2024年合肥市高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性測(cè)試卷（二）附答案解析

2024年合肥高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性測(cè)試卷（二）

本套試卷根據(jù)九省聯(lián)考題型命制，題型為8+3+3+5模式

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知數(shù)據(jù)4%+1,4%+1,…，4再。+1的平均數(shù)和方差分別為人10,那么數(shù)據(jù)不，巧，…，&。的

平均數(shù)和方差分別為（）

5_5_3_35

A.-1,2B.1,2c.1,2D.4,8

2.已知方程4-m表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

“10+"12_

3.在等比數(shù)列｛%｝中，4+4=1，%+%=T6,則在+%（）

A.-4B.8C.-16D.16

4.已知利及表示兩條直線，d，"表示平面，下列命題中正確的有（）

①若（/"/=租,4）/=〃，且加//“，則。///；

②若根，〃相交且都在平面a,"外，m/1a,m///3,n1/a,n//（3則a/〃？；

③若"z//a,機(jī)〃/7,則a//4

④若〃尸，且〃z/歷，則a//￡.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.加強(qiáng)學(xué)生心理健康工作已經(jīng)上升為國家戰(zhàn)略，為響應(yīng)國家號(hào)召，W區(qū)心理協(xié)會(huì)派遣具有社會(huì)心理工作

資格的3位專家去定點(diǎn)幫助5名心理特異學(xué)生.若要求每名學(xué)生只需一位專家負(fù)責(zé)，每位專家至多幫助兩

名學(xué)生，則不同的安排方法共有（）種

A.90B.125C.180D.243

DM=-DC

6,平行四邊形MCD中，AB=3,AD=4,ABAD=-6,3,則的值為（）

A.10B.12C.14D.16

7.已知cos（140O-i）+sin（110o+a）=sin（130。-。），求tane=（）

A.3B.3c.有D,一逝

1

72

a=-c1c=cos—

8.已知9,fe=0.7e,3,則（）

A.a>b>cB.b>a>cc.c>b>aD.c>a>b

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

f（x）=Asin+<^?<—|

9.已知函數(shù)I22J的部分圖象如圖所示，則（）

A./（尤）的最小正周期為兀

xe0,-

B.當(dāng)L2」時(shí)，/⑴,的、值域?yàn)?—22

71

C.將函數(shù)“X）的圖象向右平移7個(gè)單位長度可得函數(shù)g（x）=sin2x的圖象

D.將函數(shù)/（*）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)I6

對(duì)稱

10.已知復(fù)數(shù)z=l+i,則（）

B.z-z=2

D.若關(guān)于x的方程*-依+2=0（xeC,"R）的一個(gè)根為z）則。=2

11.設(shè)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)〃x）和8⑺滿足尸（M=g（x）,g'（x）="6,為奇函數(shù)，且g（°）=L

則下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.8⑺為偶函數(shù)

B.”尤）為周期函數(shù)

2

C.g(“)存在最大值且最大值為1

Dg(x+y)=g(x)g(y)+/(x)/(y)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

々?2＞i

12.已知、+1,,若a是4的充分條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

13.在四面體P-ABC中，BP±PC,ZBAC=6Q若BC=2,則四面體「-鉆。體積的最大值

是，它的外接球表面積的最小值為

-2

14.設(shè)。＞°且awl,若對(duì)Vxe(Y°，。)都有。恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/(x)=aln(x+l)rsin。

匡Ml

⑴若。=o,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2’12“處的切線方程；

⑵若。=1,研究函數(shù)“X)在xe(T°］上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù).

16.一個(gè)骰子各個(gè)面上分別寫有數(shù)字L2,3,4,5,6,現(xiàn)拋擲該股子2次，記第一次正面朝上的數(shù)字為耳，

第二次正面朝上的數(shù)字為、，記不超過巴的最大整數(shù)為y.

(1)求事件“￥=0”發(fā)生的概率，并判斷事件“匕=6”與事件“y=0”是否為互斥事件；

(2)求丫的分布列與數(shù)學(xué)期望.

17.如圖，四邊形ABCD是圓柱°。的軸截面，圓柱°。的側(cè)面積為6君兀，點(diǎn)尸在圓柱°Q的底面圓周上,

且AOPB是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)G是￡＞尸的中點(diǎn).

⑴求證：AGL平面產(chǎn)皿；

(2)求二面角A-PG-。的正弦值.

