2024屆湖北省省實驗學(xué)校、武漢一中等六校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆湖北省省實驗學(xué)校、武漢一中等六校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知平面向量滿足|a|=|b|,且（、歷a-6）J_6,則a,6所夾的銳角為（）

7171

A.B.—D.0

64

2.設(shè)一個正三棱柱ABC-每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬

到另一個頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為幾，則片。

為()

1

A.B.

314

D-rQ}4

3.以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費(fèi)價格指數(shù)（上一年同月=100）變化圖表，則以下說

圖表圖表

（注：圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是

北京、天津、上海、重慶）

A.3月份四個城市之間的居民消費(fèi)價格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均

B.4月份僅有三個城市居民消費(fèi)價格指數(shù)超過102

C.四個月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價格指數(shù)增長幅度波動較小

D.僅有天津市從年初開始居民消費(fèi)價格指數(shù)的增長呈上升趨勢

4.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，E為中點(diǎn)，產(chǎn)為CD的三等分點(diǎn)（靠近。）若A/=xAC+yOE,則y一x

的值為（）

4EB

121

A.——B.——C.——D.-1

233

5.第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運(yùn)會會旗中五環(huán)所占面積與

單獨(dú)五個環(huán)面積之和的比值P,某學(xué)生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機(jī)模擬在長為10,寬為6的長方形奧運(yùn)會旗

內(nèi)隨機(jī)取N個點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)數(shù)為“個，已知圓環(huán)半徑為1,則比值P的近似值為（）

6.已知在AA5C中，角A氏C的對邊分別為"c,若函數(shù)/（x）=一呢卜存在極值，則

角B的取值范圍是（）

2%+l,x<0__

7.已知函數(shù)/■（%）=｝[11乂x〉0，則方程/"（]）]=3的實數(shù)根的個數(shù)是（）

A.6B.3C.4D.5

8.已知函數(shù)〃x）=-+3x+3,g（x）=-x+m+2,若對任意玉總存在無2c[1,3],使得/（不）=g5）

X+1

成立，則實數(shù)冽的取值范圍為（）

-171（171

A.—,9B.卜5U[9,+oo）

「1791（171「9）

[42jI4」[2J

9.已知等差數(shù)列｛a“｝的公差不為零，且一，一，一構(gòu)成新的等差數(shù)列，為｛4｝的前“項和，若存在“使得"=0,

^3^^4

則”=()

A.10B.11C.12D.13

10.如圖，在直角梯形A5CD中,45〃。。,4。，。。,4。=。。=245,￡為4。的中點(diǎn)，若CA=+￡H),

則幺+"的值為()

8

C.2D.

3

11.若%+q（2%—1）+〃2（2%一1）2+%（24一1）3+。4（2%一1）4+%（2%一1）5=,則〃2的值為（）

2555

A.B.D.

481632

12.如圖所示，正方體ABCD-Ai&Gd的棱長為1,線段明功上有兩個動點(diǎn)E、F且EF=41,則下列結(jié)論中錯誤

2

的是()

A.AC±BEB.EF〃平面A3CZ>

C.三棱錐A-5E尸的體積為定值D.異面直線AE1尸所成的角為定值

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)〃x)=Acos2(ox+9)+l(A>0,o〉0,0<o<f的最大值為3,“力的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,2),其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則/(1)+/⑵+…+”2015)=

14.若四棱錐尸-ABCD的側(cè)面PAB內(nèi)有一動點(diǎn)Q,已知Q到底面A5C。的距離與Q到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,

且動點(diǎn)。的軌跡是拋物線，則當(dāng)二面角P-AB-。平面角的大小為30。時，左的值為.

15.已知同=忖=2,(a+2bj(a—人)=一2,則a與人的夾角為.

16.函數(shù)/'(x)=^匚的極大值為.

X

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(%)=5—卜+。|—卜―2|.

(1)當(dāng)。=1時，求不等式/'(x)?0的解集；

(2)若/(x)<l恒成立，求。的取值范圍.

