北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)第五章《生活中的軸對稱》綜合練習(xí)題

第2頁（共6頁）《生活中的軸對稱》綜合練習(xí)題一．選擇題（共10小題）1．（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm2．（2020秋?甘井子區(qū)期末）等腰三角形的一個內(nèi)角為120°，則底角的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．120°3．（2021春?東坡區(qū)校級期末）圖中陰影部分是由4個完全相同的的正方形拼接而成，要在①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應(yīng)添加在（）A．區(qū)域①處 B．區(qū)域②處 C．區(qū)域③處 D．區(qū)域④處4．（2021春?鄭州期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點 B．三角形三條角平分線的交點 C．三角形三條高所在直線的交點 D．三角形三條中線的交點5．（2020秋?路北區(qū)期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為10，BD平分∠ABC，若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值為（）A．4 B．5 C．4.5 D．66．（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，DE為線段AB的垂直平分線．若△ABC的周長為18，線段AE的長度為4，則△BCD的周長為（）A．10 B．11 C．12 D．147．如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AIB＝α，則∠AOB的大小為（）A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α8．（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，且滿足AB＝AD＝DC，過點D作DE⊥AD，交AC于點E．設(shè)∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，則（）A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°9．（2020秋?臨沭縣期末）如圖，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，頂點B到邊AC的距離是3cm，則AC的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm10．（2021春?江都區(qū)校級期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米．在底邊上有一個動點P，則P到兩腰的距離之和為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二．填空題（共10小題）11．（2021春?鄭州期末）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值k稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”，若等腰△ABC的周長為13cm，AB＝5cm，則它的“優(yōu)美比”k＝．12．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝42°，點D是邊A上的一點，將△BCD沿直線CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于點E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝度．13．（2020秋?南潯區(qū)期末）如圖，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠AED′＝68°，則∠AEF＝．14．（2020秋?費縣期末）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分線，線段DE＝2cm，則BD的長為cm．15．（2020秋?灤州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD為BC邊上的高，且AD＝BD．則∠3＝°．16．（2021春?株洲期末）如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直．若AD＝8，則點P到BC的距離是．17．（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現(xiàn)有四個結(jié)論：①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．其中結(jié)論正確的為．（填寫結(jié)論的編號）18．（2020秋?涪城區(qū)期末）如圖，點CD在線段AB的同側(cè)，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M為AB中點，∠CMD＝120°．則CD的最大值為．19．（2020秋?李滄區(qū)期末）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，則∠ADC＝°．20．（2020秋?溧陽市期末）如圖所示，A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．現(xiàn)在河邊CD上建一水廠分別向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費用為20000元/千米，請你在河CD邊上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費用最省，那么所鋪設(shè)水管的總費用為元．三．解答題（共10小題）21．（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，AO平分∠BAC交BD于O，過O點作OE∥BC交AC于E．（1）求證：BO＝OC；（2）若∠BAC＝56°，求∠DOE的度數(shù)．22．（2020秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，F(xiàn)E是AC的垂直平分線，交AD于點F，連接BF．求證：AF＝BF．23．（2020秋?興化市期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點M、D，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點N、E，△ADE的周長是7．（1）求BC的長度；（2）若∠B+∠C＝60°，則∠DAE度數(shù)是多少？請說明理由．24．（2020秋?懷寧縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分線交BC于點D．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周長．25．（2020秋?叢臺區(qū)校級期末）小明采用如圖所示的方法作∠AOB的平分線OC：將帶刻度的直角尺DEMN按如圖所示擺放，使EM邊與OB邊重合，頂點D落在OA邊上并標記出點D的位置，量出OD的長，再重新如圖放置直角尺，在DN邊上截取DP＝OD，過點P畫射線OC，則OC平分∠AOB．請判斷小明的做法是否可行？并說明理由．26．（2020秋?肥西縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC邊上的點，連接AD、BE，且AD、BE相交于點P，∠AEB＝∠CDA．（1）求∠BPD的度數(shù)．（2）過點B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的長．27．（2020秋?云南期末）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的長．28．（2020秋?三明期末）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形（頂點是網(wǎng)格線交點的三角形）ABC的頂點A，C的坐標分別為（﹣4，2），（﹣1，0）．（1）請在如圖所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標系；（2）請作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′；（3）寫出點B′的坐標．29．（2020秋?新賓縣期末）在如圖所示的平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，△ABC的頂點在格點上．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C′；（2）寫出A、B、C的對應(yīng)點A'、B'、C′的坐標；（3）在y軸上畫出點Q，使△QAC的周長最?。?0．（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分線交AC于點D，過點A作AE∥BC交BD的延長線于點E．（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度數(shù)．（2）若F是DE上的一點，且AD＝AF，求證：BF＝DE．

