第07講離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征（教師版）

第07講離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第21題,12分求離散型隨機變量的均值利用全概率公式求概率2022年全國甲卷（理），第19題,12分寫出簡單離散型隨機變量分布列求離散型隨機查量的均值/2021年新I卷，第18題,12分寫出簡單離散型隨機變量分布列求離散型隨機查量的均值/2021年新Ⅱ卷，第21題,12分求離散型隨機查量的均值均值的實際應用利用導數(shù)研究方程的根2020年新I卷，第12題,5分利用隨機變量分布列的性質解題對數(shù)的運算2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握離散型隨機變量的定義2.會表示離散型隨機變量的分布列3.會計算離散型隨機變量的均值和方差【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，一般結合離散型隨機變量的分布列及均值方差在大題中考查，需重點強化復習知識講解1．離散型隨機變量定義隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．2．離散型隨機變量的分布列及性質(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的概率分布列．(2)離散型隨機變量的分布列的性質：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3．離散型隨機變量均值(1)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.4．離散型隨機變量方差(1)設離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機變量X的方差，并稱其算術平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標準差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．考點一、離散型隨機變量分布列1．（2023·全國·高三專題練習）某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，甲組研究新產品成功的概率為，乙組研究新產品成功的概率為，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產品，乙組研發(fā)新產品，設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立．(1)求恰好有一種新產品研發(fā)成功的概率；(2)若新產品研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲得利潤120萬元，不成功則會虧損50萬元；若新產品研發(fā)成功，企業(yè)可獲得利潤100萬元，不成功則會虧損40萬元，求該企業(yè)獲利萬元的分布列．【答案】(1)；(2)分布列見解析.【分析】（1）依據(jù)題設，結合獨立事件的概率的乘法公式進行求解；（2）根據(jù)題設求出所有可能取值的概率即可得其分布列.【詳解】（1）因為甲、乙兩個研發(fā)小組研究新產品成功的概率分別為為和，且相互獨立，所以，恰好有一種新產品研發(fā)成功的概率；（2）根據(jù)題意，的可能取值有.，所以分布列為：2．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）某學校為了提高學生的運動興趣，增強學生身體素質，該校每年都要進行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學），比賽時一個年級領先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負．已知高三每位隊員戰(zhàn)勝高二相應對手的可能性均為，高三每位隊員戰(zhàn)勝高一相應對手的可能性均為，高二每位隊員戰(zhàn)勝高一相應對手的可能性均為，且隊員、年級之間的勝負相互獨立．(1)求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)前兩局平局的情況下，后面分兩種情況計算高二年級最終戰(zhàn)勝高一年級的概率即可；（2）由題可知高三年級獲得積分的的取值可為0，3，6，分別計算概率從而可得分布列與數(shù)學期望.【詳解】（1）設高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高高一年級的事件為，則（2）根據(jù)題意得高三年級獲得積分的的取值可為0，3，6的分布列為0361．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）在全國碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績通過了某重點大學的初試，即將參加該重點大學組織的復試．已知甲，乙，丙三名同學通過復試的概率分別為，，p，復試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為．(1)求p的值；(2)設甲，乙，丙三名同學中通過復試的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的乘法公式結合對立事件的概率，列式計算，可得答案.（2）確定隨機變量X的取值，求得每個值對應的概率，即可得分布列.【詳解】（1）因為甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為，所以，則．（2）由題意知，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．，，，．所以隨機變量X的分布列為X0123P2．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預測）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補齊貧困地區(qū)義務教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局擬從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗，3人沒有支教經(jīng)驗．(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動中恰有兩次被抽選到的概率；(2)求第一次抽取到無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)的分布列；【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）根據(jù)二項分布的概率公式即可求解，（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式即可求解概率，進而可求解分布列.【詳解】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為，則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為；（2）X表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列為：X012P考點二、離散型隨機變量的均值1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應選擇先回答類問題．2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.(3)

