2024屆南京市、鹽城市高三一模數(shù)學(xué)試題含答案

南京市、鹽城市2024屆高三年級第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分..

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知全集。與集合的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為

第1題圖

A.AH[UBB/NU（曲C.8包〃D.

2.復(fù)數(shù)二滿足（l=i）%=l+i（i為虛數(shù)單位），則|z|=

A-TB-fc.?D.i

3.等比數(shù)列（a”｝的前n.項和為S”，已知53=。2+5。1，05=4,則a1=

A-7B--Tc-fD.-j~

4.德國天文學(xué)家約翰尼斯?開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷?布拉赫等人的觀測資料和星表，通

過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太

陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系:

7=1嬴?花，其中以為太陽質(zhì)量,G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則

火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

高三數(shù)學(xué)試卷第1頁（共4頁）

5.關(guān)于函數(shù)/(1)=45出(3：+協(xié)(71>0,3>0,0<?><￡),有下列四個說法：

①/Gr)的最大值為3

②“工)的圖象可由y=3sinz的圖象平移得到

③人工)的圖象上相鄰兩個對稱中心間的距離為彳一

④人工)的圖象關(guān)于直線工■對稱

若有且僅有一個說法是錯誤的，則/(￡)=

A34口33n3c

A

--一T~B--2C-7D-~T~

6.設(shè)。為坐標(biāo)原點，圓M：(x-l)2+(y-2)2=4與Z軸切于點力，直線z-Cy+2，T=0交

圓M于B,C兩點，其中B在第二象限，則溢?炭=

AB.之/C.空D.守

哼442.4

7.在棱長為2a(a>0)的正方體ABCD-AiBCi。中，點M,N分別為棱AB,。?的中點.已知

動點尸在該正方體的表面上，且A/?時=o,則點尸的軌跡長度為

A.12aB.12naC.24aD.24m

8.用min{z,y}表示工,y中的最小數(shù).已知函數(shù)/(H)=?則min(f(H),fQ：+ln2))的最大值為

A.4B.-C.野D.In2

e,e2

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全

部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

I'-??

9.已知z,yGR,且12工=3,12，=4,則

A.B.h+?>1C.D.

10.有”("GN,，”)10)個編號分別為1,2,3,…，"的盒子,1號盒子中有2個白球和1個黑球，其

余盒子中均有1.個白球和1個黑球.現(xiàn)從1號盒子任取一球放入2號盒子;再從2號盒子任取一

球放入3號盒子;…似此類推.記“從i號盒子取出的球是白球，，為事件A(i=l,2,3,…,，。，則

A.P(A4)=qB.P(A\I/I2)=-~

J5

C.PG4i+4)=卷D.p(alo)=^-

高三數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)

11.已知拋物線儲=4》的焦點為尸，過尸的直線交E于點AGI，M）,5（NZ,“）,￡在5處的

切線為。，過A作與。平行的直線右,交E于另一點C（N3,g）,記/3與，軸的交點為0,則

A.yiy2=1B?見+普=3x2

j

C.AF=DFD.△A5C面積的最小值為16

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.在（工一/）6的展開式中，常數(shù)項為▲.

13.設(shè)雙曲線C：5一￡=l（a>0,6>0）的一個焦點為F,過F作一條漸近線的垂線，垂足為E若

線段￡F的中點在C上，則C的離心率為▲.

14.巳知a，BW（0,與）,且sina—sinf=二卷,cosa—cosF="|■4!]tana+tanB=■.

Lt乙乙

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

在△ABC中，sin（5—sinA=sinC.

（1）求5的大小；

（2）延長BC至點M,使得2愛=說.若，求N5AC的大小.

q

16.（本小題滿分15分）

如圖，已知四棱臺ABCD-A^C^的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面

44iOi0_L平面48c0,AIA=0Q=M7,點尸是梭。的中點，點Q在梭比上.

⑴若5Q=3QC,證明:PQ〃平面A5614;

⑵若二面角P-QD-C的正弦值為嗜,求8Q的長.

高三數(shù)學(xué)試卷第3頁（共4頁）

17.(本小題滿分15分)

已知某種機(jī)器的電源電壓U(單位:V)服從正態(tài)分布N(22Q,2()2),其電壓通常有3種狀態(tài)：

①不超過200V；②在200V?240V之間;③超過240V.在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零

件為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.

(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率.

(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取件，記其中恰有2件不合格品的概率為，,，求

取得最大值時”的值.

肘：若Z?取P(〃-oVZ〈"+G=0.68,尸(〃一2“VZV〃+2<0=0.95.