3

18.已知雙曲線3與直線/：y=kx+m土J3)有唯一的公共點(diǎn)p,直線/與雙曲線的兩條漸

近線分別交于M,N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)「在第一象限.

⑴探求參數(shù)%,加滿足的關(guān)系式；

(2)若°為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明："FP3NFO.

19.已知數(shù)列A?g，L此為有窮正整數(shù)數(shù)歹(].若數(shù)列卜滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列:

①。［+%++an=m

②對(duì)于KE,使得%的正整數(shù)對(duì)億力有k個(gè).

(1)寫出所有4的1減數(shù)列；

(2)若存在m的6減數(shù)列，證明：〃〉6；

(3)若存在2024的k減數(shù)列,求k的最大值.

1.D

【分析】利用平均數(shù)與方差的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)%，%,…，稅的平均數(shù)和方差分別為〃和

則數(shù)據(jù)4%+1,43+1,4占。+1的平均數(shù)為4乂〃+1=4,方差為42*S2=10,

故選：D.

2.D

【分析】由橢圓方程特點(diǎn)可求加范圍.

c7

3<m<—

【詳解】由題意得，3<4-m，解得2.

故選：D.

3.C

【分析】設(shè)出公比，結(jié)合兩等式左邊兩項(xiàng)的內(nèi)在聯(lián)系，直接求得公比，再結(jié)合所求式分子分母項(xiàng)的內(nèi)在聯(lián)

系，化簡(jiǎn)成公比的乘方式，直接代入即得.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛""｝的公比為4,則%+佝=3+%討=1><45=T6,即爐=_16,

4。+生_M+%)9=q5=-16

故選:C.

4.A

【分析】根據(jù)線面平行和面面平行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于①，若a"=m,0\y=n,且加//，則0//尸或相交，故①錯(cuò)誤；

4

對(duì)于③和④，a與夕也可能相交，均錯(cuò)誤；

對(duì)于②，設(shè)相交確定平面/,根據(jù)線面平行的判定定理知a〃根據(jù)平行平面的傳遞性得知

a!Ip

故選：A.

5.A

【分析】根據(jù)已知對(duì)五位同學(xué)分3組，然后全排列即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，具有社會(huì)心理工作資格的3位專家去定點(diǎn)幫助5名心理特異學(xué)生,

要求每名學(xué)生只需一位專家負(fù)責(zé)，每位專家至多幫助兩名學(xué)生，

則把五位同學(xué)分3組，且三組人數(shù)為2、2、1,然后分配給3位專家，

生弓?A；=90

所以不同的安排方法共有A]種.

故選：A.

6.D

MA-MB=\DA--AB\-\-AB+DA\=D^--AB^+-AB-DA

【分析】以A民加作為基底，得<3M3)93，代入數(shù)

值即可.

DM=-DC

【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅蜛8CO中，AB=3,AD=4,ABAD=-6,3

MA=(DA-DM)=DA--DC=DA--AB

所以''33

MB=MC+CB=\^AB+DA\

MA-MB=\DA--AB\-\-AB+DA\=DA"--AB2+-AB-DA=16--x9+-x6=16

(3八3)9393

故選：D.

7.D

【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)己知等式可得C°S（2°°+0=COS（4O。-a）+cos（40o+%）,再利用兩

cos20°-2cos40°

tana=----------------------

角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)可得sin200,繼而利用三角恒等變換，

化簡(jiǎn)求值，即得答案.

cos(140°-(z)+sin(110°+6Z)=sin(130°-a)

【詳解】由題意知,

5

即-cos（40°+a）+cos（20°+a）=cos（40°-a）

故cos（20°+a）=cos（40。-a）+cos（40°+a）

即cos20°cosa—sin20°sina=2cos40°cosa,

故cos20°cosa—2cos40°cosa=sin20°sina,

tancr-s^na-cos20。-2cos40。_cos（30°-10°）-2cos（30°+10°）

gpcosasin20°sin20°

63.

_一3c°sl0°+]Sinl（）°_氐近（10。-30。）_—氐in20。_

一sin20°-sin20°-sin20°一一,

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡(jiǎn)得出tana的表

達(dá)式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)求值即可.

8.D

【分析】利用常見放縮1nX,構(gòu)造函數(shù)/（x）=l—x+山。判斷出6<a,然后利用sin無<x，構(gòu)造

sin—v—,

33從而判斷即可.

71999

In/?-In?=0.1+In0.7-In—=---Fin—=1-------1-In—,

【詳解】910101010

當(dāng)0<x<l時(shí),用q>0,所以了⑴在（。，1）上單調(diào)遞增,

Inb-lna=

:.b<a.

