2024年中考數(shù)學 二次函數(shù)中的10類定值、定點問題（含答案）

高考復習材料

二次函數(shù)中的10類定值、定點問題

二次函數(shù)背景下的定值與定點問題，解析法類似于高中，但并不超綱！因為解題方法比較特殊,

同學們要專門學習和練習，才能在考場上應對自如，這些方法包括聯(lián)立、轉(zhuǎn)化等，對同學們的代數(shù)

功底與幾何功底都有較高的要求.

■CT"題型?解讀/

知識點梳理題型五比值為定值

一、定值問題2024年廣西欽州市一模

二、定點問題2024福建廈門一中模擬

2024年福州市屏東中學中考模擬

題型一面積定值

武漢?中考真題

2024?山東淄博?中考真題題型六橫（縱）坐標定值

2024?福建廈門三模

2024?湖北潛江、天門、仙桃、江漢油田?中考真

題型二線段長為定值

題

2024屆湖北天門市九年級月考2024屆湖北潛江市初12校聯(lián)考

2024屆福建龍巖市統(tǒng)考期中題型七角度為定值

2024?西藏?中考真題

2024?成都武侯區(qū)西川中學三模

題型二線段和定值

四川樂山?統(tǒng)考中考真題

2024廣州市二中月考題型八其它定值問題

2024?四川巴中?中考真題

?浙江湖州?統(tǒng)考一模

2024屆湖北黃石市?九年級統(tǒng)考2024

2024?四川樂山?統(tǒng)考二模2024屆福建省南平市統(tǒng)考

2024??？谌A僑中學考模2024年湖北省武漢市新觀察中考四調(diào)

2024?江蘇徐州-4月模擬題型九結(jié)合韋達定理求定點

2024?湖南張家界?中考真題

2024年湖北省武漢市外國語學校中考模擬

題型三加權(quán)線段和定值2024屆武漢市青山區(qū)九年級統(tǒng)考

2024?四川廣元?中考真題2024屆武漢市新洲區(qū)12月統(tǒng)考

2024?四川德陽?中考真題2024屆?福建廈門市第九中學期中

2024?武漢光谷實驗中學中考模擬

題型四線段乘積為定值

2024廣東省梅州市九年級下期中

2024?四川南充?中考真題2024屆福州市九校聯(lián)盟期中

2024屆?武漢市東湖高新區(qū)統(tǒng)考2024年湖北省武漢市新觀察中考四調(diào)

2024屆福建省福州屏東中學月考題型十已知定值求定點

2024屆福州市晉安區(qū)統(tǒng)考

2024?福建福州??？既?024屆武漢市洪山區(qū)九年級統(tǒng)考

2024屆湖北省武漢市新洲區(qū)九年級上期中

2024年廣州市天河外國語學校中考三模

滿分?技巧/

高考復習材料

知識點梳理

一、定值問題

一般來說，二次函數(shù)求解幾何線段代數(shù)式定值問題屬于定量問題，方法采用：

1.參數(shù)計算法：即在圖形運動中，選取其中的變量（如線段長，點坐標）作為參數(shù),將要求的定值

用參數(shù)表示出，然后消去參數(shù)即得定值。

2.韋達定理法：當涉及到直線（一次函數(shù)圖象或x軸）與二次函數(shù)交點時，先聯(lián)立方程消去y之

后整理得到一元二次方程，借助韋達定理可得到交點橫坐標與參數(shù)的關(guān)系，可以將要求的定值代數(shù)

式用交點橫坐標的和或積表示，往往會剛好抵消掉參數(shù)，則得到定值。

簡單的引例1如下：若線段/B=x+2,線段PQ=-x+7,那么力B+PQ=x+2—x+7=9;即線段

45與線段PQ的和等于9,是一個定值.

