2022-2023學(xué)年甘肅省蘭州市教育局第四片區(qū)高二下學(xué)期聯(lián)片辦學(xué)期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省蘭州市教育局第四片區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)片辦學(xué)期中考試數(shù)學(xué)試題（滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由拋物線(xiàn)方程可得，開(kāi)口向左，則準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選：D.2.圓心為且和軸相切的圓的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圓心為且和軸相切的圓，它的半徑為1，故它的的方程是，故選：．3.過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)所求的直線(xiàn)方程為，代入方程解得，所求的直線(xiàn)方程為.故選：D.4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由.因?yàn)椋菣E圓的上的點(diǎn)，、是橢圓的焦點(diǎn)，所以，因此的周長(zhǎng)為，故選：D.5.橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是2，是的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（）A.4 B.8 C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗根據(jù)橢圓的定義得，由于中，是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理得，故選A．6.，則（）A.1 B.3 C.0 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，令，可?故選：C.7.已知圓，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（）．A.2 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋瑘A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以半徑，圓心，當(dāng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)CP垂直時(shí)，所截得弦長(zhǎng)AB最短．此時(shí)，所以．故選：C．8.已知為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗雙曲線(xiàn)與以為直徑的圓均關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，為等邊三角形，，又，，；由雙曲線(xiàn)定義知：，即，雙曲線(xiàn)離心率.故選：D.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（）A.離心率為 B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C.焦點(diǎn)在軸上 D.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，(1，0)〖答案〗AD〖解析〗將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為所以該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故C錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)，故D正確；長(zhǎng)軸長(zhǎng)是故B錯(cuò)誤；因?yàn)樗噪x心率故A正確.故選：AD.10.已知為3與5的等差中項(xiàng)，為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對(duì)曲線(xiàn)描述正確的是（）A.曲線(xiàn)可表示為焦點(diǎn)在軸的橢圓B.曲線(xiàn)可表示為焦距是4的雙曲線(xiàn)C.曲線(xiàn)可表示為離心率是的橢圓D.曲線(xiàn)可表示為漸近線(xiàn)方程是的雙曲線(xiàn)〖答案〗ACD〖解析〗由為3與5的等差中項(xiàng)，得，即，由為4與16的等比中項(xiàng)，得，即，則曲線(xiàn)的方程為或．其中表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，此時(shí)它的離心率，故A正確，C正確；其中表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線(xiàn)，焦距為，漸近線(xiàn)方程為，故B不正確，D正確．故選:ACD．11.對(duì)于的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（）A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64 B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為64C.常數(shù)項(xiàng)為1215 D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)〖答案〗ABC〖解析〗的展開(kāi)式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，選項(xiàng)A正確；中令得，選項(xiàng)B正確；展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，選項(xiàng)C正確；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，選項(xiàng)D不正確.故選：ABC.12.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，且，.下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.△的面積為〖答案〗BCD〖解析〗選項(xiàng)A.由拋物線(xiàn)的定義可得，解得，所以A不正確.選項(xiàng)B.所以，，拋物線(xiàn)方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，得，所以，所以B正確.選項(xiàng)C.當(dāng)時(shí)，則，則直線(xiàn)的方程為：，則，得，解得或，所以，則，同理當(dāng)時(shí)，可得，所以C正確.選項(xiàng)D.由上可知當(dāng)時(shí)，，，同理當(dāng)時(shí)，，所以D正確.故選：BCD.三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗由已知，，所以雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故〖答案〗為：.14.某班從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中，選取3人參加學(xué)校的“創(chuàng)文知識(shí)"競(jìng)賽，要求男女生都有，則不同的選法共有___________種．〖答案〗45〖解析〗在所有組合中排除全為男生和全為女生的情況，則共有種.故〖答案〗為：45．15.甲、乙等6人報(bào)名參加了三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，若甲，乙兩人不能參加項(xiàng)目，那么共有_________種不同的選拔的方案．〖答案〗80〖解析〗由于每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，又要求甲，乙兩人不能參加項(xiàng)目，所以①甲，乙都參加志愿者工作則有：種情況；②甲參加志愿者工作，乙沒(méi)參加志愿者工作則有：種情況；③甲沒(méi)參加志愿者工作，乙參加志愿者工作則有：種情況；④甲，乙都沒(méi)參加志愿者工作則有：種情況；故滿(mǎn)足條件的情況數(shù)為：.