221

c=cos—=l-2sin—

33,

c?11

0<sin—<—,

易知33

2127

/.c=cos—=1-2sin923—>1——=—

3399,

:.c>a>b

故選：D.

9.AD

【分析】利用圖象求函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求函數(shù)最小正周期和區(qū)間內(nèi)的值域，求出函數(shù)圖象變換后

的解析式，判斷新圖象的對(duì)稱中心.

5兀71

4

【詳解】由函數(shù)圖象可知，A=l,『（X）的最小正周期為T12~6=兀

,A選項(xiàng)正確;

6

sin12乂弓+夕)=1

T=n=—f

CD,0=2,

71TC71

、2x-^+(p=+2/ai^keZ)---<0<——

，由22,得r

所以〃上sin12%+弓

兀7兀sin12x+E卜flB選項(xiàng)錯(cuò)誤;

xe嗚2x+2,[，〃元）的值域?yàn)橐?/p>

當(dāng)」時(shí),r66

71=sin12無一言

將函數(shù)/（尤）的圖象向右平移了個(gè)單位長度可得函數(shù)

的圖象，c選

項(xiàng)錯(cuò)誤;

71

#（、〃（x）=sinX+—

將函數(shù)町的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)6的

圖象，

hf-=sinf—+—^=sin7i=0=sin（尤+四][7，0]

（66J，函數(shù)I6J的圖象關(guān)于點(diǎn)I6J對(duì)稱，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

10.BD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模定義A,根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷B,根據(jù)虛數(shù)單位的周期性判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)的

乘法加法及復(fù)數(shù)相等判斷D.

【詳解】復(fù)數(shù)z=l+i,則目=而=也,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閦2=(l+i)(I)=l-(i)2=l+l=2,故B正確;

202420242024506

(z-l)=(l+i-l)=i=i4I=1

因?yàn)楣蔆錯(cuò)誤;

因?yàn)閤的方程Y-依+2=0（xeC,“eR）的一個(gè)根為工，

所以(1+講-a(l+i)+2=2i-a-ai+2=2-a+(2-a)i=0

由復(fù)數(shù)相等可知2-。=。，即。=2,故D正確.

故選:BD

11.AD

【分析】A選項(xiàng)，/（”=一/（一到兩邊求導(dǎo)得到''（x）=/'（f）,故g（T）=g@）,故A正確；B選項(xiàng),

構(gòu)造尸（x）=/（x）+g（x）,求導(dǎo)得到尸3--x）=0,從而構(gòu)造G（x）=eT*x）,求導(dǎo)得到G'（x）=0,

7

,⑴二--e-e%+e~%

求出G(x)=c,c=l,結(jié)合函數(shù)奇偶性和方程思想得到“”一2,xeR,2,xeR,

從而八龍十7/外龍)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，利用基本不等式求出且(元)最小值為1,D選項(xiàng)，計(jì)算出

g(x)g(y)+/(x)/(y)=g(x+y)

【詳解】A選項(xiàng)，由/⑺為奇函數(shù)，即/(3)=一八一"，對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，

根據(jù)求導(dǎo)法則，得-(x)=--(f)?(f)'=_r(T),即g(f)=g(x),

從而g(x)為偶函數(shù)，所以A正確.

B選項(xiàng)，由題意知，構(gòu)造函數(shù)ba)=/(x)+ga),xeR,

根據(jù)求導(dǎo)法則，得，

即9(x)--力=0,

于是，構(gòu)造函數(shù)G(x)=e"(x),xeR,根據(jù)求導(dǎo)法則，

得G(x)=e-[/x)”(x)]=O.

從而G(x)=c,xeR,即:(x)=/(x)+g(x)=*\xeR,其中c為待定常數(shù).