計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.【詳解】（1）由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，（2）設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大..并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為0102030期望.4．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．【分析】（1）①由題設條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出，即可得解.【詳解】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.5．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn1+qn1的遞推關系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【分析】（1）直接根據(jù)操作，根據(jù)古典概型概率公式可得結果；（2）根據(jù)操作，依次求，即得遞推關系，構造等比數(shù)列求得，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求結果.【詳解】（1），，.（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.【點睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關系、構造法求數(shù)列通項、數(shù)學期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.6．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預測）甲乙兩家公司要進行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若小明報考甲公司，每門科目通過的概率均為；報考乙公司，每門科目通過的概率依次為，，其中．(1)若，分別求出小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；(2)招聘規(guī)則要求每人只能報考一家公司，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學期望為依據(jù)作決策，當小明更希望通過乙公司的筆試時，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式即可求得小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（2）分別求得小明報考甲、乙兩公司通過科目數(shù)的數(shù)學期望，列出關于的不等式，進而求得的取值范圍．【詳解】（1）設小明報考甲公司恰好通過一門筆試科目為事件A，小明報考乙公司恰好通過一門筆試科目為事件，根據(jù)題意可得，

.（2）設小明報考甲公司通過的科目數(shù)為X，報考乙公司通過的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，則，，，，，則隨機變量的分布列為Y0123P，若，則，故，即的取值范圍是7．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國語學校?？茧A段練習）某市正在創(chuàng)建全國文明城市，學校號召師生利用周末從事創(chuàng)城志愿活動．高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機選取2人作為志愿者參加活動，志愿活動共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宣傳員、文明監(jiān)督員三項可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為．每人每參加1項活動可獲得綜合評價10分，選擇參加幾項活動彼此互不影響，求(1)在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生的概率；(2)記隨機選取的兩人得分之和為X，求X的期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件概率的計算公式即可求得答案；（2）方法一：根據(jù)女生參加活動的人數(shù)確定變量的可能取值，計算每個取值對應的概率，可得變量的分布列，即可求得期望；方法二：分別計算出一名女生和一名男生參加活動可獲得分數(shù)的期望，設恰有Y名女生參加活動，則男生有名參加活動，，計算出變量Y的期望，即可求X的期望.【詳解】（1）設“有女生參加活動”為事件A，“恰有一名女生參加活動”為事件B．則，，所以．（2）方法一:“選取的兩人中女生人數(shù)為i”記為事件，，則，，．由題意知X的可能值為，“得分為分”分別記為事件，，，，，則，，；，，；，，．；；；；，所以X的分布列為X2030405060P所以．方法二：根據(jù)題意，一名女生參加活動可獲得分數(shù)的期望為，一名男生參加活動可獲得分數(shù)的期望為．設恰有Y名女生參加活動，則男生有名參加活動，，則，，．所以Y的分布列為Y012P則有，所以．【點睛】難點點睛：本題考查了條件概率的計算，比較基礎，第二問考查隨機變量的期望的求解，求解的思路并不困難，但難點在于要根據(jù)變量的取值的可能情況，計算每種情況相應的概率，計算較復雜，計算量較大，需要思維縝密，計算仔細。8．（2023·河北·模擬預測）第31屆世界大學生夏季運動會將于今年在我國成都舉行．某體校田徑隊正在積極備戰(zhàn)，考核設有100米、400米和1500米三個項目，需要選手依次完成考核，成績合格后的積分分別記為，和，總成績?yōu)槔塾嫹e分和．考核規(guī)定：項目考核逐級進階，即選手只有在低一級里程項目考核合格后，才能進行下一級較高里程項目的考核，否則考核終止．對于100米和400米項目，每個項目選手必須考核2次，且全部達標才算合格；對于1500米項目，選手必須考核3次，但只要達標2次及以上就算合格．已知選手甲三個項目的達標率依次為，，，選手乙三個項目的達標率依次為，，，每次考核是否達標相互獨立．(1)用表示選手甲考核積分的總成績，求的分布列和數(shù)學期望；(2)證明：無論，和取何值，選手甲考核積分總成績的數(shù)學期望值都大于選手乙考核積分總成績的數(shù)學期望值．【答案】(1)分布列見詳解，(2)證明見詳解【分析】（1）先求甲通過每項的概率，進而根據(jù)題意求分布列和期望；（2）先求乙通過每項的概率，進而根據(jù)題意求分布列和期望，利用作差法比較大小.【詳解】（1）對于選手甲：記“100米成績合格”、“400米成績合格”、“1500米成績合格”分別為事件、、，則，由題意可得：的可能取值有，則有：，，，可得的分布列為：0所以.（2）對于選手乙：記“100米成績合格”、“400米成績合格”、“1500米成績合格”分別為事件、、，則，用表示選手乙考核積分的總成績，由題意可得：的可能取值有，則有：，，，可得的分布列為：0所以，因為，且均為正數(shù)，則，即，所以無論，和取何值，選手甲考核積分總成績的數(shù)學期望值都大于選手乙考核積分總成績的數(shù)學期望值.1．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學?？寄M預測）甲、乙足球愛好者為了提高球技，兩人輪流進行點球訓練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進球另一人不進球，進球者得1分，不進球者得分；兩人都進球或都不進球，兩人均得0分，設甲、乙每次踢球命中的概率均為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．(1)經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X，求X的分布列及數(shù)學期望；(2)求經(jīng)過3輪踢球累計得分后，甲得分高于乙得分的概率．【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)【分析】（1）先分別求甲、乙進球的概率，進而求甲得分的分布列和期望；（2）根據(jù)題意得出甲得分高于乙得分的所有可能情況，結合（1）中的數(shù)據(jù)分析運算.【詳解】（1）記一輪踢球，甲進球為事件A，乙進球為事件B，A，B相互獨立，由題意得：，，甲的得分X的可能取值為，，，所以X的分布列為：X01p.（2）經(jīng)過三輪踢球，甲累計得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分，甲3輪各得1分的概率為，甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分的概率為，甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分的概率為，甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分的概率為，所以經(jīng)過三輪踢球，甲累計得分高于乙的概率.2．（2023·全國·高三專題練習）手工刺繡是中國非物質文化遺產之一，指以手工方式，用針和線把人的設計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個環(huán)節(jié)，簡記為工序A，工序，工序.經(jīng)過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現(xiàn)某單位推出一項手工刺繡體驗活動，報名費30元，成功通過三道工序最終的獎勵金額是200元，為了更好地激勵參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務，可以在著手前付費聘請技術員，若某一道工序沒有成功，可以由技術員完成本道工序.