2022-2023學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市荔灣區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則復(fù)數(shù)z等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.已知向量，，若與垂直，則等于（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，則.故選：C.3.一個(gè)小商店從一家食品有限公司購(gòu)進(jìn)10袋白糖，每袋白糖的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是500g，為了了解這些白糖的質(zhì)量情況，稱(chēng)出各袋白糖的質(zhì)量（單位：g）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，記10袋白糖的平均質(zhì)量為，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則質(zhì)量位于與之間的白糖袋數(shù)是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗10袋白糖的平均質(zhì)量，方差，標(biāo)準(zhǔn)差，因此，所以質(zhì)量位于與之間的白糖袋數(shù)是7.故選：B4.已知事件A，B，且，，則（）A.若，則，B.若A，B互斥，則，C.若A與B相互獨(dú)立，則，D.若A與B相互獨(dú)立，則，〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，如果，那么，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果A與互斥，那么，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如果A與相互獨(dú)立，那么，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如果A與相互獨(dú)立，那么，，D正確.故選：D5.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，則（）A.若，，則B.若是非零向量，，則是的充要條件C.若，，，則可以作為基底D.若，，兩兩的夾角相等，且，，，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，取，則，，但的方向不能確定，∴不一定成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若是非零向量，，則，則B正確；對(duì)于C，∵，∴共線，∴不可以作為基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)閮蓛傻膴A角相等，所以?shī)A角有兩種情況，當(dāng)夾角為時(shí)，；當(dāng)夾角為時(shí)，．故D錯(cuò)誤.故選：B.6.某小區(qū)從2000戶(hù)居民中隨機(jī)抽取100戶(hù)進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350kW·h之間，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示．則（）A.小區(qū)用電量平均數(shù)為186.5，極差為300B.小區(qū)用電量中位數(shù)為171，眾數(shù)為175C.可以估計(jì)小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)約為262.5D.小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有380戶(hù)〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，極差為300，小區(qū)用電量平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，小區(qū)用電量眾數(shù)為，因?yàn)?，，故小區(qū)用電量中位數(shù)在，設(shè)為，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，故估?jì)小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)在，設(shè)為，則，解得，故C正確；對(duì)于D，樣本中小區(qū)用電量不小于250kW·h頻率為,所以小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有戶(hù)，故D錯(cuò)誤.故選：C．7.已知母線長(zhǎng)為a的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)圓柱，則當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，圓柱的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，設(shè)圓錐底面半徑為，高為，圓柱底面半徑為，高為，則，則，故，所以由，得，所以圓柱的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，圓柱的體積為.故選：B.8.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，則該坐標(biāo)系中和兩點(diǎn)間的距離為（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樵撟鴺?biāo)系中和，所以則，所以=即該坐標(biāo)系中和兩點(diǎn)間的距離為：故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分9.已知復(fù)數(shù)，，則（）A.B.復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是單位圓C.D.復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)的集合是線段〖答案〗BC〖解析〗取，，則，，則，故A錯(cuò)誤；設(shè)復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴，∴，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是單位圓，故B正確；∵，，，∴，故C正確；由得，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.在一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次底面朝下的數(shù)字，記事件“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”；事件“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗依題意，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，所得總的基本事件有，共16件，其中事件A包含的基本事件有，共8件，事件B包含的基本事件有，共8件，事件C包含的基本事件有，共8件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含基本事件有，共4件，所以，，，，故ABD正確；C錯(cuò)誤.