2024屆山東濟(jì)南市數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆山東濟(jì)南市數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)全集為R,集合A={x[0<x<2},B={x|x>l},則A=

A.1x|0<%<11B.1%|0<x<l}C.^x|l<x<21D.1%|0<x<21

2.已知A,B,C,。是球。的球面上四個不同的點，若====5c=2,且平面DBC,平面ABC,

則球。的表面積為（）

207115萬,

A.------B.------C.67rD.57r

32

3.在AABC中，OA+OB+OC=Q>AE^2EB>|AB|=2|AC|,若AC=9AO-EC，則實數(shù)4=（）

V39布V6A/6

A?15?c?\JN?

3232

4.一個四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖），則這個四棱錐中最最長棱的長度是

（俯視用）

A.276B.4C.2GD.2A/2

5.已知"：|x+l|>2,q-.x>a,且R是F的充分不必要條件，則。的取值范圍是（）

A.a<\B.a<-3C.a>-lD.a>l

6.下列不等式正確的是（）

A.sin130>sin40>log34B.tan226<In0.4<tan48

C.cos(-20)<sin65<Igll

D.tan410>sin80>log52

7.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究，第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切

正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得萬

的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種乃值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使

得萬值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式：^=2X2X4X4X6X6X,根據(jù)該公式繪制出了估

計圓周率兀的近似值的程序框圖，如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的T>2.8,若判斷框內(nèi)填入的條件為左上機(jī)？，

則正整數(shù)機(jī)的最小值是

A.2B.3C.4D.5

8.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（1646年-1716年）于1674年得到了第一個關(guān)于兀的級數(shù)展開式，該公式于明朝初年傳入我國.在

我國科技水平業(yè)已落后的情況下，我國數(shù)學(xué)家.天文學(xué)家明安圖（1692年-1765年）為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平，從乾隆初

年（1736年）開始,歷時近30年，證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級

數(shù)公式，著有《割圓密率捷法》一書，為我國用級數(shù)計算"開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于兀的級

數(shù)展開式”計算花的近似值（其中P表示兀的近似值）,若輸入”=10,則輸出的結(jié)果是（）

[^）

/輸入〃/

1111、1111、

A.P=44Z(l——+-------+…+—)B.P=44Z(l——+------+---------)

3571735719

n…1111、1111、

C.P=4(l——+-------+…+—)D.P=44Z(l——+------+---------)

3572135721

9.已知函數(shù)/■（x）=（2a+2）lnx+2辦？+5.設(shè)若對任意不相等的正數(shù)再，/，恒有,（%）二28,

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-3,-1）B.（—2,—1）

C.(-00,-3]D.(-oo,-2]

10.已知底面為邊長為2的正方形，側(cè)棱長為1的直四棱柱A3CD-A4G。中，P是上底面上的動點.給

出以下四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）

①與點。距離為逝的點P形成一條曲線，則該曲線的長度是g;

②若。P〃面AC4,則。。與面ACG4所成角的正切值取值范圍是］豐，、歷；

③若DP=小,則OP在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為60.

A.0B.1C.2D.3

11.二項式（?+義）”的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是（）

廠

A.180B.90C.45D.360

12.如圖所示，為了測量4、3兩座島嶼間的距離，小船從初始位置C出發(fā)，已知A在C的北偏西45。的方向上，B

在C的北偏東15°的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達(dá)E處，此時測得B在E的北偏西30°的方向上，再開回C處,

由C向西開2n百海里到達(dá)。處，測得A在。的北偏東22.5。的方向上，則4、3兩座島嶼間的距離為（）

C.4D.4A/2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在ABC中，內(nèi)角A,5c的對邊分別是a,4c,若a1/=?c，sinC=26sinB,則4=

14.已知函數(shù)“￡）=爐+2/'⑴Inx,則曲線y=/（x）在x=l處的切線斜率為.

22

15.若橢圓C：土+Y—=1的一個焦點坐標(biāo)為(0,1),則c的長軸長為.

mm-1

16.記數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，已知2s“—%+1="%+1),且。2=5.若根〉才，則實數(shù)心的取值范圍為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

—1

17.(12分)已知函數(shù)/(%)=/-依+9,其中々>一1.

(I)當(dāng)，=1時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)丸(尤)=/(x)+以一；12—In%,求證：h(x)>2?

(III)若/(%)23爐+%+6對于xeR恒成立，求b—。的最大值.

