高三一輪總復習理科數(shù)學課時跟蹤檢測73空間點線面之間的位置關系

[課時跟蹤檢測][基礎達標]1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EFA．相交 B．異面C．平行 D．垂直解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F則A1B與EF相交．答案：A2．下列命題中，真命題的個數(shù)為()①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合；②兩條直線可以確定一個平面；③空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l.A．1 B．2C．3 D．4解析：根據(jù)公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質可知④是真命題．綜上，真命題的個數(shù)為2.答案：B3．已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，但直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．答案：A4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1C1的中點，則異面直線AE和A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3\r(30),10)C.eq\f(\r(30),10) D．eq\f(1,2)解析：如圖，設正方體的棱長為a，取線段AB的中點M，連接CM，MF，EF.則MF綊AE，所以∠CFM即為所求角或所求角的補角，在△CFM中，MF＝CM＝eq\f(\r(5),2)a，CF＝eq\f(\r(6),2)a，根據(jù)余弦定理可得cos∠CFM＝eq\f(\r(30),10)，所以異面直線AE與CF所成的角的余弦值為eq\f(\r(30),10).故選C.答案：C5．在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則VA．4π B．eq\f(9π,2)C．6π D．eq\f(32π,3)解析：△ABC的內切圓的半徑r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，又因為AA1＝3<4，所以在三棱柱中體積最大的球的半徑為eq\f(3,2)，此時V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π.答案：B6．(2017屆鄭州模擬)如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面解析：連接A1C1，AC(圖略)，則A1C1∥所以A1，C1，A，C四點共面，所以A1C?平面ACC1A因為M∈A1C所以M∈平面ACC1A1又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1所以A，M，O三點共線．答案：A7．(2018屆福建六校聯(lián)考)設a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α、b?平面β，則a，b一定是異面直線．上述命題中正確的命題是________(寫出所有正確命題的序號)．解析：由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內”，故④錯．答案：①8．如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________．解析：如圖，取A1C1的中點D1，連接B1D1因為點D是AC的中點，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即為異面直線AB1與BD所成的角．連接AD1，設AB＝a，則AA1＝eq\r(2)a，所以AB1＝eq\r(3)a，B1D1＝eq\f(\r(3),2)a，AD1＝eq\r(\f(1,4)a2＋2a2)＝eq\f(3,2)a.所以，在△AB1D1中，由余弦定理得，cos∠AB1D1＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋B1D\o\al(2,1)－AD\o\al(2,1),2AB1·B1D1)＝eq\f(3a2＋\f(3,4)a2－\f(9,4)a2,2×\r(3)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,2)，所以∠AB1D1＝60°.答案：60°9．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因為圓柱的軸截面ABB1A1所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).答案：eq\r(2)10．如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？解：(1)證明：由題設知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，所以GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD.故GH綊BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C，D，F(xiàn)，E四點共面．理由如下：由BE綊eq\f(1,2)FA，G是FA的中點，知BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面，又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面．[能力提升]1．如圖是三棱錐D－ABC的三視圖，點O在三個視圖中都是所在邊的中點，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于()A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(1,2)C.eq\r(3) D．eq\f(\r(2),2)解析：由三視圖及題意得如圖所示的直觀圖，從A出發(fā)的三條線段AB，AC，AD兩兩垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中點，取AC中點E，連接DE，DO，OE，則OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE或其補角即為所求兩異面直線所成的角．在直角三角形DAE中，DE＝eq\r(2)，由于O是中點，在直角三角形ABC中可以求得AO＝eq\r(2)，在直角三角形DAO中可以求得DO＝eq\r(3).在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝eq\f(1＋3－2,2×1×\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，故所求余弦值為eq\f(\r(3),3).答案：A2．在正四棱錐P－ABCD中，PA＝2，直線PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點，求異面直線PA與BE所成角．解：連接AC，BD相交于O，連接PO，在正四棱錐P－ABCD中，PO⊥面ABCD，故∠PAO＝60°，O為AC、BD中點，連接OE，則OE∥PA，則∠OEB(或其補角)為異面直線PA與BE所成角，在△OBE中，OE＝1，OB＝1，BE＝eq\r(2)，∴cos∠OEB＝eq\f(1＋2－1,2×1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠OEB＝45°.故異面直線PA與BE所成角為45°.3．如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1，底面是邊長為2的正三角形，側棱A1A⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2(1)當點M在何位置時，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判斷BM與EF的位置關系，說明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值．解：(1)解法一：如圖所示，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M.因為側棱A1A⊥底面ABC所以側面A1ACC1⊥底面ABC.又因為EC＝2FB＝2，所以OM∥FB∥EC且OM＝eq\f(1,2)EC＝FB.所以四邊形OMBF為矩形，BM∥OF.因為OF?平面AEF，BM?平面AEF，故BM∥平面AEF，此時點M為AC的中點．解法二：如圖所示，取EC的中點P，AC的中點Q.連接PQ，PB，BQ.因為EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因為PB∩PQ＝P，PB，PQ?平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF.又因為BQ?平面PBQ，所以BQ∥平面