專題03 分式與二次根式核心知識(shí)點(diǎn)精講(解析版)_第1頁
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文檔簡介

專題03分式與二次根式核心知識(shí)點(diǎn)精講1.了解分式的概念,會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分,會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算;能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡單的分式方程,會(huì)解簡單的可化為一元一次方程的分式方程;2.利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡,運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算.考點(diǎn)1:分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1. 分式設(shè)A、B表示兩個(gè)整式.如果B中含有字母,式子就叫做分式.注意分母B的值不能為零,否則分式?jīng)]有意義.2.分式的基本性質(zhì)(M為不等于零的整式).3. 最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式,要進(jìn)行約分化簡.要點(diǎn)詮釋:分式的概念需注意的問題:(1)分式是兩個(gè)整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào),還含有括號(hào)的作用;(2)分式中,A和B均為整式,A可含字母,也可不含字母,但B中必須含有字母且不為0;(3)判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式,不要把原式約分變形,只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷.(4)分式有無意義的條件:在分式中,①當(dāng)B≠0時(shí),分式有意義;當(dāng)分式有意義時(shí),B≠0.②當(dāng)B=0時(shí),分式無意義;當(dāng)分式無意義時(shí),B=0.③當(dāng)B≠0且A=0時(shí),分式的值為零.考點(diǎn)2:分式的運(yùn)算1.基本運(yùn)算法則分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:(1)加減運(yùn)算QUOTE±QUOTE=QUOTE同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.;異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算.(2)乘法運(yùn)算兩個(gè)分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.(3)除法運(yùn)算兩個(gè)分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.(4)乘方運(yùn)算(分式乘方)分式的乘方,把分子分母分別乘方.2.零指數(shù).3.負(fù)整數(shù)指數(shù)4.分式的混合運(yùn)算順序先算乘方,再算乘除,最后加減,有括號(hào)先算括號(hào)里面的.5.約分把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去,這種變形稱為分式的約分.6.通分根據(jù)分式的基本性質(zhì),異分母的分式可以化為同分母的分式,這一過程稱為分式的通分.考點(diǎn)3:分式方程及其應(yīng)用1.分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.3.分式方程的增根問題驗(yàn)根:因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根,所以解分式方程必須驗(yàn)根.驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中,看它是否為0,如果為0,即為增根,不為0,就是原方程的解.4.分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似,但要稍復(fù)雜一些.解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié),從而正確列出方程,并進(jìn)行求解.另外,還要注意從多角度思考、分析、解決問題,注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性.考點(diǎn)4:二次根式的主要性質(zhì)1.;2.;3.;4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì):;5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):.6.若,則.考點(diǎn)5:二次根式的運(yùn)算1.二次根式的乘除運(yùn)算(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求:①應(yīng)為最簡二次根式或有理式;②分母中不含根號(hào).(2)注意知道每一步運(yùn)算的算理;2.二次根式的加減運(yùn)算先化為最簡二次根式,再類比整式加減運(yùn)算,明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì);3.二次根式的混合運(yùn)算(1)對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序,即先乘方、開方,再乘除,最后算加減,如有括號(hào),應(yīng)先算括號(hào)里面的;(2)二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處,整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.【題型1:分式的有關(guān)概念及性質(zhì)】【典例1】(1)下列各式,,,,,,屬于分式的有(