簡單的引例2如下：求證不論m取任何實數(shù)，二次函數(shù)y=x2—2（m+1）x+m（m+2）的圖象

與x軸的兩個交點之間的距離d為定值。通過令y=0,可以求得方程的兩個實數(shù)根分別為xl=m,

x2=m+2,則兩個交點之間的距離d=xl—x2=\m—m—2\=2,是一個定值

二、定點問題

函數(shù)的解析式中除自變量外，還有待定的系數(shù)，此時函數(shù)的圖象會隨著待定的系數(shù)的變化而變

化。圖象變化過程中，有時始終會經(jīng)過某個固定的點，定點問題是一個難點。

方法：使待定的系數(shù)A失去影響力

【例】證明：無論左取何值，拋物線了=/+依-3左都經(jīng)同一定點.

第一步：先找出所有含人的項，再提公因式A

y=x2+kx-3k=x2+上（x-3）

第二步：令與4相乘的因式為0,此時人就不起作用了

令工一3=0,此時y=兀2+左（工一3）=9

在一個函數(shù)中，知x可求修這個坐標就是定點，故無論左取何值，函數(shù)都經(jīng)過定點（3,9）

總結(jié)：因為當x取某個值時，使含左項全部抵消了，即人不起作用了！

【例2】（2024?山東日照真題）在平面直角坐標系*分中，已知拋物線尸-*2+2g+3%，點Z（3,

高考復習材料

證明：無論股為何值，拋物線必過定點O,并求出點。的坐標；

【思路點撥】將拋物線的解析式變形為：y=-x2+m(2x+3),進而根據(jù)2%十3=0,求得x的值.

39

【詳解】證明：,.,y=-N+加(2x+3),?,?當2x+3=0時，即、=—時，y=—,

24

無論m為何值，拋物線必過定點。，點D的坐標是［-5,

【例3】(2024?江蘇連云港?真題)已知二次函數(shù)歹=d+(m-2)x+m-4,其中冽＞2.求證：二次函

數(shù)歹=7+(m—2)x+加—4的頂點在第三象限

2-m—m2+8m—20

【思路點撥】先根據(jù)頂點坐標公式求出頂點坐標為,然后分別證明頂點坐標

24

的橫縱坐標都小于0即可;

2—m—m2+8m-20

【詳解】解：由拋物線頂點坐標公式得頂點坐標為

24

2—YYI

*.*m>2,m-2>0,2-m<0,-------<0.

2

高考復習材料

m

+8加20=_j_(加―彳了-1<-1<O,?,?二次函數(shù)+(m-2)x+m-4的頂點在第三象限.

44

題型一面積定值

2024?山東淄博?中考真題

1.如圖，拋物線y=-N+bx+c與x軸相交于4,2兩點(點/在點2的左側(cè))，頂點。(1,4)在

4

直線/：y=-x+t±,動點P(m,?7)在x軸上方的拋物線上.

(備用圖)

(1)求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；

(2)設(shè)直線NP,AP與拋物線的對稱軸分別相交于點E,F,請?zhí)剿饕?,F,B,G(G是點E關(guān)于x

軸的對稱點)為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面

積；若變化，說明理由.

【答案】(1?=-/+2^+3

(2)定值16

【思路點撥】(1)利用頂點式可得結(jié)論；

(2)如圖，設(shè)加2+2機+3),求出直線4P,AP的解析式，可得點E,尸的坐標，求出PG的

長，可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：?.?拋物線的頂點為。(1,4),

根據(jù)頂點式，拋物線的解析式為y=-(x-l『+4=-x2+2x+3；

(2)解：四邊形NF5G的面積不變.

理由：如圖，設(shè)尸(加,-加2+2加+3),

高考復習材料

?./(TO),5(3,0),

直線AP的解析式為了=-(m-3)x-〃7+3,

E(1,-2加+6),

,:E,G關(guān)于x軸對稱，

Z.G(1,2m-6),

直線PB的解析式為y=-(m+l)x+3(機+1),

.-.F(1,2m+2),

GF=2m+2—(2m-6)=8,

四邊形AFBG的面積=」x48x尸G='x4x8=16,二四邊形AFBG的面積是定值.

