9.2.4總體離散程度的估計（2）高一數學下學期人教A版2019

9.2.4總體離散程度的估計（2）一組數據是x1，x2，…，xn，用

表示這組數據的平均數，這組數據的方差為

=

，標準差為

.１.方差、標準差的定義復習引入2.總體方差、總體標準差的定義如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為

，則稱

S2=

為總體方差，S=

為總體標準差

．如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為

.

3.樣本方差、樣本標準差的定義如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為

，則稱

s2=

為樣本方差，s=

為樣本標準差

．說明：標準差和方差刻畫了數據的

程度或

幅度．標準差（或方差）越大，數據的離散程度越

；標準差（或方差）越小，數據的離散程度越

．數據x1，x2，…，xn的平均數為，數據y1，y2，…，yn的平均數為,a,b為常數.如果滿足y1=ax1+b，y2=ax2+b，…，yn=axn+b，證明例題例１：數據x1，x2，…，xn的方差和標準差分別為，數據y1，y2，…，yn的方差和標準差為.若y1=ax1+b，y2=ax2+b，…，yn=axn+b成立，a,b為常數，證明證明：此題結論可當作公式直接運用.課本188頁課本215頁練習2.若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為______.解析：設樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為s，則s＝8，可知數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為2s＝16.答案：16例2：在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，其平均數和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數據計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？例題解：把男生樣本記為，其平均數記為，方差記為；

把女生樣本記為，其平均數記為，方差

記為

；

把總體數據樣本的平均數記為，方差記為；課本212頁由

,根據按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數與各層樣本平均數的關系，可得總樣本平均數為我們可以計算出總樣本的方差為51.4862，并據此估計高一年級學生身高的總體方差為51.4862.分層隨機抽樣總樣本方差的計算反思歸納練習1.為了調查公司員工的健康狀況，用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，若樣本中有20名男員工，30名女員工，且男員工的平均體重為70kg，標準差為4，女員工的平均體重為50kg，標準差為6，則所抽取樣本的方差為________.月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077頻率/組距樣本標準差刻畫了數據離平均數波動的幅度大小,平均數和標準差一起能反映數據取值的信息.例如,根據節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數據,可以計算出樣本平均數和樣本標準差分別為2.5914.9921.19月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077頻率/組距2.5914.9921.19甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各打靶10次，每次命中的環(huán)數分別是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.（1）分別計算以上兩組數據的平均數；（2）分別求出兩組數據的方差；（3）若要從這兩人中選一人參加射擊比賽，選誰去合適？（4）甲、乙兩名戰(zhàn)士的成績在[－2s，

＋2s]內有多少？練習解：(1)＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式

，得(3)由

，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動比乙大.因此，乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定.從成績的穩(wěn)定性考慮，應選擇乙參加比賽.(4)因為因為所以甲戰(zhàn)士的成績全部在[－2s，

＋2s]內.所以乙戰(zhàn)士的成績全部在[－2s，

＋2s]內.隨堂檢測1.一組數據的平均數是2.8，方差是3.6，若將這組數據中的每一個數據都加上60，得到一組新數據，則所得新數據的平均數和方差分別是（）A.57.2,3.6

B.57.2,56.4C.62.8,63.6

D.62.8,3.6解析：每一個數據都加上60，所得新數據的平均數