2024考二輪數(shù)學講義六　培優(yōu)點8圓錐曲線中非對稱韋達定理的應用含答案

2024高考二輪數(shù)學新教材講義培優(yōu)點8圓錐曲線中非

對稱韋達定理的應用

1.己知拋物線關于x軸對稱，頂點在坐標原點，焦點為凡點P(l,2),A(x”)-1),8(X2,?)

均在拋物線上.

(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；

(2)若j=2/，求直線AB的斜率.

2.已知橢圓E的左、右焦點分別為尸i(一c,0),尸2(c,0)(c>0).點M在E上，M6,吊尸2,△MQE

的周長為6+4a,面積為gc.

(1)求E的方程;

（2）設E的左、右頂點分別為A,B,過點（|,0）的直線/與E交于C,D兩點,記直線AC的

斜率為直線8。的斜率為依，則.（從以下①②③三個問題中任選一個填到橫線

上并給出解答）

①求直線AC和BD交點的軌跡方程；

②是否存在實常數(shù)九使得k=衣2恒成立；

③過點C作關于尤軸的對稱點C',連接O微重點10離

心率的范圍問題

1.若橢圓上存在點P,使得尸到橢圓兩個焦點的距離之比為2：1,則該橢圓的離心率e的

取值范圍是（）

B（0,用

72

2.已知橢圓今+方=1（〃>比>0）的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)i，橢圓上存在點A,使得NQ4B

=:,則橢圓離心率的范圍為（）

3.己知雙曲線E：/一方=1（“>0,b>0）的左、右焦點分別為F,,若E上點A滿足|AQ|

=21461，且向量福，禍夾角的取值范圍為專，兀，則E的離心率取值范圍是（）

A.他,的B.[巾，3]

C.[3,5]D.[7,9]

72

4.（2023?嘉定模擬）已知雙曲線C：點一￡=1（“>0,歷>0）的離心率為e,點8的坐標為（0,b）,

若C上的任意一點P都滿足貝底）

1+*J31+"^3

A."W-2~B.-

」+小、1+小

C.l<eW-2~D.eN-歹一

5.（2023?衡陽模擬）設橢圓C：,+方=

13泌>0）的右焦點為F,橢圓C上的兩點A,B關于

原點對稱，且滿足MBB=O,\FB\^\FA\^2\FB\,則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A（0,乎］B惇知

C.［|,用D惇1）

6.（2023?泉州模擬）已知雙曲線C：，一$=1（">0,h>0）的上、下焦點分別為Fi，F(xiàn)2,點M

在C的下支上，過點M作C的一條漸近線的垂線，垂足為￡>,若IMQAIFiBI-IMQI恒成立，

則C的離心率的取值范圍為（）

A.0,3B.g，2）

C.（1,2）D.g,+8）

v22

7.（多選）已知點。為坐標原點，F(xiàn)i（-c,0）,F2（c,0）為橢圓空+v方=l（a>Z>0）的左、右焦點，點

P為橢圓上一點，且耐?朋=2廿，下列說法正確的是（）

A.\OP\=y［3c

B.離心率范圍為1,用

C.當點P為短軸端點時，為等腰直角三角形

D.若則12112尸1尸尸2=也

7?

