2023年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷(含答案)

2023年浙江省中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試卷

一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填入題干后

的括號(hào)里，多選、不選、錯(cuò)選均不得分，每題5分，共50分）

、

八3一幺?丁山一cos4x+si?n4x+si.n0-xcos"x_,,/、

1.化簡二角有理式-7------7--------5-----「的值為（A）

sinx+cosx+2sinxcosx

A.1B.sinx+cosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx

解答為Ao

分母=（sin2x+cos2x）（sin4x+cos4x-sin2xcos2%）+2sin2xcos2x

=sin4x+cos4x+sin2xcos2x°

2.若p:，+x+l）Jx+3NO,q:x>-2,則P是"的（B）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解答為B。p成立OX2—3,所以P成立，推不出q肯定成立。

3.集合P={*ce尺k+3|+|x+6|=3},則集合。2為（D）

A.{X|X<6,BJCV>3}B.{A]X<6,^CV>—3}

C.{.%<-6,或1>3}D.{x[x<—6,或x>—3}

解答：D。畫數(shù)軸，由肯定值的幾何意義可得-6WxW-3,

,

/=|x|—6<x<-3|,CRP={x|x<-6,>—3}。

4.設(shè)。/為兩個(gè)相互垂直的單位向量。已知0P=。，OQ-b,OH=r〃+k力.若△PQR

為等邊三角形，則k,r的取值為（C）

,i±61±6

A.1二土叵B.k=——r=-----

222

,1±>/3,-1+V3-1+73

C.k=r=-----D.k=....-r=------

222

解答.C.|「。=|。用=|冏,

即J產(chǎn)+（々—1）2=7（r-l）2+A:2=母,解得r=k=粵3

5.在正三棱柱ABC—AiBiCi中，若AB=^BBi，貝ljCAi與JB所成的角的大小是

（C）

A.60°B.75°C.90°D.105°

解答：c。建立空間直角坐標(biāo)系，以A5所在的直線為x軸，在平面AAG上垂直于4月的

直線為y軸，B當(dāng)所在的直線為z軸。則A（JIO,O），G（［，半，°），c（5,等」），

6（0,0』），CA=（冬一手,一1）,￡8=（一￥，一半,1）,。4?￡3=（）0

6.設(shè)｛q｝，也｝分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且4=4=4,%=4=1，則以下結(jié)論

正確的是（A）

A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.%>4

解答：Ao

3行

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列公比為q,由4=々=4,%=仇=1,得d=T,q=牛

得%=3,a=2-^2；。3=2,4=；%=°，”5=；。6=—L06=

7.若元￡/?+,則（1+2工廠的二項(xiàng)式綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（D）

A.第8項(xiàng)B.第9項(xiàng)C.第8項(xiàng)和第9項(xiàng)D.第11項(xiàng)

9Q32

解答:D."針,由八卻，加包一了"守口。，第"項(xiàng)最大。

8.設(shè)/（x）=cosj,a=/（logJ）,b=/（log」）,c=/（log|，■）,則下述關(guān)系式正

5ne-

確的是（D）。

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

Y7T

解答：D。函數(shù)/（X）=COSg為偶函數(shù)，在（0,―）上，/（x）=cosx為減函數(shù)，而

,1.11,12

log,一=一10gt■萬，log.-=--：--------,logIF=2log,乃，

兀elog,7t-n

0<~?—<log,萬：2log.

—<—,所以匕>a>c。

5log,71554

9.下面為某一立體的三視圖，則該立體的體積為(C)

正視圖：半徑為1

側(cè)視圖：半徑為1的一圓俯視圖：

的半圓以及高為14

半徑為1的圓

的矩形以及高為1的矩形

3乃244萬3左

A.--B.---C.---D.--

2334

解答：C.依據(jù)題意，該立體圖為圓柱和一個(gè)1/4的球的組合體。

10.設(shè)有算法如下：

假如輸入A=144,B=39,則輸出的結(jié)果是(B)

A.144B.3C.0D.12

解答B(yǎng)(1)A=144,B=39,C=27：(2)A=39,B=27,C=12：(3)A=27,B=12,C=3：(4)

A=12,B=3,C=0。所以A=3。

二、填空題(本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分)

11.滿意方程7^-2009-2A/X-2010+Jx-2009+2jx-2010=2全部實(shí)數(shù)解為

2010<x<2011o

解答變形得J(疝2010-1)2+J(jx—2010+17=2=>0?&-2010?1,解得

2010<x<2011?

XX

12.xeR,函數(shù)/(x)=2sin/+3cos§的最小正周期為臣.

解答2s嗚的周期為4萬,3cos；的周期為6乃，所以函數(shù)/Xx)的周期為12萬。

13.設(shè)P是圓/+>2=36上一動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(20,0)。當(dāng)p在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PA的

中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-10)2+y2=9.

解答設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x°,%),則有x=亞型,、=及

^xo=2x-2O,yo=2y,因?yàn)镻點(diǎn)在圓上，所以(28一20尸+(2y>=36所以P點(diǎn)軌跡

為“一10)2+丁=9。

14.設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點(diǎn)D,使得AD把a(bǔ)ABC分成兩個(gè)等腰三角形，試求△

ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為

30°<x<45°或22.5°<x<30°.

解答如圖，(1)AD=AC=BD；(2)DC=AC,AD=BD。

(1)

(2)

在(1)中，設(shè)最小的角為x,則2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30Vx<45；

在(2)中，設(shè)最小的角為x,則3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<30.

