第14小題 立體幾何問(wèn)題-2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類與方法點(diǎn)撥（解析版）

第第頁(yè)第14小題立體幾何問(wèn)題TOC\o"1-5"\h\u第14小題立體幾何問(wèn)題 1一、主干知識(shí)歸納與回顧 214.1基本立體圖形 214.2立體圖形的直觀圖 314.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 314.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 414.4.1平面 414.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 414.5空間直線、平面的平行 514.5.1直線與直線平行 514.5.2直線與平面平行 514.5.3平面與平面平行 514.6空間直線、平面的垂直 514.6.1直線與直線垂直 514.6.3平面與平面垂直 6（一）命題角度剖析 7（二）考情分析 8（三）高考預(yù)測(cè) 8二、題型分類與預(yù)測(cè) 8命題點(diǎn)一：幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積 81.1母題精析（三年高考真題） 8一．棱柱的結(jié)構(gòu)特征（共2小題） 8二．棱錐的結(jié)構(gòu)特征（共1小題） 10三．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）（共6小題） 12四．球內(nèi)接多面體（共1小題） 14五．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共2小題） 15六．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共16小題） 16七．球的體積和表面積（共4小題） 33八．簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖（共1小題） 35九．由三視圖求面積、體積（共6小題） 361.2解題模型 411.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?42一．棱柱的結(jié)構(gòu)特征（共3小題） 42二．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）（共6小題） 45三．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共2小題） 50四．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共13小題） 51五．球的體積和表面積（共12小題） 65命題點(diǎn)二：空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 801.1母題精析（三年高考真題） 80一．異面直線及其所成的角（共5小題） 80二．異面直線的判定（共1小題） 83三．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系（共3小題） 84四．直線與平面垂直（共2小題） 87五．平面與平面垂直（共1小題） 901.2解題模型 911.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?92一．平面的基本性質(zhì)及推論（共2小題） 92二．異面直線及其所成的角（共5小題） 94三．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系（共2小題） 100四．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系（共3小題） 101五．直線與平面平行（共2小題） 104六．平面與平面垂直（共1小題） 106三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）： 109一．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）（共2小題） 109二．球內(nèi)接多面體（共1小題） 110三．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共3小題） 110四．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共20小題） 113五．球的體積和表面積（共13小題） 137六．由三視圖求面積、體積（共1小題） 151七．平面的基本性質(zhì)及推論（共2小題） 151八．異面直線及其所成的角（共2小題） 153九．直線與平面平行（共1小題） 155一十．平面與平面平行（共1小題） 156一十一．平面與平面垂直（共1小題） 157一、主干知識(shí)歸納與回顧14.1基本立體圖形空間幾何體的結(jié)構(gòu)：⑴常見(jiàn)的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球.⑵棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體.（3）棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫棱錐.正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐.（4）棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺(tái).（5）圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓柱.軸：旋轉(zhuǎn)軸叫圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫圓柱的底面.側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫圓柱的側(cè)面.母線：平行于軸的邊都叫圓柱側(cè)面的母線.（6）圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓錐.（7）圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)，（8）球：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫球的球心.連結(jié)球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫球的半徑.連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑.14.2立體圖形的直觀圖斜二測(cè)畫法：(1)

建立平面直角坐標(biāo)系:

在已知平面圖形中取互相垂直的軸和軸,兩軸相交于點(diǎn).

(2)

畫出斜坐標(biāo)系:

在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對(duì)應(yīng)的軸和軸,

兩軸相交于點(diǎn)，且使，它們確定的平面表示水平面.

(3)

畫對(duì)應(yīng)圖形:

在已知圖形平行于軸的線段,

在直觀圖中畫成平行于軸，長(zhǎng)度保持不變.

在已知圖形平行于軸的線段,

在直觀圖中畫成平行于軸,

且長(zhǎng)度為原來(lái)一半.

14.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（1）圓柱側(cè)面積；（是底面圓半徑，是母線長(zhǎng)）（2）圓錐側(cè)面積：（是底面圓半徑，是母線長(zhǎng)）（3）體積公式：；；（4）球的表面積和體積：.14.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系14.4.1平面1.三個(gè)事實(shí)：基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.（即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面）基本事實(shí)2：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.2.三個(gè)推論：推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.14.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.空間中直線和直線的位置關(guān)系異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.2.空間中直線和平面的位置關(guān)系3.空間中平面和平面的位置關(guān)系14.5空間直線、平面的平行14.5.1直線與直線平行1.基本事實(shí)4：平行與同一條直線的兩條直線平行.2.定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).14.5.2直線與平面平行1.線面平行判定定理（線線平行線面平行）：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.2.線面平行性質(zhì)定理（線面平行線線平行）：一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.14.5.3平面與平面平行1.面面平行判定定理1（線面平行面面平行）：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.2.面面平行判定定理2（線線平行面面平行）：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行，那么這兩個(gè)平面平行.3.面面平行性質(zhì)定理（面面平行線線平行）：兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.4.面面平行的定義推論（面面平行線面平行）：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面平行.14.6空間直線、平面的垂直14.6.1直線與直線垂直1.異面直線所成的角定義：已知兩異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線，我們把直線所成的角叫做異面直線所成的角.空間兩條直線所成角的取值范圍是.2.兩條異面直線互相垂直的定義：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.