18.(12分)如圖，在四棱錐尸—A5CD中，底面ABC。為菱形，底面ABC。，ABAD=60)AB=4.

P

(1)求證：班)，平面PAC；

(2)若直線PC與平面ABC。所成的角為30°，求平面R43與平面PC。所成銳二面角的余弦值.

19.(12分)某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從A5C。,后五所高校中

任選2所.

(1)求甲、乙、丙三名同學(xué)都選。高校的概率；

(2)若已知甲同學(xué)特別喜歡4高校，他必選A校，另在四校中再隨機(jī)選1所；而同學(xué)乙和丙對五所高校沒

有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機(jī)選2所.

(0求甲同學(xué)選。高校且乙、丙都未選D高校的概率；

。力記X為甲、乙、丙三名同學(xué)中選。高校的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝,其前〃項和為S〃，若對于任意加，“eN*,且"件〃，都有+%+%]“".

m+nm-n

(1)求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列

⑵若數(shù)列｛%｝滿足c,=a,+i/+2—d("eN*),且等差數(shù)列｛為｝的公差為g,存在正整數(shù)P，q,使得4+%,求

同的最小值.

21.(12分)傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在，方

能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們

出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況，用分層

抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)

表：

戴口罩不戴口罩

青年人5010

中老年人2020

（1）能否有99.9%的把握認(rèn)為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？

（2）用樣本估計總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.

n{ad-bc)

(〃+/?)(c+d)(a+c)(/?+d)

2

P[K>k]0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

22.（10分）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，2s“+a“=l（〃wN*）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

11f.1

（2）若9,=^——+---------，（為數(shù)列｛c“｝的前”項和.求證：Tn>2n—.

1+4-an+l3

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1,B

【解析】

根據(jù)題意可得（缶-為小=0,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.

【詳解】

因為（缶―方），6n（缶—6）1=0

即42a-b=\b^

,/.\a-ba-bv2

而cos(〃,0)=----------=——-=——

''\a\-\b\lb，2

1T

所以。力夾角為一

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

由題意，設(shè)第〃次爬行后仍然在上底面的概率為？.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率

91

為］②若上一步在下面，則第〃-1步不在上面的概率是1-5十如果爬上來，其概率是弓（1-匕_1），兩種事件

21

又是互斥的，可得P?=~^+-（1-P『i）,根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.

【詳解】

由題意，設(shè)第〃次爬行后仍然在上底面的概率為月.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為§匕_1（〃之2）；

②若上一步在下面，則第〃-1步不在上面的概率是1—用1,22）.如果爬上來，其概率是g（1-a-）,522）,

兩種事件又是互斥的,...匕=：匕T+；（1-匕_J,即與=；%+；，J

數(shù)列［匕-g1是以;為公比的等比數(shù)列，而《="|1

所以H——,

2

1<1V01

當(dāng)”10時，+5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體中的概率問題，關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識，得出相鄰的項的關(guān)系，這是常用的方法，屬于難度題.

3、D

【解析】

采用逐一驗證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個城市的居民消費(fèi)價格指數(shù)相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費(fèi)價格指數(shù)低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個月的居民消費(fèi)價格指數(shù)相差不大

D錯誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開始居民消費(fèi)價格指數(shù)的增長呈上升趨勢

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圖表的認(rèn)識，審清題意，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

使用不同方法用表示出AF，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.

【詳解】

解：AF=AD+DF=-AB+AD,

3

--11

又Ab=xAC+yDE=x(AB+A。)+y(]AB—AD)=(x+ay)AB+(x—y)AD

.f5

fy1x=—

23解得“，所以y—x=—l

,4

x-y=\y=——

1I9

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

根據(jù)比例關(guān)系求得會旗中五環(huán)所占面積，再計算比值P.

【詳解】

設(shè)會旗中五環(huán)所占面積為S,

由于2n衣|、1060〃

—?所以S=-^

60NN

八SI2n

故可得尸二丁=--

5〃7rN

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)/(%),由/'(%)=。有不等的兩實根，即/>0可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)

論.