18.(本小題滿分17分)

已知橢圓。3+/=1儲>6>0)的右焦點為尸(1,0),右頂點為A,直線/：1=4與工軸交于點

“，且|AM|=a|AF|.

(1)求C的方程；

(2)5為/上的動點，過5作C的兩條切線,分別交y軸于點P,Q.

①證明:直線BP,BF,5Q的斜率成等差數(shù)列j

②。N經(jīng)過B,P,Q三點，是否存在點欖得NPNQ=90。？若存在，求|5M|,若不存

在,請說明理由.

19.(本小題滿分17分)

一..A

已知a>0，函數(shù)f(x)=axsiiir+cosax—1,0OV彳.

(1)若a=2,證明：/(z)>0;

(2)若fGr)>0,求a的取值范圍；

(3)設(shè)集合P={a.Ia^Scos2爪春_不，”EN-},對于正整數(shù)m,集合1=H|60<2加),

記PDQ-中元素的個數(shù)為鼠，求數(shù)列{8.}的通項公式.

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁(共4頁)

南京市、鹽城市2024屆高三年級第一次模擬考試

數(shù)學(xué)參考答案2024.03

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.A2.C3.A4.B5.D6.D7.B8.C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小眄紿出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部允選對的得部分分，不選或有選錯的得。分.

9.ACD10.BC11.ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分?

L8

12.1513.A/214.J

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟?

15.(本小題滿分13分)

解：(1)在△NBC中，A-[-B+C—it,所以sinC=sin(兀一C)=sin(/+2).

因為sin(B—N)+?sirb4=sinC,

所以sin(5—N)+港sirb4=sin(/+3),化簡得RsinJ=2cosEsinz(...................................4分

因為/G(0,兀)，所以sirv4r0,cos5=乎.

因為OVBVe所以......................................................6分

(2)法1：設(shè)BC=x,/BAC=3則CM=2x.

由(1)知5=?又/C4四節(jié)所以在AZSM中，ZAMC=-0.

在ZX/BC中，由正弦定理得.即懵=盤①..................8分

smZBACsmBsin。,n

啊

在△NCW中，由正弦定理得與篙=4%，即—②..：.......10分

s.m9ZCAMs\nM.n

siqsin(~—(9)

亞

①+②，得熹=矍，即2sin8cose=+所以sin20=：............................................12分

2

因為昨(0,金，205(0,第，所以2。=2喏，故，=凈唔..................13分

法2：設(shè)5C=x,則CM=2x,BM=3x.

因為/?！?手=8,所以△HCAfs△砌“，因此翟=攜，

4BMAM

所以/M=5MCM=6X2,AM=y/6x.............................,............................................8分

在中,由正弦定理得嬴陽=給’即住應(yīng)=賀,

2-

而三數(shù)學(xué)試卷第L頁(共7頁)

化簡得sinNBZM=坐.....................................................

因為NA4M￡(0,所以N加%=與或孕，ZBAC=ZBAM~^,

葉JJ4

故/切C="或駕............................................................

1NI4.

16.(本小題滿分15分)

解：⑴證明：取44|的中點M,連接MP,MB.

在四棱臺/28—4囪3。1中，四邊形44DQ1是梯形，小。[=2,ZD=4,

又點M,尸分別是棱。。的中點，所以〃力。，且-=3....2分

在正方形43CD中，BC//AD,BC=4,XBQ=3QC,所以80=3.

從而MP&BQ,所以四邊形5Mp0是平行四邊形，所以尸0〃"3.................4分

又因為MBu平面NB814，尸0仁平面/83小，所以尸。〃平面力33出....如....功6分

⑵在平面441AO中，作40LW于0.月“C八

因為平面441。。，平面43CD,平面44]OpDri平面M?CD=4D，…

AXOLAD,40u平面4tQiD,所以小0_L平面ZBCD￡A

在正方形ABCD中，過。作48的平行線交BC于點N,則ONLOD./____-/—\D

以｛加，0D,而｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系。一盯z.B憶-----曉I/

因為四邊形山⑷⑷是等腰梯形，小。1=2,AD=4f所以/。=1，又AiA=DiD7m所

以4。=4.

易得3(4,—1,0),。(0,3,0),C(4,3,0),5(0,2,4),P(0,|，2),所以虎=(4,0,

-A1~

0),。尸=(0,2),CB=(0,-4,0).............

法1：設(shè)麗=2拔=(0,-42,0)(0/4<1),

所以詼=皮+的=(4,-42,0).