14.6.2直線與平面垂直1.直線與平面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線與平面互相垂直.2.線面垂直定義的推論（線面垂直線線垂直）：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線.3.點(diǎn)到平面的距離的定義：過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段.垂線段的長(zhǎng)度叫這個(gè)點(diǎn)到平面的距離.4.線面垂直判定定理（線線垂直線面垂直）：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.5.線面垂直性質(zhì)定理：（1）垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.（2）如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于該平面.6.直線和平面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.直線和平面所成的角范圍是.7.直線到平面的距離的定義：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到平面的距離.8.兩個(gè)平行平面間的距離的定義：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，把它叫做兩個(gè)平行平面間的距離.14.6.3平面與平面垂直二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫二面角的面.記作：例如二面角或二面角或二面角.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.二面角的范圍是.3．兩個(gè)平面互相垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.4.面面垂直判定定理（線面垂直面面垂直）：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.5.面面垂直性質(zhì)定理（面面垂直線面垂直）：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直（一）命題角度剖析1.幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積★★★★☆2.空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系★★★★☆（二）考情分析高考頻率：100%試題難度：中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題呈現(xiàn)（三）高考預(yù)測(cè)常以柱、錐、臺(tái)為載體考查空間幾何中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷，以及幾何體的表面積、體積的計(jì)算，同時(shí)也考查與球有關(guān)的切、接問(wèn)題。二、題型分類與預(yù)測(cè)命題點(diǎn)一：幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積1.1母題精析（三年高考真題）一．棱柱的結(jié)構(gòu)特征（共2小題）1．（2023?甲卷）在正方體中，，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是，．【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長(zhǎng)為4的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最?。窘獯稹拷猓涸O(shè)球的半徑為，當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒(méi)有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，即，，故，分別取側(cè)枝，，，的中點(diǎn)，，，，則四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑最小，即的最小值為，綜上，球的半徑的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、四邊形的外接圓、球的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．2．（2023?甲卷）在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則以為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12．【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可知球心到各棱距離相等，由此能求出結(jié)果．【解答】解：在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，，側(cè)面的中心為，連接，，，，，如圖，由題意得為球心，在正方體中，，，則球心到的距離為，球與棱相切，球面與棱只有一個(gè)交點(diǎn)，同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性可知，其余各棱和球面也只有一個(gè)交點(diǎn)，以為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的對(duì)稱性、球心到各棱距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二．棱錐的結(jié)構(gòu)特征（共1小題）3．（2023?甲卷）在四棱錐中，底面為正方形，，，，則的面積為A． B． C． D．【分析】解法一：先根據(jù)對(duì)稱性易知，再根據(jù)余弦定理求出，然后用余弦定理求的一個(gè)角的余弦值，從而得該角的正弦值，最后代入三角形面積公式，即可得解．解法二：設(shè)在底面的射影為，連接，設(shè)，，且，則，或，易知，又，再根據(jù)最小角定理及三角形面積公式，即可求解．【解答】解：解法一：四棱錐中，底面為正方形，又，，根據(jù)對(duì)稱性易知，又底面正方形得邊長(zhǎng)為4，，在中，根據(jù)余弦定理可得：，又，，在中，由余弦定理可得：，，的面積為．解法二：如圖，設(shè)在底面的射影為，連接，設(shè)，，且，則，或，易知，又，則根據(jù)最小角定理（三余弦定理）可得：，或，或，或，或，又，，，，，，再根據(jù)最小角定理可得：，，又，，的面積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形面積的求解，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，最小角定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．三．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）（共6小題）4．（2022?全國(guó)）底面積為，側(cè)面積為的圓錐的體積是A． B． C． D．【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由已知列式求得與，再由勾股定理求圓錐的高，然后代入圓錐體積公式求解．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由題意可得，解得，，圓錐的高．圓錐的體積是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（2021?新高考Ⅰ）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為A．2 B． C．4 D．【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，利用圓錐底面周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的弧長(zhǎng)，圓錐的母線長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【解答】解：由題意，設(shè)母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐底面周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的弧長(zhǎng)，圓錐的母線長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的半徑，則有，解得，所以該圓錐的母線長(zhǎng)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐底面周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的弧長(zhǎng)，圓錐的母線長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的半徑，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力和空間思維能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021?天津）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為A． B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，由球的體積求出球的半徑，再由直角三角形中的射影定理求得截面圓的半徑，代入圓錐體積公式得答案．【解答】解：如圖，設(shè)球的半徑為，由題意，，可得，則球的直徑為4，兩個(gè)圓錐的高之比為，，，由直角三角形中的射影定理可得：，即．這兩個(gè)圓錐的體積之和為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球內(nèi)接圓錐體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．7．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為．．【分析】由底面積為解出底面半徑，再代入側(cè)面積公式求解即可．【解答】解：因?yàn)閳A柱的底面積為，即，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．8．（2021?甲卷）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為，則該圓錐的側(cè)面積為．【分析】由題意，設(shè)圓錐的高為，根據(jù)圓錐的底面半徑為6，其體積為求出，再求得母線的長(zhǎng)度，然后確定圓錐的側(cè)面積即可．【解答】解：由圓錐的底面半徑為6，其體積為，設(shè)圓錐的高為，則，解得，所以圓錐的母線長(zhǎng)，所以圓錐的側(cè)面積．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和圓錐的體積公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020?浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：是．【分析】利用圓錐的側(cè)面積，求出母線長(zhǎng)，求解底面圓的周長(zhǎng)，然后求解底面半徑．【解答】解：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，面積為，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，，側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑，則，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的母線長(zhǎng)的求法，注意利用圓錐的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)．四．球內(nèi)接多面體（共1小題）10．（2020?山東）已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為．