15.設(shè)z是虛數(shù)，w=z+,，且一l<w<2,則z的實(shí)部取值范圍為—

z2

1?I

解答設(shè)z=a-^bi^>—i<a+bi+———l<2=>/?----T=。=>b=O^tz2+Z?2=1

a2+b2a2+h2

當(dāng)￡>=0,無解；當(dāng)。2+/=1=>——<<7<1?

2

16.設(shè)/(%)=一X+1)-/(I-x)4。假如對(duì)任何Xe[0,1],都有/(%)>0,則k的最

1

小值為

192

解答H^2-x+l=(x--)2+->-,x=-td-x2-x+lM/>{t^-

x2-x+124424

分子Jx(l—x)W±x=_!■時(shí),無“(I—》)4取最大值(_1)8,所以k的最小值為二一。

222192

17.設(shè)p,qeR,/(%)=/+08|+4。當(dāng)函數(shù)/(x)的零點(diǎn)多于1個(gè)時(shí)，/(幻在以其最

小零點(diǎn)與最大零點(diǎn)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的最大值為?；騫.

解答因?yàn)楹瘮?shù)/(幻=9+〃口|+4為偶函數(shù)，由對(duì)稱性以及圖像知道，/(x)在以其最

小零點(diǎn)與最大零點(diǎn)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的最大值0或q。

三、解答題(本大題共有3小題，每題17分，共51分)

問：(1)這個(gè)數(shù)列第2023項(xiàng)的值是多少；

(2)在這個(gè)數(shù)列中，第2023個(gè)值為1的項(xiàng)的序號(hào)是多少.

1O1

解(1)將數(shù)列分組：~j■，…彳),…

因?yàn)?+2+3+—+62=1953；1+2+3+—+63=2023,

所以數(shù)列的第2023項(xiàng)屬于第63組倒數(shù)第7個(gè)數(shù)，即為5上7。-----10分

7

(2)由以上分組可以知道，每個(gè)奇數(shù)組中出現(xiàn)一個(gè)1,所以第2023個(gè)1出現(xiàn)在第4019組,

而第4019組中的1位于該組第2023位,所以第2023個(gè)值為1的項(xiàng)的序號(hào)為(1+2+3+-+4018)

+2023=8076181o-------17分

19.設(shè)有紅、黑、白三種顏色的球各10個(gè)。現(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個(gè)袋子中，要求每

個(gè)袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個(gè)袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。問共有多少種放法。

解：設(shè)甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數(shù)為x,y,z,則有l(wèi)〈x,y,z?9,且

xyz=(10—%)(10—y)(10—z)(*1)

-----------5分

即有

xyz=500-50(%+_y+z)+5(xy+^z+zx)?(*2)

于是有5|移z。因此x,y,z中必有一個(gè)取5。不妨設(shè)x=5,代入(*1)式，得到

y+z=10。-----------10分

此時(shí)，y可取1,2,8,9(相應(yīng)地z取9,8,2,1),共9種放法。同理可得y=5

或者z=5時(shí)，也各有9種放法，但有x=y=z時(shí)二種放法重復(fù)。因此可得共有

9X3—2=25種放法。--------------17分

尤2

20.已知橢圓二+>2=1(。>1),RMBC以A(0,1)為直角頂點(diǎn)，邊AB、BC與橢圓

27

交于兩點(diǎn)B、Co若AABC面積的最大值為一，求。的值。

8

解：不妨設(shè)的方程y=Qc+l(Z>0),則AC的方程為丁=一L％+1。

k

y-Zx+12

2得：（1+。2左2）尤2+2。2kX=0==-21

由<Xk],

---|-y=]1

[a2/

1I

y=——x+12

得:（.2+&2）.2—=0=>%=一,

由,2a2kx

Y〃-+左2

—-i

a~

從而有

%+工

于是S"#8||AC=2%JW；：L）

2/k

/（攵②+4）+/+1

令「=左+122,有

k

二2a4t2a4

10分

“門+仆],人…’

（〃2_1zy-_1

因?yàn)椤?,+火_匕22〃（/_1）,t=--時(shí)等號(hào)成立。

ta

〃2—]〃3

因此當(dāng)t=——AS）=「，--------14分

aMBCmma-1

令^^=2=（。一3）（8/一3。-9）=0=。=3,4=^^^

。~一1816

2T>2na>l+夜,.??叫3+腐

（不合題意，舍去）,，a=3.------17分

a16

四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）

Bd［CE\AF

21.設(shè)D,E,F分別為^ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn)。記==―工、0=―=--；

BC\C4|AB

證明：S^DEF-a階^MBC°

,S|BD|*|BF|sinB

證明由ABRFFDn=1——LJ——--------=<2(1-辦------5分

SMBC|BC|.|BA|sinB

同理=2(i_0),=y(l-2)。------10分

S城BeSMBC

所以，=Sy照J(rèn)S迎二S迎二5必絲=1_a(l_/)_￡(1_a)_y(l_￡)

S&ABCS^BC

=（1一￡）（1一月）（1-y）+￡尸720'方,等號(hào)成立0￡=1或6=1或y=1。-—20分

因此5包b2被S^Bc，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)，D與C重合，或E與A重合，或F與B

重合。25分

22.（1）設(shè)?！?,平面上的點(diǎn)如其坐標(biāo)都是整數(shù)，則稱之為格點(diǎn)。今有曲線y