2024年高考第二次模擬考試：數(shù)學（新高考專用卷2）（解析版）

2024年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學

全解全析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.若集合M="引y=ln"1)"'，為N={y|y2>4},則()

log3(^-l)

A.2EMcNB.M<JN={a\ae[-2,2]o(4,+co)}

C.N={a\ae(-oo,2)u(2,+co)}D.&M)cN={a|ae[-2,l]}

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合M,N,然后再逐個分析判斷即可.

(x-l)(x-4)

；Q(x-l)(x-4)log(x-l)>0

【詳解】由<log(x-l)得《3

3x-1^1

log3(X-l)w0

解得x>4或1<%<2,

所以M={x|x>4或l<x<2},

因為條N={y|y?>4},

所以N={y,<^=[y\-2<y<2\,

對于A,因為MN=(l,2),所以2eMcN,所以A錯誤，

對于B,因為"={x|x>4或l<x<2},N={y|-2KyW2},

所以“N=[—2,2](4,y),所以B正確,

對于C,因為N={?—2<y<2},所以C錯誤，

對于D,因為M={x|x>4或1cx<2},所以aAf=(—co,l][2,4],

因N={止2<y<2},所以他")cN=[—2,1]U{2},所以D錯誤,

故選：B

2.已知z-Z2是關于x的方程為2一2%+2=0的兩個根.若Z=l+i,則閭=()

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【解析】

【分析】由Z],Z2是關于X的方程式―2x+2=0的兩個根，由韋達定理求出Z2,再由復數(shù)的模長公式求

解即可.

【詳解】法一：由Z-Z2是關于X的方程式―2%+2=0的兩個根，得4+22=2,

所以Z2=2—Z1=2_(l+i)=l_i,所以閆=卜i|=VL

法二：由Z],Z2是關于X的方程X2一2工+2=0的兩個根，得馬/2=2,

所以Z2=gA?所以丘島卜向=[=△

故選：C.

2?！?/p>

3.已知在等腰AA8C中，AB=AC=2,ZBAC=——，點。在線段BC上，且5\徵=3S.,則人必人。的

值為()

7531

A.—B.-C.-D.——

2222

【答案】B

【解析】

31

【分析】根據(jù)S/。=3S械確定CD=3BD,從而可得AD=—AB+—AC,從而用向量數(shù)量積的運算

.Z11/〃1fcnDUAA

律即可求解.

【詳解】設等腰AABC在3c邊上的高為九,

因為=3SABD，所以‘xCDx'nBx’xBDx"，

amu.nDU

1-1i_3.i

所以。。=35￡),所以4。=43+3。=45+—3。=43+—4?！狝B=-AB+-AC,

44444

所以A3A￡>=AB/3AB+LAC]=3AB2+LA5AC

(44J44

2

=||AB|+||AJB|-|AC|COSZBAC=1.

故選:B.

4.已知向量a=(—l,0),/?=(%,1-%),則無>0是向量a，Z;夾角為鈍角的()

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.必要不充分條件D,充分不必要條件

【答案】C

d-b<0

【分析】若向量a，人夾角為鈍角，則滿足一/求出x的范圍，然后驗證充分性與必要性.

aw勸僅w0)v

【詳解】b={x,l-x),:.b^0

又因為向量a，6夾角為鈍角

a-b<0—X<0

所以滿足｛/.\=<

aw例僅w0）0?%。一1x（1—冗）

所以尤>0且XW1

因為尤>0推不出x>0且XW1,所以充分性不成立

又因為1>0且％W1能推出x>0,所以必要性成立

所以%>0是向量a，b夾角為鈍角的必要不充分條件

故選：C

5.一般地，聲音大小用聲強級乙(單位：dB)表示，其計算公式為：人=101g(，運)，其中/為聲強,

單位W/n?，若某種物體發(fā)出的聲強為5T°W/m2,其聲強級約為(炮2ao.30)()

A.50dBB.55dBC.60dBD.70dB

【答案】A

【解析】

【分析】將聲強5T°W/m2代入乙=101g(白)中，結合對數(shù)的運算化簡求值，可得答案.