8.（多選）（2023?溫州模擬）已知Fi（-c,0）,&（G0）（0。）是橢圓Ci：興+5=13>加>0）與雙曲線

72

C2：a嗑=1（。2>0,左>0）共同的焦點，e”62分別為C|,C2的離心率，點仞是它們的一個

交點，則以下判斷正確的有（）

A.△F1MF2面積為方也

B.若NFIMF2=0,則ei《（sin爭1）

C.若/F1“尸2=爭，則eg的取值范圍為［坐，+°°j

D.若NFiM尸2=手，則H+及的取值范圍為（2,+~）

?29

9.（2023?晉中模擬）點A”4是雙曲線E：/一方=1（。>0,。>0）的左、右頂點.若直線x=。

上存在點P,使得N4以2=*則該雙曲線的離心率取值范圍為

r2-v2-JT

10.（2023?成都模擬）雙曲線“：S-p=l（a>0,6>0洪左、右焦點分別為Fi，6,傾斜角為］

的直線尸尸2與雙曲線H在第一象限交于點P，設△QP巳內(nèi)切圓半徑為r，若尸尸2|22小r,則

雙曲線H的離心率的取值范圍為

微重點11圓錐曲線中二級結論的應用

1.（2023?淄博質(zhì)檢）設雙曲線C：，一營=1（。>0,/?0）的左、右焦點分別為Q,&,離心率為

小.P是C上一點，且QPLF2P.若△PQF2的面積為4,則a等于（）

A.1B.2C.4D.8

2.已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為x=-1,過其焦點廠的直線/與拋物線C

交于A,B兩點，若直線/的斜率為1,則弦AB的長為（）

A.4B.6C.7D.8

^2

+方=1（“>6>0）的左、右焦點分別為心若橢圓C

3.（2023?齊齊哈爾模擬）已知橢圓Ca2

上存在一點M,使得內(nèi)「2|是|MF||與IMBI的等比中項，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

4.已知直線/：尸丘與橢圓E：/+方=13*0）交于A,B兩點，M是橢圓上異于4,B

的一點.若橢圓E的離心率的取值范圍是惇，啕，則直線MA,MB斜率之積的取值范圍

是（）

5.（多選）（2023?齊齊哈爾模擬）偉大的古希臘哲學家、百科式科學家阿基米德最早采用不斷分

割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的兀倍，這種方法已具有積分計算的

雛形.已知橢圓C的面積為12小兀，離心率為京F|,F2是橢圓c在x軸上的兩個焦點，A

為橢圓C上的動點，則下列說法正確的是（）

A.橢圓C的標準方程為各導=1

B.若/尸14尸2=余則=2即

7T

C.存在點A,使得

D?鬲+看的最小值為

6.（多選）（2023?襄陽模擬）如圖，過雙曲線C：x2-=1（〃>0）右支上一點P作雙曲線的切線/

b2

分別交兩漸近線于A,B兩點，交x軸于點。，F(xiàn)i,&分別為雙曲線的左、右焦點，。為坐

標原點，則下列結論正確的是（）

A.\AB\mm=1b

B.SAOAP=S4OBP

C.Si\AOB=2b

D.若存在點P,使cos/FiP尸2=/且而5=2而，則雙曲線C的離心率e=2

7.已知橢圓氏3+^=1的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)i，過點22分別作斜率為依，心的

直線/i，h，分別交橢圓E于A,B和C,。四點，且|AB|+|CQ|=6/，貝此次2=.

8.已知雙曲線E：，一6>0）的左、右焦點分別為Q,B，過人的直線與E交于

A,B兩點（B在x軸的上方），且滿足福=；刀.若直線的傾斜角為120。，則雙曲線的離心率

為.

9.（2023?溫州模擬）已知橢圓C：，+方=1（4>〃>0）的離心率為坐，短軸長為2,F為右焦點.

（1）求橢圓（7的方程；

（2）在x軸上是否存在一點M,使得過F的任意一條直線I與橢圓的兩個交點A,8,恒有/OM4

=NOMB,若存在求出M的坐標，若不存在，說明理由.

10.設橢圓E：，+g=13?>。)，點Fi，民分別為E的左、右焦點，橢圓的離心率e=g,

M3

-

2在橢圓E上.

⑴求橢圓E的萬程；

(2)M是直線x=4上任意一點，過M作橢圓E的兩條切線MA,MB(A,8為切點).

①求證：MFzLAB-,

②求△M4B面積的最小值.

得到直線加試探究：直線是否恒過定點.培優(yōu)點8圓錐

曲線中非對稱韋達定理的應用

1.解(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y2=2px(p>0),

:點尸(1,2)在拋物線上,

；.2~=2pXl,解得p=2.

故拋物線的方程是V=4x,其準線方程是x=一

(2)方法一由(1)可知「(1,0),

A（X|,>'|）,8（X2,）'2），

則直線AB的方程可設為x=)+l,

y2=4x,

聯(lián)立■

x=ty+i,

整理得y2—4。-4=0,

所以yi+y2=4f,yij2=-4.

又而=2通,

即(1—X”—yi)=2(X2—1.丫2),

可得一力=2次，即蔗=-2,

則叫也=①四一2=/，

即生=-|,

解得，=節(jié)比，故心8=一十=±2&.