故〖答案〗為：80.16.拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，，A為垂足，如果直線(xiàn)的傾斜角等于，那么等于__________.〖答案〗〖解析〗在中，由拋物線(xiàn)的定義，可得，，，又，則軸，又，過(guò)作于，則，則．故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為橢圓上一點(diǎn)，軸，求的面積．解：（1）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，則,且，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）為橢圓上一點(diǎn),軸，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,代入橢圓方程可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方,則，所以.18.已知點(diǎn)求：（1）過(guò)點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)A，B且圓心在直線(xiàn)上的圓的方程.解：（1）∵點(diǎn)∴過(guò)點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓，即以AB為直徑的圓，∵AB的中點(diǎn)，故要求的圓的方程為.（2）∵圓心在直線(xiàn)上，設(shè)圓心為∵圓過(guò)點(diǎn)A，B，∴DA＝DB，∴求得∴圓心為，半徑故要求的圓的方程為．19.已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(2,0)，并且與直線(xiàn)x＝－2相切（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)且傾斜角等于135°的直線(xiàn)l與軌跡M相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.解：（1）設(shè)，則依題意可得，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程為.（2）直線(xiàn)的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，，則，，由弦長(zhǎng)公式可得.所以.20.已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線(xiàn)的距離為1.（1）求的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的方程.解：（1）雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，即，所以，又焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線(xiàn)方程為（2）設(shè)，，直線(xiàn)的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即，即，所以，解得，所以直線(xiàn)的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足條件，所以直線(xiàn)的方程為.21.已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.解：(1)由題意可知直線(xiàn)AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過(guò)點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線(xiàn)AM平行的直線(xiàn)方程為：，如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)方程：，直線(xiàn)AM方程為：，點(diǎn)N到直線(xiàn)AM的距離即兩平行線(xiàn)之間的距離，利用平行線(xiàn)之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.22.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)，交橢圓于A，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線(xiàn)，的斜率分別為，，且，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．（1）解：由題意點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，知，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）證明：若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)其方程為，由題意知．由，得，由題意知，設(shè)，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，整理得，故直線(xiàn)的方程為，即，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．若直線(xiàn)的斜率不存在，設(shè)其方程為，，．由題意得，解得，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，顯然過(guò)點(diǎn)．綜上，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．甘肅省蘭州市教育局第四片區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)片辦學(xué)期中考試數(shù)學(xué)試題（滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由拋物線(xiàn)方程可得，開(kāi)口向左，則準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選：D.2.圓心為且和軸相切的圓的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圓心為且和軸相切的圓，它的半徑為1，故它的的方程是，故選：．3.過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)所求的直線(xiàn)方程為，代入方程解得，所求的直線(xiàn)方程為.故選：D.4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由.因?yàn)椋菣E圓的上的點(diǎn)，、是橢圓的焦點(diǎn)，所以，因此的周長(zhǎng)為，故選：D.5.橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是2，是的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（）A.4 B.8 C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗根據(jù)橢圓的定義得，由于中，是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理得，故選A．6.，則（）A.1 B.3 C.0 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，令，可?故選：C.7.已知圓，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（）．A.2 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以半徑，圓心，當(dāng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)CP垂直時(shí)，所截得弦長(zhǎng)AB最短．此時(shí)，所以．故選：C．8.