【分析】畫出直觀圖，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，通過(guò)．求出的軌跡方程，然后求解以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)．【解答】解：由題意直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，．可知：，上下底面是菱形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為半徑的球面上的點(diǎn)，過(guò)作垂直的垂線，為垂足，則．由題意可知．可得：．即，所以在側(cè)面的軌跡是以的中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓?。詾榍蛐?，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，球與幾何體相交的交線的問(wèn)題，難度比較大．五．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共2小題）11．（2022?北京）已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為A． B． C． D．【分析】設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的投影為點(diǎn)，連接，根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，并由勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而知表示的區(qū)域是以為圓心，1為半徑的圓．【解答】解：設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的投影為點(diǎn)，連接，則，所以，由，知表示的區(qū)域是以為圓心，1為半徑的圓，所以其面積．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，考查空間立體感和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面三角形底邊上的高為，則依題意有：，因此有（負(fù)值舍去）；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱錐的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．六．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共16小題）13．（2023?天津）在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為A． B． C． D．【分析】設(shè)到平面的距離，到平面的距離，則，，然后結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解．【解答】解：在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，所以，設(shè)到平面的距離，到平面的距離，則，則三棱錐的體積為．故三棱錐和三棱錐的體積之比為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三棱錐體積的求解，換頂點(diǎn)的應(yīng)用是求解問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14．（2023?乙卷）已知圓錐的底面半徑為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為，即，取的中點(diǎn)，連接，利用余弦定理求出的長(zhǎng)，分析可得，由三角形面積公式求出的長(zhǎng)，由此求出的值，由圓錐的體積計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為，即，取的中點(diǎn)，連接、，由于圓錐的底面半徑為，即，而，故，同時(shí)，中，，為的中點(diǎn)，則有，又由的面積等于，即，變形可得，而，則有，解可得，故該圓錐的體積．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的體積計(jì)算，注意圓錐的體積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．15．（2023?全國(guó)）長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為1，表面積為1，有一面為正方形，則其體積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合長(zhǎng)方體表面積、體積公式，即可求解．【解答】解：不妨設(shè)長(zhǎng)方體底面為正方形，邊長(zhǎng)為，高為，則底面的對(duì)角線為，長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為1，表面積為1，，解得，長(zhǎng)方體體積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查長(zhǎng)方體表面積、體積公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為．將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為A． B． C． D．【分析】先統(tǒng)一單位，再根據(jù)題意結(jié)合棱臺(tái)的體積公式求解即可．【解答】解：，，根據(jù)題意，增加的水量約為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題以實(shí)際問(wèn)題為載體考查棱臺(tái)的體積公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．17．（2022?乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為A． B． C． D．【分析】由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，由勾股定理可知該四棱錐的高，所以該四棱錐的體積，再利用基本不等式即可求出的最大值，以及此時(shí)的值，進(jìn)而求出的值．【解答】解：對(duì)于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，，當(dāng)且僅當(dāng)，為圓的直徑，且時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)四邊形為正方形，當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，該四棱錐的高，該四棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，該四棱錐的體積最大時(shí)，其高，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則A． B． C． D．【分析】設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，則可求得，，，進(jìn)而求得體積之比．【解答】解：如圖，甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，則，，解得，，由勾股定理可得，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【分析】畫出圖形，由題意可知求出球的半徑，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，由勾股定理可得，又，所以，由的取值范圍求出的取值范圍，又因?yàn)?，所以該正四棱錐體積，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的取值范圍．【解答】解：如圖所示，正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接與交于點(diǎn)，連接，則球心在直線上，連接，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，在中，，即，球的體積為，球的半徑，在中，，即，，，，又，，該正四棱錐體積，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，（4），又，，且，，即該正四棱錐體積的取值范圍是，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正四棱錐的外接球問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．20．（2021?甲卷）已知，，是半徑為1的球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，則三棱錐的體積為A． B． C． D．【分析】先確定所在的截面圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，然后在和中，利用勾股定理求出，再利用錐體的體積公式求解即可．【解答】解：因?yàn)?，，所以底面為等腰直角三角形，所以所在的截面圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，所以平面，在中，，則，在中，，故三棱錐的體積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了錐體外接球和錐體體積公式，解題的關(guān)鍵是確定所在圓的圓心的位置，考查了邏輯推理能力、化簡(jiǎn)運(yùn)算能力、空間想象能力，屬于中檔題．21．（2021?新高考Ⅱ）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為A． B． C． D．【分析】法一：過(guò)作，得，．連接，，過(guò)作，求出，從而，由此能求出正四棱臺(tái)的體積．法二：由四棱臺(tái)的幾何特征算出幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式能求出結(jié)果．【解答】解法一：如圖為正四棱臺(tái)，，，．在等腰梯形中，過(guò)作，可得，．連接，，，，過(guò)作，，，正四棱臺(tái)的體積為：．解法二：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，該四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，則該棱臺(tái)的體積為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四棱臺(tái)的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，是中檔題．22．（2023?新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有A．直徑為的球體 B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體 C．底面直徑為，高為的圓柱體 D．底面直徑為，高為的圓柱體【分析】對(duì)于，由正方體的內(nèi)切球直徑大于0.99可判斷；對(duì)于，由正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱長(zhǎng)大于1.4可判斷；對(duì)于，由正方體的體對(duì)角線小于1.8可判斷；對(duì)于，取，，，，，都為棱中點(diǎn)，則六邊形為正六邊形，由正六邊形的內(nèi)切圓直徑大于1.2可判斷．【解答】解：對(duì)于，棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)切球的直徑為，選項(xiàng)正確；對(duì)于，如圖，正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱長(zhǎng)為，選項(xiàng)正確；對(duì)于，棱長(zhǎng)為1的正方體的體對(duì)角線為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，（法一）如圖，六邊形為正六邊形，，，，，，為棱的中點(diǎn)，高為0.01米可忽略不計(jì)，看作直徑為1.2米的平面圓，六邊形棱長(zhǎng)為米，，所以米，故六邊形內(nèi)切圓直徑為米，而，選項(xiàng)正確．