)A.4個(gè) B.3個(gè)C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】C【分析】本題考查分式的定義,判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母,如果含有字母則是分式,如果不含有字母則不是分式.找到分母含有字母的式子的個(gè)數(shù)即可.【詳解】解:,是分式,共2個(gè).故選:C.(2)若分式的值不存在,則x的值為(

)A. B. C.2 D.1【答案】B【分析】本題考查了分式無意義的條件,根據(jù)分式的值不存在即分式無意義求解即可.【詳解】解:∵分式的值不存在,∴分式無意義,∴,∴.故選B.1.代數(shù)式,,,,,,中,屬于分式的有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了分式的定義,根據(jù)分式的定義進(jìn)行逐一判斷即可:對(duì)于兩個(gè)整式A、B,其中B中含有字母,那么形如的式子叫做分式.【詳解】解:代數(shù)式,,,,,,中,屬于分式的有,,,,共4個(gè),故選C.2.對(duì)于分式,下列說法錯(cuò)誤的是()A.當(dāng)時(shí),分式的值為0 B.當(dāng)時(shí),分式無意義C.時(shí),分式的值為 D.當(dāng)時(shí),分式的值為正數(shù)【答案】A【分析】本題考查了分式有意義的條件,分式值為0的條件,根據(jù)分式有意義的條件:分母不為0,分式職位0的條件:分子等于0,分母不等于0,逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:A、當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),分式無意義,故A不正確,符合題意;B、當(dāng)時(shí),分式無意義,故B正確,不符合題意;C、時(shí),,故C正確,不符合題意;D、當(dāng)時(shí),,∴分式的值為正數(shù),故D正確,不符合題意;故選:A.3.若分式的值為負(fù)數(shù),則x的取值范圍是()A.x為任意數(shù) B. C. D.【答案】B【分析】本題主要考查分式的值,熟練掌握分式值的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可得,要使分式的值為負(fù)數(shù),即,解不等式即可得出.【詳解】解:的值為負(fù)數(shù),,.故答案為:B4.若使分式的值為負(fù)數(shù),則可以取的值為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【分析】本題考查偶次冪的非負(fù)性,根據(jù)分?jǐn)?shù)的值的正負(fù)判斷未知數(shù)的取值范圍,先根據(jù)偶次冪的非負(fù)性,可得分子為正數(shù),結(jié)合分式的值為負(fù)數(shù),可得分子分母異號(hào),即可得到答案.【詳解】解:,的值為負(fù)數(shù),,解得:,只有A選項(xiàng)符合題意,故選:A.【題型2:分式的運(yùn)算】【典例2】計(jì)算的結(jié)果是()A.﹣y B. C. D.【答案】B【分析】分式的運(yùn)算首先要分清運(yùn)算順序,在這個(gè)題目中,首先統(tǒng)一成乘法運(yùn)算,最后進(jìn)行約分運(yùn)算.【詳解】解:.故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查分式的乘除混合運(yùn)算.分式的乘除運(yùn)算實(shí)際就是分式的約分,在計(jì)算過程中需要注意的是運(yùn)算順序.1.化簡:()A.1 B. C. D.【答案】B【分析】先把除法化為乘法,再計(jì)算即可.【詳解】解:,故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘除混合運(yùn)算,熟記混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.2.計(jì)算的結(jié)果是()A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘除法進(jìn)行計(jì)算即可求解.【詳解】解:,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法運(yùn)算,熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.3.下列各式計(jì)算正確的是()A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)分式乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】解:A、,故此選項(xiàng)不符合題意;B、,故此選項(xiàng)不符合題意;C、,故此選項(xiàng)符合題意;D、,故此選項(xiàng)不符合題意;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘除混合運(yùn)算,掌握分式的乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,注意運(yùn)算順序:從左到右依次進(jìn)行.4.計(jì)算的結(jié)果是()A.1 B. C. D.【答案】D【分析】先進(jìn)行負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算,再利用分式乘除法法則運(yùn)算即可.【詳解】原式,,故選:.【點(diǎn)睛】此題考查了分式的乘除法運(yùn)算及負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的運(yùn)算法則及其應(yīng)用.【題型3:分式方程及其應(yīng)用】【典例3】若關(guān)于的方程無解,則的值是()A. B.2 C.-3 D.3【答案】D【分析】先把m當(dāng)做已知數(shù),求解該分式方程,再根據(jù)分式方程無解,則分母為0,即可解答.【詳解】解:,去分母,得:,移項(xiàng),得:,合并同類項(xiàng),得:,化系數(shù)為1,得:,∵該方程無解,∴,解得:,∴,解得:,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程,分式方程無解的條件,解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟,以及分式方程無解的條件.1.伴隨2023城市自然行動(dòng)——“1864大熊貓巡展”在長沙站的正式啟動(dòng),湖南省地質(zhì)博物館迅速成了巡展的熱門打卡地.