【詳解】由已知得4=101g1產(chǎn))=1°義(12—10坨5)=10><[12—lOlg^J

=10x(2+101g2)?10x(2+10x0.30)=50(dB).

故選：A.

6.“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來

江蘇旅游，他們分別從“太湖童頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚州瘦西湖”

這6個景點中隨機選擇1個景點游玩.記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖富頭渚”，事件B為“兩位

游客選擇的景點不同"，貝"(B|A)=()

7g8C910

AA.—B.—C.—D.—

991111

【答案】D

【分析】根據(jù)古典概型概率公式求出P(A),尸(AB),然后利用條件概率公式即得.

【詳解】由題可得尸（A）=6X?一：X5?稱,網(wǎng)叫=泠=焉,

6x6366x618

5

所以尸（8閭=常=普=?故選D.

36

7.已知函數(shù)/（%）=2sin,%+《—1（。＞0）,若函數(shù)/（%）在141,7］上恰有3個零點，則實數(shù)①的取值

范圍是（）

兀2兀）空2兀

A.B

3

8兀3兀）8兀4n

D

C.21，-7

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)零點的定義，列不等式組結合整數(shù)限制條件即可求解.

【詳解】令/(x)=2sin［G%+《］-1=0,則sin10x+2￡

2

解得G九+巴=2kn+—(keZ)或g%+&=2kji+型(kGZ),

6666

即x=或冗+&(左wZ),

CDCD3(0

因函數(shù)〃力在［1,7］上恰有3個零點，

也21

2祈12兀2kn①

---<I,——+----＞1

co---3a)co2E2兀r

——+—<7

_2_kj_i_?__8_兀1，)CDCOIF

所以《或《，keZf

①3G2kn8兀.

---+——>7

4兀2E-33G

——+——>7

、CD①2防i4兀1

--------<l

、co3a)

o)>2防1

co<2kn+—

311

=0,迎W0<4兀

第一個不等式組解得＜、2kn8兀=_W4左=左

a)>---+——6321T

721

2hi4兀

a)<---H---

177

0V2%兀

2kn2兀

CO>------H-------

77]

第二個不等式組解得＜2kn8兀=:<左<1=左e2，coE0

(D<------1----6

721

4TT

CD>2左兀-------

[3

8兀4兀］

所以所求取值范圍為

故選：D.

2

8.已知雙曲線C:5--2=1（。＞0,6＞0）的左右焦點分別為耳、F,過耳的直線與曲線。的左右兩支分別

ab2

交于點〃、N,且|甲0|：|耳N|:|腦V|=l:2:3,則曲線。的離心率為（）

AR庖「后D血

，9D.------C.-----U,---

一333

【答案】B

【解析】

【分析】設閨M=光，進而結合雙曲線的定義得x=a,閨M=a,叵N|=20，MM=3a,1KM=3%

進而在oMNg,AN4心結合余弦定理求得cosN片N&,cosNA/N%,進而得而°=血，再求離心率

即可.

【詳解】解：如圖，設閨〃|=x,因為|￡M|:|gN|:|MN|=l:2:3,

所以優(yōu)N|=2尤,pW|=3x,

由雙曲線的定義得：\FlN\-\F2N\=\MN\+\MF1\-\F2N\=4x-2x=2a,

\F2M\-\FxM\=2a

所以，x=a,\F［M\=a,\F2N\=2a,\MN\=3a,\F2M\=3a,

9a2+4?2-9?21

所以，在，MNF］中,

…」"黑L「2-3a-2a3

16a2+4/-4c2_5a2-c2

在△△明心中,

2-4a-2a4a2

因為cos/耳=cosZMNF2,

5〃22i_

所以°”，c=L,即11/=32,限=上c

4/3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為慶祝江西籍航天員鄧清明順利從太空返航，鄧清明家鄉(xiāng)的某所中學舉辦了一場“我愛星辰大?！焙教熘R

競賽，滿分100分，該校高一（1）班代表隊6位參賽學生的成績（單位：分）分別為：84,100,91,95,

95,98,則關于這6位參賽學生的成績.下列說法正確的是（）

A.眾數(shù)為95B.中位數(shù)為93

C.平均成績超過93分D.第25%分位數(shù)是91

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意將成績排序，結合眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)相關知識求解即可.