（法二）因?yàn)椋芍酌嬲叫尾荒馨瑘A柱的底面圓，如圖，過(guò)的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為的圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心為，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知，，，則，即，解得，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故熏香正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的體積，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．23．（2022?新高考Ⅱ）如圖，四邊形為正方形，平面，，．記三棱錐，，的體積分別為，，，則A． B． C． D．【分析】利用直接法與等體積法直接計(jì)算各三棱錐的體積，進(jìn)而可得、、之間的關(guān)系．【解答】解：設(shè)，，，如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接、，則，，，故，，故、正確，、錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的體積，熟練掌握棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．24．（2021?新高考Ⅰ）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，，，則A．當(dāng)時(shí)，△的周長(zhǎng)為定值 B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值 C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得 D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【分析】判斷當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，分別計(jì)算點(diǎn)為兩個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)的周長(zhǎng)，即可判斷選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，利用線面平行的性質(zhì)以及錐體的體積公式，即可判斷選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，取線段，的中點(diǎn)分別為，，連結(jié)，則點(diǎn)在線段上，分別取點(diǎn)在，處，得到均滿足，即可判斷選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則點(diǎn)在線的上，證明當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，平面，利用過(guò)定點(diǎn)與定直線垂直的平面有且只有一個(gè)，即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，所以，故點(diǎn)在線段上，此時(shí)△的周長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，△的周長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，△的周長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)不為定值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，所以，故點(diǎn)在線段上，因?yàn)槠矫?，所以直線上的點(diǎn)到平面的距離相等，又△的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，取線段，的中點(diǎn)分別為，，連結(jié)，因?yàn)?，即，所以，則點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，，，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，當(dāng)點(diǎn)在處，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，則點(diǎn)在線的上，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槠矫?，又平面，所以，在正方形中，，又，，平面，故平面，又平面，所以，在正方體形中，，又，，平面，所以平面，因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)與定直線垂直的平面有且只有一個(gè)，故有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡，線面平行與線面垂直的判定，錐體的體積問(wèn)題等，綜合性強(qiáng)，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于難題．25．（2023?新高考Ⅱ）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為28．【分析】根據(jù)題意易知△，從而可求出臺(tái)體的高，再根據(jù)臺(tái)體的體積公式，計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖所示，根據(jù)題意易知△，，又，，，又上下底面正方形邊長(zhǎng)分別為2，4，所得棱臺(tái)的體積為．故答案為：28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查臺(tái)體的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬基礎(chǔ)題．26．（2023?新高考Ⅰ）在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為．【分析】先根據(jù)題意求出四棱臺(tái)的高，再代入臺(tái)體的體積公式即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)正四棱臺(tái)的上下底面中心分別為，，過(guò)作，垂足點(diǎn)為，由題意易知，又，，又，，該四棱臺(tái)的體積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查臺(tái)體的體積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．27．（2020?海南）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別為、的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為．【分析】由題意畫出圖形，再由等體積法求三棱錐的體積．【解答】解：如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別為、的中點(diǎn)，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用等體積法求多面體的體積，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．28．（2020?江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為，高為，內(nèi)孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是．【分析】通過(guò)棱柱的體積減去圓柱的體積，即可推出結(jié)果．【解答】解：六棱柱的體積為：，圓柱的體積為：，所以此六角螺帽毛坯的體積是：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查柱體體積公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基本知識(shí)的考查．七．球的體積和表面積（共4小題）29．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圓的半徑，作出軸截面圖，根據(jù)幾何知識(shí)可求得球的半徑，進(jìn)而得到其表面積．【解答】解：當(dāng)球心在臺(tái)體外時(shí)，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為，下底面所在平面截球所得圓的半徑為，如圖，設(shè)球的半徑為，則軸截面中由幾何知識(shí)可得，解得，該球的表面積為．當(dāng)球心在臺(tái)體內(nèi)時(shí)，如圖，此時(shí)，無(wú)解．綜上，該球的表面積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積求解，同時(shí)還涉及了正弦定理的運(yùn)用，考查了運(yùn)算求解能力，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于較難題目．30．（2021?新高考Ⅱ）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為，半徑為的球，其上點(diǎn)的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積（單位：，則占地球表面積的百分比約為A． B． C． D．【分析】由題意，地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，求解，根據(jù)衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積可得占地球表面積的百分比．【解答】解：由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，則，那么；衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積，那么，占地球表面積的百分比為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)題目的閱讀能力和理解能力，屬于基礎(chǔ)題．31．（2020?天津）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【分析】正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出半徑后，即可求出球的表面積．【解答】解：由題意，正方體的對(duì)角線就是球的直徑，所以，所以，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，考查學(xué)生空間想象能力，球的內(nèi)接體問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．32．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知，，為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為的外接圓．若的面積為，，則球的表面積為A． B． C． D．【分析】畫出圖形，利用已知條件求出，然后求解球的半徑，即可求解球的表面積．【解答】解：由題意可知圖形如圖：的面積為，可得，則，，，外接球的半徑為：，球的表面積：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，球的表面積的求法，求解球的半徑是解題的關(guān)鍵．八．簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖（共1小題）33．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A． B． C． D．【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進(jìn)一步求出圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．