某學(xué)校九年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校的湖南省地質(zhì)博物館參觀,一部分學(xué)生騎自行車先走,過了后,其余學(xué)生乘汽車出發(fā),結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍,求騎車學(xué)生的速度.若設(shè)騎車學(xué)生的速度為,則可列方程為()A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查了實(shí)際問題抽象出分式方程,首先表示出汽車的速度,然后根據(jù)汽車行駛的時(shí)間等于騎車行駛的時(shí)間減去時(shí)間差列方程即可,讀懂題目信息,理解兩種行駛方式的時(shí)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【詳解】設(shè)騎車學(xué)生的速度為,則汽車的速度為,根據(jù)題意得:,故選:D.2.近年來,我市大力發(fā)展交通,建成多條快速通道,小張開車從家到單位有兩條路線可選擇,路線為全程25千米的普通道路,路線包含快速通道,全程21千米,走路線比路線平均速度提高,時(shí)間節(jié)省20分鐘,求走路線和路線的平均速度分別是多少?設(shè)走路線的平均速度為千米/小時(shí),根據(jù)題意,可列方程為()A. B.C. D.【答案】B【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程,根據(jù)走兩條路線速度間的關(guān)系,可得出走路線b的平均速度為千米/時(shí),利用時(shí)間=路程÷速度,結(jié)合走“走路線比路線時(shí)間節(jié)省20分鐘”,即可得出關(guān)于x的分式方程,此題得解.【詳解】設(shè)走路線的平均速度為千米/小時(shí),則走路線b的平均速度為千米/時(shí),由題意得,,故選:B.3.師傅和徒弟兩人每小時(shí)共做40個(gè)零件,在相同時(shí)間內(nèi),師傅做了300個(gè)零件,徒弟做了100個(gè)零件.師傅每小時(shí)做了多少個(gè)零件?若設(shè)師傅每小時(shí)做了個(gè)零件,則可列方程為()A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)工作量工作效率工作時(shí)間,表示兩者各自完成零件所用的時(shí)間,時(shí)間相等構(gòu)建方程.【詳解】解:師傅所用時(shí)間為,徒弟所用時(shí)間為,于是;故選:A【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用;理解工程問題中:工作量工作效率工作時(shí)間的基本關(guān)系是解題的關(guān)鍵.4.有一個(gè)容積為的圓柱形的空油罐,用一根細(xì)油管向油罐內(nèi)注油,當(dāng)注油量到達(dá)容器高度的一半后,改用口徑2倍的粗油管向油罐注油,直至注滿,注滿油的全過程共用30分鐘.設(shè)細(xì)油管的注油速度為每分鐘,由題意列方程,正確的是()A. B. C. D.【答案】A【分析】先求出則粗油管注油速度是細(xì)油管注油速度的4倍,設(shè)細(xì)油管的注油速度為每分鐘,則粗油管的注油速度為每分鐘,根據(jù)題意即可列出方程.【詳解】解:設(shè)細(xì)油管半徑為r,則粗油管的半徑為,細(xì)油管橫截面積,粗油管橫截面積,,則粗油管注油速度是細(xì)油管注油速度的4倍,設(shè)細(xì)油管的注油速度為每分鐘,則粗油管的注油速度為每分鐘,可列方程為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確理解題意,根據(jù)題意找出等量關(guān)系,列出方程.【題型4:二次根式的主要性質(zhì)】【典例4】若是最簡二次根式,則m,n的值為()A.0, B.,0 C.1, D.0,0【答案】A【分析】根據(jù)最簡根式的定義可知a、b的指數(shù)都為1,據(jù)此列式求解即可.【詳解】解:∵是最簡二次根式,∴,∴,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義,熟知最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵:被開方數(shù)不含能開的盡的因數(shù)或因式;被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式.1.與最簡二次根式能合并,則m的值為()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】本題考查了最簡二次根式、二次根式的化簡.先將化簡為最簡二次根式,再根據(jù)最簡二次根式的定義即可得.【詳解】解:,∵即與最簡二次根式能合并,∴,解得,故選:C.2.若是正整數(shù),則滿足條件的最小正整數(shù)值為().A.0 B.2 C.4 D.6【答案】D【分析】先化簡,然后依據(jù)是正整數(shù)可得到問題的答案.【詳解】解:,∵是正整數(shù),∴為完全平方數(shù),∴的最小值是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次根式的定義,熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.3.若最簡二次根式與能夠合并,則a的值是()A. B.0 C.1 D.2【答案】C【分析】根據(jù)最簡同類二次根式可以合并,即被開方數(shù)相同即可求解.【詳解】解:∵最簡二次根式與能夠合并,∴,解得:.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查最簡二次根式的定義,同類二次根式的定義.解題的關(guān)鍵是熟知同類最簡二次根式的被開方數(shù)相同.4.如果最簡二次根式與和是同類二次根式,那么a的值是()A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【分析】此題主要考查了同類二次根式和最簡二次根式.解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義,即:化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式.根據(jù)最簡二次根式及同類二次根式的定義列方求解.【詳解】∵最簡二次根式與是同類二次根式,解得:,故選:A.