18.(12分)記無窮數(shù)列｛a,,｝的前幾項中最大值為此，最小值為外，令〃="手生，則稱也｝是也卜極差數(shù)

列”.

(1)若=3〃-2,求｛〃｝的前“項和；

⑵證明：也｝的“極差數(shù)歹！J”仍是也｝;

(3)求證：若數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛q｝也是等差數(shù)列.

19.(12分)已知函數(shù)“力=竺^^(?！?)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的兩個零點為-3和0.

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃龍)的極小值為文3,求/(%)在區(qū)間[—5,+8)上的最大值.

20.(12分)已知橢圓C:5+V=l的左、右焦點分別為耳，鳥，直線/垂直于工軸，垂足為T,與拋物線/=4%交于

不同的兩點P,Q,且耳尸?瑪。=—5,過尸2的直線加與橢圓。交于43兩點，設(shè)6Z=X鳥5,且2,—1].

(1)求點T的坐標(biāo)；

(2)求|出+尊|的取值范圍.

21.(12分)設(shè)數(shù)列｛a“｝的前"項和S”滿足2S"=〃a”+〃，neN+,a2=2,

(1)證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，并求其通項公式；

(2)設(shè)么=II—,求證：(=4+&++bn<1.

anyan+l

22.(10分)已知函數(shù)〃尤)=包絲，g(x)=x-cosx-sinx.

(I)判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,3乃)上零點的個數(shù)，并證明；

(II)函數(shù)/(￡)在區(qū)間(0,3萬)上的極值點從小到大分別為芯，x2,證明：/(%1)+/(x2)<0

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

分析：由題意首先求得CR5,然后進(jìn)行交集運算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由題意可得：CRB=[X\X<\},

結(jié)合交集的定義可得：An(CfiB)={0<x<l}.

本題選擇B選項.

點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

2、A

【解題分析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案.

【題目詳解】

如圖，

取BC中點G,連接AG,DG,則AGLBC,DG±BC,

分別取ABC與一DBC的外心E,F,分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O,

則O為四面體A—BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的邊長為且，則OG=Y6，

33

???四面體A—BCD的外接球的半徑R=7OG2+BG2=］件丫+付=,

二球O的表面積為4兀x(J|)2=一.

故選A.

【題目點撥】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

3^D

【解題分析】

將A。、EC用A3、AC表示，再代入48?4。=940?石。中計算即可.

【題目詳解】

由。A+OB+OC=0，知。為AABC的重心，

211一

所以AO=§><5(AB+AC)=3(AB+AC),又AE=2EB，

22

所以EC=AC—AE=AC—§AB,9A。?EC=3(A3+AC)?(AC—AB)

22gcK,-2-2：IAB|仔底

=ABAC-2AB+3AC=ABAC>所以2A5=3AC，=7777:==—-

故選：D

【題目點撥】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.

4、A

【解題分析】

作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.

【題目詳解】

根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且AD=A3=2,BC=4,

上4,平面ABC。，且PA=2,

PB=722+22=2V2?PD=A/22+22=272?CD=2叵,PC=y]p^+AC2=74+20=276>

.?.這個四棱錐中最長棱的長度是2#.

故選A.

【題目點撥】

本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解題分析】

“力是f的充分不必要條件”等價于“〃是。的充分不必要條件”，即q中變量取值的集合是。中變量取值集合的真子

集.

【題目詳解】

由題意知：。:|x+l|>2可化簡為{x|x<—3或x>l},q-.x>a,

所以9中變量取值的集合是P中變量取值集合的真子集，所以aNl.

【題目點撥】

利用原命題與其逆否命題的等價性，對"是F的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，使問題易于求解.

6、D

【解題分析】

根據(jù)sin40<1<log34,In0.4<0<tan226,cos(-20)=sin70>sin65,利用排除法，即可求解.

【題目詳解】

由sin40<1<log34,In0.4<0<tan226,cos(-20)=cos20=sin70>sin65,

可排除A、B、C選項,

又由tan410=tan50>1>sin80>g=log5書>log52,

所以tan410>sin80>log52.

故選D.

【題目點撥】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答

的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解題分析】

OOQ

初始：k=l,T=2,第一次循環(huán)：T=2x^xj=|<2.8,k=2,繼續(xù)循環(huán)；

第二次循環(huán)：r=|x|x|=-^>2.8,k=3,此時T>2.8,滿足條件，結(jié)束循環(huán)，

所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是％23?,所以正整數(shù)機(jī)的最小值是3,故選B.