【解答】解：根據(jù)三視圖和幾何體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在側(cè)視圖中與點(diǎn)對(duì)應(yīng)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換、主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．九．由三視圖求面積、體積（共6小題）34．（2023?乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該零件的表面積為A．24 B．26 C．28 D．30【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的表面積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體是由兩個(gè)直四棱柱組成的幾何體．如圖所示：故該幾何體的表面積為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力及空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．35．（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是A． B． C． D．【分析】判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可．【解答】解：由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺(tái)，所以幾何體的體積為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，是中檔題．36．（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是A． B．3 C． D．【分析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為直四棱柱，底面四邊形為等腰梯形，由已知三視圖求得對(duì)應(yīng)的量，再由棱柱體積公式求解．【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為直四棱柱，底面四邊形為等腰梯形，其中，由三視圖可知，延長(zhǎng)與相交于一點(diǎn)，且，且，，，等腰梯形的高為，則該幾何體的體積．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．37．（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為A． B． C． D．【分析】由三視圖還原原幾何體，其中底面，，，再由三角形面積公式求解．【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，底面，，，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該四面體的表面積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．38．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是A． B． C． D．【分析】先由三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表面積公式計(jì)算即可．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖是正方體的一個(gè)角，如圖：，、、兩兩垂直，故，幾何體的表面積為：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體的表面積的求法，幾何體的三視圖與直觀圖的應(yīng)用，考查空間想象能力，計(jì)算能力．39．（2020?浙江）某幾何體的三視圖（單位：如圖所示，則該幾何體的體積（單位：是A． B． C．3 D．6【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．【解答】解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖，下部是直三棱柱，底面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，棱錐的高為2，上部是一個(gè)三棱錐，一個(gè)側(cè)面與底面等腰直角三角形垂直，棱錐的高為1，所以幾何體的體積為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．1.2解題模型1.求幾何體的表面積的策略已知具體的幾何體求表面積時(shí)，若幾何體為規(guī)則幾何體，直接利用相關(guān)的表面積公式求解，或?qū)⒍嗝骟w的表面積通過(guò)“裁”“展”分解為若干個(gè)平面圖形的面積之和；求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，應(yīng)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的形成特征(或者自身特征)確定底面半徑、母線長(zhǎng)、側(cè)面展開(kāi)圖的形狀與邊長(zhǎng)，利用公式求解.若幾何體為不規(guī)則幾何體，通常將所給幾何體通過(guò)“割”或“補(bǔ)”轉(zhuǎn)化成常規(guī)的柱、錐、臺(tái)，先求這些柱、錐、臺(tái)的表面積，再通過(guò)求和或作差求得原幾何體的表面積.2.求幾何體的體積的常用方法公式法：規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法：通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積3.求組合體的表面積和體積的策略求組合體的表面積時(shí)，首先應(yīng)弄清它是由哪幾種簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求組合體的體積時(shí)也要先弄清它是由哪幾種簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，再求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，最后相加或相減.4.幾何體的內(nèi)切球與外接球問(wèn)題(1)常用結(jié)論①球(半徑為R)與正方體(棱長(zhǎng)為a)的位置關(guān)系有以下三種特殊情況：一是球內(nèi)切于正方體，此時(shí)2R=a;二是球與正方體的十二條棱相切，此時(shí)2R=a;三是球外接于正方體，此時(shí)2R=a.②長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球(半徑為R)的直徑，即③棱長(zhǎng)為a的正四面體，斜高為,高為，外接球的半徑為,內(nèi)切球的半徑為(2)內(nèi)切球與外接球半徑的求解思路①求一個(gè)棱錐內(nèi)切球的半徑，可以根據(jù)球心到各個(gè)面的距離相等以及棱錐的體積列式得出.也可以考慮將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體后，求得內(nèi)切球與外接球的半徑.②求一個(gè)幾何體的外接球的半徑，可以結(jié)合球心到各個(gè)定點(diǎn)的距離相等列式得出.1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹┮唬庵慕Y(jié)構(gòu)特征（共3小題）1．（2022?莆田模擬）莆田媽祖城有一鐘樓，其頂部可視為正四棱柱與正四棱錐的組合體，如圖，四個(gè)大鐘分布在正四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針成角的次數(shù)是A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)及在0、3、6、9等整點(diǎn)情況下相鄰時(shí)針之間夾角的變化趨勢(shì)，即可判斷0點(diǎn)至12點(diǎn)之間時(shí)針成角的次數(shù)．【解答】解：由題設(shè)，在0、6點(diǎn)時(shí)相鄰鐘面上的時(shí)針都平行，即夾角為0度；在3點(diǎn)時(shí)相鄰針面上的時(shí)針垂直，即夾角為90度，所以相鄰鐘面上的時(shí)針，在、、、點(diǎn)之間各有一次成角的情況，故共有4次成角．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．2．（2022?南平模擬）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在正方體中，當(dāng)分別與，，，重合時(shí)，所形成的四面體中鱉孺共有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】當(dāng)與，重合時(shí)，由為等邊三角形即可判斷四面體不是鱉臑；當(dāng)與，重合時(shí)，證明四個(gè)面均為直角三角形即可．【解答】解：如圖，當(dāng)與重合時(shí)，由題意得，是等邊三角形，此時(shí)四面體不是鱉臑；當(dāng)與重合時(shí)，由題意得、是直角三角形，又面，面，，是直角三角形，同理是直角三角形，此時(shí)四面體是鱉臑；當(dāng)與重合時(shí)，由題意得，是等邊三角形，此時(shí)四面體不是鱉臑；當(dāng)與重合時(shí)，由題意得，為直角三角形，又面，面，，是直角三角形，同理是直角三角形，此時(shí)四面體是鱉臑．綜上，當(dāng)分別與，，，重合時(shí)，所形成的四面體中鱉孺共有2個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四面體是否為鱉孺的判斷，考查鱉孺定義、線面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．3．（2023?莆田模擬）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．若，集合，則表示的區(qū)域可以是A． B． C． D．【分析】設(shè)的中心為點(diǎn)，連接，，根據(jù)已知條件求出正四面體的高，進(jìn)而得到，所以點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓以及內(nèi)部，且在及其內(nèi)部，再根據(jù)與的內(nèi)切圓半徑的大小關(guān)系，以及與的外接圓半徑的大小關(guān)系，判斷表示的區(qū)域即可．【解答】解：設(shè)的中心為點(diǎn)，連接，，如圖所示：三棱錐為正四面體，平面，的棱長(zhǎng)為，，在中，，，，點(diǎn)在及其內(nèi)部，連接，，則，，點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓以及內(nèi)部，且在及其內(nèi)部，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，當(dāng)時(shí)，表示的區(qū)域可以是選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，表示的區(qū)域可以是選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，表示的區(qū)域可以是選項(xiàng)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正四面體的結(jié)構(gòu)特征，考查了以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題．二．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）（共6小題）4．（2023?泉州模擬）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，是圓的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若側(cè)面展開(kāi)圖中，為直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意分析可得，則側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，進(jìn)而可求側(cè)面積．【解答】解：因?yàn)椋覟橹苯侨切?