.點A表示的實數(shù)為代.

故答案為：yfS-

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的

關鍵.

27.（2022秋?大豐區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是（）

【分析】先根據勾股定理求出斜邊，再根據向右就用加法求解.

【解答】解：'''1+22—V5>

所以點A表示的數(shù)為：-1+旄，

故選：A.

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握勾股定理是解題的關鍵.

28.（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為2,在點A的右側作一個長為2,寬為1的長方

形ABCD,將對角線4c繞點A逆時針旋轉，使對角線的另一端落在數(shù)軸負半軸的點處，則點E表示的數(shù)

A.炳B.-V5C.2-V5D.75-2

【分析】先根據勾股定理求出AC,再根據向左就用減法求解.

【解答】解：'*'yj1+22~V5>

所以點E表示的數(shù)為：2-娓,

故選：C.

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握勾股定理是解題的關鍵.

六.實數(shù)大小比較（共6小題）

29.（2023?揚州）已知“=遙，b=2,c=J§,則a、b、c的大小關系是（）

A.h>a>cB.a>c>hC.a>b>cD.h>c>a

【分析】一個正數(shù)越大，其算術平方根越大，據此進行判斷即可.

【解答】解：；3<4<5,

遙，

即日〈2〈述，

則a>b>c9

故選：C.

【點評】本題考查實數(shù)的大小比較，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

30.（2023?儀征市二模）2加，727,5三個數(shù)的大小關系是（）

A.5<V27<2A/6B./<5<2&C.2&<5〈收D./<2遙<5

【分析】根據實數(shù)大小比較的方法即可求解.

【解答】解：2注=病，

因為24<25<27,

所以屈V5Va7,

即2加

故選：C.

【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較法則，能熟記實數(shù)的大小比較法則是解此題的關鍵，注意：任意兩個

實數(shù)都可以比較大小.正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)比大小，絕

對值大的反而小.

31.（2023?連云港）如圖，數(shù)軸上的點A、8分別對應實數(shù)“、從則a+b<0.（用或“=”

填空）

4I乎A

a0b

【分析】由數(shù)軸可得。<0<6,\a\>\b\,根據異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的數(shù)的符號，再用絕對值較大的

數(shù)減去較小的數(shù)即可求得答案.

【解答】解：由數(shù)軸可得a〈0<b,\a\>\b\,

貝ija+b<0,

故答案為：<.

【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸及其加法法則，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

32.（2022秋?秦淮區(qū)期末）比較大?。汗耉E+1.（填“>”、或"="）.

【分析】求出五、V3+1的平方，比較出它們的平方的大小關系，即可判斷出它們的大小關系.

【解答】解：（%）2=6,（a+1）2=4+2百，

V4+25/3>4+2XI=6,

二6<4+2?,

.,?V6<V3+1.

故答案為：<.

【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：正實數(shù)>0>負實數(shù)，兩個正實

數(shù)，平方值大的，這個數(shù)也大.

33.（2022秋?印江區(qū)期末）請你寫出一個大于1,且小于3的無理數(shù)是

【分析】根據算術平方根的性質可以把1和3寫成帶根號的形式，再進一步寫出一個被開方數(shù)介于兩者之

間的數(shù)即可.

【解答】解：；1=百，3=炳,

.?.寫出一個大于1且小于3的無理數(shù)是

故答案為企（本題答案不唯一）.

【點評】此題考查了無理數(shù)大小的估算，熟悉算術平方根的性質.

34.（2022秋?玄武區(qū)期末）比較大?。?-Vs>Vs-2.

【分析】利用作差法和無理數(shù)的大小比較方法解答.

【解答】解：V3-V5-（遙-2）=5-2遙，且4<5<6.25即2〈代<2.5,

二4<2后<5,

A5-2遙>0,

?■-3-V5>V5-2.

故答案是：>.

【點評】考查了實數(shù)大小比較.解題時，利用了“夾逼法”估算了無理數(shù)的大小.