22

2024?福建廈門三模

2.已知拋物線y=。尤2_6ax經(jīng)過點.

Ox

(1)求拋物線的解析式及其頂點￡的坐標.

(2)將點A向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點8,若點尸為拋物線上的一個動點，則以

線段FS為直徑的圓與直線y=?29交于點C,D,VECZ)的面積是否為定值？若是，求出它的值；若

不是，請說明理由.

【答案】⑴了=*+6x,(3,9)；

(2)是，匝.

16

【思路點撥】(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為頂點式，求出點E的坐標；

高考復習材料

⑵平移得到點B的坐標，設(shè)廠(。))，兩點間的坐標公式得到即2=(a_3)2+伍-7)2=9-6+伍-7)2,

中點坐標公式，得到8月的中點M的坐標為進而求出點M到直線的距離，利

用垂徑定理，得到(三)+廢=1號]，求出C0的長，再求出點￡(3,9)到直線的距離，然后

利用面積公式進行求解即可.

【詳解】(1)解：將點/。⑸代入>=a/一6辦得，a-6a=5f

u=-1,

y=-x2+6x,

y=-x2+6x=-(x-3)2+9,

，函數(shù)的頂點E的坐標為(3,9).

(2)由題意得，5(3,7),設(shè)廠(〃))，則6=—/+6。=—(Q—37+9,

SF2=(a-3)2+(/>-7)2=9-/?+(Z>-7)2,8尸的中點坐標為(號■，三2],記為點M,

_,、29,.,,7+62926-15

.?.點M到直線y=二的距離為d=丁——-=--一，

4244

由垂徑定理得，[y]+/=(等)，；.=8產(chǎn)=9一6+伍一7)，:.CD。=：,/.

CD=乎,,點￡(3⑼到直線y=彳的距離為/?=9-?=：,

SAECD=-CD-h=-x^-x-=^-,：.MECD的面積為定值.

由22241616

題型二線段長為定值

2024屆湖北天門市九年級月考

3.如圖，已知拋物線>=—/+加工+掰—2的頂點為/,且經(jīng)過點8(3,-3).

高考復習材料

(1)求頂點/的坐標；

(2)如圖，將原拋物線沿射線。/方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線交于C,。兩點,

請問：在拋物線平移的過程中，線段的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請

說明理由.

【答案】⑴。,1)

(2)72,過程見解析

【思路點撥】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標；

(2)根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與CM的解析式，可得C、。點的橫坐標，根

據(jù)勾股定理，可得答案.

【詳解】(1)解：把8(3,-3)代入>=一/+M+加一2得：

-3二—9+3冽+加一2,

解得m=2,

??y——+2x=-(x-1)+1,

頂點N的坐標是(1,1);

(2)在拋物線平移的過程中，線段的長度是定值，

設(shè)直線04的解析式為y=&，把點/的坐標(1」)代入得，l=k,

直線ON的解析式為y=x,

可設(shè)新的拋物線解析式為y=-(x-<7)2+a,

聯(lián)立卜=一—4+“，

y=x

-(X-Q)2+a=x,

x1=a,x2=a-1f

再一%二Q—(Q—1)=1,

/.必=a,y2=x2=a-1f

J必一%=1,

高考復習材料

即C、。兩點的橫坐標的差是1,C、。兩點間的縱坐標的差為1,

CD=-X2)~+(%-%)=J1"+1~=^2,

在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是定值.

2024屆福建龍巖市統(tǒng)考期中

4.已知，拋物線N=；x2+6x+c的對稱軸為直線x=2,拋物線與無軸的另一個交點為N,頂點為

B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，設(shè)直線＞=履-2左(厚0)與拋物線交于C,。兩點，點。關(guān)于直線x=2的對稱點為。外直

線C。'與直線x=2交于點P,求證：3尸的長為定值.

