專題20 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問題）（原卷版）

專題20二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問題）1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點(diǎn)，求長的取值范圍．2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．（?。┊?dāng)時，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請說明理由．3．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對稱軸過點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，且垂直于軸．過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交直線于點(diǎn)，其中點(diǎn)、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點(diǎn)，連接、，其中交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．4.（2022·江蘇連云港）已知二次函數(shù)，其中．(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，求此時函數(shù)圖像的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值．5．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6.（2021·湖北中考真題）如圖，直線與，軸分別交于，，頂點(diǎn)為的拋物線過點(diǎn)．（1）求出點(diǎn)，的坐標(biāo)及的值；（2）若函數(shù)在時有最大值為，求的值；（3）連接，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)．設(shè)的面積為．①直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；②結(jié)合與的函數(shù)圖象，直接寫出時的取值范圍．7．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動：在中，，D為上一點(diǎn)，，動點(diǎn)P以每秒1個單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B時，①當(dāng)時，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．(3)延伸探究：若存在3個時刻（）對應(yīng)的正方形的面積均相等．①_______；②當(dāng)時，求正方形的面積．8．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．9.（2021·福建中考真題）已知拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn)．（1）若拋物線過點(diǎn)，求的最小值；（2）已知點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線上，且，過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B，C．求證：與的面積相等．10．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時，求的值；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．11.（2021·廣西中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：交x軸于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作，垂足為E，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M為第四象限拋物線上一動點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)N，連接，記的面積為，的面程為，求的最大值．12．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時，面積最大，并求出最大值．13.（2021·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過點(diǎn)時，得到新拋物線，點(diǎn)在新拋物線的對稱軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．參考：若點(diǎn)、，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個公共點(diǎn)，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點(diǎn)，，并與動直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時，求的面積；②探究直線在運(yùn)動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．15.（2021·湖北中考真題）拋物線（）與軸相交于點(diǎn)，且拋物線的對稱軸為，為對稱軸與軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，求的面積；（3）若是對稱軸上一定點(diǎn)，是拋物線上的動點(diǎn)，求的最小值（用含的代數(shù)式表示）．16．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn)，記中點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，且，求證：三點(diǎn)共線；(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運(yùn)動，只要三點(diǎn)共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．17.（2021·黑龍江中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，，對稱軸為，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C，D兩點(diǎn)之間的距離是__________；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，連接BE和CE．求面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．18．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值．19.（2020?武威）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB．點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）若PC∥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．20．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時，求的值．(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．21.（2020?樂山）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=4（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)．①過點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連結(jié)PB，求3522.（2019·海南）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A（–5，0），B（–4，–3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連結(jié)CD．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動時，求△PBC的面積的最大值；②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．23.（2019?廣西南寧）如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上時，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1=x2+x與C2：y2=ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C2的頂點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)D（6，–1）．（1）直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；（2）拋物線C2上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)F（–6，3）在拋物線C1上，點(diǎn)M，N分別是拋物線C1，C2上的動點(diǎn)，且點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相同，記△AFM面積為S1（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A，F(xiàn)重合時S1=0），△ABN的面積為S2（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A，B重合時，S2=0），令S=S1+S2，觀察圖象，當(dāng)y1≤y2時，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)S的最大值．24．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．例如，拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)請分別直接寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：___________，___________；【技能訓(xùn)練】(2)如圖2，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】(3)如圖