2024屆廣東省佛岡縣達(dá)標(biāo)中考四模數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆廣東省佛岡縣達(dá)標(biāo)名校中考四模數(shù)學(xué)試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.搶微信紅包成為節(jié)日期間人們最喜歡的活動(dòng)之一.對(duì)某單位50名員工在春節(jié)期間所搶的紅包金額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪

制成了統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)如圖提供的信息，紅包金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.20,20B.30,20C.30,30D.20,30

2.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

a八

A,a+b<0B.a>l-2lC.b>nD.-<0

b

3.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-4B.3C.0D.-2

1

4.按如下方法，將△A5c的三邊縮小的原來的2,如圖，任取一點(diǎn)O,連40、BO、CO,并取它們的中點(diǎn)￡、F,

得△/）￡p，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

①△ABC與ADEF是位似圖形@AABC與4DEF是相似圖形

③△ABC與△。斯的周長(zhǎng)比為1：2④△A5C與的面積比為4：1.

A.1B.2C.3D.4

5.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BEJ_AC,垂足為點(diǎn)F,連接DF,分析下列四個(gè)結(jié)論：?AAEF^ACAB；

@CF=2AF；③DF=DC；@tanZCAD=—.其中正確的結(jié)論有（）

2

C.2個(gè)D.1個(gè)

6.如圖，直線a〃b,/ABC的頂點(diǎn)B在直線a上，兩邊分別交b于A,C兩點(diǎn)，若NABC=90。，Zl=40°,則/2

的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D,60°

7.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=1.若DE是△ABC的中位線，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角/ACM

的平分線于點(diǎn)F,則線段DF的長(zhǎng)為（）

A.7B.8C.9D.10

8.一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120。，則這個(gè)多邊形是（）

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形

9.下列因式分解正確的是（）

A.X2+9=(x+3)2B.a2+2a+4=(a+2)2

C.a3-4a2=ai(a-4)D.1-4x2=(l+4x)(l-4x)

10.在△ABC中,ZC=90°,tanA=,△AbC的周長(zhǎng)為60,那么△AbC的面積為（）

A.60B.30C.240D.120

、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=2,EC=1,AE=BC,DF±AE,垂足為F.則下列結(jié)論:

2

?△ADF^AEAB；②AF=BE；③DF平分NADC；@sinZCDF=-.其中正確的結(jié)論是.（把正確結(jié)論的序

號(hào)都填上）

12.把多項(xiàng)式9x3-x分解因式的結(jié)果是

94

13.如圖，點(diǎn)A為函數(shù)y=—（x>0）圖象上一點(diǎn)，連結(jié)OA,交函數(shù)y=—（x〉0）的圖象于點(diǎn)B,點(diǎn)C是x軸上一

xx

點(diǎn)，且AO=AC,則AOBC的面積為

14.將多項(xiàng)式xy2-4xy+4y因式分解：.

15.如圖，以長(zhǎng)為18的線段AB為直徑的。O交△ABC的邊BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上，直線DE與。O相切于點(diǎn)D.已

知/CDE=20。，則AD的長(zhǎng)為.

16.已知：=,則的值是.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）如圖所示，AC=AE,Z1=Z2,AB=AD.求證：BC=DE.

18.（8分）如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)C在A3的延長(zhǎng)線上，CD與。。相切于點(diǎn)Z>,CELAD,交4。的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E.

(1)求證：ZBDC=ZA；

(2)若CE=4,DE=2,求40的長(zhǎng).

19.(8分)我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做

這個(gè)三角形的“等底”.

(1)概念理解：

如圖1,在AABC中，AC=6,BC=3,ZACB=30°,試判斷△45C是否是”等高底”三角形，請(qǐng)說明理由.

(1)問題探究：

如圖1,AABC是“等高底”三角形，5c是"等底”，作AA5C關(guān)于5c所在直線的對(duì)稱圖形得到連結(jié)44,交

AC

直線于點(diǎn)Z>.若點(diǎn)3是的重心，求行的值.

(3)應(yīng)用拓展：

如圖3,已知4與乙之間的距離為1.“等高底”△AbC的“等底”5C在直線(上，點(diǎn)A在直線4上，有一邊的

長(zhǎng)是5C的Q倍.將△ABC繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△4"C,所在直線交(于點(diǎn)D.求CD的值.

20.(8分)已知：a是-2的相反數(shù)，b是-2的倒數(shù)，貝！J

(1)a=,b=；

(2)求代數(shù)式a2b+ab的值.