【題型5:二次根式的運(yùn)算】【典例5】的值等于()A. B. C. D.2【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及平方差公式運(yùn)算求解即可.【詳解】解:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算,涉及到積的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算、平方差公式運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握二次根式的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵.1.已知,則代數(shù)式的值為()A.2 B. C.7 D.3【答案】A【分析】將代數(shù)式配方得,然后將,代入求解即可.【詳解】解:.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值,掌握完全平方公式,實(shí)數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.2.估計(jì)的值應(yīng)在()A.4和5之間 B.5和6之間 C.6和7之間 D.7和8之間【答案】A【分析】先計(jì)算,再進(jìn)行無理數(shù)的估算,即可作答.【詳解】,∵,∴,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算,無理數(shù)的估算等知識(shí),掌握二次根式的混合運(yùn)算法則,是解答本題的關(guān)鍵.3.計(jì)算:【答案】【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算,掌握二次根式的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:,故答案為:.4.計(jì)算:=.【答案】/【分析】利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.本題考查了二次根式的混合運(yùn)算,熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘法公式是解決問題的關(guān)鍵.【詳解】解:故答案為:1.下列各式:,,,,,中,分式有().A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)分式的定義,逐一判斷即可解答.本題主要考查了分式的定義,熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:下列各式:,,,,,中,分式有:,,故選:C.2.若分式的值為正數(shù),則的取值范圍是()A. B.且 C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意可得,然后解這兩個(gè)不等式組即可求出結(jié)論.【詳解】解∶,∵分式的值為正數(shù),∴,解得且.故選∶B.【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)分式的值的取值范圍,求字母的取值范圍,掌握兩數(shù)相除,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相除是解題的關(guān)鍵.3.若把分式中的x與y都擴(kuò)大3倍,則所得分式的值()A.縮小為原來的 B.縮小為原來的 C.?dāng)U大為原來的3倍 D.不變【答案】A【分析】本題考查分式的基本性質(zhì).根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案.【詳解】解:,故選:A.4.計(jì)算的結(jié)果是()A. B. C. D.【答案】D【分析】先計(jì)算乘方,再計(jì)算除法,然后化簡即可.【詳解】解:故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除運(yùn)算,熟記運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.5.計(jì)算:,結(jié)果為()A.1 B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)分式乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】解:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘除運(yùn)算,靈活運(yùn)用分式乘除運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.6.計(jì)算的結(jié)果為()A. B.1 C. D.【答案】D【分析】先將分式的分子分母分別因式分解,將除法轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算,然后分子與分母進(jìn)行約分化簡,即可得出答案.【詳解】解:原式,故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了分式的乘除混合運(yùn)算,熟練掌握分式的乘除運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵.7.已知:,則的值為()A. B. C. D.【答案】B【分析】已知等式兩邊除以,求出的值,再代入即可得到結(jié)果.【詳解】解:∵,∴,∴,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算,化簡求值,運(yùn)用了整體代入的思想方法.解題的關(guān)鍵是利用了等式的兩邊同時(shí)除以不為零的數(shù),等式仍然成立.1.已知,其中,則與的關(guān)系是()A. B. C. D.【答案】B【分析】化簡分式B,再與A比較,得出A與B的關(guān)系即可.【詳解】解:,已知:,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查分式的通分,掌握分解因式和通分方法是解題關(guān)鍵.2.若將分式與分式通分后,分式的分母變?yōu)?,則分式的分子應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【分析】利用分式的性質(zhì)分別進(jìn)行通分把分母變?yōu)?,即可求解.【詳解】解:∵,∴,∴分式的分子?yīng)變?yōu)?,故選:A.3.