北京市延慶區(qū)市級(jí)名校2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析_第1頁(yè)
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北京市延慶區(qū)市級(jí)名校2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最大值為()A. B.4 C.5 D.2.等差數(shù)列an的公差d<0,且a12=a212,則數(shù)列aA.9 B.10 C.10和11 D.11和123.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試,先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為001,002,…,599,600從中抽取60個(gè)樣本,如下提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行:322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列開(kāi)始向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù),則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)為()A.522 B.324 C.535 D.5784.已知某路段最高限速60km/h,電子監(jiān)控測(cè)得連續(xù)6輛汽車的速度用莖葉圖表示如圖所示(單位:km/h),若從中任抽取2輛汽車,則恰好有1輛汽車超速的概率為()A. B. C. D.5.已知為不同的平面,為不同的直線則下列選項(xiàng)正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則6.設(shè)集合,集合為函數(shù)的定義域,則()A. B. C. D.7.若,,,,則等于()A. B. C. D.8.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出的結(jié)果是()A.3 B.11 C.38 D.1239.在中,已知三個(gè)內(nèi)角為,,滿足,則().A. B.C. D.10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1+a3=6,S4=16,則a4=()A.6 B.7 C.8 D.9二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.在中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,,且,則面積的最大值為_(kāi)_____.12.若把寫(xiě)成的形式,則______.13.在數(shù)列中,,則______________.14.已知,則的值為_(kāi)_______.15.過(guò)點(diǎn)作圓的切線,則切線的方程為_(kāi)____.16.已知函數(shù),的最小正周期是___________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.如圖,在四棱柱中,側(cè)棱底面,,,,,且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)設(shè)為棱上的點(diǎn),若直線和平面所成角的正弦值為,求線段的長(zhǎng).18.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,E,F(xiàn)分別為,AC的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求三棱錐的體積.19.己知向量,,設(shè)函數(shù),且的圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的的值;(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,若在有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.中,D是邊BC上的點(diǎn),滿足,,.(1)求;(2)若,求BD的長(zhǎng).21.已知直線的方程為.(1)求直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);(3)為使直線不過(guò)第四象限,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

作出可行域,作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線,平移該直線可得最優(yōu)解.【詳解】作出可行域,如圖內(nèi)部(含邊界),作直線,向上平移直線,增大,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),得最大值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,解題關(guān)鍵是作出可行域和目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線.2、C【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)得到a11=0,再判斷S10【詳解】等差數(shù)列an的公差d<0,且a根據(jù)正負(fù)關(guān)系:S10或S故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),Sn的最大值,將Sn的最大值轉(zhuǎn)化為3、D【解析】

根據(jù)隨機(jī)抽樣的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】第行第列開(kāi)始的數(shù)為(不合適),,(不合適),,,,(不合適),(不合適),,(重復(fù)不合適),則滿足條件的6個(gè)編號(hào)為,,,,,則第6個(gè)編號(hào)為本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)抽樣的應(yīng)用,根據(jù)定義選擇滿足條件的數(shù)據(jù)是解決本題的關(guān)鍵.4、A【解析】

求出基本事件的總數(shù),以及滿足題意的基本事件數(shù)目,即可求解概率.【詳解】解:由題意任抽取2輛汽車,其速度分別為:,共15個(gè)基本事件,其中恰好有1輛汽車超速的有,,共8個(gè)基本事件,則恰好有1輛汽車超速的概率為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法,屬于基本知識(shí)的考查.5、C【解析】

通過(guò)對(duì)ABCD逐一判斷,利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可得到答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),有可能異面,故錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),可能相交或異面,故錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),,顯然故正確;對(duì)于D選項(xiàng),也有可能,故錯(cuò)誤.所以答案選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力,難度不大.6、B【解析】

解不等式化簡(jiǎn)集合的表示,求出函數(shù)的定義域,表示成集合的形式,運(yùn)用集合的并集運(yùn)算法則,結(jié)合數(shù)軸求出.【詳解】因?yàn)椋?又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,所?因此,故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集運(yùn)算,正確求出對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域,運(yùn)用數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出與,然后利用兩角差的余弦公式求出值.【詳解】,,則,,則,所以,,因此,,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和的余弦公式求值,解決這類求值問(wèn)題需要注意以下兩點(diǎn):①利用同角三角平方關(guān)系求值時(shí),要求對(duì)象角的范圍,確定所求值的正負(fù);②利用已知角來(lái)配湊未知角,然后利用合適的公式求解.8、B【解析】試題分析:通過(guò)框圖的要求;將第一次循環(huán)的結(jié)果寫(xiě)出,通過(guò)判斷框;再將第二次循環(huán)的結(jié)果寫(xiě)出,通過(guò)判斷框;輸出結(jié)果.解;經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到a=12+2=3經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到a=32+2=11不滿足判斷框的條件,執(zhí)行輸出11故選B點(diǎn)評(píng):本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)常采用將前幾次循環(huán)的結(jié)果寫(xiě)出找規(guī)律.9、C【解析】

