2024屆福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2024屆福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)（其中），對任意實(shí)數(shù)a，在區(qū)間上要使函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，則k值為（）A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或72．三棱錐中，平面且是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．3．設(shè)全集，集合，則（）A． B． C． D．4．若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．設(shè)為等比數(shù)列，給出四個(gè)數(shù)列：①，②，③，④.其中一定為等比數(shù)列的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①②6．給出下面四個(gè)命題：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖是一圓錐的三視圖，正視圖和側(cè)視圖都是頂角為120°的等腰三角形，若過該圓錐頂點(diǎn)S的截面三角形面積的最大值為2，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．48．如果，且，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．已知直線與直線垂直，則（）A． B． C．或 D．或10．設(shè)變量想x、y滿足約束條件為則目標(biāo)函數(shù)的最大值為()A．0 B．-3 C．18 D．21二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________．12．若把寫成的形式，則______.13．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若正項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列_________也是等比數(shù)列.14．在中，角,,所對的邊分別為，，，若的面積為，且,,成等差數(shù)列，則最小值為______．15．函數(shù)，的值域?yàn)開_______16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求.18．已知圓經(jīng)過點(diǎn).（1）若直線與圓相切，求的值；（2）若圓與圓無公共點(diǎn)，求的取值范圍.19．關(guān)于的不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求的值.20．為推動(dòng)文明城市創(chuàng)建，提升城市整體形象，2018年12月30日鹽城市人民政府出臺(tái)了《鹽城市停車管理辦法》，2019年3月1日起施行.這項(xiàng)工作有利于市民養(yǎng)成良好的停車習(xí)慣，幫助他們樹立綠色出行的意識，受到了廣大市民的一致好評.現(xiàn)從某單位隨機(jī)抽取80名職工，統(tǒng)計(jì)了他們一周內(nèi)路邊停車的時(shí)間t（單位：小時(shí)），整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布直方圖如下：（1）從該單位隨機(jī)選取一名職工，試估計(jì)這名職工一周內(nèi)路邊停車的時(shí)間少于8小時(shí)的概率；（2）求頻率分布直方圖中a，b的值.21．已知數(shù)列前n項(xiàng)和，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，不等式對任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)題意先表示出函數(shù)的周期，然后根據(jù)函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，得到周期的范圍，從而得到關(guān)于的不等式，從而得到的范圍，結(jié)合，得到答案.【詳解】函數(shù)，所以可得，因?yàn)樵趨^(qū)間上，函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，所以得即與的圖像在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于等于4，小于等于8，而與的圖像在一個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)，所以，即解得，又因，所以得或者，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)周期性求參數(shù)的值，函數(shù)與方程，屬于中檔題.2、C【解析】根據(jù)已知中底面是邊長為的正三角形，，平面，可得此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球

∵是邊長為的正三角形，∴的外接圓半徑球心到的外接圓圓心的距離故球的半徑故三棱錐外接球的表面積故選C．3、B【解析】

先求出，由此能求出．【詳解】∵全集，集合，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算等基本知識，體現(xiàn)運(yùn)算能力、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．4、A【解析】

根據(jù)條件可求出，，從而可求出，這樣即可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】由題得；，，所以；；又；的夾角為．故選．【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量長度的求法，向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍．5、D【解析】

設(shè)，再利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)逐一分析判斷每一個(gè)選項(xiàng)得解.【詳解】設(shè)，①,,所以數(shù)列是等比數(shù)列；②，，所以數(shù)列是等比數(shù)列；③，不是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列；④，不是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的判定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】①；②；③；④,所以正確的為①②，選B.7、B【解析】