1。

【答案]⑴y=—2x

⑵點P(2,-4)為定點，3尸為定值2

【思路點撥】(1)根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)題意聯(lián)立兩個函數(shù)得出。()+2+J\~+4,左""+左，左~+4),。(左+2—J左~+4,42'—

再由題意確定直線CD的解析式，即可求解.

【詳解】(1)解：,?,拋物線的對稱軸為直線x=2,過原點，可得，

c=0

A[C=0]

一二=2;解得LC；即解析式為：J=-X?2-2X.

2,"22

12

(2)C,D為y=kx-2k與拋物線的交點,

y=kx-2k

v]2；

y=-x-2x

12

高考復習材料

.-.ck+2+揚+4,>+左“2+4),。,+2-J左2+4,左2_后“2+4),

f21

Z)C與。關(guān)于直線x=2對稱，得：D(2—k+yjk+4,k—ky[k^+4

設(shè)直線CQ'的解析式為：y=mx+n,

k+2+“2Tm+n-k2+ky/k2+4

22

2-k+m+n=k-ky/k+4

圖(2)

即直線CD'的解析式為：Y=VF+4X+-2VF+4-4,

當x=2時，y=-4..?.點P(2,-4)為定點，3P為定值2.

2024?西藏?中考真題

5.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=：N+6x+c的圖象與x軸交于/(-2,0),8(4,0)兩點，交y

軸于點C,點尸是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖乙，過4B,P三點作。過點P作尸軸，垂足為。，交。”于點E.點尸在運

動過程中線段的長是否變化，若有變化，求出的取值范圍；若不變，求?！甑拈L.

高考復習材料

【答案】⑴y=gN-x-4;⑵尸(3,-1);(3)沒有變化，2

1。

【思路點撥】(1)由二次函數(shù)了=5一+反+。的圖象與x軸交于/(_2,0),3(4,0)兩點，可得二次函

數(shù)的解析式為1=；(x+2)(x-4),由此即可解決問題.

(2)結(jié)論：點尸在運動過程中線段DE的長是定值，DE=2.根據(jù)根據(jù)方程求出f,再

利用中點坐標公式，求出點￡的縱坐標即可解決問題.

【詳解】解：(1)??,二次函數(shù)y=+c的圖象與x軸交于4(一2,0),8(4,0)兩點，

二次函數(shù)的解析式為y=5(X+2)(X-4),

?12，

即y=—x-x-4

(2)結(jié)論：點尸在運動過程中線段?！甑拈L是定值，DE=2.

理由：如圖乙中，連接NM,PM,EM,設(shè)N(1J),P[m,1(m+2)(m-4)],E(m,n).

乙

由題意4一2,0),AM=PM,

次+/=(…2+[*+2)(…)一日

解得t=l+；(加+2)(加-4),

n+—(m+2)(m—4)

...ME=PM,PEVAB,

2

高考復習材料

二.〃=2/—；(加+2)(加-4)=2[1+；(加+2)(加—4)]--i(m+2)(加-4)=2,:.DE=2,

.,.點P在運動過程中線段的長是定值，DE=2

題型二線段和定值

2024廣州市二中月考

1,

6.已知拋物線>與無軸交于/、2兩點，頂點為C,連接3C,點尸在線段3C下方的拋物

4

線上運動.

如圖，直線P4,尸8分別與了軸交于點E,F,當點尸運動時，OE+。尸是否為定值？若是，試求出

該定值；若不是，請說明理由.

【答案】當點P運動時，OE+。尸為定值，定值為8.

【思路點撥】當點P運動時，OE+。尸為定值.如圖，過點P作尸/_L/3,交43于點I,同(1),

110A4

令尸(見一加2-4),貝1J尸/二-一療+4,可證VOAE:VL4P得OE=——騏=----IP,同理，VBIP:VBOF,

44L4m+4

OR444.321.

得OF=-glP=--IP,于是0E+OF=(--+--)IP='(--z?2+4)=8.

