第十四章 三角形單元綜合提優(yōu)專練（解析版）-【考點培優(yōu)尖子生專用】2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練（滬教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。第十四章三角形單元綜合提優(yōu)專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．在下列命題中：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊三角形．正確的命題有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【標準答案】C【思路指引】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；三個內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題．【詳解詳析】解：①因為外角和與其對應(yīng)的內(nèi)角的和是180°，已知有一個外角是120°，即是有一個內(nèi)角是60°，有一個內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．該結(jié)論正確；

②兩個外角相等說明該三角形中兩個內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯誤；

③等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯誤；

④三個外角都相等的三角形是等邊三角形，說法正確，

正確的命題有2個，

故選：C．【名師指路】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運用的等邊三角形的判定方法解決問題．2．直線與兩坐標軸交于、兩點，點在坐標軸上，若為等腰三角形，則滿足條件的點最多有（）個A．8 B．4 C．5 D．7【標準答案】D【思路指引】運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，分AB為腰或底兩種情況來分類解析，逐一判斷，即可解決問題．【詳解詳析】解：如圖，對于直線y＝x?1，當(dāng)x＝0時，y＝?1；當(dāng)y＝0時，x＝1，∴直線y＝x?1與兩個坐標軸的交點分別為A（0，?1），B（1，0）；若以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，則與x軸有兩個交點，與y軸有一個交點（點A除外）；若以點A為圓心，以AB的長為半徑畫弧，則與x軸有一個交點（點B除外），與y軸有兩個交點；∴以AB為腰的等腰△ABC有6個；若以AB為底，作AB的垂直平分線，與坐標軸交于原點O，綜上所述，滿足條件的點C最多有7個，故選D．【名師指路】該題主要考查了等腰三角形的判定問題；解題的關(guān)鍵是運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，分AB為腰或底兩種情況來分類解析，逐一判斷；對綜合分析問題解決問題的能力提出了一定的要求．3．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，給出下列結(jié)論：①∠ABC=45°；②AD∥BE；③∠CAD=∠BCE；④△CEB≌△ADC；⑤．那么其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【標準答案】D【思路指引】根據(jù)△ABC是等腰直角三角形可判斷①正確；根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可判斷②正確；利用等腰三角形的性質(zhì)及其它條件，證明△CEB≌△ADC，則其他結(jié)論易求．【詳解詳析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故①正確；∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴AD∥BE，故②正確；∵∠BCE+∠ACD=90°∠ACD+∠CAD=90°

∴∠BCE=∠CAD，故③正確；

又∠E=∠ADC=90°，AC=BC

∴△CEB≌△ADC，故④正確

∴CE=AD，BE=CD

∴，故⑤正確．

因此，正確的結(jié)論有5個，故選：D．【名師指路】本題考查了直角三角形全等的判定；要充分利用全等三角形的性質(zhì)來找到結(jié)論，利相等線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵；4．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【標準答案】C【思路指引】利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解詳析】解：∵△ADC繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確無法判斷BE＝CD，故①錯誤，故選：C．【名師指路】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．5．如圖，，點B和點C是對應(yīng)頂點，，記，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A． B． C． D．【標準答案】C【思路指引】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補表示出∠OBC，整理即可．【詳解詳析】解：∵△AOB≌△ADC，

∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，

∴∠BAC=∠OAD=α，

在△ABC中，∠ABC=（180°-α），

∵BC∥OA，

∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，

∴β+（180°-α）=90°，

整理得，α=2β．

故選：C．【名師指路】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列條件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°【標準答案】C【思路指引】根據(jù)全等三角形的判定定理進行推理．【詳解詳析】解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合題意．B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合題意．C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合題意．D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合題意．故選：C．【名師指路】本題考查了三角形的全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，BE與CD相交于點O，如果已知∠ABC=∠ACB，補充下列一個條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB【標準答案】B【思路指引】根據(jù)題目中的條件和各個選項中的條件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪個選項中的條件，不能判定△ABE≌△ACD，從而可以解答本題．【詳解詳析】解：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵∠BAE=∠CAD，∴補充條件AD=AE時，△ABE≌△ACD（SAS），故選項A不符合題意；補充條件BE=CD，無法判斷△ABE≌△ACD，故選項B符合題意；補充條件OB=OC時，則∠OBC=∠OCB，故∠ABE=∠ACD，則△ABE≌△ACD（ASA），故選項C不符合題意；補充條件∠BDC=∠CEB時，則∠AEB=∠ADC，則△ABE≌△ACD（AAS），故選項D不符合題意；故選：B．【名師指路】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．如圖，已知點B、C、E在一直線上，、都是等邊三角形，聯(lián)結(jié)和，與相交于點F，與相交于點G，下列說法不一定正確的是（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】利用等邊三角形的性質(zhì)和“SAS”證明可得A選項；可利用“ASA”證明可得C、D選項，利用排除法求解即可．【詳解詳析】解：∵、都是等邊三角形，∴，=60°，，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，∴（SAS），∴BD=AE，（故A正確）；∴∠AEC=∠BDC，又，，∴（ASA），∴EG=FD，（故C正確），F(xiàn)C=GC，（故D正確）由于B項不能由已知條件得到，故B錯誤，故選：B．【名師指路】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于點H且HD＝DC，那么下列結(jié)論中，正確的是（）A．△AHE≌△BHD B．HE＝ECC．AH＝BD D．△ABD是等腰直角三角形【標準答案】D【思路指引】首先根據(jù)垂直可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后再證明∠HAE＝∠HBD，然后再利用AAS證明△ADC≌△BDH．【詳解詳析】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠DAE+∠AHE＝90°，∵BE⊥AC，∴∠HBD+∠BHD＝90°，∵∠AHE＝∠BHD，∴∠HAE＝∠HBD，在△BDH和△ADC中，，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD＝AD，∵∠BDA＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，故選：D．【名師指路】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）．10．.如圖所示，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等邊三角形；⑥FG∥AD，其中正確的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【標準答案】D【詳解詳析】∵△ABC與△BDE為等邊三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABE=∠CBD，即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，又∵∠DBG=∠FBE=60°，∴△BGD≌△BFE，∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，∴△BFG是等邊三角形，∴FG∥AD，∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，∴△ABF≌△CGB，∴∠BAF=∠BCG，∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，∴∠AHC=60°，∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°，∴B、G、H、F四點共圓，∵FB=GB，∴∠FHB=∠GHB，∴BH平分∠GHF，∴題中①②③④⑤⑥都正確．故選D．點睛：本題主要考查對等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．二、填空題11．在△ABC中，∠ABC＝48°，點D在BC邊上，且滿足∠BAD＝18°，DC＝AB，則∠CAD＝_____度．【標準答案】66【思路指引】作輔助線，構(gòu)建等腰三角形ABE，證明AB=BE，再證明△ABD≌△ACE，得∠CAE=∠BAD=18°，根據(jù)角的和可得結(jié)論．