21.(8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形DOBC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B、D分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐

k

標(biāo)為(6,4),反比例函數(shù)產(chǎn)一(x>0)的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A,交DC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.

x

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)求4OEF的面積；

k

(3)設(shè)直線EF的解析式為yul^x+b,請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式l^x+b〉一的解集.

X

22.(10分)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1,圖2,圖1中，AF,BE是△ABC的中

線，AF±BE,垂足為P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索

(1)如圖1,當(dāng)/ABE=45。，c=2#時(shí)，a=,b=；

如圖2,當(dāng)/ABE=10。，c=4時(shí)，a=,b=；

歸納證明

(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2,b2,C2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，請(qǐng)利用圖1證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)

系式；

拓展應(yīng)用

(1)如圖4,在ciABCD中，點(diǎn)E,F,G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn)，BE±EG,AD=2/,AB=1.求AF的長(zhǎng).

23.(12分)已知二次函數(shù)y=x2-4x-5,與y軸的交點(diǎn)為P,與x軸交于A、B兩點(diǎn).(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))

(1)當(dāng)y=0時(shí)，求x的值.

(2)點(diǎn)M(6,m)在二次函數(shù)y=x2-4x-5的圖像上，設(shè)直線MP與x軸交于點(diǎn)C,求cot/MCB的值.

24.數(shù)學(xué)興趣小組為了研究中小學(xué)男生身高y(cm)和年齡x(歲)的關(guān)系，從某市官網(wǎng)上得到了該市2017年統(tǒng)計(jì)的

中小學(xué)男生各年齡組的平均身高，見下表：如圖已經(jīng)在直角坐標(biāo)系中描出了表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并發(fā)現(xiàn)前5個(gè)點(diǎn)大致

位于直線45上，后7個(gè)點(diǎn)大致位于直線CD上.

年齡組

7891011121314151617

X

男生平

均身高115.2118.3122.2126.5129.6135.6140.4146.1154.8162.9168.2

y

(1)該市男學(xué)生的平均身高從歲開始增加特別迅速.

(2)求直線A3所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

(3)直接寫出直線CD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，假設(shè)17歲后該市男生身高增長(zhǎng)速度大致符合直線CD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)

系，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該市18歲男生年齡組的平均身高大約是多少？

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、C

【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)就是眾數(shù)，把一組數(shù)據(jù)按照大小順序排列，中間那個(gè)數(shù)或中間兩個(gè)

數(shù)的平均數(shù)叫中位數(shù).

【題目詳解】

捐款30元的人數(shù)為20人，最多，則眾數(shù)為30,

中間兩個(gè)數(shù)分別為30和30,則中位數(shù)是30,

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、眾數(shù)和中位數(shù)，這是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.

2、D

【解題分析】

根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置，可得a,b,根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算，可得答案.

【題目詳解】

a=-2,2<b<l.

A.a+b<0,故A不符合題意；

B.a<l-2I,故B不符合題意；

C.b<l<7t,故C不符合題意；

a

D.-<0,故D符合題意；

b

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用有理數(shù)的運(yùn)算是解題關(guān)鍵.

3、A

【解題分析】

有理數(shù)大小比較的法則:①正數(shù)都大于0;②負(fù)數(shù)都小于0;③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此

判斷即可

【題目詳解】

根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得

-4<-2<0<3

??.各數(shù)中，最小的數(shù)是-4

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了有理數(shù)大小比較的方法，解題的關(guān)鍵要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);④兩個(gè)

負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小

4、C

【解題分析】

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得出①4ABC與XDEF是位似圖形進(jìn)而根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出②4ABC與ADEF

是相似圖形，再根據(jù)周長(zhǎng)比等于位似比，以及根據(jù)面積比等于相似比的平方，即可得出答案.

【題目詳解】

解：根據(jù)位似性質(zhì)得出①4ABC與XDEF是位似圖形，

②△ABC與△DEF是相似圖形，

1

..?將△ABC的三邊縮小的原來的彳，

」.△ABC與ADEF的周長(zhǎng)比為2：1,

故③選項(xiàng)錯(cuò)誤，

根據(jù)面積比等于相似比的平方，

...④AABC與ADEF的面積比為4：1.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，中等難度,熟悉位似圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

5、A

【解題分析】

①正確.只要證明NEAC=NAC5,/A3C=NAFE=90。即可；

AEAF11AF1

②正確.由AD〃3C,推出尸，推出行=”方，由推出”方二天，即CF=2AF；

BCCF22CF2

③正確.只要證明0M垂直平分CF,即可證明；

b2a—CDbJ2

④正確.i^AE=a,AB=b,則AD=2a,由△BAEs/vWC,有一=丁，gpb=J2a,可得tan/CAO=——=—=2_.

abvAD2a2

【題目詳解】

如圖，過。作0M〃加E交AC于N.