利用正弦定理、余弦定理即可得出.【詳解】由正弦定理,以及,得,不妨取,則,又,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn),由此求得的值.【詳解】依題意,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】

根據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為,即,由余弦定理得,再用基本不等式法求得,根據(jù)面積公式求解.【詳解】根據(jù)正弦定理可轉(zhuǎn)化為,化簡(jiǎn)得由余弦定理得因?yàn)樗裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取所以則面積的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,余弦定理,基本不等式的綜合應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.12、【解析】

將角度化成弧度,再用象限角的表示方法求解即可.【詳解】解:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查弧度與角度的互化,象限角的表示,屬于基礎(chǔ)題.13、20【解析】

首先根據(jù)已知得到:是等差數(shù)列,公差,再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列是等差數(shù)列,公差..故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列項(xiàng)的求法,屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

由題意利用誘導(dǎo)公式求得的值,可得要求式子的值.【詳解】,則,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、或【解析】

求出圓的圓心與半徑分別為:,,分別設(shè)出直線斜率存在與不存在情況下的直線方程,利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可得到答案.【詳解】由圓的一般方程得到圓的圓心和半徑分別為;,;(1)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線斜率不存在時(shí),切線方程為:,此時(shí)圓心到直線的距離,故不與圓相切,不滿足題意;(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為:,即為;由于直線與圓相切,所以圓心到切線的距離等于半徑,即,解得:或,所以切線的方程為或;綜述所述:切線的方程或【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)圓外一點(diǎn)求圓的切線方程,解題關(guān)鍵是設(shè)出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑得到關(guān)系式,屬于中檔題.16、【解析】

先化簡(jiǎn)函數(shù)f(x),再利用三角函數(shù)的周期公式求解.【詳解】由題得,所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查和角的正切和正切函數(shù)的周期的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)【解析】

如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得,又因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn),得.(Ⅰ)證明:依題意,可得為平面的一個(gè)法向量,,由此可得,,又因?yàn)橹本€平面,所以平面(Ⅱ),設(shè)為平面的法向量,則,即,不妨設(shè),可得,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,又,得,不妨設(shè),可得因此有,于是,所以二面角的正弦值為.(Ⅲ)依題意,可設(shè),其中,則,從而,又為平面的一個(gè)法向量,由已知得,整理得,又因?yàn)?,解得,所以線段的長(zhǎng)為.考點(diǎn):直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì),二面角、直線與平面所成的角,空間向量的應(yīng)用.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)可利用線線平行來(lái)證明線面平行(2)可采用等體積法進(jìn)行求解【詳解】證明:(1)如圖,連結(jié)BD;因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BD交AC于F且F為BD中點(diǎn);又因?yàn)镋為中點(diǎn),所以;因?yàn)槠矫?,平面,所以平面;?)三棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明及錐體體積的求解方法,證線面平行一般是通過(guò)證線線平行來(lái)證明,三棱錐的體積常用等體積法轉(zhuǎn)換底面和高進(jìn)行求解.19、(1)最大值為2,此時(shí);最小值為-1,此時(shí).(2)【解析】

(1)根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)公式,列出函數(shù),再根據(jù)函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn),求解函數(shù)解析式,當(dāng)時(shí),解出的范圍,根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì),可求最值;(2)根據(jù)三角函數(shù)平移伸縮變換,寫(xiě)出解析式,畫(huà)出在上的圖象,根據(jù)圖像即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】解:(1)由題意知.根據(jù)的圖象過(guò)點(diǎn)和,得到,解得,.當(dāng)時(shí),,,最大值為2,此時(shí),最小值為-1,此時(shí).(2)將函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位得,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍,縱坐標(biāo)不變,得令,,如圖當(dāng)時(shí),在有兩個(gè)不同的解∴,即.【點(diǎn)睛】本題考查(1)三角函數(shù)最值問(wèn)題(2)三角函數(shù)的平移伸縮變換,考查計(jì)算能力,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中等題型.20、(1)(2)【解析】

(1)由中,D是邊BC上的點(diǎn),根據(jù)面積關(guān)系求得,再結(jié)合正弦定理,即可求解.(2)由,化簡(jiǎn)得到,再結(jié)合,解得,進(jìn)而利用勾股定理求得的長(zhǎng).【詳解】(1)由題意,在中,D是邊BC上的點(diǎn),可得,所以又由正弦定理,可得.(2)由,可得,所以,即,由(1)知,解得,又由,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的正弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用,其中解答中熟記解三角形的正弦定理,以及熟練應(yīng)用三角的面積關(guān)系,列出方程求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬

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