方法二A(X|,yi),8(X2,)'2),尸(1,0),

喬=（1—制，—Ji）.2fB=（2x2—2,2”）,

1—X]=2%2-2,

AF=2FB^

-y\=2y2

41=3-2X2，①

=>\_

?=—2”，②

VA,8在拋物線上，

JM=4XI,③

[城=4及，④

由①②③④聯(lián)立可得X2=1,

則

由③一④得8+），2）61—》2）

=4（X1—X2）,

即a=0=4-

x\-X2yi+yi

=—^—=^=±2^2,

一2以+?72v

2.解(1)依題意,

2+2《=6+4隹

12

1obb1

付j爐°9=￡°=丞，

、°2=廬+?,

%+C=3+26，回=9,

即解得|從=1，

d=〃+c2,0=8,

所以E的方程為各戶1.

（2）選擇①.設直線/的方程為

3

-

2

聯(lián)立方程1

卜=”+小

化簡整理，得4（產(chǎn)+9》2+12）—27=0,

儼+”=壬，

假設C（X|,9），0（X2,竺），由韋達定理，得j_27

產(chǎn)二鏟西,

9

得加垃=4（）"+”），

直線AC的方程為>=一上。+3）,

直線3。的方程為丫=^^。-3）,

X2-J

即三=3,解得尸6,

所以直線AC和BO交點的軌跡方程是直線x=6.

(§+)2=1，

選擇②.聯(lián)立方程彳

[x=(y+3,

化簡整理，得火尸+為產(chǎn)+口)-27=0,

假設C（X1,V1）,D（X2,V2）?

力+》=由,

由韋達定理，得〈

—27

、"2=記兩,

9

得加以=4()"+問，

939

2少>_3戶_2彳8+”）一3%_千+升

丁Ji_yi尤2-3_（X2-3））1

正A2xi+3yz（xi+3）y22以刃+9729927

2o4。］+”）+9），2乎+孕，2

1

-

93

-

2

故存在實數(shù)7=/使得h=前2恒成立.

選擇③.設C（xi,%）,Q（X2,>2）,

化簡整理，得4(產(chǎn)+9?2+12”—27=0,

由韋達定理,

設直線C'。與x軸交于點M(/n,O),由對稱性可知hw+hw=O,

即4+告=°,

則y】(x2-m)+y2al一加)=0,

所以yiU2—m)+j2(xi—ni)

=X|J2+X2yi—m(y\+y2)

-27,<3、-3/

=2,,初司+GF?幣=0,

即一9f+(3—2mx—，)=0,解得加=6,

所以直線C'。恒過定點M(6,0).

微重點10離心率的范圍問題

1.C2.D3.B

X2V2

4.C［設尸(羽y),因為”一京=1，

所以x2=?2+py2,

則|產(chǎn)用2=/+。-6)2

=a2+廬?+)2-26y+b1

c2

=廬2—2勿+d,

4.評c2-4〃cf4

所以當y=多時，『Bp取得最小值為

依題意得|尸肝2/恒成立，

所以《薩

艮廣曖叫一,

化簡整理得c4一3a2c2+/wo,

即/—3/+1W0,又e>\,

所以k/W2專倉，

解得

5.B［如圖所示，設橢圓的左焦點為P,連接AF,BF',

由橢圓的對稱性可知，四邊形AFB尸為平行四邊形，又前?麗=0,即

所以四邊形AFBk為矩形,

所以|A8|=|FF'|=2c,

設質(zhì)尸|=〃，\AF]=m,

在RtZ\ABF中，\BF]=n,m-\-n=2a,n^-\-rr—^c1,

可得〃?〃=2/>2,

心，、,，".n，"+“22c2

=

所以-nI—m=mnJb2?

人m

令一=%

n

\2，

得-7=骨

又尸B|W|/?冏W2|FB|,

得￡=01,2],

所以什51=卷2c2土r，I51

5-

所以在-

4

-

結合（r=a1—b1,

所唔唱,I],

所知以#岳升5]

所以2停用，

即橢圓C的離心率的取值范圍為[乎，亭].]

