異面直線所成的角及直線與平面所成的角的解法同步練習(xí) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

異面直線所成的角及直線與平面所成的角的解法【基礎(chǔ)過關(guān)練】1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AC1與CD所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(6),3)2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與C1D所成角的大小是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)3．已知圓錐SO的底面半徑為r，當(dāng)圓錐的體積為eq\f(\r(2),6)πr3時，該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(2),2)4．若斜線段AB的長是它在平面α上的射影長的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(6),3)6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，則平面AD1E與平面ABCD的交線與直線C1D1所成角的正切值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．27.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn)，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq\r(2)，則異面直線BD與AC所成的角為________．8.如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成角的大小為________；點(diǎn)Q在PB的延長線上，則直線QB與平面ABC所成角的大小為________．9.如圖，S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝eq\f(π,2)，M，N分別是AB和SC的中點(diǎn)．求異面直線SM與BN所成角的余弦值．10.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．求直線BE和平面ABB1A1所成角的正弦值．【能力提升練】11．(多選)如圖，在四面體A－BCD中，AC＝BD＝a，對棱AC與BD所成的角為60°，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則線段MN的長為()A.eq\f(a,3) B.eq\f(a,2)C.eq\f(\r(3)a,2) D.eq\f(3a,2)12.如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為eq\o(BC,\s\up9(︵))的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6)D.eq\f(\r(6),6)13.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E為CC1的中點(diǎn)，那么異面直線OE與AD1所成角的余弦值等于()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(6),3)14.如圖，正四棱錐P－ABCD的體積為2，底面積為6，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線BE和平面PAC所成的角為________．15.(多選)《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐，如圖，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，過點(diǎn)A作AD⊥SC交SC于點(diǎn)D，以AD為折痕把△SAD折起，當(dāng)幾何體S－ABCD為陽馬時，下列四個命題正確的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成角的大小等于45°D．AB與SC所成角的大小等于30°16.如圖，點(diǎn)P為平面ABC外一點(diǎn)，AP，AB，AC兩兩互相垂直，過AC的中點(diǎn)D作ED⊥平面ABC，且ED＝1，PA＝2，AC＝2，連接BP，BE，BD，多面體B－PADE的體積是eq\f(\r(3),3).(1)畫出平面PBE與平面ABC的交線，并說明理由；(2)求BE和平面PADE所成角的正切值．參考答案1．B2.D3.A4.A5．D[如圖，不妨設(shè)正方體的棱長為1，上、下底面的中心分別為O1，O，則OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，則cos∠O1OD1＝eq\f(O1O,OD1)＝eq\f(1,\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(6),3).]6．A[如圖，延長D1E與直線DC的延長線相交于F，連接AF，則平面AD1E與平面ABCD的交線為AF，而C1D1∥CD，∴∠AFD為平面AD1E與平面ABCD的交線與直線C1D1所成的角，∵E是棱CC1的中點(diǎn)，且DD1∥CC1，∴CD＝CF，∴tan∠AFD＝eq\f(AD,DF)＝eq\f(1,2).]7．60°8.45°45°9．解如圖所示，連接CM，設(shè)Q為CM的中點(diǎn)，連接QN，則QN∥SM.∴∠QNB或其補(bǔ)角是異面直線SM與BN所成的角．連接BQ，設(shè)SC＝a，在△BQN中，BN＝eq\f(\r(5),2)a，NQ＝eq\f(1,2)SM＝eq\f(\r(2),4)a，BQ＝eq\f(\r(14),4)a，∴cos∠QNB＝eq\f(BN2＋NQ2－BQ2,2BN·NQ)＝eq\f(\f(5,4)a2＋\f(1,8)a2－\f(7,8)a2,2×\f(\r(5),2)a×\f(\r(2),4)a)＝eq\f(\r(10),5).即異面直線SM與BN所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5).10．解如圖，取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM.因為E是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD.又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，從而直線BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線BE和平面ABB1A1所成的角．設(shè)正方體的棱長為2a，則EM＝AD＝2a，BE＝eq\r(2a2＋2a2＋a2)＝3a.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直線BE和平面ABB1A1所成角的正弦值為eq\f(2,3).11．BC[取BC的中點(diǎn)E，連接EN，EM，如圖所示．因為M為AB的中點(diǎn)，所以ME∥AC，且ME＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(a,2)，同理得EN∥BD，且EN＝eq\f(a,2)，所以∠MEN或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成的角，在△MEN中，EM＝EN，若∠MEN＝60°，則△MEN為等邊三角形，所以MN＝eq\f(a,2).若∠MEN＝120°，可得MN＝eq\f(\r(3)a,2).]12．D[如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接EH，AH，則∠EHA＝90°.設(shè)AB＝2，則BH＝HE＝1，AH＝eq\r(5)，所以AE＝eq\r(6).連接ED，則ED＝eq\r(6).因為BC∥AD，所以異面直線AE與BC所成的角即為∠EAD(或其補(bǔ)角)．在△EAD中，cos∠EAD＝eq\f(AE2＋AD2－DE2,2AE·AD)＝eq\f(6＋4－6,2×2×\r(6))＝eq\f(\r(6),6).]13．D[如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接EF，OF，BC1.因為E為CC1的中點(diǎn)，所以EF∥BC1∥AD1，故∠OEF或其補(bǔ)角即為異面直線OE與AD1所成的角，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在△OEF中，EF＝eq\r(2)，OE＝eq\r(3)，OF＝1，故∠OFE＝90°，故cos∠OEF＝eq\f(EF,OE)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).]14．60°解析如圖，在正四棱錐P－ABCD中，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，在正四棱錐中，BO⊥平面PAC.連接OE，DE，則∠BEO是直線BE和平面PAC所成的角．∵正四棱錐P－ABCD的體積為2，底面積為6，∴V＝eq\f(1,3)×6×PO＝2，則PO＝1，BC＝eq\r(6)，則OC＝OB＝eq\r(3)，∵E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，∴取OC的中點(diǎn)H，連接EH，則EH⊥OC，EH＝eq\f(1,2)PO＝eq\f(1,2)，OH＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),2)，則OE＝eq\r(EH2＋OH2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1.在Rt△BOE中，tan∠BEO＝eq\f(OB,OE)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，則∠BEO＝60°.15．AB[如圖，當(dāng)幾何體S－ABCD為陽馬時，SD⊥平面ABCD，對于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD＝D，故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正確；對于B，因為AB∥CD，且AB?平面SCD，CD?平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正確；對于C，由A知，AC⊥平面SBD，連接SO，則∠ASO是SA與平面SBD所成的角，因為SA＝eq\r(2)，OA＝eq\f(\r(2),2)，所以∠ASO＝30°，故C不正確；對于D，因為AB∥CD，所以∠SCD是AB與SC所成的角，因為SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故D不正確．]16．解(1)如圖，延長PE交AC于點(diǎn)F，連接BF，∵AP，AB，AC兩兩互相垂直，∴PA⊥平面ABC.∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(DE,PA)＝eq\f(1,2)，∴F與C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE?平面PBE，AC?平面ABC，∴C是平面PBE與平面ABC的公共點(diǎn)．又B是平面PBE與平面ABC的公共點(diǎn)，∴BC是平面PBE與平面ABC的交線．(2)如圖，連接AE.∵AP，AB，AC兩兩互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴∠BEA為BE和平面PADE