【詳解】

f(%)——+—bx^+](a?+0?—ctc^x9..+bx++c?—CIC

若,⑴存在極值，則"4《("+人涮>。，%+/一日斯

又COS3="+C2-”,，853<4.又

lac23

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵.

7、D

【解析】

2x+l,x<0

畫出函數(shù)1(%)=?|lnx|x〉0，將方程/[/(切=3看作f=/(x)"(f)=3交點(diǎn)個數(shù)，運(yùn)用圖象判斷根的個數(shù).

【詳解】

2x+1,x<0

畫出函數(shù)/(X)=<

|lnx|,x>0

令仁/(。；.〃。=3有兩解%?0,1)/2?1,+8)，則彳=/(%)"(%)=/2分別有3個，2個解，故方程

/[/(x)]=3的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個

故選:D

y

i1

3■

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用，分類思想的運(yùn)用，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題.

8、C

【解析】

將函數(shù)/(九)解析式化簡，并求得了'(無)，根據(jù)當(dāng)司e［1,3］時/(％)〉0可得/(石)的值域；由函數(shù)g(%)=r+加+2

在馬￡［L3］上單調(diào)遞減可得g(%)的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系，即可求得加的取值范圍.

【詳解】

x2+3x+3x?+犬+2(%+1)+1

依題意/(%)=

X+1X+1

1c

=x-\-------F2,

X+1

1_

貝U'(x)=1-(

X+l)2'

當(dāng)xe［l,3］時,(尤)>0,故函數(shù)/(%)在［1,3］上單調(diào)遞增,

7-

21一

當(dāng)國e[l,3]時，/(%[)€2-4

_

而函數(shù)g(x)=-x+m+2在［1,3］上單調(diào)遞減,

721

則只需25T

故乙，解得

「2142

777+1>—

[4

「1791

故實數(shù)機(jī)的取值范圍為—.

L42J

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

9、D

【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式可得％=-6d,再利用等差數(shù)列的前“項和公式即可求解.

【詳解】

111

由一，一，一構(gòu)成等差數(shù)列可得

d/3^^4

___L

^^4^^3

a—aa—a—2d_—d

即--x----3----3----4n-----——=>/―

又g=q+3d=>a1=2(。]+3d)

解得：q=-6d

77%H

又S〃=Q[2%+{n-V)d]=-(-12d+(n-l)J)=-J(n-13)

所以S“=0時，n=13.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前幾項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示C4,CE,D3,利用C4=XCE+〃D5(%〃eR),列出方程組求解即可.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則0(0,0).

不妨設(shè)43=1,則。=4。=2,所以C(2,0),4(0,2),B(l,2),E(0,1),

:.CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2)

CA=ACE+piDB

/.(-2,2)=，-2,1)+〃(L2),

o6

A=—

—24+〃=—2CQ

產(chǎn)解得;則”=j.

4+2〃=2

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)，屬于中檔題.

11、C

【解析】

根據(jù)“5=([(2x—D+1F，再根據(jù)二項式的通項公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

因為V=\[(2x-1)+1『，所以二項式[(2x-1)+1F的展開式的通項公式為：

5rr5r

Tr+1=C；-(2x-l)--l=C；-(2x-l)-,令r=3,所以7；=C1(2x—1)2,因此有

-32532532216

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了二項式展開式通項公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

12、D

【解析】

A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B.根據(jù)線面平行可證真假；C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D.根

據(jù)列舉特殊情況可證真假.

【詳解】

A.因為AC，3D,AC，。。1,BD=D,所以AC,平面，

又因為3Eu平面8。2與，所以AC，BE,故正確；

B.因為R4//DB,所以EF//DB,且跖仁平面ABC。，D5u平面ABC。，

所以EE//平面ABCD,故正確；

C.因為5小尸=；'石尸*8與=￥為定值，A到平面瓦的距離為/z=gAC=q,

所以匕一防-二:小^^/二^為定值，故正確;

312

D.當(dāng)ACBR=E,ACoBD=G,取尸為耳，如下圖所示:

