2024年1月10日九省聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷及答案

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為

A.14B.16C.18D.20

比21

2.橢圓\+/=1(“>1)的離心率為；，則。=

a2

A.￥B.V2C.y/3D.2

3.記等差數(shù)列也｝的前〃項和為S〃，/+%=6，%2=17,貝1]&=

A.120B.140C.160D.180

4.設(shè)a,夕是兩個平面，加，/是兩條直線，則下列命題為真命題的是

A.若&_1〃，m//a,I///3,則加_L2

B.若冽ua,Iu。，m//1,則a〃/

C.若an〃=加，I//a,I//p,則加〃/

D.若加_La,110,m//1,則

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有

A.20種B.16種C.12種D.8種

6.已知。為直線，：％+2歹+1=0上的動點，點?滿足聲=(1,-3),記。的軌跡為E,則

A.E是一個半徑為石的圓B.E是一條與/相交的直線

C.石上的點到/的距離均為bD.石是兩條平行直線

數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

Z3TT、-c//八元、EM1+sin28

7?已i矢口0G(—，兀)，tan20=_4tan(8—),貝!]--------------

442cos0+sin23

2

A.7BC.1D.

-i2

22

8.設(shè)雙曲線C：A-4=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為月，工，過坐標原點的直

ab

線與。交于/,6兩點，|耳B|=2陽F\A-F\B=4a2,則。的離心率為

A.aB.2C.垂D.J7

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

3冗37r

9.已矢口函數(shù)/(x)=sin(2%+f)+cos(2x+f),貝(J

44

7T

A.函數(shù)/(%-二)為偶函數(shù)

4

B.曲線y=/(x)的對稱軸為％=E，左GZ

jrjr

c./(x)在區(qū)間(§,5)單調(diào)遞增

D.7(%)的最小值為-2

10.已知復(fù)數(shù)z,VV均不為0,則

zZ2

A.z2=|z|2B.-=—T

Z|z|

______,Z.IZI

C.z-vv=z一wD.|—1=:―-

wIw\

11.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,且/g)N。，若/(%+歹)+/(幻/0)=4孫，則

C.函數(shù)/(%-；)是偶函數(shù)D.函數(shù)/(x+g)是減函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合/={一2,0,2,4},B={x\\x-3\^m},若408=2,則加的最小值

為?

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

13.已知軸截面為正三角形的圓錐腦燈的高與球0的直徑相等，則圓錐W的體積與

球。的體積的比值是,圓錐MI，的表面積與球。的表面積的比值

是.

14.以maxM■表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0<a<b<c<l,已知b22a或a+bW1,則

max{b-a,c-b,l-c}的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知函數(shù)"x)=lnx+x2+ax+2在點(2,/(2))處的切線與直線2%+3y=0垂直.

(1)求

(2)求/(%)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.(15分)

盒中有標記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機一次取出3個小球.

(1)求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望石(X).

17.(15分)

如圖，平行六面體/3CD-/eG9中，底面是邊長為2的正方形，O為AC

與BD的交點，=2,ZC.CB=ZC,CD,ZC,CO=45°.

(1)證明：CQ，平面438；

(2)求二面角5-幺4-。的正弦值?

18.（17分）

已知拋物線C:_/=4x的焦點為歹，過下的直線/交C于4,8兩點，過?與，垂

直的直線交C于。，E兩點,其中。在x軸上方，M,N分別為48,Z)E的

中點.

(1)證明：直線過定點；

(2)設(shè)G為直線屋與直線9的交點，求△GWV面積的最小值.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

19.(17分)

離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)夕是素數(shù)，集合X={1,2,…，,-1},若

u,v&X,wGN,記"?v為wv除以’的余數(shù)，〃磯?為〃"'除以〃的余數(shù)；設(shè)aeX,

La,，，?,...,f2,?兩兩不同,若優(yōu)，?=6(〃G{0,L..”—2}),則稱，是以a為底b的離散

對數(shù)，記為〃=log(/?)ob.