BI4-mm+44-mm-164

【詳解】解：當點P運動時，?！?。尸為定值.

如圖，過點P作尸/_L48,交48于點I,同(1),令尸(加,5/-韋，貝|尸/=-；/+4

,/BAOE=BA1P=90°,DOAE=DIAP

.?.\JOAE:\JIAP

.OE_OA

t9lp~1A

r)A4

/.OE=——g/P=-------IP

IAm+4

同理YBIP:YBOF—=—

'''rOFBO

：.OF=-g^=-^—IP

BI4-m

44_3?1

/.OE+OF=(-------+-------)IP=-------'(--m2+4)=8.

m+44-mm-164

高考復習材料

2024?四川巴中?中考真題

7.如圖1，拋物線y=a/+2x+c,交x軸于/、8兩點，交7軸于點C,尸為拋物線頂點，直線跖

垂直于x軸于點E,當丁之。時，74x43.

圖1圖2

（1）求拋物線的表達式；

⑵點P是線段BE上的動點（除B、E外），過點尸作x軸的垂線交拋物線于點。，如圖2,直線

AD,8。分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點.試問，EM+EN是否為定值？如果是，請求出這

個定值；如果不是，請說明理由.

【答案】（1）_V=-X2+2X+3

（2）?4;②是，定值為8,理由見解析

【思路點撥】（1）由當了20時，-1WXW3,可知玉=-1,X2=3是狽?+2x+c=0的兩根，代入方程

可得a,c從而得解；

（2）①把x=2代入拋物線解析式可得。點坐標，再x=0代入拋物線解析式可得C點坐標，

從而得知線段C0〃x軸，利用配方法可知點尸坐標，從而利用

,四邊孫CFD=S^FCD+SAACD=—CD（^yF-yA）求面積；

②設(shè)。（加，-/+2m+3）（1＜加＜3）,用待定系數(shù)法求出直線4D與直線BD的解析式，再令x=1得加，

yN,從而得出ME,NE的長,從而得到NE+Affi是定值8.

【詳解】(1)解：?.,當了“時，-14x43,

/.xi=—lf/=3是QX?+2x+°=o的兩根，4(-1,0),8(3,0),

[Q—2+c=0—0

,解得：〈,二?拋物線的表達式為：y=—x+2x+3；

[9a+6+c=0[c=3

高考復習材料

又當x=0,歹=3,...0(0,3),.?.線段S〃、軸.

=22

'''y~^+2x+3=—(X—I)+4,/.F(l,4),S四邊形ZCFQ=S&co+Sa/co=^CD(yF-yA)=4；

②設(shè)Z)(加，—加2+2m+3)(1<加<3),

直線AD:y=kxx+a,BD:y=k2x+b2,

因此可得：

Jo=—k[+byf0=3k2+Z)2

22

[-m+2m+3=k{m+bxy—m+2m+3=k2m+b2

f左=3一加[k.=—l—m

解得：U2或k22，直線4D:y=(3-Mx+(3-"),

[4-5-m[o2=3m+3

BD:y=-(m+l)x+3。*+1).

令x=l得=6-2機，>N=2機+2,;.ME=6-2m,NE^2m+2,:.NE+ME=8.

2024屆湖北黃石市?九年級統(tǒng)考

8.如圖，拋物線尸加+6x+c過點4(一1,0),點8(3,0),點C(0,3),直線I為該二次函數(shù)圖象的對

稱軸，交x軸于點￡

高考復習材料

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點。為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動點，過點。作直線N0，8。分別交直線/于點N,在

點。的運動過程中，皿+EN的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】(l)y=-x2+2x+3

⑵是定值，值為8

【思路點撥】(1)待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)設(shè)0(加，一加之+2加+3),直線4。的解析式為廣左(％+1),將0(加一加2+2加+3)代入歹=左(％+1)

得，一加2+2機+3=左(加+1),解得，k=3—m,則/。的解析式為＞=(3-加)(x+l),當％=1時，

y=2(3-m)=6-2m,則河(1,6-2加)，即〃石=6—2加，同理可得，NE=2m+2,然后求解作答即

可.