由,⑴為奇函數(shù)，得〃°)=°.再由g(°)=L得/(°)+g(°)=l,

又網(wǎng)O)=〃O)+g(O)=ce°=c,即c=l,

從而/(x)"(x)+g(x)=e*,XER

另由“X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)知,

/(-%)=/(-X)+g(-X)=-/(x)+g(X)=0，

e%_Q-X

與b(x)=/(x)+g(x)=e*聯(lián)立，解得〃X)一2,xeR,

^x+T八一1

---

由于當(dāng)TwO時(shí),

8

故“X)不是周期函數(shù)，所以B不正確；

(、一+尸、2jeW,

g(x)=—=1

C選項(xiàng)，由基本不等式知，22

其中當(dāng)且僅當(dāng)》=0時(shí)等號(hào)成立，即8⑴存在最小值且最小值為1,所以C不正確;

已'+尸e%-e-xey-e-y

g(x)g(y)+〃x)〃y)==^-------1-------

D選項(xiàng),222

e'+y+e"++e*>ex+y-ex-y-e"+e-x-ye++。一”/、

=--------------------+--------------------=----------=g(尤+y)

4421，

D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】利用函數(shù)/a)與導(dǎo)函數(shù)r(x)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，是高考常考題目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常

見思路：

比如：若〃x)+/'(x)>。，則構(gòu)造g(x)="(x),

若/⑺—r(x)>。，則構(gòu)造g6金,

若/(力+礦(力>0,則構(gòu)造g(x)=#(x),

若/(x)—才⑺〉。，則構(gòu)造g0)_x.

12｛m|m<-l｝

【分析】根據(jù)分式不等式可得hT<x<l,由題意分析可知閨-1<“<1｝是W"區(qū)無’2｝的子集，根據(jù)

子集關(guān)系列式求解即可.

【詳解】由*+1>可得x+l>,則(1T)(1+X)>0,解得

gpcr:-l<x<l,

若a是。的充分條件，則｛xT<x<l｝是｛幻屋xW2｝的子集，

可得m<T,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是｛m1m&T｝.

故答案為：｛Mmw-i｝.

A/316K

13.TV

9

【分析】根據(jù)余弦定理以及不等式可得鉆?AC44,進(jìn)而可求解面積的最大值，進(jìn)而根據(jù)3PLpC,即

可求解高的最大值，進(jìn)而可求解體積，根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可根據(jù)球的性質(zhì)求解球半徑的

最小值，即可由表面積公式求解.

【詳解】由余弦定理可得EC?=AB?+AC。-2A5?ACcosNBAC,

^4=AB2+AC2-ABAC>2ABAC-ABAC,所以AB-ACW4,

S=-AB-ACsin60

當(dāng)且僅當(dāng)筋=AC時(shí)取等號(hào)，故2

故.ABC面積的最大值為

%ABC=；SABCh<^xy/3h=^-h

由于3PLpC,所以點(diǎn)尸在以BC為直徑的球上（不包括平面ABC）,故當(dāng)平面PBC1平面ABC時(shí),

-BC=1

此時(shí)〃最大為半徑2

故33

24c

----——=2r

由正弦定理可得：sin60出r為二ABC外接圓的半徑,

R1=r2+O.O1=-+O.O2八八

設(shè)四面體尸-至。外接球半徑為我，則3，其中分別為球心和外接圓的

°4

cc-oR=—bO］。9

圓心，故當(dāng)°&二°時(shí)，此時(shí)3最小，

4敏=建

故外接球的表面積為3,

V316兀

故答案為：3,3

14.(L2]

10

x+—_9XH—W—2

【分析】由原不等式結(jié)合基本不等式可得。Ya；再由XV?？傻脁,則得a>l,然后由

-2

優(yōu)+fjX<—

。結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算可得。<2,再通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明在l<aW2,xe（Yo,0）,有

.1+-

ai+x+a”2即可.

1C41

［詳解］因?yàn)榭?gt;0且awl,因?yàn)椋?或22?。］當(dāng)且僅當(dāng)優(yōu)=時(shí)取等號(hào)，

/X+12,

2\ax<-x4,

故a，所以“*4a

x+-=-(-x)+|--j|<-2

又x<°，所以,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào),

所以”>1.

.1+-

-2X,2-2-aX

ax+ax<—a<---ax=-------

又a,所以aa,顯然標(biāo)>0,

ili+L

所以有2-。+*>。，即尤0恒成立，

又x<0,所以X,故log“2Zl=log“a,所以aW2.

11

1-I—<log2%>--------

當(dāng)a>2時(shí)，x"恒成立，即l°g〃2T恒成立，與V無e(-oo,0)矛盾.