設(shè)平面尸。0的法向量為w=(x,y,z)，

由空一=0,得f_41+2z=0,取.(縱，4,1),

,m-DQ=0,Ux—42y=0,

另取平面。CQ的一個法向量為"=(0,0,1)...................................12分

設(shè)二面角尸一0D-C的平面角為仇由題意得Icos6|=，1-5仔6=合.

又|cosO|=|cosV,"，"A=7^7”3+17,所以西1)；+17=^

73

解得2=士京舍負(fù))，因此C0=]X4=3,80=1.

所以當(dāng)二面角尸一QO-C的正弦值為鎏時，3。的長為1...................15分

法2：設(shè)0(4,/,0)(—14/&3),所以或=(4,/-3,0).

設(shè)平面尸。。的法向量為"i=(x，V，z).

詢?nèi)龜?shù)學(xué)試卷第2頁(共7頁)

由卜個=。，得卜$+2z=。，取“（3」，％1）,

、m，DQ=O,14工+（/—3?=0,

另取平面DC0的一個法向量為〃=（0，0,1）..................................................................12分

設(shè)二面角P—QD-C的平面角為6,由題意得|cos0|川]-3.夕=忘.

又IcosdUlcosV孫〃＞匚向而=布并行'所以訴二福行=強(qiáng)'

解得，=0或6（舍），因此80=1.

所以當(dāng)二面角尸一0。一。的正弦值為噤時，80的長為1.........................................15分

法3：在平面AXADD\中，作PHUD,垂足為H.

因為平面小月。。_L平面ABCD,

平面AiADD}H平面ABCD=AD,

PH工AD,

'PHu平面44ODi，

所以P//J_平面ZBCC,

又DQu平面ABCD,

所以PMLQ0.

在平面03CD中，HG±DQ,垂足為G,連接PG.

因為尸HLDQ,HGLDQ,PHCHG=H,PH,HGu平面P〃G,

所以。0_L平面尸HG,

又PGu平面PHG,

所以。0_LPG.

因為的_LD0,PG工DQ,

所以NPG"是二面角P-QD-A的平面角................................9分

在四棱臺N3CD—451C0i中，四邊形小ZD。是梯形，

小。1=2,ND=4,AiA=DiD=p,點尸是棱的中點，

所以尸H=2,DH”

設(shè)B0=x（04W4）,貝lJCQ=4-x,DQ=y]42+（4~x）2=^/x2-8x+32,

在△QHD中，=$y]x2_8x+32xHG,

2

從而HG=,A=..........................12分

■\JX2-8X+32

因為二面角P-QD-C的平面角與二面角P-QD-A的平面角互補，

高三數(shù)學(xué)試卷第3頁（共7頁）

所以sinNPGH=^^,

2o

從而tanZPGH=5.

pH

所以在RtZkPHG中，前=雙一8x+32=5,

解得x=l或x=7(舍).

所以當(dāng)二面角P-QD-C的正弦值為蜜時，BQ的長為1..............................15分

17.(本小題滿分15分)

解：⑴記電壓”不超過200V“、“在200V?240V之間"、"超過240V”分別為事件4B,C,“該

機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D

因為gV(220,2()2),所以尸⑷=P(UW200)=l一尸".；2<〃+5=]一；6色16,

尸(8)=尸(200VUV240)=P0，-cVZV/+(r)=0.68,

?、\-P(ji-a<Z<n+o)1-0.68

尸?=P(CZ>240)=------比-2——~=-2-=0-16.......................................................4分

所以尸(。)=尸(4)尸(。|4)+P(3)P(D|2)+P(C)P(。10=0.16X0.15+0.68*0.05+0.16X0.2=0.09,

答：該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09.....................................................................7分

⑵從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取"件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則45(〃，0.09)，

所以P"=P(Y=2)=C；O.91"T().O92..........................................................................................11分

p"+lC30.91"-L0.092_〃+I

由XO.91>1,解得n<—..........................13分

Pn寸0.91心0.092—〃一］

所以當(dāng)"W21時，Pn<Pn+]<當(dāng)"222時，pn>Pn+W所以222最大.

因此當(dāng)〃=22時，P”最大.....................................................15分

18.(本小題滿分17分)

解：(1)由右焦點為網(wǎng)1，0),得c=l.

因為=a|"尸|,所以|4一=a(q—1)................................................................2分

若則a—4=a(a—1),得2a+4=0,無解.

22

若aV4,則4—a=a(a—1),得『=4,所以房=3,因此c的方程為^■+《=1........5分

(2)設(shè)8(4，。，易知過8且與。相切的直線斜率存在，

設(shè)為y-t=k(x—^.