(1)若夕=11,a=2,求aPf?；

(2)對加I，機2G{0,1，…，夕一2},記根1十%為加］+加2除以夕一1的余數(shù)(當(dāng)〃&+掰2能

被0_］整除時,叫十根2=0).證明：log(p\(b?c)=log(p)ab?log(p)ac,其中b,ceX；

k,

(3)已知〃=logQ?)*.對xGX,左c{1,2,…，)一2}‘令必=a''?,y2=x?b?.TJE

p2

明：x=y2?y^-^.

數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

絕密★啟用前

2024年01月19日九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（B）

A.14B.16C.18D.20

［解析】將數(shù)據(jù)從小到大排列10,12,14,14,16,20,24,30,40,共9個數(shù)，第5個數(shù)16為中位數(shù).

2.橢圓W+獷=l（a>1）的離心率為今則a=（A）

A.孝B.A/2C.>/3D.2

【解析】e=^=^p=^,a=iV3.

3.記等差數(shù)列｛a"的前n項和為Sn,as+ay=6,a12=17,則=（C）

A.120B.140C.160D.180

【解析】&3+a7=2a5=6,as=3,=8（ai+例6）=8（as+CZ12）=8（3+17）=160.

4.設(shè)%。是兩個平面，m,l是兩條直線，則下列命題為真命題的是（C）

A.若a四m//a,Z///3,則m_LZB.若mua,ZUm//I,則a〃3

C.若aD/?=Z//a,Z///3,則m〃/D.若mJ.a,/J./?,則aJ.

【解析】

A:舉反例，aC0=p，若m//p,得m//l,故A錯；

B:僅有一組平行直線得不出兩個平面平行，故B錯；

D:垂直于同一條直線（一組平行直線）的兩個平面平行，故D錯.

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（B）

A.20種B.16種C.12種D.8種

【解析】分兩種情況：乙丙站1,4號位或者站2,5號位，先排乙丙，再排甲（去掉一端僅有兩個選擇）,

故共有2?魅?。卜尚=16.

6.已知Q為直線l-.x+2y+l=Q上的動點，點P滿足d=（1,一3）,記P的軌跡為E,則（C）

A.E是一個半徑為方的圓B.E是一條與I相交的直線

C.E上的點到I的距離均為方D.E是兩條平行直線

【解析】設(shè)。（土,"）,。（如,沙0）,）=（1,-2）=（x-x0,y-y0）,故［工：，由x0+2y0+l=0,

故力一1+2（g+3）+1=0,即力+2g+6=0.

數(shù)學(xué)試卷第1頁（共6頁）

7.已知叱(誓"),tan2e=_4tan(e+力則京辯券而=(A)

A.1B.|C.1D.|

【解析】—1<tan。<0,i空ae=-4；;喘吾=tan。=—/或tan0=—2(舍》

1+sin29sin20+cos29+2sin9cos0tan20+1+2tan61

2cos20+sin202cos29+2sin0cos32+2tan04

8.設(shè)雙曲線。：冬—M=l（a>0,6>0）的左、石焦點分別為Fi,三，過坐標原點的直線與。交于4B

兩點，陽川=2四川，瓦t嬴=4a2,則C的離心率為（D）

A.V2B.2C.V5D.V7

【解析】舊引=2|尸泗=2k,則因B|-網(wǎng)B|=2a=」

?F2詒=4a2=2Q?4QCOSAAF2B

cos乙=因為對角線互相平分，可知四邊形4凡3月為平行四邊形，故有）

(4a)2+(2a)2-(2c)21

COSZ.F1BF2

2,4Q,2(z2

解得c2=7a2,e=，7

多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。

9.已知函數(shù)f⑺—sin（2x+豹+cos（2a?+誓），則（AC）

A.函數(shù)/（rc-為偶函數(shù)B.曲線U=/（工）的對稱軸為X=k7T,keZ

C.f⑸在區(qū)間管，豹單調(diào)遞增D./（x）的最小值為-2

【解析】

37r37r37r37r

f⑸=sin2xcos--+cos2xsin--+cos2xcos----sin2xsin--

4444

V2A/2x/2V2

sin2xHcos2xcos2a?sm2x=—v2rsin2a?,

2--------2-----------2-----------2--------------------'