故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)滿足〖答案〗BC〖解析〗，由，解得，令，得，故A錯(cuò)誤；由得，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，令，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故C正確；取，則，，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知正方體，點(diǎn)分別處線段、的中點(diǎn)，則（）A.B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.直線與平面的交點(diǎn)是的重心〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，記的中點(diǎn)為，連接，交于，連接，，易得同時(shí)是與的中點(diǎn)，，在正方體中，，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，不妨設(shè)，則在，易得，則是正三角形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，易得，所以與不垂直，則與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，則，又，所以是直線與所成的角（或補(bǔ)角），因?yàn)槭钦切危堑闹悬c(diǎn)，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，如圖，由選項(xiàng)B可知平面與平面是同一個(gè)面，在正方體中，平面，而平面，則，在正方形中，易得，又平面，所以平面，又是的中點(diǎn)，所以到平面的距離是到平面的距離的一半，記到平面的距離為，則，而易得，記直線與平面所成的角為，則，故C正確；對(duì)于D，不妨設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，連接，如圖，易得，又，所以三棱錐是正三棱錐，故要證是的重心，只需要證面，即面即可，因?yàn)樵谡襟w中，平面，而平面，則，在正方形中，易得，又平面，所以平面，而平面，故，同理，又平面，所以面，所以直線與平面的交點(diǎn)是的重心，故D正確.故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且，則z等于______．（寫(xiě)出一個(gè)即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設(shè)，，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，，又因?yàn)?，所以，顯然當(dāng)時(shí)，符合題意，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.已知，，當(dāng)向量，的夾角θ等于時(shí)，向量在向量上的投影向量為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗顯然為單位向量，而，向量、的夾角等于，所以向量在向量上的投影向量是.故〖答案〗為：15.如圖，長(zhǎng)方體木塊中，，，E，F(xiàn)，G分別是線段，，DC的中點(diǎn)，平面上存在點(diǎn)P，滿足平面EFG，則點(diǎn)D與滿足題意的點(diǎn)P構(gòu)成的平面截長(zhǎng)方體所得截面的面積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，∵，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面，又平面，，平面，∴平面平面，又平面平面，平面平面，∴，∵E，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，∴，則點(diǎn)在上，∴點(diǎn)D與滿足題意的點(diǎn)P構(gòu)成的平面截長(zhǎng)方體所得截面為，∵，的等腰三角形，邊上的高為，∴．故〖答案〗為：．16.如圖，已知直線，A是直線，之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到，的距離分別為，，B，C分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則面積的最小值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗依題意，當(dāng)點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)垂直于的直線同側(cè)時(shí)，，設(shè)，則，在中，，因此的面積，而，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，當(dāng)與重合時(shí)，，，，當(dāng)與重合時(shí)，，同理，當(dāng)在過(guò)點(diǎn)垂直于的直線兩側(cè)時(shí)，則有，，或，，，所以面積的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．（1）解不等式，；（2）證明：．（1）解：，則，因?yàn)?，則，解得.（2）證明：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，〖解析〗式變?yōu)?，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則，.故原等式成立.18.如圖，兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），為了測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，在兩點(diǎn)的對(duì)岸選定兩點(diǎn)，測(cè)得，并且在兩點(diǎn)分別測(cè)得，，，，（1）求兩點(diǎn)間的距離；（2）設(shè)與相交于點(diǎn)，記與的面積分別為，，求．解：（1）在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，則.（2）在中，，，則，由，得，，所以在中，，，則，在中，，，則，所以.19.如圖，在正三棱柱中，，，點(diǎn)P，Q分別為線段，的中點(diǎn)．（1）證明平面ABC；（2）求多面體的體積．（1）證明：取AB的中點(diǎn)，連接PD，CD，在中，因?yàn)镻，D分別為中點(diǎn)，所以，且，正三棱柱中，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，且，于是，所以四邊形PDCQ為平行四邊形，從而，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，所以平面ABC；（2）解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，因?yàn)锳B＝AC，所以，正三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以，又平面，所以平面，點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離，則多面體的體積.20.某品牌計(jì)算機(jī)售后保修期為1年，根據(jù)大量的維修記錄資料，這種品牌的計(jì)算機(jī)在使用一年內(nèi)維修次數(shù)最多的是3次，其中維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%．