已知為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗雙曲線(xiàn)與以為直徑的圓均關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，為等邊三角形，，又，，；由雙曲線(xiàn)定義知：，即，雙曲線(xiàn)離心率.故選：D.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（）A.離心率為 B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C.焦點(diǎn)在軸上 D.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，(1，0)〖答案〗AD〖解析〗將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為所以該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故C錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)，故D正確；長(zhǎng)軸長(zhǎng)是故B錯(cuò)誤；因?yàn)樗噪x心率故A正確.故選：AD.10.已知為3與5的等差中項(xiàng)，為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對(duì)曲線(xiàn)描述正確的是（）A.曲線(xiàn)可表示為焦點(diǎn)在軸的橢圓B.曲線(xiàn)可表示為焦距是4的雙曲線(xiàn)C.曲線(xiàn)可表示為離心率是的橢圓D.曲線(xiàn)可表示為漸近線(xiàn)方程是的雙曲線(xiàn)〖答案〗ACD〖解析〗由為3與5的等差中項(xiàng)，得，即，由為4與16的等比中項(xiàng)，得，即，則曲線(xiàn)的方程為或．其中表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，此時(shí)它的離心率，故A正確，C正確；其中表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線(xiàn)，焦距為，漸近線(xiàn)方程為，故B不正確，D正確．故選:ACD．11.對(duì)于的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（）A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64 B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為64C.常數(shù)項(xiàng)為1215 D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)〖答案〗ABC〖解析〗的展開(kāi)式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，選項(xiàng)A正確；中令得，選項(xiàng)B正確；展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，選項(xiàng)C正確；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，選項(xiàng)D不正確.故選：ABC.12.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，且，.下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.△的面積為〖答案〗BCD〖解析〗選項(xiàng)A.由拋物線(xiàn)的定義可得，解得，所以A不正確.選項(xiàng)B.所以，，拋物線(xiàn)方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，得，所以，所以B正確.選項(xiàng)C.當(dāng)時(shí)，則，則直線(xiàn)的方程為：，則，得，解得或，所以，則，同理當(dāng)時(shí)，可得，所以C正確.選項(xiàng)D.由上可知當(dāng)時(shí)，，，同理當(dāng)時(shí)，，所以D正確.故選：BCD.三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗由已知，，所以雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故〖答案〗為：.14.某班從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中，選取3人參加學(xué)校的“創(chuàng)文知識(shí)"競(jìng)賽，要求男女生都有，則不同的選法共有___________種．〖答案〗45〖解析〗在所有組合中排除全為男生和全為女生的情況，則共有種.故〖答案〗為：45．15.甲、乙等6人報(bào)名參加了三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，若甲，乙兩人不能參加項(xiàng)目，那么共有_________種不同的選拔的方案．〖答案〗80〖解析〗由于每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，又要求甲，乙兩人不能參加項(xiàng)目，所以①甲，乙都參加志愿者工作則有：種情況；②甲參加志愿者工作，乙沒(méi)參加志愿者工作則有：種情況；③甲沒(méi)參加志愿者工作，乙參加志愿者工作則有：種情況；④甲，乙都沒(méi)參加志愿者工作則有：種情況；故滿(mǎn)足條件的情況數(shù)為：.故〖答案〗為：80.16.拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，，A為垂足，如果直線(xiàn)的傾斜角等于，那么等于__________.〖答案〗〖解析〗在中，由拋物線(xiàn)的定義，可得，，，又，則軸，又，過(guò)作于，則，則．故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為橢圓上一點(diǎn)，軸，求的面積．解：（1）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，則,且，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）為橢圓上一點(diǎn),軸，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,代入橢圓方程可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方,則，所以.18.已知點(diǎn)求：（1）過(guò)點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)A，B且圓心在直線(xiàn)上的圓的方程.解：（1）∵點(diǎn)∴過(guò)點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓，即以AB為直徑的圓，∵AB的中點(diǎn)，故要求的圓的方程為.（2）∵圓心在直線(xiàn)上，設(shè)圓心為∵圓過(guò)點(diǎn)A，B，∴DA＝DB，∴求得∴圓心為，半徑故要求的圓的方程為．19.已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(2,0)，并且與直線(xiàn)x＝－2相切（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)且傾斜角等于135°的直線(xiàn)l與軌跡M相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.解：（1）設(shè)，則依題意可得，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程為.（2）直線(xiàn)的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，，則，，由弦長(zhǎng)公式可得.所以.20.已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線(xiàn)的距離為1.（1）求的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的方