每位技術員只完成其中一道工序，每聘請一位技術員需另付費100元，制作完成后沒有接受技術員補救服務的退還一半的聘請費用.(1)若小李聘請一位技術員，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘請兩位技術員，求他最終獲得收益的期望值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）記事件M為“小李聘請一位技術員成功完成三道工序”，分別討論小李完成工序的情況并計算各類情況的概率最后求和即可；（2）設小李最終收益為X，列出其所有取值，并計算概率求期望值即可.【詳解】（1）記事件M為“小李聘請一位技術員成功完成三道工序”，當技術員完成工序A時，小李成功完成三道工序的概率為：,當技術員完成工序B時，小李成功完成三道工序的概率為：,當技術員完成工序C時，小李成功完成三道工序的概率為：,當技術員沒參與補救時，小李成功完成三道工序的概率為：，故小李成功完成三道工序的概率為；（2）設小李最終收益為X，小李聘請兩位技術員參與比賽，有如下幾種情況：兩位技術員都參與補救但仍未成功完成三道工序，此時，；兩位技術員都參與補救并成功完成三道工序，此時，；只有一位技術員參與補救后成功完成三道工序，此時，;技術員最終未參與補救仍成功完成三道工序，此時，；故.3．（2023·江蘇南京·南京市第一中學校考模擬預測）為了宣傳航空科普知識，某校組織了航空知識競賽活動．活動規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4道題目進行作答．假設在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；(2)設隨機變量X表示小宇正確完成題目的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進入決賽，請你根據(jù)所學概率知識，判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參加市級比賽（活動規(guī)則不變）會更好，并說明理由．【答案】(1)(2)分布列見解析，3(3)選擇小宇，理由見解析【分析】（1）小明至少正確完成其中3道題包含兩種情況：一是小明正確完成3道題，二是小明正確完成4道題，然后由互斥事件的概率公式求解即可；（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，然后求各自對應的概率，從而可求出X的分布列及數(shù)學期望；（3）分別計算出他們兩人至少完成其中3道題的概率，通過比較概率的大小可得答案.【詳解】（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則．（2）X的可能取值為2，3，4，，，X的分布列為；X234P數(shù)學期望．（3）由（1）知，小明進入決賽的概率為；記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；因為，故小宇進決賽的可能性更大，所以應選擇小宇去參加比賽．4．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┘?、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結束時，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結束比賽時，比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調遞增，并根據(jù)你的理解說明該結論的實際含義.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）證明見解析，比賽局數(shù)越多，對實力較強者越有利【分析】（1）先寫出離散型隨機變量的分布列，再求出數(shù)學期望即可；（2）先根據(jù)已知不等式列式求解，再根據(jù)單調性定義作差證明單調遞增說明結論.【詳解】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，，的分布列如下表：23所以的數(shù)學期望為.（2）采用3局2勝制：不妨設賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制：不妨設賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，，得.（ii）由（i）知.局比賽中恰好甲贏了局的概率為，局比賽中恰好甲贏了局的概率為，則局比賽中甲至少贏局的概率為.考慮局比賽的前局：如果這局比賽甲至少贏局，則無論后面結果如何都勝利，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場至少贏一局，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場都贏，其概率為，因此局里甲最終獲勝的概率為：，因此，即數(shù)列單調遞增.該結論的實際意義是：比賽局數(shù)越多，對實力較強者越有利.5．（2023·河北唐山·遷西縣第一中學?？级＃┰谝粋€不透明袋子中放入除顏色外完全相同的2個白色球和2個黑色球，從中任意取出一個球，若是黑色球，則用2個同樣的白色球替換黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，則把該白色球放回袋子中．(1)求第4次恰好取完兩個黑色球的概率；(2)若取到兩個黑色球或者取球數(shù)達到5次就停止取球，設停止取球時取球次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）前三次取球中有一次取到黑色球，則第4次取球恰好是第二次取到黑色球，求其概率即可；（2）X的所有可能取值為2，3，4，5，分別求出對應的概率，然后利用期望的公式求解取球次數(shù)的數(shù)學期望.【詳解】（1）由題意知，前三次取球中有一次取到黑色球，故第4次取球恰好是第二次取到黑色球的概率．（2）由題意可知，X的所有可能取值為2，3，4，5，，，，，故X的分布列為X2345P.6．（2023·全國·模擬預測）為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發(fā)起同一年級兩個級部A、B進行體育運動和文化項目比賽，由A部、B部爭奪最后的綜合冠軍．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天勝利，此時該天比賽結束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設每局比賽A部獲勝的概率為，每局比賽的結果沒有平局且結果互相獨立．(1)記第一天需要進行的比賽局數(shù)為X，求，并求當取最大值時p的值；(2)當時，記一共進行的比賽局數(shù)為Y，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出X可能取值，并求出對應的概率，得到期望，配方后得到期望最大值時對應的p的值；（2）先得到雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為，比分為2∶1或1∶2的概率均為，考慮和兩種情況，分別求出概率，相加即可.【詳解】（1）X可能取值為2，3．；．故，即，則當時，取得最大值．（2）當時，雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為；比分為2∶1或1∶2的概率均為．，則或．即獲勝方兩天均為2∶0獲勝，不妨設A部勝，概率為，同理B部勝，概率為，故；即獲勝方前兩天的比分為2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加賽，不妨設最終A部獲勝，當前兩天的比分為2∶0和2∶1時，先從兩天中選出一天，比賽比分為2∶1，三場比賽前兩場，A部一勝一負，第三場比賽A獲勝，另外一天比賽比分為2：0，故概率為，當前兩天比分為2∶0和0∶2，附加賽A獲勝時，兩天中選出一天，比賽比分為2：0，概率為，故最終A部獲勝的概率為，同理B部勝，概率為，故．所以．7．（2023·全國·高三專題練習）某知識測試的題目均為多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D，并且規(guī)定若第題正確選項為兩個，則第題正確選項為兩個的概率為；第題正確選項為三個，則第題正確選項為三個的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個選項，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項為兩個的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個選項，設Y表示第n題得分，求證：.