（1）若某人購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)這種品牌的計(jì)算機(jī)，求下列事件的概率：A＝“在保修期內(nèi)需要維修”；B＝“在保修期內(nèi)維修不超過(guò)1次”；（2）若某人購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)這種品牌的計(jì)算機(jī)，2臺(tái)計(jì)算機(jī)在保修期內(nèi)是否需要維修互不影響，求這2臺(tái)計(jì)算機(jī)保修期內(nèi)維修次數(shù)總和不超過(guò)2次的概率．解：（1）設(shè)“一年內(nèi)需要維修次”，，事件兩兩互斥，因?yàn)橐荒陜?nèi)需要維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%，所以,，，（2）這2臺(tái)計(jì)算機(jī)保修期內(nèi)維修次數(shù)總和不超過(guò)2次，則兩臺(tái)均未維修或1臺(tái)維修0次另1臺(tái)維修1次，或1臺(tái)維修0次另1臺(tái)維修2次，或2臺(tái)各維修1次，所以，這2臺(tái)計(jì)算機(jī)保修期內(nèi)維修次數(shù)總和不超過(guò)2次的概率為.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為CD的中點(diǎn)，，，（1）證明：平面平面ABCD；（2）當(dāng)點(diǎn)A到平面PCD的距離最大時(shí)，求側(cè)面PAB與底面ABCD所成二面角的大?。?）證明：在四棱錐中，由正方形，得，而，，則，有，又為的中點(diǎn)，，于是，而平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）解：在四棱錐中，延長(zhǎng)交于，連接，如圖，由于正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，有，于是是側(cè)面與底面所成二面角，令，由（1）知平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作于，而平面平面，于平面，又平面，平面，則平面，因此點(diǎn)到平面距離等于點(diǎn)到平面距離，由，得，而，在中，由余弦定理得：，又，即有，則，令，顯然，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，，而，從而，所以當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，側(cè)面與底面所成二面角的大小為.22.某工藝品加工廠生產(chǎn)線一天能生產(chǎn)200件某款產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場(chǎng)評(píng)級(jí)規(guī)定：工藝質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于10的為A等品，小于10的為B等品．廠家將A等品售價(jià)定為160元/件，B等品售價(jià)定為140元/件．下表是檢驗(yàn)員在現(xiàn)有生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值：99510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第i件產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值，．為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，該廠計(jì)劃通過(guò)增加生產(chǎn)工序來(lái)改進(jìn)生產(chǎn)工藝，已知增加生產(chǎn)工序每年需花費(fèi)30萬(wàn)元，改進(jìn)后該條生產(chǎn)線產(chǎn)能不變，但生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品工藝質(zhì)量指標(biāo)值均提高0.05．（1）若將隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品中各等級(jí)產(chǎn)品的頻率視為概率，估計(jì)改進(jìn)后該廠的年收益是否增加，并說(shuō)明理由．（一年按365天計(jì)算）（2）根據(jù)隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值，估計(jì)改進(jìn)后該廠一天生產(chǎn)的所有產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差．解：（1）改進(jìn)后該廠的年收益增加了，理由如下：依題意，可知原生產(chǎn)線生產(chǎn)A等品的概率為，生產(chǎn)B等品的概率為，所以原生產(chǎn)線一天的收益為（元），即萬(wàn)元，改進(jìn)后的生產(chǎn)線隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值為：10.0010.1710.0110.0110.069.9710.0310.0910.319.9610.1810.079.2710.0910.1010.00則改進(jìn)后的生產(chǎn)線生產(chǎn)A等品的概率為，生產(chǎn)B等品的概率為，所以改進(jìn)后的生產(chǎn)線一天的收益為（元），即萬(wàn)元，則改進(jìn)后該廠的年收益比原來(lái)的多（萬(wàn)元）.所以改進(jìn)后該廠的年收益增加了.（2）因?yàn)樵瓉?lái)隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為和方差為，而且改進(jìn)后該條生產(chǎn)線產(chǎn)能不變，但生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品工藝質(zhì)量指標(biāo)值均提高0.05，所以估計(jì)改進(jìn)后該廠一天生產(chǎn)的所有產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為，改進(jìn)后方差，所以方差不變，仍為.廣東省廣州市荔灣區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則復(fù)數(shù)z等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.已知向量，，若與垂直，則等于（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，則.故選：C.3.一個(gè)小商店從一家食品有限公司購(gòu)進(jìn)10袋白糖，每袋白糖的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是500g，為了了解這些白糖的質(zhì)量情況，稱(chēng)出各袋白糖的質(zhì)量（單位：g）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，記10袋白糖的平均質(zhì)量為，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則質(zhì)量位于與之間的白糖袋數(shù)是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗10袋白糖的平均質(zhì)量，方差，標(biāo)準(zhǔn)差，因此，所以質(zhì)量位于與之間的白糖袋數(shù)是7.