?.?四邊形ABCD是矩形，：.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,：.ZEAC=ZACB.

,.,BE_L4C于點(diǎn)廠，/.ZABC=ZAFE=90°,：.AAEF^/\CAB,故①正確；

AEAF

：AD//BC,:.△AEFs^CBF,：.-^77=7777.

BCCF

11AF1

：AE=-AD=-BC,：.CF=2AF,故②正確；

22CF2

1

SDE//BM,BE//DM,，四邊形5MDE是平行四邊形，：.BM=DE=-BC,：.BM=CM,：.CN=NF.

于點(diǎn)JF,DM//BE,：.DN±CF,/.OM垂直平分CF,：.DF=DC,故③正確；

b2aCDbJ2

設(shè)AE=a,AB=b,則AO=2?,由有一=丁，gpb=Jla,：.tanZCAD=——=—=-l—.故④正

ab、ADla2

確.

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助

線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵.解題時(shí)注意：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

6、C

【解題分析】

依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得/BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)和定理，即可得到/2的度數(shù).

【題目詳解】

解：；a〃b,

.,.Zl=ZBAC=40°,

又./ABC=90°,

二Z2=90°-40°=50°,

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

7、B

【解題分析】

1

根據(jù)三角形中位線定理求出DE,得到DF〃:BM,再證明EC=EF=]AC,由此即可解決問題.

【題目詳解】

在RTAABC中，,.ZABC=90°,AB=2,BC=1,

.\AC=JAB?+BC2=J82+62=10,

DE是△ABC的中位線，

1

；.DF〃BM,DE=-BC=3,

ZEFC=ZFCM,

,?ZFCE=ZFCM,

ZEFC=ZECF,

1

.,.EC=EF=-AC=5,

；.DF=DE+EF=3+5=2.

故選B.

【解題分析】

由題意得,180°(n-2)=120ox?,

解得〃=6.故選C.

9、C

【解題分析】

試題分析：A、B無法進(jìn)行因式分解；C正確；D、原式=(l+2x)(l-2x)

故選C,考點(diǎn)：因式分解

【題目詳解】

請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?/p>

10、D

【解題分析】

由tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義設(shè)出BC與AC,進(jìn)而利用勾股定理表示出AB,由周長(zhǎng)為60求出x的值，確定

出兩直角邊，即可求出三角形面積.

【題目詳解】

如圖所示,

由tanA=,

設(shè)5C=12x,AC=5x,根據(jù)勾股定理得：AB=13x,

由題意得：12x+5x+13x=60,

解得：x=2,

：.BC=24,AC=10,

則△A5C面積為120,

故選O.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11、①②

【解題分析】

只要證明△EAB且ZSADF,ZCDF=ZAEB,利用勾股定理求出AB即可解決問題.

【題目詳解】

二?四邊形ABCD是矩形，

：.AD=BC,AD〃BC,ZB=90°,

/BE=2,EC=1,

AE=AD=BC=3,AB=JAEz-BE2=J5,

VAD/7BC,

.,.ZDAF=ZAEB,

/DFXAE,

ZAFD=ZB=90°,

/.△EAB^AADF,

：.AF=BE=2,DF=AB=",故①②正確，

不妨設(shè)DF平分/ADC,則△ADF是等腰直角三角形，這個(gè)顯然不可能，故③錯(cuò)誤,

VZDAF+ZADF=90°,ZCDF+ZADF=90°,

ZDAF=ZCDF,

.\ZCDF=ZAEB,

：.sin/CDF=sin/AEB=丑，故④錯(cuò)誤，

3

故答案為①②.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈

活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

12、x(3x+l)(3x-1)

【解題分析】

提取公因式分解多項(xiàng)式，再根據(jù)平方差公式分解因式，從而得到答案.

【題目詳解】

9x3—x=x(9x2—1)=x(3x+l)(3x—1),故答案為x(3x+l)(3x—1).

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了因式分解以及平方差公式，解本題的要點(diǎn)在于熟知多項(xiàng)式分解因式的相關(guān)方法.

13、6

【解題分析】

根據(jù)題意可以分別設(shè)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)O、A、B在同一條直線上可以得到A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系，由

AO=AC可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的2倍，從而可以得到AOBC的面積.