把,,通分的過程中,不正確的是()A.最簡公分母是 B.C. D.【答案】D【分析】按照通分的方法依次驗(yàn)證各選項(xiàng),找出不正確的答案.【詳解】A、最簡公分母為,正確,該選項(xiàng)不符合題意;B、,通分正確,該選項(xiàng)不符合題意;C、,通分正確,該選項(xiàng)不符合題意;D、通分不正確,分子應(yīng)為,該選項(xiàng)符合題意;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.解題的關(guān)鍵是通分保證(1)各分式與原分式相等;(2)各分式分母相等.4.下列式子計(jì)算后的結(jié)果與相等的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)分式的乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序逐一計(jì)算各選項(xiàng),從而可得答案.【詳解】解:,故A不符合題意;,故B不符合題意;,故C不符合題意;,故D符合題意;故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘除混合運(yùn)算,掌握運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵.5.若分式的值為整數(shù),則正整數(shù)x的個(gè)數(shù)為()A.4 B.6 C.7 D.8【答案】B【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算化簡,然后再根據(jù)其值為整數(shù)確定x的值即可解答.【詳解】解:==,∵分式的值為整數(shù),∴或或或且,∴正整數(shù)或2或5或1或6或9,共6個(gè).故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡、分式的值為整數(shù)的條件等知識(shí)點(diǎn),正確化簡分式是解答本題的關(guān)鍵.6.計(jì)算的正確結(jié)果是()A. B. C. D.【答案】A【分析】先把分式進(jìn)行通分,然后計(jì)算分式的加減,即可得到答案.【詳解】解:原式.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則.二、填空題7.若分式有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______.【答案】【分析】本題考查了分式有意義的條件,當(dāng)分母不等于零時(shí),分式有意義;當(dāng)分母等于零時(shí),分式無意義.分式是否有意義與分子的取值無關(guān).根據(jù)分母不等于0列式求解即可.【詳解】解:∵分式有意義,∴.∴.故答案為:.8.分式與通分后的結(jié)果是.【答案】,【分析】根據(jù)分式通分的方法求解即可.【詳解】解:∵,,∴分式,分式.故答案為,.【點(diǎn)睛】此題考查了分式的通分,解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式通分的方法.9.分式,,-的最簡公分母是.【答案】【分析】先根據(jù)最簡公分母的定義求解即可.【詳解】解:三個(gè)分式的分母分別為:2a,,,∴最簡公分母是,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查的是最簡公分母的確定,掌握最簡公分母的定義是解決此題的關(guān)鍵.10.計(jì)算:.【答案】【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則解答即可.【詳解】解:;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除,熟練掌握分式的乘除運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.11.計(jì)算:.【答案】【分析】根據(jù)分式的加減混合運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運(yùn)算從而完成求解.12.計(jì)算:.【答案】【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算求解即可.【詳解】解:原式.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的有關(guān)運(yùn)算法則.13.已知,則的值為.【答案】8【分析】等式兩邊同時(shí)乘以(a-4)(b-4),去分母整理即可求解.【詳解】解:等式兩邊同時(shí)乘以(a-4)(b-4),得,即,即,即,即,∴,故答案為:8.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算,掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.14.計(jì)算=_________.【答案】115.計(jì)算:________.【答案】【分析】先分子分母因式分解約分后,再通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算,即可得到結(jié)果.【詳解】.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.16.?dāng)?shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題,一組人平分10元錢,每人分得若干,若再加上6人,平分40元錢,則第二次每人所得與第一次相同,求第二次分錢的人數(shù),若設(shè)第二次分錢的人數(shù)為,則可列方程為__________.【答案】【分析】根據(jù)“第二次每人所得與第一次相同,”列分式方程即可得到結(jié)論.【詳解】解:第二次每人所得,第一次每人所得,∵第二次每人所得與第一次相同,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用,熟練掌握平均分,是解決問題的關(guān)鍵.17.小明家離學(xué)校3000米,一天早上,小明前半程按平常速度走路,后半程因怕遲到,加快了腳步,比平常速度快了50(米/分鐘),結(jié)果比平時(shí)省了2分鐘時(shí)間到學(xué)校,設(shè)小明平常走路速度為x(米/分鐘),根據(jù)題意可列出方程:_____________.【答案】【分析】根據(jù)半程路程平常走路速度半程路程后半程速度,即可列方程解答.