【詳解】(1)解：將4T0),點5(3,0)，點。(0,3)代入》="2+及+。得，

a-b+c=0a=-1

9〃+36+。=0,解得，＜b=2,y=-x2+2%+3；

c=3c=3

-1+3

(2)解：由題意知，拋物線對稱軸直線/=---=1,

如圖I,連接BB'交4D于R,

高考復習材料

圖1

由翻折的性質(zhì)可知，AB'=AB=4,R為BB'的中點,

設(shè)3'(1,〃)，則￡(1,0),AE=2,B'E=n,

222

由勾股定理得,AB'=AE+B'E,即42=22+/,

解得，〃=26或〃=-(舍去)，

.?.映,2⑹,則網(wǎng)2,⑹,

設(shè)直線4。的解析式為歹=云+"，

將4(T,0),R(2,6)代入得，

k=-

-k+b'=0

解得，,

2左+〃=百

b'=

(3)解：設(shè)以加，一加之+2冽+3),直線/Q的解析式為>=左'(％+1),

將以加，一加2+2加+3)代入y=左'(工+1)得，

-m1+Im+3=k'^m+1),

解得，k'=3-m,

：.的解析式為y=(3-加)(x+l),

當x=l時，y=2(3—機)=6-2加，

則”(1,6-2⑹,即Affi=6-2加，

同理可得，直線2。的解析式為>=-(m+l)(x-3),

當x=l時，y=2(加+1)=2加+2,

則N(l,2〃?+2),即NE=2機+2,

:.ME+NE=8,

+的值為定值，定值為8.

2024?四川樂山?統(tǒng)考二模

9.如圖，已知二次函數(shù)了="2+區(qū)+4的圖像與x軸交于N(-2,0),8(4,0)兩點，與7軸交于點C,

高考復習材料

拋物線的頂點為。，點P是X軸上方拋物線上的一個動點，過P作尸軸于N,交直線3。

(1)求二次函數(shù)表達式及頂點。的坐標;

(2)設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點連接4P交對稱軸于連接8尸并延長交對稱軸于尸，證明

HE+HF的值為定值，并求出這個定值.

【答案】(1)二次函數(shù)的表達式為y=-gY+x+4,頂點。的坐標為

(2)見解析，這個定值為9

【思路點撥】(1)將8點代入二次函數(shù)表達式中求得。、6的值即可確定函數(shù)解析式，然后再化

成頂點式即可確定頂點D坐標；

(2)如圖，過點尸作尸G_Lx軸于點G,設(shè)點P的坐標為，,-g〃+/+4),再說明PG〃。打可得

“EHAHPGBG9,,丘”AHPG

\AHE-.\AGP,NBGP-.ABHF,艮口---=----,---=----；進而仔至EH=-------------

PGAGFHBHAG

BHPG；然后分當點G在8〃上和上兩種情況，分別叫+FH的值即可解答.

FH=BG

【詳解】(1)解：???4-2,0),2(4,0)在二次函數(shù)的圖像上，

...將4,8點代入二次函數(shù)表達式中，

1

4"+(-2)H4=。a=—

得2

16〃+4b+4=0

b=l

二?二次函數(shù)的表達式為J7=+X+4,將其化為頂點式為＞=—'(X—I)+—,

???頂點。的坐標為

(2)解：如圖，過點尸作尸G_Lx軸于點G,設(shè)點尸的坐標為

*.*DH_Lx軸于點H,

：.PG//DH,

：.\AHE:\AGP,ABGP:ABHF,

.EH_AHPGBG

??花一芯'麗—曲’

高考復習材料

當點G在即/上時,

1

?：AH=BH=3,AG=t+2,BG=4-t,PG=--t29+t+4,

PGPG/A\4-/+/+2

：.EH+FH=3----+-----=3-(Z+2)(/-4)-------------=9.

t+24-t'八々+2)(4T),

同理：當點G在上，由拋物線對稱性可知，結(jié)果相同.