6.A[如圖，過點尸2作漸近線的垂線，垂足為E,連接ME,

設尸畫=2c,則點F2到漸近線尸一條的距離歷2|=赤靠了=人

由雙曲線的定義可得IM"|一|MFd=2a,故\MFy\=\MF2\+2a,

所以\MD\+\MF\|=|MD|+\MF2\+2a^\EF2\+2a^b+2a,

即|MZ）|+|MF||的最小值為2a+b,

因為ri尸2l一附尸11恒成立,

所以|M￡）|+|MF||>|F|或恒成立，即2a+fr>2c恒成立，

所以b>2c-2a,即/?2>4（?+4a2—Sac,

即c1-a2>4c1+4a2-8ac,

所以3c2+5層一8〃c<0,

即3/—8e+5<0,解得

7.ABDlu：~PF\^PFi

=（1+證）（歷+旗）

=（用+話）（歷-西）

=|尸0|2一|。川2,

，麗?麗=伊?！阂籆2,

又麗?灰=2/,

.?.2（?=|尸。|2一°2,

：.\0P\=yl3c,故A正確；

：|0尸|=圾，b^\OP\^a,

:.b4鄧cWa,

即

；.^WeW坐,故B正確；

當點P為短軸端點時，

；|OP|=V§c,尸周=2°,

...△PQF2為等邊三角形，故c錯誤；

若S.P"鼻,

又S△尸片2S△尸

=\OP\\OF2\sinZPOF2,

???S△咫乃=\OP\\OF2\sinZPOF2

=y[3c-csinZPOF2=yf2c2,

；.sinNP0F2=坐,不妨設/尸0&為銳角，則NPOFi為鈍角,

；.cos/POF2=坐，

2222

：.\PF2\^\OP\+\OF2\-2\OP\\OF2\-COSZPOF2^2C,

：.\PF2\=yl2c,

同理可得|PQ|=#c,

2/+6/-4c2S

COSZF|PF2=

2義小c又乖(：—3

：.tanZF]PF2=yf2,故D正確.]

8.ABD[設\MF^n,

不妨設點M是C”C2在第一象限內(nèi)的交點，則相＞”,

m-\-n=2a\,tn—〃=2。2,

所以〃?=。］+〃2,n—a\一〃2,

在中，由余弦定理可得

|F]B|2=|MF1F+|M尸2『一

2|MR||MF21cos仇

即4c2=m1+n2-2/n/?cosa

一方面，4c2=nr+rr—2mncos0

=(/??+n)2—2/w?(l+cos6)

=4屆—2加〃(1+cos9),

2屆一2。22孱

所以mn=

1+cos31+cos夕

此時△RMB面積為

S=A〃sin8=原屋白

夕

2?一

sim2

力2

P摳

2COS2

=^tan2；

另一方面，4c2=m^+nz-2nincos3

=（加一"）2+2mn（1—cos0）

=4屑+2"?〃（1—cos0）,

2c2-2冠2層

所以mn—

1-cos01—cos09

此時△QMB面積為

_1.「此sinH

SC-c〃?〃sin，一by.

21—cosZ0l

.eo

_，0sn15cos8尻

b

~~9.,0-~~G'

2sin?tan]

對于A,因為S2=Z?itan夕=3也已

tan2

所以S=〃i歷，故A正確;

對于B,因為m＞n且相+〃=2。1,

所以m〃=不聾才然＞=山'

所以評用

=2—2豕1+cos0=2COS21,

所以肩＞1—cos2^=sin2^,

。

2一

。

，

故

確

?正

n2一B

S1、

當/尸1加&=。=萬時，

由4c2==m2+7?2—2/nncos0得

4c2=（〃1+。2）2+（a1一42）2+（0+〃2）（a1一〃2）,

31

即3鬲+〃2=4，，所以方+藍=4,

e\的

I314

即沿=4一2所以

14

對于C令

匕]J

則晶=熱一勾

=-3?+4f=-3^-|)2+1e(0,l),

所以(eg)2w(l,+°°),eie2e(l,+~),故C錯誤;

對于D，e?+/=/e?+道)信+￡)=1+膾+給，

記s=￡,

則/+晶=1+如6+：),

函數(shù)y=3s+：是對勾函數(shù)，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以蘇+送=1+*￡+9>1+：*(3+1)=2,即e?+e2的取值范圍為(2,+8),故D正確.]