參考答案一．選擇題（共10小題）1．（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點】角平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)求解．【解答】解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴EC＝ED＝3cm．故選：C．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．2．（2020秋?甘井子區(qū)期末）等腰三角形的一個內(nèi)角為120°，則底角的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．120°【考點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀．【分析】因為三角形的內(nèi)角和為180°，所以120°只能為頂角，從而可求出底角．【解答】解：∵120°為三角形的頂角，∴底角為（180°﹣120°）÷2＝30°．故選：A．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個底角相等，從而可求出解．3．（2021春?東坡區(qū)校級期末）圖中陰影部分是由4個完全相同的的正方形拼接而成，要在①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應(yīng)添加在（）A．區(qū)域①處 B．區(qū)域②處 C．區(qū)域③處 D．區(qū)域④處【考點】軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：要在①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應(yīng)添加在區(qū)域②處．故選：B．【點評】此題主要考查了軸對稱變換，正確把握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2021春?鄭州期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點 B．三角形三條角平分線的交點 C．三角形三條高所在直線的交點 D．三角形三條中線的交點【考點】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】能力層次．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．【解答】解：∵根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，∴三角形三條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，故選：B．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，要充分理解并加以運用性質(zhì)中的線段關(guān)系．5．（2020秋?路北區(qū)期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為10，BD平分∠ABC，若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值為（）A．4 B．5 C．4.5 D．6【考點】三角形的面積；軸對稱﹣最短路線問題．【專題】探究型；三角形；幾何直觀；應(yīng)用意識．【分析】過C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．【解答】解：過C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，如圖：∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點E，M′N′⊥BC于N′，∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E＝CM′+M′N′是CM+MN最小值，此時M與M′重合，N與N′重合，∵三角形ABC的面積為10，AB＝4，∴×4?CE＝10，∴CE＝5．即CM+MN的最小值為5．故選：B．【點評】本題考查三角形中的最短路徑，解題的關(guān)鍵是理解CE的長度即為CM+MN最小值．6．（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，DE為線段AB的垂直平分線．若△ABC的周長為18，線段AE的長度為4，則△BCD的周長為（）A．10 B．11 C．12 D．14【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB＝2AE＝8，DA＝DB，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵△ABC的周長為18，∴AC+BC+AB＝18，∵DE為線段AB的垂直平分線，AE＝4，∴AB＝2AE＝8，DA＝DB，∴AC+BC＝10，∴△BCD的周長＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，故選：A．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AIB＝α，則∠AOB的大小為（）A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【分析】連接CO并延長至D，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAB+∠CBA＝360°﹣2α，求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：連接CO并延長至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵點O是AC、BC的垂直平分線的交點，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故選：B．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，且滿足AB＝AD＝DC，過點D作DE⊥AD，交AC于點E．設(shè)∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，則（）A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【分析】根據(jù)AB＝AD＝DC，∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠AED＝β+γ，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得結(jié)論．【解答】解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠CAD+∠AED＝90°，∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠AED＝γ+β，∴2β+γ＝90°，故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2020秋?臨沭縣期末）如圖，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，頂點B到邊AC的距離是3cm，則AC的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀．【分析】∵根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAD＝30°，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可求AB，進一步求得AC．【解答】解：∵等腰△ABC的底角∠C＝15°，∴∠ABC＝15°，∴∠BAD＝15°+15°＝30°，在Rt△ADB中，∠D＝90°，BD＝3cm，∴AB＝2BD＝6cm，∴AC＝AB＝6cm．故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是求得∠BAD＝30°．10．（2021春?江都區(qū)校級期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米．