綜上可知，HE+HF的結(jié)果為定值，且這個定值為9.

2024??？谌A僑中學考模

10.如圖1，拋物線了="2+&+3交x軸于點/(TO)和點8(3,0),交于y軸點C,尸為拋拋物線

頂點，點。(2,3)在拋物線上.

(1)求該拋物線所對應的函數(shù)解析式

⑵直線所垂直于x軸于點￡,點尸是線段上的動點(除3、￡外)過點尸作x軸的垂線交拋物

線于點。，連接。4。。,如圖2,直線5。分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點.試問：EM+EN

是否為定值？如果是，請直接寫出這個定值；如果不是，請說明理由.

【答案】(l)y=-x?+2x+3

⑵EN+EN是為定值，定值為8

【思路點撥】分//。。=90?；?0。=90。兩種情況結(jié)合一次函數(shù)圖象的性質(zhì)分析求解；

【詳解】⑴：拋物線y=o%2+6x+3經(jīng)過點2(3,0),

高考復習材料

/〃一

"［9a+63+b3+=30=0,解存j］(7人==-21

該拋物線的函數(shù)表達式為：y=~x2+2x+3；

(2)設(shè)。(加，一次2+2加+3),

由4、。的坐標得，直線4。的表達式為：》=-(加一3)(%+1),

當x=］時，y=-2(m-3)=-2m+6=EM；

由點5、。的坐標得，直線8。的表達式為：y=-(加+1)(%-3),

當x=l時，y=2m+2=EN

則EM+EN是為定值，定值為8.

2024?江蘇徐州?4月模擬

11.如圖，已知拋物線＞=經(jīng)過點z(4,o)和5(1,⑼點，其對稱軸交x軸于點X,點C是拋物

線在直線48上方的一個動點(不含45兩點)

A

X^

H/

/

/

備用圖

⑴求a,m的值;

(2)若直線4C、0c分別交該拋物線的對稱軸于點E、R試問￡〃+尸〃是否為定值，若是，請求出

該定值；若不是，請說明理由.

【答案】(1)。=4,加=3

(2)是定值，8

【思路點撥】(1)用待定系數(shù)法求出拋物線表達式，進而求解；

(2)求出直線ZC的表達式為：歹=T(%-4),直線CO的表達式為：歹=(T+4)X,即可求解.

【詳解】(1)解：將點A的坐標代入拋物線表達式得：0=-16+4a,解得：。=4,

即拋物線的表達式為：y=-x2+4x,

當x=1時，y=-x2+4x=3,即點8(1,3),即加=3,

故。=4,m=3；

(2)是定值，理由：

高考復習材料

設(shè)點C(t,-t2+40,

由點A、C的坐標得：直線/C的表達式為：歹=-《工-4),

當x=2時，y=2t,即點E(2,2f),則E〃=2t,

由點。的坐標得，直線CO的表達式為：y=(T+4)x,

當x=2時，y=(T+4)x=-2,+8,即點尸(2,-2(+8),則F"=—2/+8,

貝寸印+FH=2f-2f+8=8,為定值.

2024?湖南張家界?中考真題

12.如圖，己知拋物線＞="2+及+3(。*0)的圖像與》軸交于/。,0),8(4,0)兩點，與V軸交于點

。，點。為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點。的坐標；

(2)拋物線的對稱軸與x軸交于點尸，點G是點尸關(guān)于點。的對稱點，點0是x軸下方拋物線圖像上

的動點.若過點。的直線/：＞=履+機(陽＜》與拋物線只有一個公共點，且分別與線段GN、GB相

交于點以、K,求證：G/7+GK為定值.