過該圓錐頂點(diǎn)S的截面三角形面積最大是直角三角形，根據(jù)面積為2求出圓錐的母線長，再根據(jù)正視圖求圓錐底面圓的半徑，最后根據(jù)扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積.【詳解】過該圓錐頂點(diǎn)S的截面三角形面積最直角三角形，設(shè)圓錐的母線長和底面圓的半徑分別為，則，即，又，所以圓錐的側(cè)面積；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及圓錐有關(guān)計(jì)算，此題主要難點(diǎn)在于判斷何時(shí)截面三角形面積最大，要結(jié)合三角形的面積公式，當(dāng)，即截面是等腰直角三角時(shí)面積最大.8、D【解析】

由，且，可得．再利用不等式的基本性質(zhì)即可得出，．【詳解】，且，．，，因此．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

由垂直，可得，即可求出的值.【詳解】直線與直線垂直，，解得或.故選D.【點(diǎn)睛】對于直線：和直線：，①；②.10、C【解析】

畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，且最大值為.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫圖可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)即時(shí)等號成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、【解析】

將角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查弧度與角度的互化，象限角的表示，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

利用類比推理分析，若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列．【詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列．故答案為：【點(diǎn)睛】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．14、4【解析】

先根據(jù),,成等差數(shù)列得到，再根據(jù)余弦定理得到滿足的等式關(guān)系，而由面積可得，利用基本不等式可求的最小值.【詳解】因?yàn)?,成等差數(shù)列，，故.由余弦定理可得.由基本不等式可以得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.因?yàn)?，所以，所以即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故填4.【點(diǎn)睛】三角形中與邊有關(guān)的最值問題，可根據(jù)題設(shè)條件找到各邊的等式關(guān)系或角的等量關(guān)系，再根據(jù)邊的關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征選用合適的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把與邊有關(guān)的目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為與角有關(guān)的三角函數(shù)式后再求其最值.15、【解析】

先求的值域,再求的值域即可.【詳解】因?yàn)?故,故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的值域與反三角函數(shù)的值域等,屬于基礎(chǔ)題型.16、1【解析】

由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得，代入已知式子可得．【詳解】由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得：＝，且，∴.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）.【解析】

（I）設(shè)公差為，根據(jù)題意可列關(guān)于的方程組,求解，代入通項(xiàng)公式可得；（II）由（I）可得，進(jìn)而可利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.∴.∴點(diǎn)睛：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和共涉及五個(gè)基本量，知道其中三個(gè)可求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.18、(1)或.(2)【解析】試題分析：由題意可得圓的方程為．（1）由圓心到直線的距離等于半徑可得，解得或，即為所求．（2）由圓與圓無公共點(diǎn)可得兩圓內(nèi)含或外離，根據(jù)圓心距和兩半徑的關(guān)系得到不等式即可得到所求范圍．試題解析：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，所以圓的方程為，即，故圓心為，半徑.（1）因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，整理得，解得或.（2）圓的圓心為，則,由題意可得圓與圓內(nèi)含或外離，所以或，解得或.所以的取值范圍為.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由行列式的運(yùn)算法則，得原不等式即，而不等式的解集為，采用比較系數(shù)法，即可得到實(shí)數(shù)的值；（2）把代入，求得，進(jìn)一步得到，再由兩角差的正切公式即可求解.【詳解】（1）原不等式等價(jià)于，由題意得不等式的解集為，故是方程的兩個(gè)根，代入解得，所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由，得，即.，【點(diǎn)睛】本題考查了行列式的運(yùn)算法則、由一元二次不等式的解集求參數(shù)值、二倍角的正切公式以及兩角差的正切公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2），.【解析】

（1）由頻率分布表即可得解；（2）由頻率分布直方圖中小矩形的高為頻率與組距的比值，觀察頻率分布表的數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】解：（1）記“從該單位隨機(jī)選取一名職工，這名職工該周路邊停車的時(shí)間少于8小時(shí)”為事件A，則；（2）由頻率分布表可得：區(qū)間的頻數(shù)為8，則，區(qū)間的頻數(shù)為12，則.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布表及頻率分布直方圖，屬基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的方程得到.利用，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.為遞增的數(shù)列，當(dāng)時(shí)有最小