【詳解詳析】解：如圖，在線段CD上取一點E，使CE＝BD，連接AE，∴CE+DE＝BD+DE，即CD＝BE，∵CD＝AB，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵∠B＝48°，∴∠BAE＝∠BEA＝66°，∵∠B＝48°，∠BAD＝18°，∴∠ADE＝66°＝∠AED，∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠EAC＝∠BAD＝18°，∴∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝∠BAD+∠DAE＝66°．故答案為：66．【名師指路】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，正確作輔助線，構(gòu)建等腰三角形是本題的關(guān)鍵．12．如圖，已知直線，含角的三角板的直角頂點在上，角的頂點在上，如果邊與的交點是的中點，那么__度．【標準答案】120【思路指引】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，則，再利用三角形外角性質(zhì)得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求的度數(shù)．【詳解詳析】解：是斜邊的中點，，，，，，．故答案為120．【名師指路】本題考查了三角形外角性質(zhì)與平行線求角問題，能靈活運用外角性質(zhì)定理與平行線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，則∠EDF的度數(shù)為____．【標準答案】65°【思路指引】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出∠B＝∠C及∠B的度數(shù)，結(jié)合BD＝CE、BF＝CD，即可證出△BDF≌△CED（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出∠CDE＝∠BFD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF＝∠B，此題得解．【詳解詳析】解：∵AB＝AC,∠A＝50°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°．在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠CDE＝∠BFD．∵∠BDF+∠BFD+∠B＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，∴∠EDF＝∠B＝65°．故答案為：65°【名師指路】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)導(dǎo)出∠CDE＝∠BFD是解題的關(guān)鍵．14．在等腰△ABC中，如果過頂角頂點A的一條直線AD將△ABC分割成兩個等腰三角形，那么∠BAC＝___．【標準答案】90°或108°．【思路指引】根據(jù)題意畫出圖形，分類討論，利用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解詳析】解：①當(dāng)BD=AD，CD=AD時，如圖①所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C，設(shè)∠B=∠C=x，∵BD=AD，CD=AD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x，∴4x=180°，∴x=45°，∴∠BAC=2x=45°×2=90°；②當(dāng)AD=BD，AC=CD時，如圖②所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C設(shè)∠B=∠C=x，∵AD=BD，AC=CD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=，∴+x=180°-2x，解得：x=36°，∴∠BAC=180°-2x=180°-2×36°=108°，故答案為：90°或108°．【名師指路】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形分類討論，利用三角形的內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，高AD、BE交于H點，若BH=AC，求∠ABC等于___度．【標準答案】45【思路指引】根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD=∠HBD，再利用“角角邊”證明△ACD和△BHD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BD，然后判斷出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解詳析】解：∵AD、BE是△ABC的高，∴∠CAD+∠C=∠HBD+∠C，∴∠CAD=∠HBD，在△ACD和△BHD中，，∴△ACD≌△BHD(AAS)，∴AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABC=45．故答案為：45．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．16．如圖，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論是__________________________________．（注：將你認為正確的結(jié)論填上）【標準答案】①②③【思路指引】利用三角形的內(nèi)角和定理可判斷①，證明可判斷②，證明可判斷③，最后證明可得但是不能得到從而可判斷④.【詳解詳析】解：，，故①正確，符合題意；，，，故②正確，符合題意；故③正確，符合題意；但是不一定成立，故④錯誤，不符合題意；故答案為：①②③【名師指路】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活選用判定方法，從前一個全等三角形的性質(zhì)中得出下一對三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.17．在△ABC中，中線AD、BE相交于點O，若△BOD的面積等于6，則△ABC的面積等于____．【標準答案】12【思路指引】先根據(jù)點O是△ABC的重心得出OD=AD，再由△BOD的面積等于6，得出S△ABD=S△BCE=18，即可求出SΔCEOD．【詳解詳析】解：∵△ABC中，中線AD、BE相交于點O，∴點O是△ABC的重心，∴OD=AD．∵S△BOD=6，∴S△ABD=18=S△ABC=S△BCE∴S四邊形CEOD=S△BCE-S△BOD=18?6=12．故答案為：12．