故選：B4.已知事件A，B，且，，則（）A.若，則，B.若A，B互斥，則，C.若A與B相互獨(dú)立，則，D.若A與B相互獨(dú)立，則，〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，如果，那么，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果A與互斥，那么，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如果A與相互獨(dú)立，那么，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如果A與相互獨(dú)立，那么，，D正確.故選：D5.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，則（）A.若，，則B.若是非零向量，，則是的充要條件C.若，，，則可以作為基底D.若，，兩兩的夾角相等，且，，，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，取，則，，但的方向不能確定，∴不一定成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若是非零向量，，則，則B正確；對(duì)于C，∵，∴共線，∴不可以作為基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)閮蓛傻膴A角相等，所以?shī)A角有兩種情況，當(dāng)夾角為時(shí)，；當(dāng)夾角為時(shí)，．故D錯(cuò)誤.故選：B.6.某小區(qū)從2000戶(hù)居民中隨機(jī)抽取100戶(hù)進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350kW·h之間，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示．則（）A.小區(qū)用電量平均數(shù)為186.5，極差為300B.小區(qū)用電量中位數(shù)為171，眾數(shù)為175C.可以估計(jì)小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)約為262.5D.小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有380戶(hù)〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，極差為300，小區(qū)用電量平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，小區(qū)用電量眾數(shù)為，因?yàn)?，，故小區(qū)用電量中位數(shù)在，設(shè)為，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，故估?jì)小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)在，設(shè)為，則，解得，故C正確；對(duì)于D，樣本中小區(qū)用電量不小于250kW·h頻率為,所以小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有戶(hù)，故D錯(cuò)誤.故選：C．7.已知母線長(zhǎng)為a的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)圓柱，則當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，圓柱的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，設(shè)圓錐底面半徑為，高為，圓柱底面半徑為，高為，則，則，故，所以由，得，所以圓柱的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，圓柱的體積為.故選：B.8.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，則該坐標(biāo)系中和兩點(diǎn)間的距離為（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樵撟鴺?biāo)系中和，所以則，所以=即該坐標(biāo)系中和兩點(diǎn)間的距離為：故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分9.已知復(fù)數(shù)，，則（）A.B.復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是單位圓C.D.復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)的集合是線段〖答案〗BC〖解析〗取，，則，，則，故A錯(cuò)誤；設(shè)復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴，∴，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是單位圓，故B正確；∵，，，∴，故C正確；由得，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.在一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次底面朝下的數(shù)字，記事件“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”；事件“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗依題意，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，所得總的基本事件有，共16件，其中事件A包含的基本事件有，共8件，事件B包含的基本事件有，共8件，事件C包含的基本事件有，共8件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含基本事件有，共4件，所以，，，，故ABD正確；C錯(cuò)誤.故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)滿足〖答案〗BC〖解析〗，由，解得，令，得，故A錯(cuò)誤；由得，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，令，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故C正確；取，則，，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知正方體，點(diǎn)分別處線段、的中點(diǎn)，則（）A.B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.