8、B

【解題分析】

執(zhí)行給定的程序框圖，輸入〃=10,逐次循環(huán)，找到計算的規(guī)律，即可求解.

【題目詳解】

由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入”=10,可得：

第1次循環(huán)：s=l,i=2.

第2次循環(huán)：S=l-1,z=3；

第3次循環(huán)：S=l-^+1,z=4；

35

第10次循環(huán)：S=1---1------1----,z=11>

35719

此時滿足判定條件，輸出結(jié)果P=4S=4（1—,+工—工+——L）,

35719

故選：B.

【題目點撥】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計算，得到程序框圖的計算功能是解

答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解題分析】

求解/(%)的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)和尤2,構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.

【題目詳解】

/(X)的定義域為(0,+8),)=2a+2+4^=2(2ar+6z+l)>

XX

當(dāng)4<-1時，f(x)<0,故/(x)在(0,+8)單調(diào)遞減；

不妨設(shè)玉<%2，而a<-l,知/(%)在(0,+8)單調(diào)遞減，

從而對任意X］、尤2e(0,+8)，恒有>8,

玉一4

即2)|冽國一司,

/(%)-/(巧)28(范一％),f(xl)+8xl>f(x2)+8x2,

令g(x)=/(x)+8x,貝!|g，a)=2t2+4s:+8,原不等式等價于g(x)在(0,+。)單調(diào)遞減，即

JV

〃+1C4,八

-----b2ox+4<0,

x

從而=@口—2,因為住二￡—22—2，

2必+12%2+12%2+1

所以實數(shù)a的取值范圍是(-匕-2］

故選：D.

【題目點撥】

此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.

10、C

【解題分析】

①與點。距離為g的點尸形成以2為圓心，半徑為0的;圓弧MN,利用弧長公式，可得結(jié)論；②當(dāng)尸在A(或

G)時，QP與面ACG4所成角N%。(或NOCQ)的正切值為好最小，當(dāng)尸在。1時，0P與面ACGA所成角

3

/。。1。的正切值為0最大，可得正切值取值范圍是［g,啦］;③設(shè)尸(X,y,1),則￡+：/+1=3,即/+/=2,

可得OP在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和.

【題目詳解】

如圖：

①錯誤，因為D［P=QDPJDD：=一J=后，與點。距離為四的點P形成以2為圓心，半徑為3的

,圓弧MN,長度為12兀?、歷=走兀;

442

②正確，因為面〃面Aca，所以點P必須在面對角線AG上運動，當(dāng)P在A（或G）時，0P與面ACGA

所成角（或ZDG。）的正切值為好最?。ā橄碌酌婷鎸蔷€的交點），當(dāng)p在。?時，。。與面ACGA

3

所成角NDQ。的正切值為企最大，所以正切值取值范圍是1］一,、笈；

③正確，設(shè)。（羽y,l）,則必+產(chǎn)+1=3,即必+必=2,。。在前后、左右、上下面上的正投影長分別為尸口，

（1~~^■2T、

r，所以六個面上的正投影長度之石［+卜y+1X+1

4U，6+/2（//+1+022J^+A/2=60,

當(dāng)且僅當(dāng)P在。?時取等號.

故選：C.

【題目點撥】

本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強，屬于難題.

11、A

【解題分析】

試題分析：因為（?+=）”的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以”=10,

X

o5_55

4M=C?（6嚴(yán)，？#）=無丁,令5_y=0,則廠=2,4=4盤）=180.

考點：1.二項式定理；2.組合數(shù)的計算.

12、B

【解題分析】

先根據(jù)角度分析出NC5E,NACB,Nn4c的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到AC的長度，再根據(jù)正弦定理計算出的

長度，最后利用余弦定理求解出AB的長度即可.

【題目詳解】

由題意可知：ZACB=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,NBCE=75°,ZBEC=60°,

所以ZCBE=180°—75?！?0°=45°,ZDAC=180°-67.5°-45°=67.5°,

所以NZMC=NADC,所以。4=。。=2指，

又因為.皆叱=.C：所以5c=20x，3=#，

sinZBECsinZCBE2

所以A5=VAC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=，24+6—2x2&x&x；=3&.

故選：B.