【詳解】將成績按從小到大的順序排序為：84,91,95,95,98,100,

對于A,95出現(xiàn)兩次，其他數(shù)據(jù)只出現(xiàn)一次，所以眾數(shù)為95,故A正確;

95+95

對于B,中位數(shù)為第3,4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為二1二=95,故B錯誤;

對于C,平均數(shù)為84+91+95+95+98+10056393.8>93,

=w故C正確;

66

對于D,6x25%=1.5,所以第25%分位數(shù)是第二個數(shù)，為91,故D正確.

故選：ACD

Q-I

10.數(shù)列｛4｝的通項為％,=不已，它的前〃項和為s“，前〃項積為北，則下列說法正確的是（

A.數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列B.當〃=30或者〃=31時，S“有最大值

C.當〃=17或者〃=18時，,有最大值D.S“和北都沒有最小值

【答案】ABC

【解析】

301

【分析】根據(jù)數(shù)列的通項得出數(shù)列｛4｝是以衛(wèi)為首項，以-行為公差的等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的特

征分別對每個選項進行分析即可求解.

Q11公八1

【詳解】因為數(shù)列｛4｝的通項為4=；',則4+1—4=-內，所以數(shù)列｛4｝是以可為首項，以-百

為公差的等差數(shù)列，因為公差d<0,所以數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，故選項A正確；

31—n

因為q=下一，當〃>31時，an<0；當〃W30時，??>0,因為%1=0,所以當〃=30或者〃=31

時，S”有最大值，故選項B正確；

31-n1412

由""=13可知:47=百>1，％8=1，ai9=—<1>所以當〃=17或者”=18時，7；有最大值，

故選項C正確；

根據(jù)數(shù)列前30項為正數(shù)，從第31項開始為負數(shù)可知：S“無最小值，

因為/i=0，當〃>31時，4<0,但零乘任何數(shù)仍得零，所以（有最小值0,故選項D錯誤，

故選：ABC.

11.設尸為拋物線C:y2=2px（〃>0）的焦點，點P在C上且在x軸上方，點4（—6,0）,8（0,26）,若

\FA\=\FP\=2\FB\,則（）

A.拋物線C的方程為/=8x

B.點P到了軸的距離為8

C.直線"與拋物線C相切

D.A3,尸三點在同一條直線上

【答案】ACD

【解析】

【分析】由|E4|=2|EB|,先求設R點坐標，得拋物線方程，再驗證每個選項.

【詳解】拋物線C：V=2px（p>0）的焦點尸，,。］,由附=2|印，有3+6=2位）+（2可，解

得。=4,

所以拋物線。的方程為V=8x,A選項正確；

|用=3日=8,點尸在拋物線上且在x軸上方，到焦點距離為8,到準線1=-2距離也為8,所以點尸到

y軸的距離為6,B選項錯誤；

點尸在拋物線上且在x軸上方，到>軸的距離為6,有點尸橫坐標為6,代入拋物線方程，可得P（6,4百），

則直線AP的方程為y=寸（％+6），

由＜y=5（"+6）消去X得丁+8石y+48=0,△=（8有『—4x48=0,所以直線AP與拋物線。相切,

）2=8x

C選項正確；

由A（—6,0）,B（0,2V3）,尸（6,4次），得43=80=（6,2退），則A,5P三點在同一條直線上，D選

項正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/：2x—y+君=0與圓C:（x—1y+（'—2）2=9交于A3兩點，則卜；若P

是圓C上的一點，貝I.MB面積的最大值是.