【題目詳解】

94

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為⑶一),點(diǎn)B的坐標(biāo)為8,工)，

ab

'：點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，且AO=AC,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2a,0),

9

設(shè)過點(diǎn)0(0,0),A(a,—)的直線的解析式為：y=kx,

a

9

—=k-a,

a

9

解得k=一，

。2

49

又二?點(diǎn)B(b,工)在丫=—x上，

bQ2

2a■—

故答案為：6.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與反比例函數(shù)的圖象以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握等腰三角形的性

質(zhì)與反比例函數(shù)的圖象以及三角形的面積公式.

14、y(xy-4x+4)

【解題分析】

直接提公因式y(tǒng)即可解答.

【題目詳解】

xy2-4xy+4y=y(xy-4x+4).

故答案為：y(xy-4x+4).

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了因式分解——提公因式法，確定多項(xiàng)式xy2-4xy+4y的公因式為y是解決問題的關(guān)鍵.

15、7n

【解題分析】

連接OD,由切線的性質(zhì)和已知條件可求出NAOD的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出4。的長(zhǎng).

【題目詳解】

連接OD,

;?直線DE與。。相切于點(diǎn)D,

ZEDO=90°,

ZCDE=20°,

ZODB=180o-90°-20o=70°,

\OD=OB,

ZODB=ZOBD=70°,

ZAOD=140°,

140XKx9

AD的長(zhǎng)=——向——=7工，

loU

故答案為：77r.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判斷和性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，求出/AOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

16、，

【解題分析】

根據(jù)已知等式設(shè)a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.

【題目詳解】

解：由，可設(shè)a=2k,b=3k,（k^O）,

故：，

故答案：.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查比例的性質(zhì)，a、b都用k表示是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共8題，共72分）

17、證明見解析.

【解題分析】

試題分析：由Z1=Z2,可得ZCAB=NEAD,；AC=AE,AB=AD,則可證明^ABC=^ADE,因此可得BC=DE.

試題解析：?.?N1=/2,；.N1+NEA6=/2+NE4B,即NC4B=NE4￡）,在qABC和中，

AC=AE

{ZCAB=NEAD:.AABCADE（SAS）,BC=DE.

AB=AD

考點(diǎn)：三角形全等的判定.

18、（1）證明過程見解析；（2）1.

【解題分析】

試題分析：（1）連接OD,由CD是。O切線，得到/ODC=90。，根據(jù)AB為。O的直徑，得到NADB=90。，等量代

換得到/BDC=NADO,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/ADO=/A,即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義得到

ZE=ZADB=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NDCE=NBDC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到巖若，解方程即可得到結(jié)

DECD

論.

試題解析：(1)連接OD,ICD是。O切線，ZODC=90°,即NODB+NBDC=90。，

VAB為。O的直徑，:.ZADB=90°,即NODB+NADO=90。，ZBDC=ZADO,

VOA=OD,:.ZADO=ZA,:.ZBDC=ZA；

(2)VCE±AE,ZE=ZADB=90°,??DB〃EC,:.ZDCE=ZBDC,丁ZBDC=ZA,:.ZA=ZDCE,

VZE=ZE,AAAEC^ACED,/.,/.EC2=DE*AE,11=2(2+AD),/.AD=1.

考點(diǎn)：(1)切線的性質(zhì)；(2)相似三角形的判定與性質(zhì).

/7T2

19、(1)△ABC是“等高底”三角形；(1)J；(3)CD的值為牙質(zhì)，1.

23

【解題分析】

(1)過A作ADJ_5c于。，則△AZJC是直角三角形，ZADC=90°,根據(jù)30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得:

4。=9AC=3,根據(jù)“等高底，，三角形的概念即可判斷.

(1)點(diǎn)5是AAA'C的重心，得到=28。，設(shè)8。=x,則AD=BC=2x,CD-3x,

根據(jù)勾股定理可得AC=網(wǎng)x,即可求出它們的比值.

(3)分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)A3=0BC時(shí)和②當(dāng)AC=pBC時(shí).

【題目詳解】

(1)AABC是“等高底”三角形；

理由：如圖1,過A作A0_L3C于。，則AADC是直角三角形，ZADC=90°,

VZACB=30°,AC=6,

：.AD=-AC=3,

2

：.AD=BC=3,

即AA5C是“等高底”三角形；

(1)如圖1,..,△ABC是“等高底”三角形，3c是“等底”,

AD=BC,

?.?△A5C關(guān)于5c所在直線的對(duì)稱圖形是△A'BC,

ZADC=90°,

?.?點(diǎn)5是△A4'C的重心，

BC=2BD,

設(shè)BD=x,則AD—BC=2x,CD=3x,

由勾股定理得AC=y/T3x,

.AC用x_網(wǎng)

"~BC~2x

(3)①當(dāng)AB=0BC時(shí)，

1.如圖3,作AEL8c于E,。歹，AC于F,

:“等高底”AABC的“等底”為BC,4〃/i，/］與/］之間的距離為1,AB=^2BC.