七.估算無理數(shù)的大?。ü?小題）

35.（2022秋?邛江區(qū)期中）若一個正數(shù)的兩個平方根分別是2機-1和2-加，〃是8的立方根，c是百I的

整數(shù)部分，求"2+〃+C的立方根.

【分析】先利用平方根的意義可得21+2=0,從而可得加=-1,再利用立方根的意義可得〃=2,

然后再估算出'五的值的范圍，從而求出。=3,最后代入式子中進行計算即可解答.

【解答】解：???一個正數(shù)的兩個平方根分別是2“-1和2-加，

-1+2-m=0,

解得：m=-1,

???〃是8的立方根，

???〃=2,

V9<11<16,

.,?3<V11<4,

的整數(shù)部分是3,

.*.c=3,

/.m+n+c=~1+2+3=4,

/./H+/?+C的立方根為幻

【點評】本題考查了無理數(shù)的估算，平方根，熟練掌握估算無理數(shù)的大小是解題的關鍵.

36.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）已知2a+7H3立方根是3,3a+〃-1的算術平方根是4,c是J五的整

數(shù)部分.求%-He的平方根.

【分析】利用立方根，平方根的意義可得：12a+7b+3=27,從而可得：1a=5,然后再估算出后的值的

l3a+b-l=16lb=2

范圍，從而求出c的值，最后再把a,b,。的值代入式子中進行計算即可解答.

【解答】解：；24+76+3立方根是3,3a+b-1的算術平方根是4,

..J2a+7b+3=27,

*l3a+b-l=16'

解得：（a=5,

lb=2

V9<14<16,

?,?3<V14<4,

.二J五的整數(shù)部分是3,

...c=3,

/.3a-b+c

=3X5-2+3

=15-2+3

=16,

...3。一從?￡■的平方根是±4.

【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，平方根，熟練掌握估算無理數(shù)的大小是解題的關鍵.

37.（2022秋?丹徒區(qū)月考）已知54+4的立方根是-1,3a+加6的算術平方根是3,c,是J元的整數(shù)部分.

（1）求。、b、c的值；

（2）求34+加2c的平方根.

【分析】（1）根據立方根、算術平方根的定義求出。、6的值，估算無理數(shù)J元的大小確定c的值；

（2）求出3a+6+2c的值，再根據平方根的定義進行計算即可.

【解答】解：⑴由題意得：5〃+4=-1,

?"=-1,

???3。+人+6的算術平方根是3,

.\3?+/?+6=9,

即b=6,

???c是標的整數(shù)部分，而3<J元<4,

??c=3,

答：a=-1,b=6,c=3；

（2）,.?3。+/?+2c=9

，3a+H2c的平方根是±\/§=±3.

【點評】本題考查立方根、算術平方根以及估算無理數(shù)的大小，掌握算術平方根的定義是正確解答的關鍵.

38.（2022秋?濱海縣月考）已知2a-1的平方根為±3,3〃-b-1的立方根為2,

（1）求6a+b的算術平方根；

（2）若c是的整數(shù)部分，求24+3Z?-c的平方根.

【分析】（1）根據平方根的定義可求出〃、〃的值，代入計算6〃+。的值，再求其算術平方根即可；

（2）估算無理數(shù)后的大小，確定c的值，進而求出2“+3/7-c的值，再求其平方根即可.

【解答】解：（1）：2a-1的平方根為±3,3a-6-1的立方根為2,

/.2a-1=9,3a-b-\=8,

解得〃=5,b=6,

6。+〃=36,

V36的算術平方根為/花=6,

：.6a+b的算術平方根是6；

（2）V3<VT3<4,

二行的整數(shù)部分為3,

即c=3,

由（1）得a=5,b=6,

???2〃+3"c=10+18-3=25,

而25的平方根為土每=±5,

...2〃+3b-c的平方根土5.

【點評】本題考查算術平方根、平方根、立方根，理解平方根、算術平方根、立方根的定義是正確解答的

前提.