【答案】(1)分布列見解析；(2)(3)證明見解析【分析】（1）設事件表示正確選項為個，事件表示正確選項為個，表示第題正確選項為個的概率，表示第題正確選項為，繼而可求，再由全概率公式計算第二題得分分布列的各種情況，并根據(jù)公式計算期望；（2）根據(jù)（1）中由第一題到第二題正確選項數(shù)概率的計算理解，由全概率公式可以得出一般性的結論化簡可得，可知為等比數(shù)列,求通項可得；（3）根據(jù)（2）求出的可得，在利用全概率公式即可求得的分布列，計算出,則結論可證.【詳解】（1）設事件表示正確選項為個，事件表示正確選項為個，表示第題正確選項為個的概率，表示第題正確選項為個的概率.設事件表示選項“C”為第二題的一個正確選項，用隨機變量表示第二題得分.依題得，可能取值為.因為，，所以所以的分布列為:所以.（2）依題得，，所以，又因為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以，.（3）由（2）可知，，.依題得，可能取值為.，，所以.【點睛】方法點睛：高中階段的馬爾科夫鏈類型的概率問題解決關鍵是利用全概率公式找到概率的遞推式，然后用數(shù)列手段去處理求解.考點三、離散型隨機變量的方差1．（2023·江西吉安·泰和縣第二中學?？家荒＃┐杏?個白球，3個紅球，5個黃球，這10個小球除顏色外完全相同.(1)從袋中任取3個球，求恰好取到2個黃球的概率；(2)從袋中任取2個球，記取到紅球的個數(shù)為，求的分布列、期望和方差.【答案】(1)；(2)的分布列見解析，期望為，方差為.【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)結合題意寫出可能的取值，分別求出相應的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.【詳解】(1)從袋中任取3個球，共有種情況，若從袋中任取3個球中，恰好取到2個黃球共有種，故從袋中任取3個球，求恰好取到2個黃球的概率為；(2)由題意可知，可能取值為，0，1，2，，，，故的分布列如下表：012從而期望，方差.2．（2023·四川內江·?？寄M預測）甲?乙兩名同學與同一臺智能機器人進行象棋比賽，計分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得1分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得0分.設甲贏機器人的概率為0.7，乙贏機器人的概率為0.6.求：(1)在一輪比賽中，甲的得分ξ的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分的期望和方差.【答案】(1)分布列見解析(2)，.【分析】（1）根據(jù)已知條件可得的可能取值為，利用相互獨立事件的概率公式求出所對應的概率，即可求得分布列.（2）根據(jù)已知條件可得的可能取值為，利用相互獨立事件的概率公式求出所對應的概率，即可求得分布列及數(shù)學期望和方差.【詳解】（1）由題意可知，的可能取值為，，，，所以分的分布列為：101（2）由題意可知，的可能取值為，，，，，，所以的分布列為21012所以，.3．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）某公司計劃在2023年年初將200萬元用于投資，現(xiàn)有兩個項目供選擇.項目一：新能源汽車.據(jù)市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項目二：通信設備.據(jù)市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為.(1)針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由；(2)若市場預期不變，該投資公司按照（1）中選擇的項目長期投資（每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資），問大約在哪一年的年底總資產（利潤+本金）可以翻兩番？（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)建議該投資公司選擇項目一進行投資，理由見解析(2)大約在2030年年底總資產可以翻兩番【分析】（1）分別計算出兩個項目的期望和方差，比較后得到結論；（2）設年后總資產可以翻兩番，根據(jù)題意列出方程，求出答案.【詳解】（1）若投資項目一，設獲利為萬元，則的分布列為6030若投資項目二，設獲利為萬元，則的分布列為100060，，，，，這說明雖然項目一?項目二獲利的均值相等，但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項目一進行投資.（2）假設年后總資產可以翻兩番，依題意，，即，兩邊取對數(shù)，得，，，大約在2030年年底總資產可以翻兩番.4．（2023·山東東營·東營市第一中學?？级＃┠掣咝！爸参餇I養(yǎng)學專業(yè)”學生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥對農作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應1,2,3三組.觀察一段時間后，分別從1,2,3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.株高增量（單位：厘米）第1組雞冠花株數(shù)92092第2組雞冠花株數(shù)416164第3組雞冠花株數(shù)1312132假設用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.(1)從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，估計株高增量為厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學期望；(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關系.（結論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中隨機選取1株，得厘米的總數(shù)，由古典概型概率公式可得結果；（2）首先估計各組雞冠花增量為厘米的概率，然后可確定所有可能的取值，根據(jù)獨立事件概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學期望計算公式可求得期望；（3）由兩點分布方差計算公式可求得，，的值，由此可得大小關系．【詳解】（1）設事件為“從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,所以估計為；（2）設事件為“從第2組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，設事件為“從第3組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計為，估計為，根據(jù)題意，隨機變量的所有可能取值為0,1,2.3，且；；；，則的分布列為：0123所以.（3）理由如下：，所以；，所以；，所以；所以.1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）某小組共人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數(shù)為的人數(shù)分別為.現(xiàn)從這人中隨機選出人作為該組代表參加座談會．(1)設為事件“選出的人參加義工活動次數(shù)之和為”，求事件發(fā)生的概率；(2)設X為選出的人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望與方差．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為，方差為【分析】（1）利用古典概型概率計算公式，結合組合數(shù)的計算求得事件發(fā)生的概率.（2）利用古典概型概率計算公式，結合組合數(shù)的計算的分布列并求得數(shù)學期望、方差.【詳解】（1）由已知得.（2）的可能取值為，，.所以隨機變量X的分布列為X012P..2．（2023秋·福建寧德·高三福建省寧德第一中學?？茧A段練習）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍，已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立.(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用表示乙學校的總得分，求的分布列與期望.