【題目點撥】

本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

y

【解題分析】

由sinC=26sinB,根據(jù)正弦定理“邊化角"，可得c=2后,根據(jù)余弦定理/=廿+c?—2bccosA,結(jié)合已知聯(lián)

立方程組，即可求得角A.

【題目詳解】

sinC=2^3sinB

hc

根據(jù)正弦定理：--=--

sinBsinC

二可得c=2回

根據(jù)余弦定理：?2=Z?2+c2-2/JCCOSA

由已知可得：a2-b2^yf3bc

c=2cb

故可聯(lián)立方程：\a2=b2+c2-2bccosA

a2—b2=y/3bc

解得：cosA=.

2

由0<

AA=—兀

6

故答案為：?

6

【題目點撥】

本題主要考查了求三角形的一個內(nèi)角，解題關(guān)鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力

和計算能力，屬于中檔題.

14、-2

【解題分析】

求導(dǎo)后代入x=l可構(gòu)造方程求得了'(1),即為所求斜率.

【題目詳解】

r(x)=2x+^^,.?/⑴=2+2/'⑴,解得：/”)=-2,

X

即y=/(x)在尤=1處的切線斜率為-2.

故答案為：-2.

【題目點撥】

本題考查切線斜率的求解問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

15、2&

【解題分析】

由焦點坐標(biāo)得加2-1-機(jī)=1從而可求出加=2,繼而得到橢圓的方程，即可求出長軸長.

【題目詳解】

解：因為一個焦點坐標(biāo)為(04)，則加之―1—m=1,即7*2——2=0，解得772=2或7〃=—1

2222

由土+1^=1表示的是橢圓，則m>0,所以771=2,則橢圓方程為乙+二=1

mm-132

所以a=A/3,2a=2^/3?

故答案為：26.

【題目點撥】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略機(jī)＞0,從而未對的兩個值進(jìn)行取舍.

16-.(2,+oo)

【解題分析】

根據(jù)遞推公式，以及4,5“之間的關(guān)系，即可容易求得a,,,，，再根據(jù)數(shù)列寸的單調(diào)性，求得其最大值，則參數(shù)的范

圍可求.

【題目詳解】

當(dāng)〃=2時,2s2—%+1=2(%+1)，解得§2=8.所以%=3.

因為2s“一%+1=n(an+1),

則2s“+1-an+1+l=(n+l)(an+1+1),

兩式相減，可得2aHI=(九+2)%+1-(“+1)4+1,

即nan+l-(n++1=0,

則(〃+l)a“+2-("+2)a〃+i+1=0.兩式相減，

可得?！?2-2%+i+a〃=0.

所以數(shù)列｛4｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以?！?2〃+1,則今=旦也.

qa2

令'二b，則〃-h-

《2〃n人」4+i°n—2〃+i,

當(dāng)〃N2時，bn+1-bn＜0,數(shù)列抄〃｝單調(diào)遞減，

315

而々=5，%=2,b=—

/O39

故機(jī)＞2,即實數(shù)旭的取值范圍為(2,+8).

故答案為：(2,+oo).

【題目點撥】

本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式，涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬綜合困難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0)；(II)證明見解析；(III)1+-.

e

【解題分析】

(I)利用二次求導(dǎo)可得廣'(尤)=e'+l>0,所以廣(x)在R上為增函數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)/(尤)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),

單調(diào)減區(qū)間為(-8,0);(II)利用導(dǎo)數(shù)可得O(x)=h\x)=ex在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點,所以函數(shù)/z(x)在(0,%)

X

遞減，在(%,+8)遞增，則/?(%)=*-/啄=2?-/%,進(jìn)而可證；(UI)條件等價于d-6-X..6對于xeR恒

成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e,-ax-無，利用導(dǎo)數(shù)可得g(x)的單調(diào)性，即可得到g(x)的最小值為

g(力(。+1))=。+1-(0+1)歷(a+1),再次構(gòu)造函數(shù)。(a)=1-(?+W?+l),a>—1,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而

求得最大值.