39.（2022秋?興化市校級期末）材料1：2.5的整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是0.5,小數(shù)部分可以看成是2.5

-2得來的，類比來看，&是無理數(shù)，而所以加的整數(shù)部分是1,于是可用&-1來表示

的小數(shù)部分.

材料2：若10-工&=a+WL則有理數(shù)部分相等，無理數(shù)部分也相等，即a,6要滿足a=10,b^-1.

22

根據以上材料，完成下列問題：

（1）的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是J7F-4；

（2）3+我也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為。<3+代<〃，求。+人的算術平方根.

【分析】（1）根據完全平方數(shù)，進行計算即可解答；

（2）先估算出遙的值的范圍，從而估算出3+禽的值的范圍，進而求出a,b的值，然后代入式子中進行

計算即可解答.

【解答】解:（1）V16<17<25,

.,?4<V17<5,

的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是丁萬-4,

故答案為：4,V17_4；

（2）VI<3<4,

二4<3+百<5,

；3+我也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<3+M<b,

??a-4-rb=5,

/.a+b=4+5=9,

/-a+b的算術平方根是3.

【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關鍵.

40.（2022秋?東臺市期中）閱讀下面的文字，解答問題：

大家知道正是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此近的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，而1（如

<2,于是可用&-1來表示正的小數(shù)部分.請解答下列問題：

（1）收的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是歷-4.

（2）如果我的小數(shù)部分為。，任的整數(shù)部分為從求4+%-的值.

【分析】（1）直接利用二次根式的性質得出小五的取值范圍進而得出答案；

（2）直接利用二次根式的性質得出陰，任的取值范圍進而得出答案.

【解答】解：（1）,?,^/76<721<^25）

.,?4<V21<5,

五的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是：V21-4；

故答案為：4；5/21-4；

（2）vV4<V7<V9>

.,.2<V7<3,

:我的小數(shù)部分為a,

：.a=47-2,

?：M〈/〈屈,

?,?3<V15<4,

：J元的整數(shù)部分為b，

:.b=3,

：.a+b-V7=V7-2+3-5/7=I.

【點評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確估算無理數(shù)的取值范圍是解題關鍵.

A.實數(shù)的運算（共4小題）

41.（2022秋?秦淮區(qū)期末）計算：迎+電厲-（V2）2-

【分析】先算乘方，開方，再算加減即可.

【解答】解：原式=2-3-2

=-3.

【點評】本題考查實數(shù)的運算能力，注意負數(shù)的立方根是負數(shù).

42.（2022秋?常州期末）計算：V?-^+（H+l）0.

【分析】直接利用算術平方根的性質以及立方根的性質、零指數(shù)幕的性質分別化簡，再利用有理數(shù)的加減

運算法則計算得出答案.

【解答】解：原式=21+1

=&

3"

【點評】本題主要考查了算術平方根的性質以及立方根的性質、零指數(shù)基的性質，正確化簡各數(shù)是解題關

鍵.

43.（2022秋?鼓樓區(qū)期末）計算：V+/（-2產+落亞麗丁

【分析】利用算術平方根的意義，二次根式的性質和立方根的意義化簡運算即可.

【解答】解：原式=3+2-0.1

=4.9.

【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，算術平方根的意義，二次根式的性質和立方根的意義，正確利用上

述法則化簡運算是解題的關鍵.

44.（2022秋?丹徒區(qū)期末）計算與求值：

⑴計算：蟲+際_|2-a|；

（2）求下列各式中的x；

①5$=15；

②（x+3）3=-64.

【分析】（1）利用絕對值的意義和立方根的意義解答即可；

（2）①利用平方根的意義解答即可；

②利用平方根的意義解答即可.

【解答】解：（1）原式=2-3-2+?

—Vs-3；

（2）①?.?5/=15,

/.X2=3.

??.X是3的平方根.