(3)設用表示甲學校的總得分，比較和的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y果）.【答案】(1)(2)分布列見解析，的期望為(3)【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，可以求出甲學校獲勝2場或者3場的概率，可以得到甲學校獲得冠軍的概率；（2）乙學校的總得分的值可取0，10，20，30，分別求出取上述值時的概率，可得分布列與數(shù)學期望；（3）求甲學校的總得分的分布列，再求得和的大小，即可得大小.【詳解】（1）甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為，，，可以得到兩個學校每場比賽獲勝的概率如下表：第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學校獲勝概率乙學校獲勝概率甲學校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，①甲學校3場全勝，概率為：，②甲學校3場獲勝2場敗1場，概率為：，所以甲學校獲得冠軍的概率為：；（2）乙學校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：0102030的期望；（3）甲學校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：0102030的期望；故，由（2）可得，故.3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）某公司為活躍氣氛提升士氣，年終擬通過抓鬮兌獎的方式對所有員工進行獎勵.規(guī)定：每位員工從一個裝有4個標有面值的鬮的袋中一次性隨機摸出2個鬮，鬮上所標的面值之和為該員工獲得的獎勵金額.(1)若袋中所裝的4個鬮中有1個所標的面值為800元，其余3個均為200元，求①員工所獲得的獎勵為1000元的概率；②員工所獲得的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；(2)公司對獎勵額的預算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個鬮只能由標有面值200元和800元的兩種鬮或標有面值400元和600元的兩種鬮組成.為了使員工得到的獎勵總額盡可能符合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個鬮的面值給出一個合適的設計，并說明理由.【答案】(1)①；②分布列答案見解析，數(shù)學期望：元(2)答案見解析【分析】（1）①根據(jù)古典概型公式計算即可；②寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式計算期望即可；（2）先根據(jù)題意可確定方案（800，800，200，200）和方案（400，400，600，600），分別求出兩種方案的期望與方差，比較兩者即可得出結論.【詳解】（1）設員工所獲得的獎勵額為X，①，∴員工所獲得的獎勵額為1000元的概率為；②X所有可能的取值為400，1000，，，∴X的分布列為X4001000P∴員工所獲得的獎勵額的期望為元；（2）根據(jù)公司預算，每個員工的平均獎勵額為1000元，所以先尋找期望為1000元的可能方案，對于面值由800元和200元組成的情況，如果選擇（200，200，200，800）的方案，因為1000元是面值之和的最大值，所以期望不可能為1000元，如果選擇（800，800，800，200）的方案，因為1000元是面值之和的最小值，所以期望不可能為1000元，因此可能的方案是（800，800，200，200）記為方案1，對于面值600元和400元的情況，同理排除（600，600，600，400）和（400，400，400，600）的方案，所以可能的方案是（400，400，600，600）記為方案2，對于方案1，設員工所獲得的獎勵額為，可取，，，，∴的期望為，方差，對于方案2，設員工所獲得的獎勵額為，可取，，，，∴的期望為，方差，由于兩種方案的獎勵額都符合預算要求，但方案2的方差比方案1小，所以應選擇方案2.4．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學?？寄M預測）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為；兩人滑雪時間都不會超過3小時．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由題意兩人所付費用相同，相同的費用可能為0，40，80元，然后求出相應的概率即可；（2）確定ξ的所有可能取值，計算相應的概率，得出分布列，進一步求解均值和方差即可．【詳解】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為0，40，80元，甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開的概率分別為1－－＝，1－－＝．兩人都付0元的概率為P1＝×＝，兩人都付40元的概率為P2＝×＝，兩人都付80元的概率為P3＝×＝，則兩人所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．（2）ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，則P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝．所以ξ的分布列為ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．【基礎過關】一、解答題1．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響．已知“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為．(1)求的值；(2)記“星隊”在兩輪活動中猜對成語的總數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式，列式求解（2）猜對謎語的總數(shù)為0，,1，2，3，4，結合獨立事件概率乘法公式，列舉出這四種情況下的概率，即可列表求解.【詳解】（1）“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為，所以，解得．（2）設表示事件“甲在兩輪中猜對個成語”，表示事件“乙在兩輪中猜對個成語”，根據(jù)獨立性假定，得，，，，，，的可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234．2．（2023·四川南充·閬中中學?？级＃┲袊伯a黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日至22日在北京人民大會堂順利召開．某部門組織相關單位采取多種形式學習宣傳和貫徹黨的二十大精神．其中“學習二十大”進行競賽．甲、乙兩單位在聯(lián)合開展主題學習及知識競賽活動中通過此欄目進行比賽，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個單位派出一人代表其所在單位答題，兩單位都全部答對或者都沒有全部答對則均記0分；一單位全部答對而另一單位沒有全部答對，則全部答對的單位記1分，沒有全部答對的單位記－1分，設每輪比賽中甲單位全部答對的概率為，乙單位全部答對的概率為，甲、乙兩單位答題相互獨立，且每輪比賽互不影響．(1)經(jīng)過1輪比賽，設甲單位的記分為X，求X的分布列和期望；(2)若比賽采取3輪制，試計算第3輪比賽后甲單位累計得分低于乙單位累計得分的概率．【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)【分析】(1)根據(jù)題意，X的取值可能為－1，0，1，分別寫出每一個概率，列表格，用可計算出數(shù)學期望.(2)第3輪比賽后，甲單位累計得分低于乙單位的3輪計分有四種情況（不按先后順序）：－1，－1，－1；－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0，分別計算出概率相加.【詳解】（1）由題意X的取值可能為－1，0，1，則，，那么X的分布列為：X－101P（2）第3輪比賽后，甲單位累計得分低于乙單位的3輪計分有四種情況（不按先后順序）；－1，－1，－1;－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0．所以．3．（2023·上海楊浦·同濟大學第一附屬中學?？既＃┠硨W校最近考試頻繁，為了減輕同學們的學習壓力，班上決定進行一次減壓游戲.班主任把8個小球(只是顏色不同)放入一個袋子里，其中白色球與黃色球各3個，紅色球與綠色球各1個.現(xiàn)甲、乙兩位同學進行摸球得分比賽，摸到白球每個記1分，黃球每個記2分，紅球每個記3分，綠球每個記4分，規(guī)定摸球人得分不低于8分為獲勝，否則為負.