【答案】(1)〉=13/-1-5x+3；頂點為。弓5,-?-■7)

44216

(2)見解析

【思路點撥】(1)設(shè)二次函數(shù)表達式為：歹=”+旅+3,將2(1,0)、5(4,0)代入歹=辦2+樂+3,進

3o15

行計算即可得》=—xX+3,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得；

44

597Q

(2)根據(jù)對稱的性質(zhì)得G(于-不)，根據(jù)直線/：歹二履+機(陽＜/與拋物線圖像只有一個公共點，

即可得加="4一(4左+151利用待定系數(shù)法可得直線G/的解析式為：y=-gx+g,直線G5的解

4844

高考復習材料

尸出1絲7（紗+15.

析式為：y=:x-9,聯(lián)立9948，結(jié)合已知用＜：，解得：有衛(wèi)，同理可

4左+39

得：XK~,運用三角函數(shù)求出G4,GK即可得.

12

【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)表達式為：y=ax2+bx+3,

將2（1,0）、8（4,0）代入歹="2+取+3得：

_3

a+b+3=0"-4415

1久AkQ八，解得，］，拋物線的函數(shù)表達式為：尸尸廠+3,

16。+4/?+3=015

7b=——

I4

154ac-〃=4XJX3-(-5=上

bT2

又???

2a24a4x-16

4

???頂點為。弓5,-27）；

216

5527

（2）解：..?點尸（不0）關(guān)于點。（二-/）的對稱點為點G,

2216

9

?.?直線/:尸質(zhì)+m（\k\＜彳）與拋物線圖像只有一個公共點，

315

—X2---x+3=kx+m只有一個實數(shù)解,

44

即：［-（y+W-4x|.（3-m）=0,

解得：加「44…1?,

48

999

利用待定系數(shù)法可得直線GZ的解析式為：尸-,+:，直線G5的解析式為：j/=-x-9,

444

廠丘十144-(：’1?

Q

聯(lián)立，結(jié)合已知此“

99

y=——x+—

44

44+21同理可得：以=”產(chǎn)，

解得：XH=

12

則：弓一⑴-5很+219，(/一，)4左+395歷，

sinZAGP2124sin/BGP1224

廠口15,54k+21、V97「4左+395、屈3扃

，GH+GK=(--------)x-------+(---------------)x------=--------，

212412248

.?.G//+GK的值為秒7.

8

高考復習材料

題型三加權(quán)線段和定值

2024?四川廣元?中考真題

13.如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)了=加+區(qū)+4的圖象與x軸交于點/(-,20),

8(4,0),與了軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖2,尸為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接AP交了軸于點連接3尸并延長交了軸于點N,

在點尸運動過程中，OM+goN是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

1

【答案】9+x+4

(2)OM+^ON=6,理由見解析

【思路點撥】(1)待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)先求得拋物線的對稱軸為直線x=l,設(shè)/與x交于點G,過點E作于點。，證明

NDFG4GBF,設(shè)廠(1,加)，則?！?1+加，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,進而得出E點的坐

標，代入拋物線解析式，求得加的值，同理可求得當點?在x軸下方時的坐標；當￡點與A點重合

時，求得另一個解，進而即可求解；

【詳解】(1)解：將點/(一2,0),5(4,0),代入了="2+隊+4

]4"26+4=0a=--1,

得M“C，解得：12,.?.拋物線解析式為了=-？2+》+4；

16〃+46+4=0712

i[b=[

(2)設(shè)P(s"),直線"的解析式為歹=去+7,5尸的解析式為y=g%+〃，

?.?點/(一2,0),5(4,0),尸(s,/),

.f-2d+f=0j4g+/z=0

，?[sd+f=t'\sg+h=t

高考復習材料

dg

解得：〈s+25-4

2t4Z

h=

s+24-s

2t、t4/

直線/F的解析式為y=----XH,BP的解析式為y=---xH--------,

s+2-----s+25-44-5

2t,當x=°時,T，即小2t

對于V=----x-\

s+2