直線與平面的交點(diǎn)是的重心〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，記的中點(diǎn)為，連接，交于，連接，，易得同時(shí)是與的中點(diǎn)，，在正方體中，，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，不妨設(shè)，則在，易得，則是正三角形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，易得，所以與不垂直，則與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，則，又，所以是直線與所成的角（或補(bǔ)角），因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，如圖，由選項(xiàng)B可知平面與平面是同一個(gè)面，在正方體中，平面，而平面，則，在正方形中，易得，又平面，所以平面，又是的中點(diǎn)，所以到平面的距離是到平面的距離的一半，記到平面的距離為，則，而易得，記直線與平面所成的角為，則，故C正確；對(duì)于D，不妨設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，連接，如圖，易得，又，所以三棱錐是正三棱錐，故要證是的重心，只需要證面，即面即可，因?yàn)樵谡襟w中，平面，而平面，則，在正方形中，易得，又平面，所以平面，而平面，故，同理，又平面，所以面，所以直線與平面的交點(diǎn)是的重心，故D正確.故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且，則z等于______．（寫(xiě)出一個(gè)即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設(shè)，，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，，又因?yàn)?，所以，顯然當(dāng)時(shí)，符合題意，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.已知，，當(dāng)向量，的夾角θ等于時(shí)，向量在向量上的投影向量為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗顯然為單位向量，而，向量、的夾角等于，所以向量在向量上的投影向量是.故〖答案〗為：15.如圖，長(zhǎng)方體木塊中，，，E，F(xiàn)，G分別是線段，，DC的中點(diǎn)，平面上存在點(diǎn)P，滿足平面EFG，則點(diǎn)D與滿足題意的點(diǎn)P構(gòu)成的平面截長(zhǎng)方體所得截面的面積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，∵，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面，又平面，，平面，∴平面平面，又平面平面，平面平面，∴，∵E，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，∴，則點(diǎn)在上，∴點(diǎn)D與滿足題意的點(diǎn)P構(gòu)成的平面截長(zhǎng)方體所得截面為，∵，的等腰三角形，邊上的高為，∴．故〖答案〗為：．16.如圖，已知直線，A是直線，之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到，的距離分別為，，B，C分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則面積的最小值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗依題意，當(dāng)點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)垂直于的直線同側(cè)時(shí)，，設(shè)，則，在中，，因此的面積，而，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，當(dāng)與重合時(shí)，，，，當(dāng)與重合時(shí)，，同理，當(dāng)在過(guò)點(diǎn)垂直于的直線兩側(cè)時(shí)，則有，，或，，，所以面積的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．（1）解不等式，；（2）證明：．（1）解：，則，因?yàn)?，則，解得.（2）證明：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，〖解析〗式變?yōu)?，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則，.故原等式成立.18.如圖，兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），為了測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，在兩點(diǎn)的對(duì)岸選定兩點(diǎn)，測(cè)得，并且在兩點(diǎn)分別測(cè)得，，，，（1）求兩點(diǎn)間的距離；（2）設(shè)與相交于點(diǎn)，記與的面積分別為，，求．解：（1）在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，則.（2）在中，，，則，由，得，，所以在中，，，則，在中，，，則，所以.19.如圖，在正三棱柱中，，，點(diǎn)P，Q分別為線段，的中點(diǎn)．（1）證明平面ABC；（2）求多面體的體積．（1）證明：取AB的中點(diǎn)，連接PD，CD，在中，因?yàn)镻，D分別為中點(diǎn)，所以，且，正三棱柱中，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，且，于是，所以四邊形PDCQ為平行四邊形，從而，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，所以平面ABC；（2）解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，因?yàn)锳B＝AC，所以，正三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以，又平面，所以平面，點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離，則多面體的體積.20.某品牌計(jì)算機(jī)售后保修期為1年，根據(jù)大量的維修記錄資料，這種品牌的計(jì)算機(jī)在使用一年內(nèi)維修次數(shù)最多的是3次，其中維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%．（1）若某人購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)這種品牌的計(jì)算機(jī)，求下列事件的概率：A＝“在保修期內(nèi)需要維修”；B＝“在保修期內(nèi)維修不超過(guò)1次”；（2）若某人購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)這種品牌的計(jì)算機(jī)，2臺(tái)計(jì)算機(jī)在保修期內(nèi)是否需要維修互不影響，求這2臺(tái)計(jì)算機(jī)保修期內(nèi)維修次數(shù)總和不超過(guò)2次的概率．解：（1）設(shè)“一年內(nèi)需要維修次”，，事件兩兩互斥，因?yàn)橐荒陜?nèi)需要維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%，所以,，，（2）這2臺(tái)計(jì)算機(jī)保修期內(nèi)維修次數(shù)總和不超過(guò)2次，則兩臺(tái)均未維修或1臺(tái)維修0次另1臺(tái)維修1次，或1臺(tái)維修0次另1臺(tái)維修2次，或2臺(tái)各維修1次，所以，這2臺(tái)計(jì)算機(jī)保修期內(nèi)維修次數(shù)總和不超過(guò)2次的概率為.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為C