，則，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得為等邊三角形，即，則側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，所以該圓錐的側(cè)面積．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐的側(cè)面積，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?三明三模）某社會(huì)實(shí)踐小組需要對(duì)一個(gè)實(shí)心圓錐形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑為，高為，加工方法為挖掉一個(gè)與該圓錐形工件同底面共圓心的內(nèi)接圓柱，若要求加工后工件的質(zhì)量最輕，則圓柱的半徑應(yīng)設(shè)計(jì)為A． B． C． D．【分析】設(shè)挖去的圓柱的底面半徑為，高為，根據(jù)幾何關(guān)系可得出，其中，求出挖去的圓柱的體積關(guān)于的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)挖去的圓柱的底面半徑為，高為，取圓錐的軸截面，如圖，設(shè)圓柱的截軸截面為矩形，底面圓圓心為，連接，交于點(diǎn)，，則，即，解得，其中，圓柱的體積為，其中，，令，可得，列表如下：，0極大值函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)加工后的幾何體體積取最小值．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱表面積公式、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（2023?廈門模擬）已知圓臺(tái)上下底面的半徑分別為1和2，母線長(zhǎng)為3，則圓臺(tái)的體積為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)勾股定理求解圓臺(tái)的高，再根據(jù)臺(tái)體的體積公式求解即可．【解答】解：畫出圖形，如圖所示：由圖可得，圓臺(tái)的高為，故圓臺(tái)的體積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，考查了臺(tái)體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022?廈門模擬）一個(gè)斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為A． B． C． D．【分析】形成的幾何體是底面半徑為1，高為1的圓錐，由此能求出幾何體的體積．【解答】解：一個(gè)斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，它繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是底面半徑為1，高為1的圓錐，幾何體的體積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（2023?福州模擬）已知圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．【分析】由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，求得圓臺(tái)的高，然后利用圓臺(tái)的側(cè)面積公式即可求得其側(cè)面積．【解答】解：圓臺(tái)的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，設(shè)球的球心為，圓臺(tái)上底面的圓心為，則圓臺(tái)的高，測(cè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，據(jù)此可得圓臺(tái)的側(cè)面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓臺(tái)的體積公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．9．（2023?南平模擬）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，其意思可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖，陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形，將此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為．【分析】根據(jù)題意知截面是一個(gè)圓環(huán)，求出圓環(huán)的內(nèi)徑和外徑，計(jì)算截面圖形的面積，利用祖晅原理，計(jì)算該旋轉(zhuǎn)體的體積是與底面積相等，高為的圓柱體積相等，由此求出旋轉(zhuǎn)體的體積．【解答】解：雙曲線的漸近線為，作直線，與漸近線交于點(diǎn)，，，，與雙曲線交于點(diǎn)，，，，如圖所示：則此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到旋轉(zhuǎn)體的截面是圓環(huán)，其內(nèi)徑為，外徑為，所以截面面積為；同理可得，作直線，也可得截面面積為．根據(jù)祖晅原理，該旋轉(zhuǎn)體的體積與底面積為，高為的圓柱體積相等，所以求出圓柱體的體積為，可得這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了幾何體的表面積與體積計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．三．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共2小題）10．（2023?漳州模擬）已知某圓錐的底面半徑為1，高為，則它的側(cè)面積與底面積之比為A． B．1 C．2 D．4【分析】計(jì)算圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面積為，得到答案．【解答】解：圓錐的側(cè)面積為：，圓錐的底面積為：，所以側(cè)面積與底面積之比為2．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積和底面積公式，屬于基礎(chǔ)題．11．（2022?泉州模擬）已知圓錐的底面半徑為1，若其底面上存在兩點(diǎn)，，使得，則該圓錐側(cè)面積的最大值為A． B． C． D．【分析】判斷圓錐的母線的范圍，即可求解圓錐側(cè)面積的最大值．【解答】解：因?yàn)閳A錐的軸截面是等腰三角形，其底面上存在兩點(diǎn)，，使得，可知母線，所以圓錐的側(cè)面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)圓錐的軸截面是等腰直角三角形時(shí)，側(cè)面積取得最大值．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的側(cè)面積的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．四．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共13小題）12．（2023?寧德模擬）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家很早就對(duì)空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式．例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解．如圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體；、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)四棱錐．若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12，四個(gè)四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺(tái)的體積為A．24 B．28 C．32 D．36【分析】根據(jù)給定條件，利用四棱錐、三棱柱的體積公式結(jié)合給定數(shù)據(jù)建立關(guān)系式，求出長(zhǎng)方體的體積作答．【解答】解：如圖，令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，三棱柱的高為，依題意，四棱錐的體積，即，所以三棱柱的體積，即有，因此，于是長(zhǎng)方體的體積，所以該正四棱臺(tái)的體積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱臺(tái)的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．13．（2023?南平模擬）2023年3月11日，“探索一號(hào)”科考船搭載著“奮斗者”號(hào)載人潛水器圓滿完成國(guó)際首次環(huán)大洋洲載人深潛科考任務(wù)，順利返回三亞．本次航行有兩個(gè)突出的成就，一是到達(dá)了東南印度洋的蒂阿曼蒂那深淵，二是到達(dá)了瓦萊比熱恩斯深淵，并且在這兩個(gè)海底深淵都進(jìn)行了勘探和采集．如圖1是“奮斗者”號(hào)模型圖，其球艙可以抽象為圓錐和圓柱的組合體，其軸截面如圖2所示，則該模型球艙體積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的體積公式分別進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由軸截面得圓錐的底面半徑，圓錐的高為，圓柱的高為，則圓柱的體積，圓錐的體積，則模型球艙體積為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體的體積的計(jì)算，利用圓錐和圓柱的體積公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．14．（2020?福建模擬）某學(xué)生到工廠實(shí)踐，欲將一個(gè)底面半徑為2，高為3的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi)，若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件求出圓柱的體積，利用基本不等式研究函數(shù)的最值即可．【解答】解：設(shè)圓柱的半徑為，高為，體積為，則由題意可得，，圓柱的體積為，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．圓柱的最大體積為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式在生活中的優(yōu)化問(wèn)題，利用條件建立體積函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．15．（2023?泉州模擬）已知矩形中，，，將沿折起至△，當(dāng)與所成角最大時(shí)，三棱錐的體積等于A． B． C． D．【分析】先判斷當(dāng)與所成角最大時(shí)，，進(jìn)而證得面，再證得是直角三角形，故可由求得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)楫惷嬷本€最大角為直角，故當(dāng)時(shí)，與所成角最大，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，又，，、面，故面，又因?yàn)槊?，所以，在△中，，，所以，又，所以，故，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的計(jì)算，屬中檔題．16．（2022?莆田模擬）甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離鍵長(zhǎng)）相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離鍵長(zhǎng)）均相等，任意兩個(gè)鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為A． B． C． D．