【答案】①.4A/2②.8夜

【解析】

【分析】（1）先求圓心到直線的距離，然后結合垂徑定理算出弦長即可；

（2）結合上一空，三角形底邊長一定，求出圓上一點到直線的距離的最大值，即可得到三角形面積的最大

值.

【詳解】由題意可知圓C的圓心坐標為CQ,2）,半徑r=3,

則圓心C到直線/的距離d=9X：2+⑹=1故?A31=2〃—筋=，叵；

V22+l2

因為P是圓C上的一點，所以點P到直線/距離的最大值為1+3=4,

所以.A4B面積的最大值是工*4后X4=8丁5.

2

故答案為：4a；8A/2.

13.《九章算術》是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，全書總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，內容十分豐

富，在數(shù)學史上有其獨到的成就.在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉席”，將

底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如圖，幾何體尸一48C。為一個陽馬，其中

?DJ_平面A8。，若。石_124,DF1PB-DG±PC,S.PD=AD=2AB=4,貝U幾何體EFGABC。

的外接球表面積為.

p

【答案】20K

【解析】

【分析】判斷出幾何體EbG鉆CD外接球球心的位置，求得外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.

【詳解】設A。BD=O,連接

依題意，四邊形ABCD是矩形，所以A。LCD,ABLA。,BCLCD,

由于平面ABC。，A。,CRAB,BCu平面ABC。，

所以P。，AZ),P。，CD,PD，AB,P。，BC,

由于PD平面尸A。，所以A31平面PAD,

由于QEu平面QA。，所以ABLDE,

由于DEL/N,以門48=4尸/4,48<=平面^鉆，所以DE1面E4B,

由于BEu平面B43，所以。

同理可證得。GL6G,

由于D8，所以:BD￡BZM,—皮)C,.都是以5。為斜邊的直角三角形，

所以幾何體ERMBCD外接球球心是。，且半徑R=-BD=-XA/F+4R=JU,

22

所以外接球的表面積為471Az=20兀.

故答案為：20兀

14.已知.ABC的三個內角AB,C所對的邊分別為a,b,c,且a=4,c=3b,貝UABC面積的最大值

是；若r,R分別為4ABe的內切圓和外接圓半徑，則小的范圍為.

【答案】①.3；②?

【解析】

【分析】對于第一空，利用余弦定理表示出cosA,再表示出sinA,再利用SMc=g"csinA可得答案;

對于第二空，利用r=竺巫,R=--」一可得答案.

abc2sinA

c+b=4b>4

【詳解】因a,A,c在三角形中，則由三角形三邊關系可得,?，=l<b<2,又利用余弦定理

c-b=2b<4

有:

Wb2-16

，又cos?A+sin2A=1,sinA>0,

2bc6b2

100/+256-320b24J—Z/+5/—4

貝UsinA=71-cos2A=Jl-

36/3b1

=2J-4+5必—4=l\-[b2-口

得S詼=-besinA+-<3>當且僅當

2VI2J4

即b二巫時取等號.則.ABC面積的最大值是3；

*2

對于第二空，因S^ABC=g（a+b+c）r，

則廠=2sABC=besinA=3/sinA

a+b+c4+4b4+4b

又‘一=2R=R=--一=二一.

sinA2sinAsinA

則公士二工=3.(1+j)1斗+1+，一2]，因…<2,

4+4)21+b21+b21b+1J

則2<6+l<3.令/(x)=x+L其中尤e(2,3),因/'(x)=匚」

>0,

尤X

得「Re|,2.

則/（九）在（2,3）上單調遞增，故+

故答案為：3；f—,2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

15.（13分）如圖，三棱柱A5C-A與￡的側棱長為石，底面是邊長為2的等邊三角形，D,E分別

是5cA4的中點，DEVBC.