下面證明：在l<a<2,xe（-oo,0）,有犬+a七<2,

t=e(0,a),x=log”

令a

i+-j1+L4log〃(2-。

要使a"2-4+「即x乩

841。&（2一）

1+——

匕

1唯

即

—e(0,l),logfl|-1<0

由]<aW2知，=Qe(0,6?),得。

logfl-+l>(logJ-1)?log”(2T)

從而需證：a

In/ln(2-1)Infln(2-。〉0

即需證明：ln〃InaInaln〃，記Ina=Z?E(0,ln2]

11

從而只需證："⑺="In，+ln(2—初—Int?ln(2T)"0①

=—ln(2-r)]+[\nt-blh'(l)=0

t2-t

<p(f)=-[Z7-ln(2-/)]H———[Int-b]

令t2-t則

i9—/?1t7

In--+--------l+(ln2-/?)+---------ln-+一一l+(ln2-Z?)

t22—t(2—^)_2t

111y_1

t{x}=InxH-----l(x>0)t\x)=--------=——

令尤，貝(Jxxx,

當(dāng)Ovxvl時(shí)，/（x）vO,當(dāng)％〉1時(shí)，"兀）＞0,

所以f（x）在（0,1）上遞減，在（1，+°°）上遞增,

/、---Z1\r\InXH-----120

所以，(x)N?l)=°,即x

因?yàn)閘n2—bN0,所以0

..."⑺在(0,0)上遞增，又〃⑴=°,

.?.在。</?I,〃")<〃'(1)=O,/i(Z)遞減，h(f)>h(l)

\<t<a,h\t)>1(1)=0,h(t)遞增，h(t)>h(I),

而"⑴=0,從而在l<t<a吐總有咫)>飄1)=0

11+-

①式恒成立，不等式。x+a342得證.

綜上所述，“e(l，2].

故答案為：（L2]

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件

結(jié)合基本不等式確定出。的范圍，然后通過構(gòu)造函數(shù)再證明其正確性即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能

力，屬于難題.

is.（i）y=f

（2）/（彳）在x?T，°]上單調(diào)遞增；1

/1-U-i

【分析】（1）當(dāng)。=°時(shí)，求出，從而可求出切線方程.

12

（2）當(dāng)。=1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出“X）在x?T0］上單調(diào)遞增.又從而可求解.

【詳解】⑴當(dāng)。=°時(shí)，/（x）=rsinx,

貝|/（對(duì)=_$111彳一工（：05彳，貝/（212,1（2）,

.，廬1

所以曲線，=〃力在點(diǎn)12'（2”處的切線方程為尸r.

⑵當(dāng)。=］時(shí)，〃x）=ln（x+l）-xsinx,貝/'（無）=第一.—彳儂尤

當(dāng)xe（T。］時(shí)，尤+1>°,-sinx20,-xcosxNO,則/'（尤）>°,

故/（X）在X€（T，。］上單調(diào)遞增.

又因?yàn)椤啊悖?°,所以〃力在x?T°］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為L

p（y=0）=—_,

16.（1）12,事件“vY=6”與事件“y=0”為互斥事件；

E（y）=—

⑵分布列見解析，36

【分析】（1）列舉出y=°所包含的情況數(shù)，計(jì)算出P"=°）,判斷出事件“X=6”與事件“y=0”

不能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；

（2）求出y的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列和數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】⑴當(dāng)右取6*取值為123,4,5時(shí)，Y=0,

當(dāng)八取5，X取值為123,4時(shí)，Y=0,

當(dāng)右取4,匕取值為123時(shí)，y=0,

當(dāng)為取3片取值為1,2時(shí)，y=。,

當(dāng)X取2，匕取值為1時(shí)，Y=0,

1+2+3+4+5

p(y=o)=

所以6x612

_—>i,y^o

當(dāng)乂=6時(shí)，Y2，事件“X=6”與事件“y=°”不能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件;

（2）丫的取值為°』，2,3,4,5,6,

13

化國）取值為。，1），（2,2），（3,2）,（3,3）,（4,3）,（5,3）,（4,4）,（5,4）,（6,4）,（5,5）,（6,5）,（6,6）時(shí),

呼川二短W

41

化㈤取值為（2，1），（4,2），（5,2）,（6,3）時(shí)，尸（”小嬴=§,

（"）取值為（3，1），（6,2）時(shí)，尸"=3）=嬴=以

（XZ）取值為（4,1）時(shí)，尸"4）6x636,

（"）取值為（5」）時(shí)，尸"96x636,

（"）取值為（6」）時(shí)，尸"6）6x636,

所以丫的分布列為

Y0123456

5111111

P

123918363636

E(K)=Ox—+lxi+2x—+3x—+4x—+5x—+6x—41

所以'/12391836363636

17.(1)證明見解析

⑵5

【分析】（1）要證AG,平面P6D,需證AGLDP①和AG'B尸②，而證明①，只需證明"=A。，

可計(jì)算得到；要證②，需證尸8,平面ADP,此結(jié)論易得；

（2）借助于過點(diǎn)尸的母線和尸員叢建系，求出各相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和向量，由兩平面的法向量，利用空間向

量的夾角公式計(jì)算即得.