9.(1,例

1。島2)

解析設△QP6內(nèi)切圓C與△QPB的邊F1F2,PF2,尸q分別相切于點“，N,Q,則|CM|

=\CN\=\CQ\=r,

且|BM=|FiQ|,|F2M=甲2州,|PQ=|PM，

所以RtACMF2^RtAC7VF2,

因為直線勿■2的傾斜角為去

所以/(7尸2加=全

所以|例巳|=|尸27|=一

tan

3

因為|FiM=2c方國Q，

|PQ|=|PN|=|PF2|一方，

由雙曲線的定義可知|PQ|—|PF2|=2a,所以IQQI—W3|=2a,

即2c一方一方=2〃,

所以r=y[3(c-a),

過點P作軸于點D,

設P(xp,yp),

則XP=C+^\PF2\,

如=明明，

由雙曲線的焦半徑公式可得|尸尸2|=卯-a=e(c+；|PF2|)—a,

因為|PF2l22小r,

rr?+l-

則-^6,即--6^0,

i——一1——

1212

[(4e—5)6—1)WO,

化簡可得〈

5丘0,

則雙曲線，的離心率的取值范圍為tWe<2.

微重點11圓錐曲線中二級結論的應用

1.A2.D3.A

4.D[由橢圓中的結論,

從

可得kMA，kMB=一

由橢圓的離心率的取值范圍是惇，堂)

-1a-b1、2b11

所以5-—T<—?<—z,

3a23a2

21

即an—2-1

"b=124,

I/■,2

5.AD［對于A,由

、/=〃+/,

解得a=6,b=2小,c=4,

則橢圓C的標準方程為表十旨=1,故A正確;

0

故

-B錯誤

對于B,令。=/尸S?AF,2

對于C,當點A為短軸的一個頂點時，最大,

.62+62—821

此時cosX.F\AF2~0義6?=§>°，

所以NQAF2為銳角，

則不存在點A,使得/人3=全故C錯誤;

對于D,帚南=刊+制CD

=3“鬻+1+制》*+2吸）H+坐,

2|Ag||AQ|

當且僅當

|AB|~\AF2V

即|AFI|=也忸尸2I時，等號成立，故D正確.]

6.ABD[對于A項，在點尸（xo,州）處的切線方程為XM一修'=1,

設點P（xo,州），A（xi,）1）是切線與漸近線在第一象限的交點，8（X2,”）是切線與漸近線在第

四象限的交點，

雙曲線的漸近線方程為），=±法,

yoy

XOX-/1,

聯(lián)立1

y=bx

b

X——,,

bxo-yo

=>'

b1

y=bxo—yo9

所”以…心^h(xob-yo'加一lryj\'

同理可得《缶，就J

則忸陰=A/Qxo-yo6xo+)'o)2+(即:yo+bxo;沖下

=24(序+1)底一1,

又因為Xoel,

所以|AB|三24(〃+])_[=26,

即依B|min=2"故A項正確；

對于B項，由A項知，

b+b

bxo—yobxo+yo

2=xo,

b1—h2

bxo—yobxo+yo

2=如

所以點P(xo,yo)是A,B的中點，

所以SM)AP=SM)BP,故B項正確；

對于C項，因為在點P(xo,yo)處的切線方程為初一筆■=1,

令y=0得x='—,

所以點0)，

則S^AOB=S^.AOD^~S^BOD

=京|0￡>|又僅1_加

故C項錯誤；

對于D項，因為尸(1一c,0),尸2(c,0),￡>%0),

所以KB=R+C,0),

亦―，4

又因為后力=2瓦，

所以2+'=2｝一￡)，

解得c=+3，即用=3￡

入oC

代入高一供=1得%=當-一戶，

所以1「尸1|2=(沏+。2+網(wǎng)

2+*從

2+/+6+零-啟

C(7

9(C1)

T+C2+6+~.r-(C2-1)=16,

|PF2|2=(XO—C)2+的

所以2。=|尸丹|一|尸尸2|=4—2=2,

解得4=1,所以COSNF1PF2=

IPQF+IPFZF—IF1F2F

2X\PFi\X\PF2\

_16+4-4c2_5-c2_1

=2X4X2—4=不

解得/=4,所以c=2,

所以離心率e=\=2,故D項正確.]

7.±3

8.1

解析方法一設|AFi|=Z,18al=7%,根據(jù)雙曲線定義|AB|=A+2a,\BF2\=lk+2a,

在△AQB中，由余弦定理可得/+2a)2=(2c)2+Q—2-2cMcos60。，①

在中，由余弦定理可得(7k+2q)2=(7Z)2+(2c)2—2?2c-7kcos120。，②

3

由①②可得3日=2c,則e=y

方法二由焦點弦定理可知，焦點在X軸上的橢圓或雙曲線或拋物線，經(jīng)過其焦點尸的直線

交曲線于A,B兩點，直線A