【題目詳解】

10

(I)當(dāng)a=l時，/(x)=s'—x+—x~,

則W-1+X,所以尸(0)=0,

又因為又(x)="+1>0,所以f\x)在R上為增函數(shù),

因為/'(0)=0,所以當(dāng)％>0時，/。)>0,f(x)為增函數(shù)，

當(dāng)x<0時，/'(尤)<。，為減函數(shù)，

即函數(shù)Ax)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-*0)；

(II)h(x)=ex—OX+—X12+ax—-^—lnx=ex—Inx,

22

11r-

貝?。萘?(x)=〃(尤)=e*-—,則9(1)=e-l>0,夕(一)=&-2<0,

x2

所以9(%)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點，

1辦1

設(shè)零點為X。，則XoCQJ),且淖=一,

2xo

當(dāng)％￡(0,%)時,hr(x)<0,當(dāng)％￡(%o，+00),hr(x)>0,

所以函數(shù)皈X)在(0,%)遞減，在(%,+8)遞增，

h(x)..h(x0)=e%—lnxQ=——lrvc0,

由*=工，得所以%(%)=%+,..2,

X。%。

由于％o￡(~/)，%(%())>2,從而/z(x)>2；

(ID)因為了(%)..；1%2+%+〃對于X￡R恒成立，即，-依-%..。對于R恒成立，

不妨令g(x)=ex-ax-x,

因為g'(x)=e*-(。+1),a>—1,

所以g'(X)=0的解為％=ln(a+1),

則當(dāng)%>歷3+1)時，g\x)>0,g(x)為增函數(shù)，

當(dāng)％〈歷(Q+1)時，g\x)<0,g(x)為減函數(shù)，

所以g(%)的最小值為g(加3+1))=〃+1-3+D歷3+1)，

貝！]/?一④1一(a+T)ln(a+1),

不妨令。(。)=1-(。+1)加(。+1),a>—l9

貝!I0，(a)=~ln(a+1)-1=0,解得〃=—]+!，

e

所以當(dāng)。<-1+1時，0'(a)>0,(P(a)為增函數(shù)，

e

當(dāng)。>-1+1時，(P'(a)<0,(P(a)為減函數(shù)，

e

所以9(?)的最大值為e(-i+3=i+L

ee

則人—a的最大值為1+'.

e

【題目點撥】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法，意在考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)

運算能力，屬于較難題.

33

18、(1)-n2——n(2)證明見解析(3)證明見解析

44

【解題分析】

(1)由｛4｝是遞增數(shù)列，得或=“J—1=|(九—1),由此能求出也｝的前”項和.

(2)推導(dǎo)出(九=1,2,3,…),max{bi,b2,---,bn]~rmn{bl,b2,---,bn}=bn-bt=bn,由此能證明也}的“極差

數(shù)列”仍是也｝.

，、1\A—mM—mM—MIV—TY!

(3)證當(dāng)數(shù)列出｝是等差數(shù)列時,設(shè)其公差為d',bn-或T=口一一—=n'I——=曰=d，,

2222

｛4｝是一個單調(diào)遞增數(shù)列，從而M“=a“，m”=%,由優(yōu)>0,d'<0,d'=0,分類討論，能證明若數(shù)列也｝是

等差數(shù)列，則數(shù)列｛凡｝也是等差數(shù)列.

【題目詳解】

IV/f_

⑴解：???無窮數(shù)列｛4｝的前〃項中最大值為M“，最小值為根“，b“=%"，4=3”2,

｛??｝是遞增數(shù)列，:.bn=力:-1=j(n-l),

...也｝的前“項和S“=^?叢曰=|n2-1?.

(2)證明：.max1%,4,…,a”｝Vmax.,%…,%+1｝(九=1,2,3,…),

n^x[al,a2,---,an+l]-vmn[al,a2,---,an+1]>max｛o1,a2,---,a?｝-min(a1,a2,---,afi｝(ra=l,2,3,---),

?Mi池("=L2,3,…)，

,:4=/—。]=o,

max他也，…,包｝一min也也，…,〃｝=2一々=bn,

???也｝的“極差數(shù)列”仍是也｝

(3)證明：當(dāng)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為d’,

b_b/-Si_此一此]外一”「：,

nn~l~22—22

根據(jù)M”，網(wǎng)，的定義，得：

M?>Mn_x,mn<mn_x,且兩個不等式中至少有一個取等號，

當(dāng)%>0時，必有此>此_】，.?.4=此〉心_后峭，

???｛4｝是一個單調(diào)遞增數(shù)列，%=%,

:?b-b_]冊-%_%-?！ㄒ?_冊41_?

nn222

6—%_]=2/,???{q}是等差數(shù)列,

當(dāng)d'vO時，則必有加an=mn<mn_x<an_x,

.??｛凡｝是一個單調(diào)遞減數(shù)列，...%=6，外=。"

22

?。?{%}是等差數(shù)列,

:?an—an_x=-2d1

r,,

7-mnM

當(dāng)M=0時，b「b“_i='——!