并規(guī)定如下：①一個人摸球，另一人不摸球；②摸球的人摸出的球后不放回；③摸球的人先從袋子中摸出1球；若摸出的是綠色球，則再從袋子里摸出2個球；若摸出的不是綠色球，則再從袋子里摸出3個球，摸球人的得分為兩次摸出的球的記分之和.(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了綠色球，求該局甲獲勝的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了紅色球，求該局乙得分ξ的分布列和數(shù)學期望；【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）如果甲先摸出了綠色球，則甲還可以再摸兩次，分摸到1個紅球和摸到兩個黃球兩種情況討論，結合古典概型及組合即可得解；（2）如果乙第一次摸出了紅色球，則可以再從袋中摸出3個球，寫出隨機變量的所有可能取值，分別求出求概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式即可求出期望；【詳解】（1）記“甲第一次摸出了綠色球，甲獲勝”為事件，則.（2）如果乙第一次摸出紅球，則可以再從袋子里摸出3個小球，則得分情況有：6分，7分，8分，9分，10分，11分，，，，，，，所以的分布列為：67891011所以的數(shù)學期望.4．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）某學校組織“消防”知識競賽，有A，B兩類題目．每位參加比賽的同學先在兩類題目中選擇一類并從中隨機抽取一道題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得40分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得60分，否則得0分已知小明能正確回答A類問題的概率為0.7，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.5，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．【答案】(1)分布列見解析(2)小明應選擇先回答A類問題，理由見解析【分析】（1）由X的所有可能取值，計算對應的概率，列出分布列；（2）分別計算先回答A類問題累計得分的期望和先回答B(yǎng)類問題累計得分的期望，比較即可.【詳解】（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，40，100，則；；．所以X的分布列為X040100P（2）由（1）可知小明先回答A類問題累計得分的期望為．若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，60，100，，，，則Y的期望為，因為，所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答A類問題．5．（2023·山東煙臺·校聯(lián)考三模），第二組每道題答對的概率均為，兩組題至少答對3題才可獲得一枚紀念章.(1)記甲同學在一輪比賽答對的題目數(shù)為，請寫出的分布列，并求；(2)若甲同學進行了10輪答題，試問獲得多少枚紀念章的概率最大.【答案】(1)分布列見解析，(2)4【分析】（1）由題意可得可取0，1，2，3，4，進而分別求出概率即可求解；（2）先求得每一輪獲得紀念章的概率，由每一輪相互獨立，則每一輪比賽可視為二項分布，進而可得，，，由，解出即可求解.【詳解】（1）由題意，可取0，1，2，3，4.,，，，，則的分布列為：01234.（2）每一輪獲得紀念章的概率為，每一輪相互獨立，則每一輪比賽可視為二項分布，設10輪答題獲得紀念章的數(shù)量為，則，，.由，得，解得，又，得，則獲得4枚紀念章的概率最大.6．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）某公司為了讓職工業(yè)余時間加強體育鍛煉，修建了一個運動俱樂部，公司隨機抽查了200名職工在修建運動俱樂部前后每天運動的時間，得到以下頻數(shù)分布表：表一（運動俱樂部修建前）時間（分鐘）人數(shù)36588125表二（運動俱樂部修建后）時間（分鐘）人數(shù)18638336(1)分別求出修建運動俱樂部前和修建運動俱樂部后職工每天運動的平均時間（同一時間段的數(shù)據(jù)取該組區(qū)間的中點值作代表）﹔(2)運動俱樂部內有一套與室溫調節(jié)有關的設備，內有2個完全一樣的用電器A，只有這2個用電器A都正常工作時，整套設備才正常工作，且2個用電器AA有M，N兩種品牌，M品牌的銷售單價為1000元，正常工作壽命為11個月或12個月（概率均為）；N品牌的銷售單價為400元，正常工作壽命為5個月或6個月（概率均為）.現(xiàn)有兩種購置方案：方案1：購置2個M品牌用電器﹔方案2：購置1個M品牌用電器和2個N品牌用電器（其中1個N品牌用電器不能正常工作時則使用另一個N品牌用電器）.試求兩種方案各自設備性價比（設備正常運行時間與購置用電器A的成本比）的分布列，并從性價比的數(shù)學期望角度考慮，選擇哪種方案更實惠?【答案】(1)分鐘，分鐘.(2)選擇方案2更實惠.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的概念直接求解；（2）根據(jù)分布列以及數(shù)學期望的求解方法即可比較兩個方案的性價比，從而得出結論.【詳解】（1）修建運動俱樂部前職工每天運動的平均時間為,修建運動俱樂部后職工每天運動的平均時間為.（2）若采用方案1，設設備正常工作時間為（單位：月），則可能的取值為11,12，則,,所以隨機變量的分布列如下，1112所以,所以方案1的性價比為，若采用方案2，設設備正常工作時間為（單位：月），則可能的取值為10,11,12，則,,所以,所以隨機變量的分布列如下，101112所以,所以方案2的性價比為，所以方案2的性價比更高，選擇方案2更實惠.7．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）中學階段是學生身體發(fā)育最重要的階段，長時間熬夜學習嚴重影響學生的身體健康．某校為了解甲、乙兩班學生每周自我熬夜學習的總時長（單位：小時），分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調查，得到他們最近一周自我熬夜學習的總時長的樣本數(shù)據(jù)：甲班813283239乙班1225

262831如果學生平均每周自我慗夜學習的總時長超過26小時，則稱為“過度熬夜”．(1)請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計甲、乙兩班的學生平均每周自我熬夜學習時長的平均值；(2)從甲班、乙班的樣本中各隨機抽取2名學生的數(shù)據(jù)，記“過度熬夜”的學生總數(shù)為，寫出的分布列和數(shù)學期望．(2)分布列見解析；期望為2【分析】（1）由表即可估計甲、乙兩班的學生平均每周自我熬夜學習時長的平均值；（2）計算取不同值時的概率，即可得出的分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）由題意，甲班樣本數(shù)據(jù)的平均值為：，乙班樣本數(shù)據(jù)的平均值為：，∴甲班學生每周平均熬夜時間24小時，乙班學生每周平均熬夜時間24.4小時．（2）由題意及（1）得，從甲班、乙班的樣本中各隨機抽取2名學生，∴的可能取值為0，1，2，3，4．，，，，．的分布列是：X01234P.8．（2023·上海松江·?？寄M預測）某超市每天以4元/千克購進某種有機蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6點以前所購進的有機蔬菜沒有全部銷售完，則對未售出的有機蔬菜降價處理，以2元/千克出售，并且降價后能夠把剩余所有的有機蔬菜全部處理完畢，且當天不再進貨．該超市整理了過去兩個月（按60天計算）每天下午6點前這種有機蔬菜的日銷售量（單位：千克），得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)．（注：視頻率為概率，）每天下午6點前的銷售量/千克250300350400450天數(shù)10105(1)求1天下午6點前的銷售量不少于350千克的概率；(2)在接下來的2天中，設為下午6點前的銷售量不少于350千克的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)的分布列見解析，【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，結合對立事件的概率公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到隨機變量的可能值為，結合獨立重復試驗的概率計算公式，求得相應的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解．