【分析】由已知求解三角形可得正四面體的棱長(zhǎng)，再求出四面體底面外接圓的半徑，利用勾股定理求出正四面體的高，再由棱錐體積公式求解．【解答】解：設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該四面體的棱長(zhǎng)均為，該四面體底面外接圓的半徑，高．故該四面體的體積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．17．（2023?福州模擬）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則A．線段長(zhǎng)度的最小值為2 B．三棱錐的體積為定值 C．平面截正方體所得截面為梯形 D．直線與所成角的大小可能為【分析】利用正方體中的性質(zhì)，易得，可求的最小值判斷；利用平面，可得三棱錐的體積為定值判斷；，但，可判斷；，可得是直線與所成的角，由．可判斷．【解答】解：在正方體中，平面，又平面，，，，，故錯(cuò)誤；平面，點(diǎn)到平面的距離為定值，又三角形的面積為定值，三棱錐的體積為定值，故正確；，分別為棱，的中點(diǎn)，，又易證，，但，四邊形為梯形，故平面截正方體所得截面為梯形，故正確；由題意可得與重合時(shí)直線與所成角最小，又可得，故．，是直線與所成的角，故直線與所成角的大小不可能為，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查異面直線所成的角，屬中檔題．18．（2023?三明三模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為A．當(dāng)在上時(shí)，三棱錐的體積為定值 B．與所成角正弦的最小值為 C．過(guò)作垂直于的平面截正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為 D．當(dāng)時(shí)，面積的最小值為【分析】利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的條件進(jìn)行判斷可得結(jié)論．【解答】解：對(duì)于，當(dāng)在上時(shí)，，平面，平面，平面，到平面的距離為定值，三棱錐的體積為定值，故正確；平面，在平面內(nèi)的射影為，當(dāng)在上時(shí)，與所成角最小，此時(shí)，，，，與所成角正弦的最小值為，故正確；過(guò)作垂直于的平面截正方體所得截面圖形為圖中四邊形，其中，為，的中點(diǎn)，易求，，，截面圖形的周長(zhǎng)為，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在上，平面，為直角三角形，故最小時(shí)，面積的最小，為邊上的高時(shí)，最小，此時(shí)易得，面積的最小值為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積的最小值，空間幾何體的體積問(wèn)題，考查推理論證能力，屬中檔題．19．（2023?寧德模擬）在正方體中，分別為，，的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是A．直線與平面平行 B．直線與直線垂直 C．平面截正方體所得的截面面積為 D．四面體的體積為【分析】由題意，則，，，四點(diǎn)共面，可證得為平行四邊形，則，從而面，即可判斷；分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算即可判斷；為等腰梯形，計(jì)算面積即可判斷；求出平面的法向量，利用向量法求得到平面的距離，進(jìn)而求四面體的體積，即可判斷．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，，分別為，的中點(diǎn)，，又，，，，，四點(diǎn)共面，，，，，，，為平行四邊形，，又面，面，面，故正確；對(duì)選項(xiàng)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，0，，，0，，，0，，，，，，0，，，，，，，直線與直線垂直，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，四邊形為等腰梯形，且，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，，等腰梯形的面積為，即平面截正方體所得的截面面積為，故正確；對(duì)選項(xiàng)，，設(shè)平面的法向量為，則，取，到平面的距離為，又，四面體的體積為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定定理，向量法求解垂直問(wèn)題，向量法求解點(diǎn)面距問(wèn)題，四面體的體積的計(jì)算，屬中檔題．20．（2023?漳州模擬）在正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則A．平面 B．平面 C．三棱錐的體積為定值 D．直線與所成角的取值范圍是【分析】根據(jù)面面平行的判定定理證明出平面平面，判斷選項(xiàng)；根據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，判斷選項(xiàng)；根據(jù)三棱錐的等體積轉(zhuǎn)換結(jié)合面面平行，判斷選項(xiàng)；根據(jù)異面直線所成角的平移，判斷選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，且平面，平面，平面平面，又為線段上的動(dòng)點(diǎn)，平面，平面，正確；對(duì)選項(xiàng)，平面，平面，，又，，，平面，平面，又平面，，同理可證，，又，，平面，平面，正確；對(duì)選項(xiàng)，三棱錐的體積即為三棱錐的體積，由選項(xiàng)可得，平面，平面平面，到平面的距離為定值，又底面積為定值，三棱錐的體積為定值，正確；對(duì)選項(xiàng)，，直線與所成角即直線與所成角，在中，當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，取到最小值，當(dāng)點(diǎn)在線段中點(diǎn)時(shí)，取到最大值，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理與性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理與性質(zhì)，三棱錐的體積問(wèn)題，異面直線所成角問(wèn)題，屬中檔題．21．（2023?泉州模擬）在正三棱柱中，，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，則錯(cuò)誤的是A．平面 B．平面 C．三棱錐的體積為 D．平面截該正三棱柱所得的截面圖形為五邊形【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，由空間向量法判斷選項(xiàng)，由求得棱錐體積判斷選項(xiàng)，作出截面判斷選項(xiàng)．【解答】解：取中點(diǎn)，連接，則，又平面與平面垂直，以為軸，為軸，以過(guò)，且垂直平面的直線為軸，建系如圖，又由已知，則有，0，，，，，，0，，，0，，，0，，，，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，取，，與平面的法向量不垂直，與平面不平行，選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，，與不平行，與平面不垂直，選項(xiàng)錯(cuò)誤；由正棱柱性質(zhì)知到平面的距離為，即到平面的距離等于，而是中點(diǎn)，到平面的距離為，又，，選項(xiàng)正確；設(shè)直線與直線和直線分別交于點(diǎn)，，如圖，連接交于，連接交于，則五邊形是平面截該正三棱柱所得的截面，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法判斷線面平行問(wèn)題，向量法判斷線面垂直問(wèn)題，三棱錐的體積的求解，正三棱柱的截面問(wèn)題，屬中檔題．22．（2023?泉州模擬）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，在底面內(nèi)，直線與該長(zhǎng)方體的每一條棱所成的角都相等，且，則A． B．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 C．三棱錐的體積為定值 D．與該長(zhǎng)方體的每個(gè)面所成的角都相等【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性易為的中點(diǎn)，從而可判斷，選項(xiàng)；取的中點(diǎn)，再過(guò)作，且與，分別交于點(diǎn)，，根據(jù)三垂線定理可得的軌跡為線段，從而可判斷選項(xiàng)；根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，如圖所示，根據(jù)題意及，，設(shè)長(zhǎng)方體上下底面中心分別為，，設(shè)，，，的中點(diǎn)分別為，，，，則根據(jù)題意可得四棱柱為正方體，根據(jù)正方體對(duì)稱性易知為的中點(diǎn)，，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，根據(jù)線面角的概念及正方體的對(duì)稱性可得：與該長(zhǎng)方體的每個(gè)面所成的角都相等，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，則易得，，又，，從而可得，再過(guò)作，且與，分別交于點(diǎn)，，則根據(jù)題意易得平面，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在平面內(nèi)的射影為，又，根據(jù)三垂線定理可得恒成立，故的軌跡為線段，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，根據(jù)選項(xiàng)分析易知，可得平面，線段上的點(diǎn)到平面的距離為定值，又三角形的面積也為定值，三棱錐的體積為定值，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的對(duì)稱性，線面角的概念，三垂線定理的應(yīng)用，線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬中檔題．23．（2023?莆田模擬）我國(guó)歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長(zhǎng)方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底、長(zhǎng)方形足、器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字．通高，口長(zhǎng)，口寬，底長(zhǎng)，底寬．現(xiàn)估算其體積，上部分可以看作四棱錐，高約，下部分看作臺(tái)體．則其體積約為2774.9（精確到．（參考數(shù)據(jù)：，【分析】根據(jù)題意，利用臺(tái)體、錐體的體積公式運(yùn)算求解，即可得出答案．【解答】解：由題意得，，幾何體的體積．故答案為：2774.9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．24．（2023?福州模擬）在平行四邊形中，，，，，分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，記，兩點(diǎn)之間的最小距離為，將沿折疊，直到三棱錐的體積最大時(shí)，不再繼續(xù)折疊．在折疊過(guò)程中，的最小值為．【分析】根據(jù)平行四邊形的邊長(zhǎng)即角度可得，再由，兩點(diǎn)的位置關(guān)系以及的幾何意義，確定出沿折疊過(guò)程中三棱錐的體積最大時(shí)平面，建立空間直角坐標(biāo)系利用兩異面直線間的距離公式即可計(jì)算出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意可知，如下圖所示；由，，，利用余弦定理可得，解得，所以滿足，即，則，又，分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，記，兩點(diǎn)之間的最小距離為，則表示兩直線，之間的距離，在沿折疊過(guò)程中，直線，由兩平行線變成兩異面直線，且兩直線間的距離越來(lái)越近，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，此時(shí)平面；即此時(shí)，兩點(diǎn)之間的距離最小，即為兩異面直線，之間的距離，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸，軸，以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，0，．