【詳解】（1）點(diǎn)尸在圓柱°。的底面圓周上，二針，的，

四邊形ABC。是圓柱°。的軸截面，平面

因PBu平面APB,AD±PB,

APcAD=A,AP,ADu平面ADP,,pgJ_平面ADP,

而AGu平面ADP,AG±PB①,

OPB是邊長為6的等邊三角形，^APB=90,

14

/.AP=PBtan^ABP=5/3tan60=3

圓柱OQ的側(cè)面積為6島,即27t.。8.AZ)=2氐-AD=6氐,

則AD=3=AP,又點(diǎn)G是。尸的中點(diǎn)，.?.AGLPD②.

又PDPB=P,PD,PBu平面pBD,由①②可得AG,平面P6D.

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，以用，尸4及過點(diǎn)尸與相>平行的直線分別為％%z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

4(0,3,0),0百,；,€)],0(0,3,3),G[O,篇APO=f^,|,o|pG=

則[22)122乙I22J

PO-n—x+—y-0

22

33

〃

設(shè)平面OPG的法向量為"=(x，y，zPG?=—y+—z=0

,則22

令z=i得工=百，y=-1，二〃=(也，-1,1)

由⑴知，尸3,平面ADP,故網(wǎng)=("0'°)是平面APG的一個(gè)法向量.

cosa=|cos(FB,?)|=烏;=3=巫

由圖知二面角A—PG-O為銳角，設(shè)為a,則PB\'\nEx"

小2巫

5,即二面角A-PG一0的正弦值為5.

..k2—m2=3(k>yj3,m<0

18.(1)V

(2)證明見解析

【分析】(1)將直線/與雙曲線方程聯(lián)立，因只有一個(gè)切點(diǎn)尸從而可得A=°,從而求解.

“產(chǎn)，尹]”一片，尹、

⑵將直線/分別與雙曲線的兩漸近線方程聯(lián)立求出l03-k<3一k),('3+ZJ3+Z人由(])

(_JL

,求出P(切'mJ即/MFP=/2VFOotanNMFP=tan4FOotan(NMFO—/Pn?)=tan/NFO

15

okpM-V3m,Cm

二~^FNo即M+kpN—kpp(1—kFMkFN)kFM-----------------1<—___________

FN

1+即“，分別求出+m—2k,2y/3-m+2k,

3

k—2m從而可求解.

y=kx+m

＜2_Z-

【詳解】⑴聯(lián)立方程卜一行一1,整理得（3一獷*-2如u-（療+3）=0.

由％片土石,且尸是雙曲線與直線/的唯一公共點(diǎn)，可得△=（一2mT+4（3+3）=0,

則％2一療=3,即為參數(shù)女,“滿足的關(guān)系式.

結(jié)合圖象，由點(diǎn)尸在第一象限，可知魚＞6,且機(jī)＜。.

所以女,加的關(guān)系式滿足"一＞

（2）由題可得雙曲線的左焦點(diǎn)口（一2，°）,漸近線為、=±島.

結(jié)合左一后=3,且由0一K）廠一2初四一（"+3）=0式可變形為蘇f+2kmx+k2=0,

JQ-___I------,-----I

解得一根，可得In1).

要證ZMFP=ZNFO,即證tanNMFP=tanN2VFO,

即證tan(/MFO-/PFO)=tanZNFO

16

k

~FM二一

kpNkfM+^FN=^FP(1-kpM/TV)

艮|3證1+號(hào)物原尸即證

1?1二.

由kpM+kfN—kpp(1—,得kpMkpN

,6m76m

_,___________3

FMFN

根據(jù)直線的斜率公式，26+m-2k,2^-m+2k9k—2m

1112港+7〃-2Z+-m+2k_4^___4

則卜日乂即NA/3/710TI點(diǎn)"m

]_1_2c+m-2k26-m+2k_(2鳳"2-2%)(2道-〃?+2%)_1

kFMkFN幣m木m3〃/

12-(〃z-2左y_12-療一4/+4?成_]_12-4療-4產(chǎn)+4/泌

3m23m23m2

-Sm2+4mk_4(%-2m)

3m23m,

.(1A34(k—2m)