【詳解】解:半程的路程為米,根據(jù)題意可得:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用,正確列出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三、解答題18.某超市用5000元購進(jìn)一批新品種蘋果進(jìn)行試銷,由于銷售狀況良好,超市又調(diào)撥11000元資金第二次購進(jìn)該品種蘋果,但第二次的進(jìn)貨價(jià)比試銷時(shí)每千克多了0.5元,第二次購進(jìn)蘋果數(shù)量是試銷時(shí)的2倍.(1)設(shè)試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)貨價(jià)是每千克x元,則試銷時(shí)購進(jìn)蘋果數(shù)量為______千克(用含x的式子表示)(2)列分式方程求試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)貨價(jià)是每千克多少元?【答案】(1)(2)5元【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用.(1)根據(jù)單價(jià)數(shù)量總價(jià)即可;(2)試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)貨價(jià)是每千克元,則實(shí)際進(jìn)貨價(jià)為元,根據(jù)這次購進(jìn)蘋果數(shù)量是試銷時(shí)的2倍,列方程求解.解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù),找出合適的等量關(guān)系,列方程求解,注意檢驗(yàn).【詳解】(1)解:設(shè)試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)貨價(jià)是每千克x元,則試銷時(shí)購進(jìn)蘋果數(shù)量為千克,故答案為:;(2)解:設(shè)試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)貨價(jià)是每千克元,則實(shí)際進(jìn)貨價(jià)為元,由題意得,,解得:,經(jīng)檢驗(yàn),是原分式方程的解,且符合題意.答:試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)貨價(jià)是每千克5元.19.某學(xué)校為豐富同學(xué)們的課余生活,購買了一批數(shù)量相等的象棋和圍棋供興趣小組使用,其中購買象棋用了元,購買圍棋用了元,已知每副圍棋比每副象棋貴元.(1)求每副象棋和圍棋的價(jià)格各多少元?(2)若該校決定再次購買同種象棋和圍棋共副,但費(fèi)用不能超過元,則最多可再次購買多少副圍棋?【答案】(1)象棋每副元,圍棋每副元(2)圍棋最多可買副【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用,讀懂題意,按題意設(shè)合理的未知數(shù)列出方程或不等式是解答本題的關(guān)鍵.(1)依題意設(shè)每副象棋元,圍棋每副元,列出關(guān)于的分式方程,求解方程組得到答案.(2)依題意設(shè)最多可再次購買副圍棋,列出關(guān)于的一元一次不等式,解不等式得到結(jié)果.【詳解】(1)解:依題意設(shè)每副象棋元,圍棋每副元,則,,經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解,且符合題意,∴(元)故答案為象棋每副元,圍棋每副元.(2)依題意設(shè)最多可再次購買副圍棋,則,解得,故答案為圍棋最多可買副.一、單選題1.(2023·江西·統(tǒng)考中考真題)若有意義,則的值可以是()A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解.【詳解】解:∵有意義,∴,解得:,則的值可以是故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件,熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.2.(2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題)設(shè),則實(shí)數(shù)m所在的范圍是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算,然后估算即可求解.【詳解】解:,∵,∴,即,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算,無理數(shù)的估算,正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.3.(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題)對(duì)于二次根式的乘法運(yùn)算,一般地,有.該運(yùn)算法則成立的條件是()A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出不等式組,再解不等式組即可得出結(jié)果.【詳解】解:根據(jù)二次根式有意義的條件,得,,故選:D.【點(diǎn)睛】二次根式有意義的條件,及解不等式組,掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是本題的關(guān)鍵.4.(2023·重慶·統(tǒng)考中考真題)估計(jì)的值應(yīng)在()A.4和5之間 B.5和6之間 C.6和7之間 D.7和8之間【答案】A【分析】先計(jì)算二次根式的乘法,再根據(jù)無理數(shù)的估算即可得.【詳解】解:,,,即,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法、無理數(shù)的估算,熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵.5.(2023·天津·統(tǒng)考中考真題)計(jì)算的結(jié)果等于()A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:;故選:C.【點(diǎn)睛】本題

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