A:/(力一])=—v^sin(2x一今)=A/2COS2X為偶函數(shù)，故A對；

B:=—A/2sin2A；7r=0,故B錯誤；

C：XE(f,f)時，2x6(|7T,7T),故C對；

D:/(力)的最小值為口，故D錯.

io.已知復(fù)數(shù)z.w均不為o，貝1JGC。

A./=設(shè)|2B.芻=品C.T^w=z-wD.1^1=M

11z\z\zIwI|w|

【解析】令z=a+歷,tt;=c+成,a,AGdeR,

A：4=Q2—'+2曲團2=02+廬r故A錯誤；

B：Zz=呼a—bi=(嚴a—o%z)”(a+o料z)=品\z\z，故八B對；/或由z-2i=i上產(chǎn)1可得.

C:z—w=(a—c)+(&—d)i,z—w=(a—c)—(6—d)i,z=a—bi,=c一成，故

z—w=(a—b{)—[c—di)=(a—c)—(b—di)=z—w,故C對;

數(shù)學(xué)試卷第2頁（共6頁）

D:

abi|(ac+bd)+(be—ad)i\

wIc+dic2+d2

y/(ac+bd)2+(be—ad)2+b2d2+b2c2+a2d2

c2+d2c2+(P

=，-2+接).(02+，2)==M故D對

C2+cP7(?+d2\w\''

11.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/㈤#0,若f(x+y)+f⑺f(y)=42,，則RB。

A./(T)=0B-f(i)=-2

C.函數(shù)/(re-I)是偶函數(shù)D,函數(shù)/(a;+I)是減函數(shù)

【解析】

①令/=(),"=/得/居)+/(0)/居)=0,/6)#0,/(0)=-1,

②令c=尖"，/(0)+/(1)/(4)=—1，/(-?=。，故A正確

③令沙=T，/信—？+/(T)?/⑸=4,(T)x=—2x,/(?-I)=-2x,故c錯誤

④令2=1,/6)=—2,故B正確

⑤令C=2+1,則/他+方)=—2(/+1),故D正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合4={—2,0,2,4},3={訓(xùn)2—3若An6=4,則m的最小值為5.

【解析】4n3=4,則4￡3,故儂一3|W|—2—3|Wa,故m之5.

13.已知軸械面為正三角形的圓錐MM'的離與球O的直徑相等，則圓錐MM'的體積與球。的體積的

比值是2:3,圓錐MM'的蜚面積與球。的表面積的比值是1.

【解析】設(shè)圓錐底半徑為r,則母線長/=2r,高/j=后,圓錐體積壞=靜產(chǎn),h=挈7r巴表面積

S1=仃2+7n,〃=3仃2,球。的直徑2R=①匕R=畛T、球的體積％=>用=/X%2X號=

年公己球的表面積昆=4元用=3開產(chǎn)，故匕：匕=2：3;Si:S2=1：1.

14.以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0<a<b<c<l,已知622a或a+b(1,則

max{6-a,c-b,l-c}的最小值為卷.

【解析】令b—a=m,c—b=n,l—c=p,m,n,p〉0,[°；nP

a—1—m—n—p

①若622a臺1—九一？22—2m-2n—2P02m+n+p>1,

令nz=max{&—a,c—b,1—c}=max{m,n,p},

(2M>2m1

<M>n=4M>2m+n+p>l=>M>-,

IM>p4

②若a+bWl,即2—771—2幾—2pSl=771+2九+20之1,令M=max{m,n,p},

M>m

2M>2ny=>5M>m+2n+2p>1,「.Af之)當(dāng)m=2n=2p時，例如c=,,b=|,a=|

{2M>2p

時可取等號，故Afmin=1.

數(shù)學(xué)試卷第3頁(共6頁)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知函數(shù)f⑺=\nx+x2+ax+2在點(2,/(2))處的切線與直線2c+3g=0垂直.

(1)求a;

(2)求/⑺的單調(diào)區(qū)間和極值.

【解析】

(1)/'(2)=*+2c+a,k?(―——1)得％=方,/'⑵=/+4+a=',故&=3.