，，0，，，即，，設(shè)與垂直的一個(gè)向量為，則，令，則，可得，1，，不妨取，由兩異面直線間的距離公式可得的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間距離的最小值的求法，屬中檔題．五．球的體積和表面積（共12小題）25．（2023?莆田模擬）某?？萍忌缋么蛴〖夹g(shù)制作實(shí)心模型．如圖，該模型的上部分是半球，下部分是圓臺(tái)．其中半球的體積為，圓臺(tái)的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半．打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為A． B． C． D．【分析】首先利用半球的體積求出球的半徑，進(jìn)一步求出圓臺(tái)的體積，最后求出模型的體積和球的質(zhì)量．【解答】解：由于半球的體積為，設(shè)球的半徑為，所以，解得，故圓臺(tái)的上底面半徑和圓臺(tái)的高都為3，故，模型的體積，故模型的質(zhì)量為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：球的體積公式和圓臺(tái)的體積公式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．26．（2023?廈門模擬）西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一，是一款非常實(shí)用的泡茶工具（如圖．西施壺的壺身可近似看成一個(gè)球體截去上下兩個(gè)相同的球缺的幾何體．球缺的體積為球缺所在球的半徑，為球缺的高）．若一個(gè)西施壺的壺身高為，壺口直徑為（如圖，則該壺壺身的容積約為（不考慮壺壁厚度，取A． B． C． D．【分析】依題意作出幾何體的軸截面圖，即可求出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)，進(jìn)而求出球的半徑和球缺的高，再根據(jù)球的體積公式和球缺的體積求解即可．【解答】解：如圖作出幾何體的軸截面如下面所示，依題意，，為球心，為壺口所在圓的圓心，所以，因?yàn)椋?，且，，所以球的半徑，所以球缺的高，所以球缺的體積，所以該壺壺身的容積約為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了球的體積公式，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題．27．（2023?廈門模擬）一封閉圓臺(tái)上、下底面半徑分別為1，4，母線長(zhǎng)為6．該圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則這個(gè)球表面積的最大值是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，作出圓臺(tái)軸截面，分析可知，當(dāng)球與，，相切時(shí)，其表面積最大，再結(jié)合條件求得球的半徑，即可得到結(jié)果．【解答】解：畫出圓臺(tái)的軸截面，要使球的表面積最大，則球需要與，，相切，設(shè)圓的半徑為，則，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，，所以，，，所以，所以，且，即，解得，所以球表面積的最大值為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的表面積的最值計(jì)算，屬于中檔題．28．（2023?龍巖模擬）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為A． B． C． D．【分析】由圖形可得正八面體的棱長(zhǎng)為，分別求出正八面體的體積及表面積，再由等體積法求正八面體的內(nèi)切球半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：根據(jù)圖形，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，易知正八面體的棱長(zhǎng)為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即為，如圖，在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，為正八面體的中心，平面，平面，則，，．在中，，則該正八面體的體積，該八面體的表面積設(shè)正八面體的內(nèi)切球半徑為，，即，得，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體的體積及表面積以及內(nèi)切球的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．29．（2023?漳州模擬）已知正三棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，側(cè)棱，則該正三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)二面角的定義，作圖，求得其平面角，利用正三棱錐的性質(zhì)以及余弦定理，求得底面邊長(zhǎng)，假設(shè)球心的位置，利用勾股定理，建立方程，可得答案．【解答】解：由題意，作正三棱錐，取中點(diǎn)，連接，，取等邊的中心，連接，如下圖所示：在正三棱錐中，，平面，為中點(diǎn)，，在等邊中，為中點(diǎn)，，平面，平面，，設(shè)，則在中，，在中，，在中，根據(jù)余弦定理，，則，解得，則，，在等邊中，是中心，，，，平面，平面，，在中，，設(shè)正三棱錐的外接球的半徑為，假設(shè)正三棱錐的外接球球心在線段上，則，可得，解得，不符合題意；假設(shè)正三棱錐的外接球球心在線段的延長(zhǎng)線上，則，可得，解得，符合題意．故正三棱錐的外接球表面積．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求得表面積的求法，多面體外接球問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．30．（2023?龍巖模擬）正方體的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的外接球表面積為A． B． C． D．【分析】首先確定點(diǎn)的位置，再利用球的性質(zhì)，以及空間向量的距離公式，確定球心坐標(biāo)，即可確定外接球的半徑，即可求解．【解答】解：△的周長(zhǎng)為，為定值，即最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，如圖，將平面展成與平面同一平面，當(dāng)點(diǎn)，，共線時(shí)，此時(shí)最小，作，垂足為，，解得：，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，2，，，連結(jié)，平面，且經(jīng)過(guò)△的中心，所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心，，，則，即，解得：，，所以外接球的表面積，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的體積，屬于中檔題．31．（2023?福州模擬）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的體積為A． B． C． D．【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，可求，進(jìn)而可求外接球的半徑為，可求球的體積．【解答】解：設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，，記的外接圓的圓心為，由，可得平面，，由題意可得外接球的球心在上，設(shè)外接球的半徑為，，解得，球的體積為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的外接球的體積，屬中檔題．32．（2023?福建模擬）在正四棱臺(tái)中，，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球體的表面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由圖構(gòu)造直角三角形，即可求得，求得球體的表面積．【解答】解：如圖所示的正四棱臺(tái)，，取上下兩個(gè)底面的中心，，連接，，，過(guò)點(diǎn)作底面的垂線與相交于點(diǎn)，因?yàn)樗睦馀_(tái)為正四棱臺(tái)，所以外接球的球心一定在上，在上取一點(diǎn)為球心，連接，，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，，，在中，，即，在△中，，即，解得，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查球的表面積，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．33．（2023?廈門模擬）如圖的六面體中，，，則A．平面 B．與所成角的大小為 C． D．該六面體外接球的表面積為【分析】利用線面垂直的判定定理、空間向量以及球的表面積公式進(jìn)行計(jì)算求解．【解答】解：，，，，即，，又，平面，故正確；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，四面體是正三棱錐，，四面體是正四面體，在正三棱錐中過(guò)點(diǎn)作底面的垂線，垂足為正三角形的中心，同理，在正四面體中，過(guò)頂點(diǎn)作底面的垂線，垂足為正三角形的中心，、、三點(diǎn)共線，，0，，，0，，，1，，，0，，且是正三角形的中心，，設(shè)，在正四面體中，，在正三棱錐中，，，解得，，1，，，又，，故與所成角的大小為，故錯(cuò)誤；，，故正確；顯然，該六面體外接球的球心位于線段的中點(diǎn)，，六面體外接球的半徑，該六面體外接球的表面積為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了利用空間向量求異面直線所成的角，以及多面體的外接球問(wèn)題，屬于中檔題．34．（2023?泉州模擬）已知正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，為內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則A．平面 B．球的表面積為 C．的最小值為 D．與平面所成角的最大值為【分析】對(duì)于，利用平行四邊形證得，進(jìn)而證得平面；對(duì)于，先假設(shè)的位置，利用勾股定理與半徑相等得到及，解得，進(jìn)而確定的位置，故可求得球的表面積為；對(duì)于，先判斷落上，再進(jìn)一步判斷與重合時(shí)，取得最小值為；對(duì)于，利用面面垂直的性質(zhì)作出面，故為與平面所成角，再利用得知當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，再利用對(duì)頂角相等求得此時(shí)，進(jìn)而得到的最大值為．【解答】解：對(duì)于，如圖1，．由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，故，，，共面，又面面，而面面，面面，故，即；由平面幾何易得，即；所以四邊形是平行四邊形，故，而面，面，故平面，故正確；對(duì)于，如圖2，設(shè)為的中點(diǎn)，為正四棱臺(tái)外接球的球心，則，在等腰梯形中，易得，即，為方便計(jì)算，不妨設(shè)，，則由，即，即，又，解得，即與重合，故，故球的表面積為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由圖2易得，，，、面，故面，不妨設(shè)落在圖處，過(guò)作，則面，故，故在△中，（勾股邊小于斜邊）；同理，，所以，故動(dòng)點(diǎn)只有落在上，才有可能取得最小值；再看圖4，由關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為可知，，故正確，