222

中必有一個為

VM“—Mn_x,mn-mn_x0,

根據(jù)上式，一個為0,為一個必為0,

Mn=Mn_x,mn=m,i，

二數(shù)列｛4｝是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列.

綜上，若數(shù)列也｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛%｝也是等差數(shù)列.

【題目點撥】

本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方

法，屬于難題.

19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(—3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,-3)和(0,+8)；(2)最大值是5e5.

【解題分析】

(1)求得/⑺="+(2"2)x+)—c,由題意可知_3和o是函數(shù)g(x)=—6^+(2。—b)x+6—c的兩個零

點，根據(jù)函數(shù)y=g(%)的符號變化可得出y=/'(*)的符號變化，進(jìn)而可得出函數(shù)丁=/(力的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減

區(qū)間;

f(-3)=-e3

(2)由⑴中的結(jié)論知，函數(shù)y=/(x)的極小值為/(—3),進(jìn)而得出g(0)=0，解出。、6、c的值，然后

g(-3)=0

利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-5,+8)上的最大值.

【題目詳解】

(2ax+b^ex(?+bx+c^ex-ax2+(2a-Z?)x+(b-c)

(1)/(x)=

■(4

令g(x)=—ax2+(2a—b)x+b—c,

因為e，>0,所以y=/'(x)的零點就是g(x)=—分2+(2?！猙)x+b—c的零點，且為《)與g(x)符號相同.

又因為a〉0,所以當(dāng)—3<%<0時，g(x)>0,即/'(x)>0；當(dāng)x<—3或%>0時，g(x)<0,即/'(x)<0.

所以，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(—3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(f,—3)和(0,+。)

(2)由⑴知，x=—3是/(%)的極小值點,

9a—3b+c3

八-3)=-/—=-e

所以有g(shù)(0)=》-c=0,解得。=1,b=5,c=5,

g(-3)=-9a-3(2a-6)+6-c=0

所以〃力=*+5：+5

因為函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(—3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(f,—3)和(0,+“).

所以〃0)=5為函數(shù)y=/(%)的極大值,

故y=/(X)在區(qū)間［—5,+8)上的最大值取/(-5)和”0)中的最大者，

而/(一5)=奈=5e5>5=/(0),所以函數(shù)y=/(%)在區(qū)間［―5,+8)上的最大值是5e5.

【題目點撥】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，考查計算能力，屬于中等題.

91372

20、(1)T(2,0)；(2)

，—8-

【解題分析】

(1)設(shè)出P,Q的坐標(biāo)，代入KP-《Q=—5,結(jié)合P,Q在拋物線/=4x上，求得P,Q兩點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得T

點的坐標(biāo).

(2)設(shè)出直線機(jī)的方程，聯(lián)立直線機(jī)的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合片4=4月8,求得|Z4+ZB(的表達(dá)

式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得。4+竊的取值范圍.

【題目詳解】

(1)可知片(一1,0),月(1,0),

設(shè)。(％0,%)

2

則FlP-F1Q=-5=(x0+1,%)?(&-1,-%)=V-l-y0,

又y2=4x,

所以一5=XQ—1—4x0

解得％=2,

所以T(2,0).

(2)據(jù)題意，直線加的斜率必不為0,

所以設(shè)m:x=O+1,將直線m方程代入橢圓C的方程中，

整理得(產(chǎn)+2)尸+29—1=0,

設(shè)人(石,乂),5(%2，%)，

E2tc

貝！1%+為=-涔*①

3,②

因為耳,=4耳5,

所以％=4%,且x<0,

4,2

將①式平方除以②式得叢+坦+2=-丁二

%%『+2

14產(chǎn)

所以2+^+2=-

2產(chǎn)+2

9

/IG[—2,—1],又解得04「《亍

4儼+1)

又以+毒=(%+9-4,%+%)，xl+x2-4=t(y1+y2)-2=二2，

22

所以+=(x1+x2-4)+(y1+y2)=16--^1-+-

1十N\t+2)

1

令〃=

7+2

71

則〃￡

1652

所以惘+卿=8/—28〃+16=8(〃—j-ye4,等

miuirFIR、/7

TA+TBe2,@L