（1）求證：側面5CC4是矩形;

（2）若。ELAAi,求直線A4與平面4G。所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

力回

13

【解析】

【分析】（1）連接A。，證明5C1平面ADE,根據(jù)線面垂直的性質定理證明BCLAA，結合三棱柱性

質，可證明結論；

（2）取A。中點O,連接。A，證明A。，平面ABC，即可建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求

得平面4G。的法向量，根據(jù)線面角的向量求法，即可求得答案.

【小問1詳解】

由題意。是的中點，連接A。，

由已知為等邊三角形，所以ADSBC.

由已知DE，BC,ADcOE=D,AD,DEu平面ADE,

所以BC1平面ADE又A&u平面ADE,故3CLAA，

因為//BB{,所以5C，BB[,

又側面BCG4為平行四邊形，所以側面3CG片是矩形.......................6分

【小問2詳解】

取AD中點0,連接。A，

由已知得AA=G，底面.ABC是邊長為2的等邊三角形，則&。=百，

因為。E為AA的中點，

所以4。=人。=百，△AD41是等邊三角形.

故4OLA。，由（1）知平面ADE,49u平面ADE,

所以是3C，4。，BC40=￡>,5。,40匚平面ABC,

所以4。，平面ABC........................9分

以。為原點，過點o作CB的平行線作為X軸，以所在直線為y軸，Z軸建立空間直角坐標系,

如上圖，

/L、/L、,一、，A\

故A。，-j。，D0,jo,40,0,5，C-1,—,01.

所以A4j=0,-^-,—,AG=AC=(―1,6,0),DA,=0,—,

設平面4G。的法向量為n=(x,y,z),則AG/=0,必?”=0,

故"/,取x=3,y=z=1,貝！1〃=，.......................

10分

y-6z=0'

設直線441與平面AG。所成角為外。i[0,1],

AV“3屈

則sina=|cos(AAi,ri)|二

〔A41My/13-y/313，

故cosa=Jl-sin2a=正。

13

所以直線AA與平面AG。所成角的余弦值為巫°........................13分

13

16.（15分）己知耳，工為橢圓。：鼻+]=1（?！?〉0）的左、右焦點.點M為橢圓上一點，當/Fil明

取最大值三時，（州+苗瑪）?孫=6.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P為直線x=4上一點（且尸不在x軸上），過點P作橢圓C的兩條切線Q4,PB,切點分別為A,

B,點8關于x軸的對稱點為"，連接交x軸于點G.設△A^G,zXBKG的面積分別為邑，

求均—$21的最大值.

22

【答案】（1）—+^=1

43

g3百

4

【解析】

【分析】（1）由已知結合橢圓定義，可求。與。的倍數(shù)關系，結合向量相關條件以及橢圓中片=廿+°2,即

可求得。與〃，也就得出橢圓方程.

（2）利用過橢圓一點的切線方程的推導過程，得出切線方程，進而得出直線AB的定點坐標，然后解設A3的

方程，并與橢圓聯(lián)立，然后利用韋達定理化簡整理出點G的坐標，由此求出凡-S2I的關系式，利用基本

不等式即可求解.

【小問1詳解】

依題意有當加為橢圓短軸端點時

7T

片最大，此時/耳W=§,則

△耳M鳥為正三角形，則a=2c.....................3分

且（即+叫>班=2M0MF；=2"acos￡=6%=6

ba=2y/3>又/=A?+c?,a—2,b=y/3>c=1

22

故橢圓方程為Z+乙=1......................5分

43

【小問2詳解】

設A（x，x）,5（和%），尸（4/）（/w0）,

若％=0,則切線方程為x=x-

若％W0,則在A處的切線的斜率必定存在，.......................7分

設該切線的方程為丁=左（%—玉）+%=辰+%—母，

由5必+4,—]2可得3%+4質+X—g）=12,

整理得（3+4左2卜2+8燈,_例"+4（%—2『―]2=o,.....................8分

故A=64左2（%_e）2_4（3+4左2）[4（%_心）2—12卜0,

整理得至!I：k1+—k+^^=Q,故左=一手■

2%同；4%

=

故切線方程為：y=-^-x+y1，

4%4%4弘4%

故.