(2)/(a?)=Ina;+x2—3x+2,令f'(x)=~(2x—l)(a?—1)=0,得工=1或1,—)>0,得

c>l或0<2<曷得f3)在(0,及(1,+8)上單調(diào)遞增，/(乃<0,得得/(c)在

(1,1)上單調(diào)遞減，故/(x)在14處有極大值/仁)=1—ln2,在/=1處有極小值/⑴=0.

16.(15分)

盒中有標記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機??次取出3個小球.

(1)求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

【解析】

(1)

①法一：設(shè)事件A為取出的3個小球的數(shù)字兩兩不同，故P(A)=若=專;

②法二：有兩個相同的概率：P=爛=If=有則兩兩不同的要概率為4

(2)X的分布列可取1,2,3

P(X=i)=。號:==||=^(最小數(shù)是一個1或兩個1,另外的數(shù)任選)，

P(X=2)=。巴產(chǎn)=￡=W(最小數(shù)是一個2或兩個2,另外的數(shù)從3或4中選)，

Cg567

P(X=3)=學(xué)￥=2=3(最小數(shù)是一個3或兩個3,另外的數(shù)是4),

C/oOO14

則X分布列為

X123

P921

14714

從而X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)為

…92c1c9+8+320_10

EX=---1—x2H-----x3=--------------

147141414=T

數(shù)學(xué)試卷第4頁(共6頁)

17.(15分)

如圖，平行六面體ABCD一4氏GA中，底面ABCD是邊長為2的正方形，。為4。與RD的

交點，44=2,〃J\CB=gCD,NC\CO=45°.

(1)證明：G。1平面ABCD;

(2)求二面角B-AA^-D的正弦值.

【解析】

(1)在△GCO中，由余弦定理易求得=6=C1O2+CO2=CCl，則C1O±CO;4\CB=

/CiCDCB=CrD則△BCi。為等腰三角形，則G。±BD,CrO±平面ABCD.

(2)OCi為z軸,OB為c軸,。。為沙軸，貝ljB(血,0,0),A(0,-A0),。(——,0,0),A(0,-2^,血)

平面BAAI中，AA-[=(0,—y/2,\/2),BA—(―\/2,—\/2；0),m=(1,—1,—1)平面AA^D中，A^)=

L"、\/2,0),n=(1,1,1),cos0==-|,sin0=孝.

18.(17分)

已知拋物線。：必=4/的焦點為F,過F的直線Z交。于4,3兩點，過F與2垂直的直線交C

于兩點，其中在多軸上方，Af,N分別為AB,DE的中點.

(1)證明：直線MN過定點；

(2)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點，求△GMN面積的最小值.

【解析】焦點F(l,0),設(shè)IAB-x—ty+l,t0,lDE:x——|y+1,

(1)分別聯(lián)立方程組可得

(y2=4%yi+6=4t

=4-y2—4iy—4=0=^>

[x=ty-\-lViV2=-4'

,4

(y2—4：x4"3+%=-7

0y9+-y-4=0=>

{X=+1y3y4=-4

求M,N點坐標：因為

14

啰1+力2=力(yi+沙2)+2=4產(chǎn)+2；/3+啰4=――(93+%)+2=方+2

所以“(2祥+1,2",N信+1,3)則可求IMN的直線方程為

—2—211(\\

V-2t=~2~^~~(1—21之-1)=-----{x—2t2—1)=>(7—tjy-\-x-3=0

從而直線IMN過定點(3,0).

(2)AGMN面積，由極點極線知G在x=—1上,MN過定點(3,0),SAGMN=jx4x(2t+1)8

數(shù)學(xué)試卷第5頁(共6頁)

19.(17分)

離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用。設(shè)p是素數(shù)，集合X={1,2,...1},若u,veX,m€N,

記“No為iw除以p的余數(shù)，③為a加除以0的余數(shù)；設(shè)aeX,1,Q,Q2,巴2W兩兩不

n

同，若0念=b(nG{0,1,…4—2}),則稱幾是以。為底b的離散對數(shù)，記為n=log(p)a6.

(1)若p=n,