【名師指路】本題考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解答此題的關(guān)鍵．18．如圖，ABC的周長為26，點D、E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC＝10，則DE的長是____．【標準答案】6【思路指引】證明△BQA≌△BQE，得到BA=BE，同理證明△CAP≌△CDP，得到AC=CD，根據(jù)三角形的周長公式出去BE+CD，求出DE，【詳解詳析】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，

在△BQA和△BQE中，，∴△BQA≌△BQE，

∴BA=BE，同理可證△CAP≌△CDP，得到AC=CD，∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，

∴DE=BE+CD-BC=6，故答案為：6【名師指路】本題主要考察全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．已知：如圖所示，等邊三角形ABC，點P和Q分別從A和C兩點同時出發(fā)，它們的速度相同．點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，設(shè)PQ與直線AC相交于點D，作PE⊥AC于E,當(dāng)點P在邊AB上時，DE:AC=_________【標準答案】1:2【思路指引】延長AC，過點Q作垂直于AC的延長線于點F，證明，得到，又由，得到；證明，得到，即，從而得到結(jié)果．【詳解詳析】解：延長AC，過點Q作垂直于AC的延長線于點F，如下圖:

∵∴又∵∴∴∵點P和Q分別從A和C兩點同時出發(fā)且速度相同∴∵△ABC是等邊三角形∴又∵∴在和中，∴∴∴即：在和中，∴∴∴∴

故答案為：【名師指路】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識點，能夠根據(jù)圖形作出全等所需的輔助線是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在中，，點在內(nèi)，將以點為旋轉(zhuǎn)中心進行旋轉(zhuǎn)，使點B與點C重合，點M落在點N處，若,且B、M、N三點恰共線，則=_______．【標準答案】40°【思路指引】由全等可推理得到，由可得到，又由，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【詳解詳析】解：由旋轉(zhuǎn)可知：∴，∴即：又∵∴∵∴∵∴∵∴故答案為：【名師指路】本題考查三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識點，牢記相關(guān)的知識點并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝3厘米，DA＝DC＝4厘米，∠DAB＝∠DCB＝90°，點P從A點開始沿射線AB方向運動，點Q從點C開始沿射線BC方向運動，P、Q兩點運動速度均為1厘米/秒，兩點同時運動．

（1）在P、Q兩點運動過程中，請問∠PDQ的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；（2）當(dāng)點P在線段AB上運動時（如圖1），請求出四邊形PDQB的而積；（3）如圖2，P點運動到AB延長線上，設(shè)DP與線段BC的交點為E．①當(dāng)P、Q運動了多少秒時，S△CDE=S△BPE．②當(dāng)P、Q運動了多少秒時，第①小問中兩個三角形的面積差為（3﹣）平方厘米．【標準答案】（1）∠PDQ的大小不發(fā)生變化，總等于∠ADC；（2）四邊形PDQB的而積為12平方厘米；（3）①P、Q運動了6秒時，S△CDE=S△BPE；②當(dāng)秒或秒時，S△BPE與S△CDE的差為（3﹣）平方厘米．【思路指引】（1）根據(jù)SAS證DAP≌△DCQ，推出∠ADP=∠CDQ，即可求出∠PDQ=∠ADC；（2）求出四邊形PDQB的面積=四邊形ABCD的面積，求出四邊形ABCD的面積即可；（2）①S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0，根據(jù)三角形面積公式得出方程，求出方程的解即可；②得出S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB，根據(jù)三角形面積公式得出方程，求出方程的解即可．【詳解詳析】解：（1）∠PDQ的大小不發(fā)生變化，理由是：∵∠A=∠DCB=∠DCQ=90°，由已知得出AP=CQ，∴在△DAP和△DCQ中，，∴△DAP≌△DCQ（SAS），∴∠ADP=∠CDQ，∴∠PDQ=∠PDC+∠CDQ=∠PDC+∠ADP=∠ADC，即∠PDQ的大小不發(fā)生變化，總等于∠ADC；（2）∵△ADP≌△DCQ，∴S△ADP=S△DCQ，∴四邊形PDQB的面積是：S四邊形PDQB=S四邊形PDCB+S△CDQ=S四邊形PDCB+S△ADP=S四邊形ABCD=×3×4+×3×4=12(平方厘米)；（2）①連接BD，