：.BC=AE=2,AB=2&

：.BE=1,即EC=4,

AC=26

?..△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到

ZDCF=45°,

設(shè)DF=CF—x9

ZACE=ZDAF,

DFAE1-—

---=----=—,即AF-2x,

AFCE2

AC=3x=2^5,

22

x=—4,CD=yj2x=—.yJlO,

II.如圖4,此時(shí)AABC等腰直角三角形,

圖4

,/AABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到△A'8C,

AACD是等腰直角三角形，

/.CD=J2AC=2&

②當(dāng)AC=&C時(shí)，

I.如圖5,此時(shí)AABC是等腰直角三角形,

「△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到

：.A'Cll,

i

CD=AB=BC=2；

II.如圖6,作4EL8C于E,則AE=BC,

/.AC=RBC=y[2AE,

ZACE=45°,

...△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。，得到△A'B'C時(shí)，點(diǎn)⑷在直線(上，

：.A'C//iv即直線4C與乙無交點(diǎn)，

綜上所述，CD的值為

【題目點(diǎn)撥】

屬于新定義問題，考查對(duì)與等底高三角形概念的理解，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等，掌握等底高三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

1

20、2--

【解題分析】

試題分析：(D利用相反數(shù)和倒數(shù)的定義即可得出.

(2)先因式分解，再代入求出即可.

試題解析：(1)1”是一2的相反數(shù)，力是-2的倒數(shù)，

C,1

/.a-2,b=—.

2

(2)當(dāng)a=2,b=—時(shí)，a2b+ab=ab(a+1)=2義^—―x(2+1)=—3.

點(diǎn)睛:只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

6453

21、(1)y=-；(2)―；(3)-<x<l.

x42

【解題分析】

(1)先利用矩形的性質(zhì)確定C點(diǎn)坐標(biāo)(1,4),再確定A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得

63

到與=1,即反比例函數(shù)解析式為y=—；(2)利用反比例函數(shù)解析式確定F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),E點(diǎn)坐標(biāo)為(彳，4),

1x2

然后根據(jù)△°EF的面積=$也陽BCDO-S&ODE-S&OBF-SACEF進(jìn)行計(jì)算；

3k

(3)觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)k<x<l時(shí)，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方，即k：x+b>j.

2zx

【題目詳解】

(1)I?四邊形DOBC是矩形，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4),

,.OB=1,OD=4,

.點(diǎn)A為線段OC的中點(diǎn)，

???A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),

k]=3x2=l,

6

?.?反比例函數(shù)解析式為y二一；

x

6

(2)把x=l代入y=—得y=l,則F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)；

x

633

把y=4代入y=—得乂=不，則E點(diǎn)坐標(biāo)為(不，4),

x22

△OEF的面積=SRrnn-SACDF-SAORF-SACFF

13113

=4x1-—x4x---xlxl--x(1--)x(4-1)

22222

_45

=T；

k3

(3)由圖象得：不等式不等式k2x+b〉一的解集為

2x2

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程

組求解即可.

22、(1)24,2邪;2y/13,2々；(2)。2+拉=502；⑴AF=2.

【解題分析】

試題分析：(1)；AF_LBE,ZABE=25°,/.AP=BP=^AB=2,\AF,BE是4ABC的中線，；.EF〃AB,EF=AB=,

2

ZPFE=ZPEF=25°,/.PE=PF=1,在RtAFPB和RtAPEA中，AE=BF==，二AC=BC=2,.\a=b=2,

如圖2,連接EF,同理可得：EF=x2=2,VEF/7AB,：.Z\PEF?△ABP,,在RtAABP中，

AB=2,ZABP=10°,.\AP=2,PB=2,/.PF=1,PE=,在RtAAPE和RtABPF中,AE=,BF=,：.a=2,

b=2,故答案為2,2,2,2；

(2)猜想：a2+b2=5c2,如圖1,連接EF,設(shè)/ABP=a,；.AP=csina,PB=ccosa,由(1)同理可得，PF=PA=,

PE==,AE2=AP2+PE2=c2sin2a+,BF2=PB2+PF2=+c2cos2%

=c2sin2a+,=+c2cos2a,+=+C2cos2a+c2sin2a+,

a2+b2=5c2；

(1)如圖2,連接AC,EF交于H,AC與BE交于點(diǎn)Q,設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P,；點(diǎn)E、G分別是AD,CD的

中點(diǎn)，AEG^AC,/BEXEG,/.B