因為BF//EG,所以異面直線AE,5尸所成角為/AEG,

A/2

2_3，

且/A廠廠AG

tanNAEG--

GE

當(dāng)AG「g2=F,AC^BD^G,取E為2,如下圖所示:

因為D[F//GB,D[F=GB,所以四邊形是平行四邊形，所以BF//D。,

..AG

所以異面直線AE,5尸所成角為/AEG,且tan/A2G=詬

由此可知：異面直線AE,§尸所成角不是定值，故錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度

較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4030

A+l=3

AAAA

2

【解析】/(x)=Acos(^+^)+1=—cos(2dm:+2^?)+—+1,由題意，得</(0)=-cos2^+-+l=0,

T兀、

、22。

A=2

解得夕=生TT，則/(乃=叱(|%+9+2=2—5嗚.工的周期為4,且/(0)=2"⑴=1"⑵=2,/(3)=3,所

4

4

&>=——

、乃

以/(1)+/(2)+/⑶+…+/(2015)=503x8+/(1)+/(2)+/(3)=4030.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

1

14、-

2

【解析】

二面角AB-C平面角為。，點(diǎn)。到底面ABC。的距離為點(diǎn)。到定直線AB得距離為d,則4=幽.

sin。

再由點(diǎn)0到底面ABC。的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)左，可得上。|=幽，由此可得sin6=左，則由

k

cos。=cos30°=可求k值.

2

【詳解】

解：如圖,

設(shè)二面角。-AB-C平面角為。，點(diǎn)。到底面ABC。的距離為|Q8|,

點(diǎn)。到定直線A3的距離為d,貝!!|QM=dsin，，即汗=幽.

sin。

丁點(diǎn)。到底面A5C。的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k9

?喘=3叫4粵

?.?動點(diǎn)。的軌跡是拋物線，

：.\PQ\=d,即幽=幽則5由夕=左.

ksin。

...二面角尸-AB-C的平面角的余弦值為cos。=J1一sin?夕=一k?-cos30°=

故答案為：工.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值，屬于中檔題.

15、60°

【解析】

根據(jù)已知條件3+2/?）?（〃一/?）=一2,去括號得：同2+〃.。一2仰=4+2x2xcos0—2x4=-2,

=>cos。=工,。=60°

2

【解析】

先求函的定義域，再對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值點(diǎn)，即可求出函數(shù)/(X)的極大值.

【詳解】

lv]X—1

函數(shù)/(%)=------，%￡(。,+8),

X

“、1-(Inx-1)2-live

=----------—=——，

XX

令/。)=0得，X=e2,

二當(dāng)xe(0,e2)時，f'(x)>Q,函數(shù)/(》)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(e2,+oo)時，f'(x)<0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞減，

,當(dāng)x=e2時，函數(shù)/(x)取到極大值，極大值為/(e2)=絲匚=3.

ee

故答案為：—.

e

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時注意定義域

優(yōu)先法則的應(yīng)用.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)[-2,3]；(2)(-co,—6]D[2,+OO).

【解析】

分析：(1)先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，(2)先化簡不等式為

|x+?|+|x-2|>4,再根據(jù)絕對值三角不等式得Ix+aI+1x-21最小值，最后解不等式|a+24得a的取值范圍.

詳解：(1)當(dāng)4=1時，

2x+4,x<-1,

/(%)=2,-1<x<2,

-2x+6,x>2.

可得的解集為{x|-2Kx<3}.

(2)等價于|x+a|+|x—2|N4.

而|x+a|+k—2以a+2|,且當(dāng)x=2時等號成立.故/(x)Wl等價于|a+2,4.

由|a+2|24可得aW—6或aN2,所以。的取值范圍是(TO,-6]U[2,+OO).

點(diǎn)睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是

運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函

數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向.