設(shè)P、Q運動了t秒時，S△CDE=S△BPE，∵S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB，∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0，∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4，×3×4-×（t-3）×4=0，解得t=6，即P、Q運動了6秒時，S△CDE=S△BPE；②連接BD，設(shè)P、Q運動了t秒時，S△CDE-S△BPE=3-(平方厘米)，∴AP=CQ=t，∴S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB，∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB，∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4，∴S△DCB=×3×4=6，S△PDB=×（t-3）×4=2（t-3），∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=6-2（t-3）=3-．解得(秒)，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB=2（t-3）-6=3-．解得(秒)，綜上，當(dāng)秒或秒時，S△BPE與S△CDE的差為（3﹣）平方厘米．【名師指路】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計算能力．22．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是邊BC上的一點，BE⊥AD交AD的延長線于點E，聯(lián)結(jié)CE．（1）如圖，AD平分∠CAB，CF⊥CE交AD于點F，①求證：AF=BE；②直接寫出∠BCE的度數(shù)，∠BCE=______°；（2）如圖，CM//BE交AD于點M，探究AM、ME與BE之間的數(shù)量關(guān)系：__________，并證明．【標準答案】（1）①見解析；②22.5；（2）AM=BE+ME．理由見解析【思路指引】（1）①由三角形內(nèi)角和定理和余角的性質(zhì)可得∠CAF=∠CBE，∠ACF=∠BCE，由“ASA”可證△CAF≌△CBE，即可證明AF=BE；②根據(jù)角平分線的定義求得∠CAF=22.5，根據(jù)△CAF≌△CBE，利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CBE=∠CAF=22.5，CE=CF，∠CEB=135°，再利用三角形和定理即可求解；（2）作CG⊥CE交AD于點G，同理證明△CAG≌△CBE，推出AG=BE，CG=CE，得到△CGE是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．【詳解詳析】（1）①證明：∵BE⊥AD，∴∠ACB=∠BED=90°，又∵∠ADC=∠BDE，∴∠CAF=∠CBE，∵CE⊥CF，∴∠ECF=∠ACB=90°，∴∠ACF=∠BCE，又∵AC=BC，∴△CAF≌△CBE（ASA），∴AF=BE；②∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAF=∠BAD==22.5，∵△CAF≌△CBE，∴∠CBE=∠CAF=22.5，CE=CF，∵CF⊥CE，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠CEB=135°，∴∠BCE=180°-135°-22.5=22.5，故答案為：22.5；（2）AM=BE+ME．理由如下：作CG⊥CE交AD于點G，∵BE⊥AD，∴∠ACB=∠BED=90°，又∵∠ADC=∠BDE，∴∠CAG=∠CBE，∵CE⊥CG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴∠ACG=∠BCE，又∵AC=BC，∴△CAG≌△CBE（ASA），∴AG=BE，CG=CE，∴△CGE是等腰直角三角形，∵CM//BE，BE⊥AD，∴CM⊥AD，∴GM=ME，∴AM=AG+GM=BE+ME．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．23．如圖，在等邊ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s，當(dāng)點N第一次回到點B時，點M、N同時停止運動，設(shè)運動時間為t（s）．（1）當(dāng)t＝時，M、N兩點重合；（2）當(dāng)點M、N分別在AC、BA邊上運動，AMN的形狀會不斷發(fā)生變化，當(dāng)t＝時，AMN是等邊三角形；（3）當(dāng)點M、N運動到BC邊上時，若存在以MN為底邊的等腰AMN，則t＝．【標準答案】（1）當(dāng)M、N運動6秒時，點N追上點M；（2）點M、N運動2秒后，可得到等邊三角形△AMN；（3）當(dāng)M、N運動8秒時，能得到以MN為底的等腰三角形．【思路指引】（1）首先設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設(shè)出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．【詳解詳析】解：（1）設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，x+6=2x，解得：x=6，即當(dāng)M、N運動6秒時，點N追上點M；（2）設(shè)點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖1，AM=t，AN=6-2t，∵∠A=60°，當(dāng)AM=AN時，△AMN是等邊三角形，∴t=6-2t，解得t=2，∴點M、N運動2秒后，可得到等邊三角形△AMN；（3）當(dāng)點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由（1）知6秒時M、N兩點重合，恰好在C處，如圖4，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM=BN，∴t-6=18-2t，解得t=8，符合題意．所以假設(shè)成立，當(dāng)M、N運動8秒時，能得到以MN為底的等腰三角形．【名師指路】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．24．△ABC中，AB＝AC，點D為射線BC上一個動點（不與B、C重合），以AD為一邊向AD的左側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠EAD＝∠BAC，過點E作BC的平行線，交直線AB于點F，連接BE．（1）如圖1，若∠EAD＝∠BAC＝60°，則△BEF是三角形；（2）若∠EAD＝∠BAC≠60°：①如圖，當(dāng)點D在線段BC上移動，判斷△BEF的形狀并證明；②當(dāng)點D在線段BC的延長線上移動，△BEF是什么三角形，請直接寫出結(jié)論并畫出相應(yīng)的圖形．