綜上，B4：堊+里=1,同理理生+”=19分

4343

因PA,PB都過點P（4,1）,則%+1-=1,x2+=1

則A3方程為無+g=l,即AB過定點。,0）.

故設AB方程為1=陽+1,m^O,

x=my+1

聯(lián)立《

3x2+4y2=12'

（3m2+4）/+6my-9=0

-6m-9

，又5'（七,一%）11分

■■x1+%2=3加72+4，y1%2=3加72+4

直線A"方程為：yr="—七）,令y=°得

_玉%+無2%_（Wi+1）%+（機乂+1）X_2/孫1%+X+%

XG~——

X+%

-9

y,y23ffl+4

=2m-+1=2/77-"+1=4,AG（4,0）

713分

%+%-6m、

3m2+4

小17=；|固6卜聞一|%||=|"%|=，：!?

9|m|9±-2^=373

2

3m+4T|I,~4~

3|m|+

\m\

I14.4加=±2叵時取等號

當且僅當3o網(wǎng)=5即機=-

網(wǎng)33

故國-S2I最大值為手.

15分

17.（15分）現(xiàn)有一種射擊訓練，每次訓練都是由高射炮向目標飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中

目標飛行物與否相互獨立.己知射擊訓練有42兩種型號的炮彈，對于A型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛

行物的概率均為0（0<〃40.4）,且擊中一彈目標飛行物墜毀的概率為0.6,擊中兩彈目標飛行物必墜段;

對子8型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物的概率均為q（。<4<1）,且擊中一彈目標飛行物墜毀的概率

為0.4,擊中兩彈目標飛行物墜毀的概率為0.8,擊中三彈目標飛行物必墜毀.

（1）在一次訓練中，使用2型號炮彈，求q滿足什么條件時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標飛行物的

概率不低于0.936；

（2）若p+q=l,試判斷在一次訓練中選用A型號炮彈還是8型號炮彈使得目標飛行物墜毀的概率更大？

并說明理由.

【答案】（1）0.6<q<l

（2）使用B型號炮彈，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，利用間接法與二項分布的概率公式得到關于q的不等式，解之即可；

（2）先利用二項分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標飛行物的概率，再利用作差法與構造函數(shù)法,

結合導數(shù)比較得兩概率的大小，從而得到結論.

【小問1詳解】

因為每次訓練都是由高射炮向目標飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，

每發(fā)炮彈擊中目標飛行物與否相互獨立，

所以在一次訓練中，連發(fā)三發(fā)B型號炮彈，用X表示命中目標飛行物的炮彈數(shù)，

則X5（3,q）（X服從二項分布），

貝I］尸=l—P（X=0）=l—（l-^）3>0,936,.....................4分

即1—（1—q）320.936,則（I—/<0.064=0.43,即1—q<0.4,則420.6,

又0<q<l,故0.6<q<l,

所以當0.6<q<1時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標飛行物的概率不低于

0.936......................6分

【小問2詳解】

在一次訓練中，連發(fā)三發(fā)A型號炮彈，用y表示命中目標飛行物的炮彈數(shù)，

則丫~3（3,°）（F服從二項分布），，

記事件C為“使用A型號炮彈使得目標飛行物墜毀”,

事件。為“使用B型號炮彈使得目標飛行物墜毀”，

則P(c)=0.6xP(Y=1)+P(Y>2)=0.6xC；p(l—p)2+Cfp2(l-p)+C^3

=1.8p(l-p)2+3p2(l-p)+p3=1.8p(l-2p+p2>j+3p2-3p3+p3

——0.2/?3—0.6p"+1.8/7,.....................8分

P(￡>)=0.4P(X=1)+0.8P(X=2)+P(X=3)=0.4C；q(l—1+Q8C；/(1—q)+C：/

=—g)2+2.4q2(l-q)+q3=1.2q^l—2q+q^^+2Aq~-2.4^3+q3

=-0.2/+1.2q)