（2）V（x+3）3=-64,

...x+3是-64的立方根，

；.x+3=-4,

.?.x=-7.

【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，絕對值，立方根，平方根的意義，掌握相應的法則進行運算是關鍵.

，域真題演練］

----------------------III1IIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIUIIIIIIIIII-

一、單選題

1.（2023秋?江蘇蘇州?八年級蘇州中學?？计谀y(tǒng)計，2022年前三季度蘇州市國民生產總值（GDP）

為16976.70億元，數(shù)據16976.70精確到個位是（）

A.16970B.16976C.16977D.17000

【答案】C

【分析】根據“四舍五入法”確定近似值即可.

【詳解】數(shù)據16976.70精確到個位是16977.

故選C.

【點睛】本題考查求一個數(shù)的近似數(shù).求一個精確到某一數(shù)位的近似數(shù)時，對這一數(shù)位后面的那個數(shù)進行

四舍五入即可.

2.（2023秋?江蘇徐州?八年級統(tǒng)考期末）某地城市軌道交通6號線全長22912m,該長度用科學記數(shù)法（精

確到1000m）可表示為（）

A.2.2xl04mB.2.3xl04mC.2.2xl05mD.2.3xl05m

【答案】B

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axlO”的形式，其中141al<10,”為整數(shù).確定”的值時，要看把原數(shù)變

成4時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：22912m用科學記數(shù)法精確到1000m,

可表示為22912mx23000m=2.3xl04m，

故選：B.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中14|“|<10,"為

整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及”的值.

3.（2023秋?江蘇南京?八年級校聯(lián)考期末）下列實數(shù)是無理數(shù)的是（）

22

A.乃B.—C.79D.舛

【答案】A

【分析】根據無理數(shù)的定義進行分析即可.

【詳解】解：乃是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)；

手22是分數(shù)，分數(shù)有理數(shù)；

79=3,港=-2都是整數(shù)，整數(shù)是有理數(shù).

故選：A.

【點睛】本題考查了無理數(shù)的概念，解決本題的關鍵是對帶根號的數(shù)字進行判斷，需要先對其進行化簡，

只有不能被開方的數(shù)字才是無理數(shù).

4.（2023秋?江蘇宿遷?八年級統(tǒng)考期末）下列判斷正確的是（）

A.0<V6<lB.l<>/6<2C.2<V6<3D.3<x/6<4

【答案】C

【分析】根據無理數(shù)的估算方法求解即可.

【詳解】解：：4<6<9,

/.2<76<3,

故選C.

【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，熟知無理數(shù)的估算方法是解題的關鍵.

5.（2023秋?江蘇南京?八年級統(tǒng)考期末）下列無理數(shù)中，在-2與1之間的是（）

A.-B.-6C.GD.#）

【答案】B

【分析】根據無理數(shù)的定義進行估算解答即可.

【詳解】解：A.-45<-44=-2,不成立；

B.-2<-y/3<l,成立；

C.>/3>1,不成立；

D.y/5>1,不成立，

故選:B.

【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的比較大小，解答此題要明確，無理數(shù)是不能精確地表示為兩個整數(shù)之比

的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).

6.（2023秋?江蘇蘇州?八年級期中）估計3-5的值在（）

A.0和1之間B.1和2之間

C.2和3之間D.3和4之間

【答案】A

【分析】首先估算板的范圍，進而得到答案.

【詳解】解：

/.0<3->/7<1,

.??3-夜的值在0和1之間,

故選：A.

【點睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，解題的關鍵是明確估算無理數(shù)大小要用逼近法.

7.（2023秋?江蘇淮安?八年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上的點A,B,O,C,。分別表示數(shù)一2,-1,0,1,

2,則表示數(shù)1-若的點尸應落在（）

ABOCD

—J——I_6-6-1——6_6~?——?——L_>

-4-3-2-1012345

A.線段AB上B.線段BO上C.線段0c上D.線段8上

【答案】B

【分析】根據1〈囪〈”，得到-2v-G〈T,進一步可得一K1-囪（0,根據數(shù)軸與實數(shù)的關系解答即可.