【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得1天下午6點前的銷售量不小于350千克的概率為．（2）解：依題意，1天下午6點前的銷售量不少于350千克的概率，隨機變量的可能值為，可得：，，，所以隨機變量的分布為：012所以的數(shù)學期望．9．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校考模擬預測）為了推進產業(yè)轉型升級，加強自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造?智能制造，把我國制造業(yè)和實體經(jīng)濟搞上去，推動我國經(jīng)濟由量大轉向質強，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一些中小型工廠的規(guī)模不大，在選擇管理軟件時都要進行調查統(tǒng)計.某一小型工廠自己沒有管理軟件的高級技術員，欲購買管理軟件服務公司的管理軟件，并讓其提供服務，某一管理軟件服務公司有如下兩種收費方案.方案一：管理軟件服務公司每月收取工廠4800元，對于提供的軟件服務，每次另外收費200元；方案二：管理軟件服務公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務每次另外收費500元.（1）設管理軟件服務公司月收費為y元，每月提供的軟件服務的次數(shù)為x，試寫出兩種方案中y與x的函數(shù)關系式；（2）該工廠對該管理軟件服務公司為另一個工廠過去20個月提供的軟件服務的次數(shù)進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，該工廠要調查服務質量，現(xiàn)從服務次數(shù)為13次和14次的月份中任選3個月求這3個月，恰好是1個13次服務?2個14次服務的概率；（3）依據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，把頻率視為概率從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇哪種方案更合適，請說明理由.【答案】（1）方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：；（2）；（3）從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適，理由見解析.【分析】（1）由題意可得方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：y=（2）記選擇的3個月恰好是1個13次服務?2個14次服務為事件A，根據(jù)條形圖，利用組合數(shù)可得P(A)==，即求.（3）根據(jù)方案分別列出方案一與方案二中月收費的分布列，根據(jù)分布列求出數(shù)學期望，比較均值即可求解.【詳解】解：（1）由題意知，方案一：中管理軟件服務公司的月收費y與x的函數(shù)關系式為y=200x+4800，x∈N，方案二：當，時，，所以管理軟件服務公司的月收費y與x的函數(shù)關系為：y=（2）記選擇的3個月恰好是1個13次服務?2個14次服務為事件A，則P(A)==.（3）對于方案一，設管理軟件服務公司的月收費為ξ元，由條形統(tǒng)計圖得ξ的取值為7400，7600，7800，8000，8200，P(ξ=7400)=0.1，P(ξ=7600)=0.4，P(ξ=7800)=0.1，P(ξ=8000)=0.2，P(ξ=8200)=0.2，∴ξ的分布列為：ξ74007600780080008200PE(ξ)=7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2=7800.對于方案二，設管理軟件服務公式的月收費為η元，由條形統(tǒng)計圖得η的可能取值為7600，8100，8600，P(η=7600)=0.6，P(η=8100)=0.2，P(η=8600)=0.2，∴η的分布列為：η760081008600PE(η)=7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2=7900.∵E(ξ)<E(η)，∴從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適.10．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）某獵人發(fā)現(xiàn)在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準備多次射擊.假設每次射擊結果之間相互獨立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.(1)如果獵人第一次射擊沒有擊中藥物，則獵人經(jīng)過調整后進行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒有擊中獵物，則第三次射擊時獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進行下去，每次射擊如果沒有擊中，則下一次射擊時獵物和他之間的距離都會增加50米，當獵人擊中獵物或發(fā)現(xiàn)某次射擊擊中的概率小于時就停止射擊，求獵人停止射擊時射擊次數(shù)的概率分布列與數(shù)學期望.(2)如果獵人直接連續(xù)射擊，由于射擊速度很快，可以認為在射擊期間獵物和獵人之間的距離保持不變，如果希望至少擊中獵物一次的概率超過98%，至少要連續(xù)射擊多少次?附:.【答案】(1)分布列見解析，(2)5次．【分析】（1）設第i次射擊擊中獵物的概率為，獵人和獵物之間的距離為，則(k為常數(shù))，由，，求出和符合題意，由射擊次數(shù)X的所有取值，計算相應的概率，列出分布列，計算數(shù)學期望；（2）利用對立事件，計算至少擊中一次的概率，列不等式借助對數(shù)式的運算計算射擊次數(shù).【詳解】（1）因為獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比，設第i次射擊擊中獵物的概率為，獵人和獵物之間的距離為，則(k為常數(shù))，∵，，∴，∴，∴，，．當時，，停止射擊．設獵人的射擊次數(shù)為X，則X的所有取值為1，2，3，4，，，，∴X的分布列為x1234P∴X的數(shù)學期望為.（2）記“第i次射擊擊中獵物”為事件，i=1，2，…，則n次連續(xù)射擊至少擊中獵物一次的概率為，故，所以至少要連續(xù)射擊5次．【能力提升】一、解答題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）A，B，C三個問題，規(guī)則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C分別加2分，4分，5分，答錯任一題減2分；②每回答一題，計分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完三題，若累計分數(shù)仍不足14分時，答題結束，淘汰出局，若累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；③每位參加者按問題A，B，CA，B，C回答正確的概率依次為，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1)求在甲同學進入下一輪的條件下，答了兩題的概率；(2)用表示甲同學本輪答題結束時答對的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）記甲同學進入下一輪為事件E，答了兩題為事件F，結合題意，分別求出，代入條件概率的計算公式即可求解；（2）由題意先求出的可能取值，然后分別計算每一個值對應的概率，列出分布列，代入期望的計算公式即可求解.【詳解】（1）記答對A，B，C分別為事件，，，甲同學進入下一輪為事件E，答了兩題為事件F，則，，所以，即在甲同學進入下一輪的條件下，答了兩題的概率為.（2）由題意知的可能取值為0，1，2.，，，所以的分布列為012P數(shù)學期望.2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┕信e行數(shù)學競賽，競賽分為初賽和決賽兩階段進行.初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個學年派出兩名同學，且每名同學都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學才具備參與決賽的資格.高三學年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學所有輪次比賽的結果互不影響.