僅一，=加—4),

聯(lián)立3

消去y得(3+4dW+8HL4%)x+4(L4?2-i2=0.

由4=64砍/一4左)2-4(3+4羚[4(/一4?2—12]=0,

得12尸一8戊+/一3=0.

o#2/t"-3

設(shè)兩條切線5H3。的斜率分別為如k29則高+后=登=亍，2#2=丁.........9分

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁(共7頁)

①設(shè)班1的斜率為描則后=士=/斗士工

因為用+超昔=2描所以5PBF,50的斜率成等差數(shù)列.,?…:三*

②法1：在廣-/=%|&-4）中，令x=0,得力=/-4e，所以尸（0,/一4鬲乂g二^^1_"產(chǎn)

同理，得0（0,/—4%，所以尸。的中垂線為＞=/-2的+%.\

易得AP中點為（2,/—2舟），'）/

所以5尸的中垂線為7=-4-2）+/一2片..............................'''V......13分/'

K\-----

%=f—2（左1+”2）,

聯(lián)"/=_於_2）+/-2吊,解得N（2k]k2+2,，—2出十比））.

所以福=（一2南用一2,2后一2肩），NQ=（-2k]k2~2,2b一2杯

要使福亞=0,即4（上水2+1）2—4（鬲一后）2=0,

整理得為貶+11=1右一后|.....................................................15分

而依I—超|+k?—4kik2=yj（爭2_4-^^=13日?

所以[H+]I=讓/2,解得?=7,/=士巾，因此18M=巾...................*分

故存在符合題意的點8,使得標(biāo)■福=0,此時四切=干.

法2：在r=&（x-4）中，令x=0,得力=7—4的，因此尸（0,r—4后）.

同理可得。（0,?—4⑸，所以尸0的中垂線為、=/一2（宿+上2）.

因為AP中點為（2,/—2*0，'o

所以AP的中垂線為（=一如-2）+/—2向...............

13分

y=t—2（k]+k2）,

聯(lián)立尸一為-2）+/—2用,解得XN=2鬲心+2.

、七1

要使而福=0,則NR\@專，所以"|=粵^,

即|2肩%2+2|=2|鬲一后21?.....................................................15分

而Ik}-k2\=7（舟+左2）2—4鬲4=Y（李）2—4,會=4^.

所以II="'3+3解得廣=7,/=±市，因此田M=市...................17分

故存在符合題意的點2，使得心?福=0,此時|BM=巾.

法3：要使N/W0=9O。，即/尸30=45?；?35。.__________

從而阿加?？冢謙an/M0=皆3,所以告瑞=1,百;每卷4

因為|鬲一后21=.（向+扁）2_4鬲42=4號）2_4，片標(biāo)=寸'；+9,,….----........15分

所以4^=1+號，解得，=7,/=士巾，所以伊〃1=干........。匕.........17分

而三數(shù)學(xué)試卷第5頁（共7頁）

故存在符合題意的點3,使得行?愈=0,此時|8M|=巾.

法4：要使NPNQ=90。，即NP80=45°或135°.

從而|cosNPBQ|="R3巴=乎......................13分

\BP\-\BQ\

在.一4）中,令x=0,得/=/—4抬，故尸（0,f—4&）.

同理可得0（0,/一%）.

因此蔗=（一4,一4自），麗=（-4,-4%.

所以奇麗16tl6絲2一啦,

\BP\-\BQ\/1+婷，4"+后22,

故鎮(zhèn)（1+k\ki）=yj1+^I2^22+^I2+^22>即2+2用2222+4%62=1-{-kx'k-i-^-k^-Vki>

整理得鬲2近2+6鬲后+1=出+&）2.............................................15分

所以（不當(dāng)2+6-[^+1=（爭2,整理得「+2,2—63=0,解得P=7或一9（舍去），

因此/=±市，|BM=巾.....................................................17分

故存在符合題意的點8,使得林福=0,此時田M=市.斗一/B

法5：要使N2WQ=90。，即/尸20=45?；?35。.

在、一/=肩。-4）中，令x=0,得加『一4肩，故尸（0,L4d……|…?”分

同理可得。（0,/—4后2）.一必7

由等面積法得11PQI-I物I=Sa，%=￡\BP\\BQ\%

即54肩一4檢|?4g4W+.Wl+屆平,整理得出+島后+1......15分

所以（岸）2=（m）2+6目+1,整理得F+2/2-63=0,解得，=7或一9（舍去），

因此r=±或，...........................................17分

故存在符合題意的點8,使得沛?福=0,此時18M=市.

19.(本小題滿分17分)

解：(1)因為。=2,

所以/