【詳解】解：,.,1〈囪〈”

?*--l<l-x/3<0，

，表示1-6的點在線段。8上，

故選:B.

【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)大小的估算，解題的關鍵是正確估算無理數(shù)的大小.

8.（2023春?江蘇鹽城?八年級?？计谥校┤艏?不，估計，"的值所在的范圍是（）

A.0<m<1B.1<m<2C.2</n<3D.3Vm<4

【答案】C

【分析】找到與7最接近的兩個完全平方數(shù)，即可判斷正在哪兩個和它接近的整數(shù)之間，然后判斷出所求

的無理數(shù)的范圍即可求解.

【詳解】解：：4<7<9,

:C〈不〈也，

2<V7<3,

二機的值所在的范圍是：2Vm<3；

故選C.

【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算能力，解題的關鍵是估算，估算應是我們具備的數(shù)學能力，“夾逼法”是估

算的一般方法.

9.（2023秋?江蘇?八年級統(tǒng)考期末）下列實數(shù)大于2且小于3的是（）

A.73B.〃C.石D.囪

【答案】C

【分析】分別估算各數(shù)的取值范圍，進而得出答案.

【詳解】解：A、

不合題意；

B、74=2,不合題意；

C、VV4<V5<x/9,

2<>/5<3,符合題意：

D、5/9=3?不合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，熟練估算無理數(shù)是解題的關鍵.

10.（2023秋?江蘇連云港?八年級統(tǒng)考期末）對估算正確的是（）

A.1<V13<2B.2ca<3C.3<>/13<4D.4<V13<5

【答案】C

【分析】根據如〈屈<J話，可得答案.

【詳解】解：,.,W<工<后，

3<V13<4,

故選：C.

【點睛】此題考查了估算無理數(shù)的大小，解題的關鍵是掌握首先估算被開方數(shù)在哪兩個相鄰的平方數(shù)之間，

再估算該無理數(shù)在哪兩個相鄰的整數(shù)之間.

二、填空題

11.（2023秋?江蘇鹽城?八年級?？计谀┌蠢ㄌ杻鹊囊?，用四舍五入法求近似數(shù)：5.748（精確到0.01）

【答案】5.75

【分析】把千分位上的數(shù)字8進行四舍五入即可.

【詳解】解:5.748=5.75（精確到0.01）.

故答案為：5.75.

【點睛】本題考查了近似數(shù)：“精確到第幾位”是近似數(shù)的精確度的常用的表示形式.

12.（2023秋?江蘇鹽城?八年級統(tǒng)考期末）比較大?。簶?C.（填

【答案】<

【分析】根據立方根的含義和求法求出歷的值，然后比較大小即可.

【詳解】炳=3,

3〈萬，

二^27<n.

故答案為：<.

【點睛】本題考查了立方根的含義和求法，實數(shù)的大小比較，解出溝的值是解題的關鍵.

13.（2023秋?江蘇宿遷?八年級統(tǒng)考期末）設〃為正整數(shù)，且〃<J歷<〃+1，則〃的值為.

【答案】3

【分析】先估算出屈的取值范圍，進而可得出結論.

【詳解】解：：9<12<16,

-3<>/12<4,

n=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，熟知估算無理數(shù)大小要用逼近法是解題的關鍵.

14.（2023秋?江蘇泰州?八年級統(tǒng)考期末）中國空間站未來將單獨發(fā)射一個光學艙，內設巡天望遠鏡，其分

辨率與哈勃相當，視場角是哈勃的300多倍.在軌10年，可以對40%以上的天區(qū)，約17500平方度天區(qū)進

行觀測.將17500用科學記數(shù)表示為（精確到1000）.

【答案】1.8xl04

【分析】先把百位上的數(shù)字進行四舍五入，然后用科學記數(shù)法表示即可.