(1)若高三學年獲得決賽資格的同學個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中依次抽取2道題目，答題結束后將題目一起放入箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)求分布列的步驟求出分布列，根據(jù)數(shù)學期望公式求出數(shù)學期望；（2）根據(jù)貝葉斯公式可求出結果.【詳解】（1）依題意得甲獲得決賽資格的概率為，乙獲得決賽資格的概率為，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：012所以.（2）記“甲從箱中抽出的是道選擇題”，“乙從箱中抽取的第一題是選擇題”，則，，，，，，所以.甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率為.3．（2023·上海長寧·上海市延安中學校考三模）由于X病毒正在傳染蔓延，對人的身體健康造成危害，某校擬對學生被感染病毒的情況進行摸底調查，首先從兩個班共100名學生中隨機抽取20人，并對這20人進行逐個抽血化驗，化驗結果如下：.已知指數(shù)不超過8表示血液中不含病毒；指數(shù)超過8表示血液中含病毒且該生已感染病毒.(1)從已獲取的20份血樣中任取2份血樣混合，求該混合血樣含病毒的概率；(2)已知該校共有1020人，現(xiàn)在學校想從還未抽血化驗的1000人中，把已感染病毒的學生全找出.方案A：逐個抽血化驗；方案B：按40人分組，并把同組的40人血樣分成兩份，把其中的一份血樣混合一起化驗，若發(fā)現(xiàn)混合血液含病毒，再分別對該組的40人的另一份血樣逐份化驗；方案C：將方案中的40人一組改為4人一組，其他步驟與方案相同.如果用樣本頻率估計總體頻率，且每次化驗需要不少的費用.試通過計算回答：選用哪一種方案更合算？（可供參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）確定不含病毒的有份，含有病毒的有份，，計算得到答案.（2）設每次化驗的費用為，分別計算方案所需要的費用分別為，，，對比得到答案.【詳解】（1）分血樣中，不含病毒的有份，含有病毒的有份，混合血樣含病毒的概率（2）設每次化驗的費用為，每個人感染病毒的概率為，方案：費用為；方案：每組化驗次數(shù)的分布列為：,故總費用為；方案：每組化驗次數(shù)的分布列為：,故總費用為；綜上所述：選用方案更合算.4．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）甲?乙兩隊進行籃球比賽，采取五場三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主”，設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立．(1)在比賽進行4場結束的條件下，求甲隊獲勝的概率；(2)賽事主辦方需要預支球隊費用萬元．假設主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預支球隊費用）的期望高于萬元？【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出比賽4場結束的概率，然后利用條件概率公式即可解答；（2）先由題意列出比賽收入的分布列，從而求出期望值，進而根據(jù)題意確定的值.【詳解】（1）記事件為“比賽進行4場結束”；事件為“甲最終獲勝”，事件表示“第場甲獲勝”，事件為“比賽進行4場結束甲獲勝”；事件為“比賽進行4場結束乙獲勝”．則，因為各場比賽結果相互獨立，所以，，因為互斥，所以．又因為，所以由條件概率計算公式得.（2）設主辦方本次比賽總收入為萬元，由題意：的可能取值為：．，，，則隨機變量的分布列為：300500700所以．設主辦方本次比賽獲利為萬元，則，所以，由題意：，所以預支球隊的費用應小于261萬元．5．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預測）甲、乙足球愛好者決定加強訓練提高球技，兩人輪流進行定位球訓練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進球另一人不進球，進球者得1分，不進球者得分；兩人都進球或都不進球，兩人均得0分，設甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．(1)經(jīng)過一輪踢球，記甲的得分為，求的分布列及數(shù)學期望；(2)若經(jīng)過兩輪踢球，用表示經(jīng)過第2輪踢球后，甲累計得分高于乙累計得分的概率，求．【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）先根據(jù)題意求得甲進球與乙進球的概率，再結合獨立事件的概率公式求得的分布列及數(shù)學期望；（2）分析甲累計得分高于乙累計得分的情況，從而得解.【詳解】（1）記一輪踢球甲進球為事件A，乙進球為事件B，由題意知A，B相互獨立，由題意得：，甲得分的可能取值為，則，，，所以的分布列為：01所以（2）根據(jù)題意，經(jīng)過第2輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的情況有三種，分別是：甲兩輪中第1輪得0分，第2輪得1分，此時乙第1輪得0分，第2輪得分；或者甲第1輪得1分，第2輪得0分，此時乙第1輪得分，第2輪得0分；或者甲兩輪各得1分，此時乙兩輪各得分；于是.6．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學校考三模）2021年奧運會我國射擊項目收獲豐盛，在我國射擊也是一項歷史悠久的運動.某射擊運動愛好者甲來到靶場練習.(1)已知用于射擊打靶的某型號槍支彈夾中一共有發(fā)子彈，甲每次打靶的命中率均為，求的分布列和數(shù)學期望；(2)若某種型號的槍支彈巢中一共可裝填6發(fā)子彈，現(xiàn)有一槍支其中有發(fā)為實彈，其余均為空包彈，現(xiàn)規(guī)定：每次射擊后，都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈，假設每次射擊相互獨立且均隨機，在進行次射擊后，記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù)為，①當時，請直接寫出數(shù)學期望與的關系；②求出關于的表達式.【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的所有可能值，再求出各個值對應的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）①按第次射出是空包彈和實彈求出對應的概率及空包彈數(shù)，進而求出即可；②利用構造法求出數(shù)列的通項公式作答.【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為，，，所以的分布列為012……的數(shù)學期望，顯然，兩式相減得，所以.（2）①第次射擊后，包含兩種情況：第次射出空包彈和第次射出實彈，第次射擊前，剩余空包彈的期望是，若第次射出空包彈，則此時對應的概率為，因為射擊后要填充一發(fā)空包彈，則此時空包彈的數(shù)量為，若第次射出實彈，則此時對應的概率為，此時空包彈的數(shù)量為，所以.②當時，彈巢中有發(fā)空包彈，即，由，得，當時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，而當時，滿足上式，所以.7．（2023·廣東汕頭·金山中學?？既＃楸Ｗo未成年人身心健康，保障未成年人合法權益，培養(yǎng)有理想、有道德、有文化、有紀律的社會主義建設者，《未成年人保護法》針對監(jiān)護缺失、校園欺凌、煙酒損害、網(wǎng)絡沉迷等問題，進一步壓實監(jiān)護人、學校、住宿經(jīng)營者及網(wǎng)絡服務提供者等主體責任，加大對未成年人的保護力度.某中學為宣傳《未成年人保護法》，特舉行一次未成年人保護法知識競賽，比賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答兩題，若答對題數(shù)不少于3，則被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙兩位同學組成一組，且同學甲和同學乙答對每道題的概率分別為.(1)若，則在第一輪競賽中，求他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；(2)當，且每輪比賽互不影響時，如果甲、乙同學組成的小組在此次活動中獲得“優(yōu)秀小組”的期望值為9，那么理論上至少要進行多少輪競賽？【答案】(1)(2)理論上至少要進行19輪競賽【分析】（1）由題意可知獲“優(yōu)秀小組”的情況包含三種情況，分別計算概率，再求和；（2）首先計算甲乙同學獲得“優(yōu)秀小組”的概率P，通過基本不等式求的范圍，再利用二次函數(shù)的性質分析P的最大值，結合二