18、(1)證明見解析(2)馬自

7

【解析】

(1)由底面ABC。為菱形，得BDLAC,再由底面ABC。，可得應(yīng))，結(jié)合線面垂直的判定可得應(yīng))，

平面P4C；

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過點(diǎn)A且垂直于平面R4D的直線分別為羽z,y軸建立空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)-孫z,分別求出平面R43與平面PCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面R43與平面PCD所

成銳二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：底面ABC。為菱形，.AC,

%，底面ABC。，班)匚平面48。。，..八4,5￡>

又ACcPA=A,AC,PAu平面PAC,

..班)，平面PAC；

(2)解：AB=AD,NBA。=60°，.?“即為等邊三角形，

AC=AD-sin60°-2=4x—x2=45/3.

2

R4，底面ABCD,:.ZPCA是直線PC與平面ABC。所成的角為30°，

PAPAC

在Rt^PAC中，由tanNPCA:——=1^=匚，解得B4=4.

AC4A/33

如圖，以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過點(diǎn)A且垂直于平面B4D的直線分別為x,z,y軸

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

則尸(0,0,4),A(0,0,0),3(2,2百,0),。(4,0,0),C(6,273,0).

.-.PA=(0,0,-4),PB=(2,273,-4),PD=(4,0,-4),PC=(6,2百4).

設(shè)平面PAB與平面PCD的一個法向量分別為m=(x,y,z),〃=(內(nèi),乂,4).

m-PA=-4z=0「

由,r，取y=-i,得根=；

mPB-2x+2V3y-4z=0

n?PC=6%,+26y[-4Z]=0._rr

由,A'n，取M=-l,得，Z=（G,—1,石）.

n?PD-4王一44=0

m-n277

/.cos<m,n>------------------二——

\m\-\n\7

平面八旬與平面PC。所成銳二面角的余弦值為名夕.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題.

QQQI

19、(1)——(2)(0—(?)分布列見解析，E(X)=—

12510020

【解析】

(1)先計算甲、乙、丙同學(xué)分別選擇D高校的概率，利用事件的獨(dú)立性即得解；

(2)(i)分別計算每個事件的概率，再利用事件的獨(dú)立性即得解；

(ii)X=0,l,2,3,利用事件的獨(dú)立性，分別計算對應(yīng)的概率，列出分布列，計算數(shù)學(xué)期望即得解.

【詳解】

(1)甲從五所高校中任選2所，共有45,47,4￡),隹,8。,8￡),

BE,CD,CE,DE共10種情況，

甲、乙、丙同學(xué)都選。高校，共有A。，BD,CD,四種情況,

42

甲同學(xué)選D高校的概率為—

2

因此乙、丙兩同學(xué)選。高校的概率為二，

因為每位同學(xué)彼此獨(dú)立,

2

所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選。高校的概率為I=白

1Ao

(2)(/)甲同學(xué)必選A校且選。高校的概率為乙未選°高校的概率為證=?

丙未選。高校的概率為'=|,因為每位同學(xué)彼此獨(dú)立,

1339

所以甲同學(xué)選。高校且乙、丙都未選。高校的概率為一x—義一=——

455100

5)X=0,1,2,3,

?…小33327…，、133323c9

因m此P(X=0)=—x—x—=---,P(X—1)=-x—x—I—x—x—x2——,

45510045545520

P(X=2)」X2X3+\，2+，2」=9

45545545525

…c、1221

P(X=3)=—x—x—=—

45525

即X的分布列為

X0123

27961

P

100202525

因此數(shù)學(xué)期望為

…、c27,9c6cl21

E(X)=0x---F1x---F2x---F3x—=—.

10020252520

【點(diǎn)睛】

本題考查了事件獨(dú)立性的應(yīng)用和隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，實際應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算的

能力，屬于中檔題.

20、(1)證明見解析；(2)—.

18

【解析】

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；

(2)根據(jù)條件可得g==q,+32然后將4+品用4,P,q表示出來，根據(jù)18al=3(3加一?！?+1)+1是一個整數(shù),

可得結(jié)果.

【詳解】

解：(1)令相=2,n—\,則—-=2a1,

3

即卬+%+〃3=〃2,

3

，q+%=2a2，.?.%,%，%成等差數(shù)列，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列｛。“｝是等差數(shù)列，

假設(shè)心,出，，如成等差數(shù)列，其中％23,公差為d,

25

令m=k,n—