【標準答案】（1）等邊；（2）①△EFB為等腰三角形，理由見解析；②△BEF是等腰三角形，圖見解析．【思路指引】（1）證明∠ABE＝∠EFB＝60°，可得結(jié)論．（2）①結(jié)論：△EFB為等腰三角形．證明∠EFB＝∠EBA即可；②根據(jù)要求作出圖形即可．結(jié)論不變，證明方法類似①．【詳解詳析】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠EAD＝∠BAC＝60°，∴△AED和△ABC為等邊三角形，∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠EBA＝∠C＝60°∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC＝60°在△EFB中，∠EFB＝∠EBA＝60°，∴△EFB為等邊三角形．故答案為：等邊；（2）①結(jié)論：△EFB為等腰三角形．理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△AED和△ABC為等腰三角形，∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC．同法可證△EAB≌△DAC（SAS），∴∠EBA＝∠C∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC∴∠EFB＝∠EBA，∴△EFB為等腰三角形；②圖形如圖3所示，結(jié)論：△BEF是等腰三角形．理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△AED和△ABC為等腰三角形，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠EAB＝∠DAC，同法可證△EAB≌△DAC（SAS），∴∠EBA＝∠ACD，∴∠EBF＝∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠AFE＝∠ACB，在△EFB中，∠EBF＝∠AFE，∴△EFB為等腰三角形．【名師指路】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．25．已知：如圖，在四邊形中，，點是邊上一點，且平分，平分．求證：（1）；（2）是線段的中點．【標準答案】（1）見解析；（2）見解析．【思路指引】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線定義，可得出；（2）延長，交于，繼而證明，得出后，證明，即可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：（1），，又、分別平分、，，，（2）如圖，延長，交于，，，，，，且，，．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．26．已知：如圖所示，中，，D是AB上一點，DE⊥CD于D，交BC于E，且有．求證：【標準答案】見解析【思路指引】過A作AF⊥CD于F，由等腰三角形三線合一，可以得到CF=CD；證明△ACF≌△CED，可以得到CF=DE，從而得到結(jié)論．【詳解詳析】證明：過A作AF⊥CD于F，如下圖：∵AC=AD，AF⊥CD∴CF=CD，∠AFC=∵∴∠ACF+∠DCE=又∵DE⊥CD∴∠CDE=，∠DCE+∠CED=∴∠ACF=∠CED，在△ACF與△CED中，∴△ACF≌△CED，∴CF=DE∴DE=CD．【名師指路】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形的三線合一等知識點，能夠由已知條件，作出相關(guān)的輔助線是解題的關(guān)鍵．27．在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上的一點（不與點B、C重合），以AD為腰右側(cè)作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，聯(lián)接CE．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝度．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①點D是在線段BC上移動時，如圖2，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．②點D是在射線CB上移動時，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試直接寫出結(jié)論．【標準答案】（1）90；（2）①α+β=180°；理由見解析；②α=β．【思路指引】（1）可以證明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，證明∠ACB=45°，即可解決問題；（2）①證明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，即可解決問題；②證明△BAD≌△CAE，得到∠ABD=∠ACE，借助三角形外角性質(zhì)即可解決問題．【詳解詳析】解：（1）如圖1，∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∠B=∠ACB=∠AED=45°，∴∠BAD=∠CAE；在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠ACE，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案為：90；（2）①如圖2，α+β=180°；理由如下：∵∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE；在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABC=∠ACE，β=∠BCE=∠ACE+∠ACB=∠ABC+∠ACB=180°-α，∴α+β=180°；②當(dāng)D在CB的延長線時，α=β．∵∠DAE=∠BAC，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC-∠DAE=∠DAE-∠DAE，∴∠BAD=∠CAE；在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，而∠ABD=∠ACB+α，β=∠ACE-∠ACB，∴β=∠ACB+α-∠ACB，∴α=β．【名師指路】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點．28．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D在射線AC上（點D不與點A重合）（1）若點D在邊AC時，延長AC至點G，CG=AD，過點D作DE⊥BD，交BC于點E，過G作HG⊥AG交DE延長線于點H．求證：BD=DH．（2）過點A作AF⊥BD，垂足為F，射線AF交BC于點N，點Q在射線CA上，且∠QNC=∠ANB．求證：AQ=CD．【標準答案】（1）見解析；（2）見解析【思路指引】（1）利用ASA證明△ABD≌△G