因為o+q=i,所以q=i-p,

則P(C)-P(D)=-0.2p^-0.6p2+1.8p+0.2(1-p)3-1.2(1-p)

=-0.2p3-0.6p2+1.8p+0.2(l-3p+3P*-p3^-l.2+l.2p

--OAp3+2Ap-\,.....................10分

令/(P)=-O4p3+2.4〃_1(0</?<0.4),則/'(,)=_1.2p2+2.4,

令f'(p)>0,即—1.2p2+2.4>0,則p2<2,得—也<p(電,

又0〈夕W0.4,所以/(p)〉0恒成立，.......................13分

所以/(P)在(0,0.4]上單調遞增，

又/(0.4)=-0.44+24x0.4—1=-0.0256+0.96-1<0,則/(p)W/(0.4)<0,

故P(C)-P(D)<0,即P(C)<P(D),

所以使用B型號炮彈使得目標飛行物墜毀的概率更大........................15分

【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵點有兩次，一次是理解A、B型炮彈擊中飛行物的次數(shù)服從二項分布,

進而利用二項分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標飛行物的概率；二次是利用導數(shù)比較兩者概率

的大小.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=ae*—Inx(awO).

(1)若/(無)21,求實數(shù)。的取值范圍.

,111,"八

(2)求證：1+-+-++->ln-+1.

23n12J

【答案】⑴:，+°0]

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件得了(1)21,進而得出。2工，利用不等式的性質及構造函數(shù)，利用導數(shù)法求

e

函數(shù)的最值即可求解；

(2)根據(jù)(1)的結論及已知條件，只需證當xe(l,2)時，‘Xe'T成立即可，轉化成求函數(shù)的最值，

2x

利用不等式的性質構造函數(shù)及法求函數(shù)的最值即可求解.

【小問1詳解】

因為則/⑴21,即

e

反之當a2,時，/(x)=aex-lux>eA-1-lux,.....................4分

e

令g(x)=e*T—Inx,則g，(x)=ex-1--=—~,

xx

設〃(九)=xe*T-1,由于人(x)在(0,+功單調遞增,且網(wǎng)1)=0,

所以當xe(O,l)時，&(%)<0,即g'(%)<0,

當xe(l,+co)時〃(尤)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增.

所以g(EU=g6=l，即g(尤”1，所以〃龍)21.....................9分

【小問2詳解】

由(1)可知：e'T—ln%21,e*T—iNlnx①

下面證明當x?l,2)時，Ne'T②

2x

等價于(2-工產(chǎn)-1V0,設S(x)=(2-x)e*T-l,S(x)=(l-x)e-....................4分

當xe(0,l)時，5'(x)>0,

當xe(1,2)時，S'(x)<0,

所以5(無)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，

所以篇x(x)=/l)=。,所以②式成立,

由①、②可得：———l>liu,當x=l時取至ij"=”，

2—x

取了=雷有，/>ln(4+2)—In(4+1)(左=1,2,…川，

所以l+g+g++—>ln(n+2)-ln2=ln^-1+lj,不等式成立........................17分

【點睛】解決此題的關鍵第一問根據(jù)條件得出/'(1)21,進而構造函數(shù)，將恒成立問題轉化為求函數(shù)的最

值，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可，第二問的關鍵根據(jù)第:一問得e'T-liuNLeZ-121皿，進而問題轉化

為只需證當xe(l,2)時，:即可，不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值，轉而構造函數(shù)

3(x)=(2—x)ei—1,利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可.

19.(17分)約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)。除以整數(shù)機(加工0)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù),

我們就稱。為根的倍數(shù)，稱加為。的約數(shù).設正整數(shù)。共有左個正約數(shù)，即為勾,出,…(％<四〈…<%).

(1)當k=4時，若正整數(shù)。的左個正約數(shù)構成等比數(shù)列，請寫出一個。的值；

⑵當上4時,若電-%，4-。2,…,％-4一1構成等比數(shù)列,求正整數(shù)a；

2

(3)