在底邊上有一個動點P，則P到兩腰的距離之和為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【分析】連接AP，由三角形的面積公式證得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根據(jù)AB＝AC即可求出PE+PF．【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面積為24平方厘米，P是底邊BC上一個動點．求：PE+PF的值．解：連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴S△ABP＝AB?PE，S△ACP＝AC?PF，∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，∴AB?PE+AC?PF＝24，∴AB(PE+PF)＝24，∴PE+PF＝＝6cm，故選：B．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，由三角形的面積公式證得S△ABP+S△ACP＝S△ABC是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）11．（2021春?鄭州期末）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值k稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”，若等腰△ABC的周長為13cm，AB＝5cm，則它的“優(yōu)美比”k＝0.6或1.25．【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【分析】分兩種情況：AB為腰或AB為底邊，再根據(jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的優(yōu)美比k．【解答】解：當AB腰時，則底邊＝3cm；此時，優(yōu)美比k＝＝0.6；當AB為底邊時，則腰為4；此時，優(yōu)美比k＝＝1.25；故答案為0.6或1.25．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．12．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝42°，點D是邊A上的一點，將△BCD沿直線CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于點E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝111度．【考點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；翻折變換（折疊問題）．【專題】三角形；幾何直觀．【分析】設(shè)∠BCD為α，∠CBD為β，列出關(guān)于α+β的方程，求出α+β，即可求出∠BDC．【解答】解：設(shè)∠BCD為α，∠CBD為β，∵B′D∥AC，∴∠B'DC+∠ACD＝180°，由對稱性知∠BDC＝∠B'DC，∴180°﹣（α+β）+180°﹣42°﹣（α+β）＝180°，∴α+β＝69°，∴∠BDC＝180°﹣69°＝111°，故答案為111．【點評】本題主要考查翻折的性質(zhì)，還有平行線的性質(zhì)，注意翻折是軸對稱變換，具有對稱性，平行線的三個基本性質(zhì)要牢記于心．13．（2020秋?南潯區(qū)期末）如圖，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠AED′＝68°，則∠AEF＝124°．【考點】翻折變換（折疊問題）．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力．【分析】設(shè)∠DEF＝x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠D′EF＝∠DEF＝x，利用平角的定義列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)∠DEF＝x，∵把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，∴∠D′EF＝∠DEF＝x，∵∠AED′＝68°，∠AED′+∠D′EF+DEF＝180°，∴x+x+68°＝180°，∴x＝56°，∴∠DEF＝∠D′EF＝56°，∴∠AEF＝∠AED′+∠D′EF＝124°，故答案為：124°．【點評】本題重點考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．14．（2020秋?費縣期末）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分線，線段DE＝2cm，則BD的長為8cm．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀．【分析】連接AD，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出∠B＝∠C＝30°，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD＝CD，然后求出∠CAD＝30°，再求出∠BAD＝90°，然后根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD＝2DE，BD＝2AD，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【解答】解：連接AD，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，∴∠CAD＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CDE中，CD＝2DE，在Rt△ABD中，BD＝2AD，∴BD＝4DE，∵DE＝2cm，∴BD的長為8cm．故答案為：8．【點評】本題考查了等腰三角形的在，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2020秋?灤州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD為BC邊上的高，且AD＝BD．則∠3＝22.5°．【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀．【分析】求出∠ADB＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABD＝∠BAD＝45°，根據(jù)角平分線的定義求出∠2，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BEA＝∠ADB＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠2＝∠3即可．【解答】解：∵AD為BC邊上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案為：22.5°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．16．（2021春?株洲期末）如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直．若AD＝8，則點P到BC的距離是4．【考點】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【分析】過點P作PE⊥BC于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，依據(jù)AD＝8，進而求出PE＝4．【解答】解：如圖所示，過點P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD，∵PA+PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4，即點P到BC的距離是4．故答案為：4．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現(xiàn)有四個結(jié)論：①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．其中結(jié)論正確的為①②③．（填寫結(jié)論的編號）【考點】角平分線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；運算能力；推理能力．【分析】①作PD⊥AC于D．根據(jù)角平分線性質(zhì)得到PM＝PN，PM＝PD，得到PM＝PN＝PD，于是得到點P在∠ACF的角平分線上，故①正確；②根據(jù)三角形的判定和性質(zhì)得到AD＝AM，∠APM＝∠APD，CD＝CN，∠NPC＝∠DPC，于是得到∠APC＝MPN，故②正確；③根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，求得∠ABC+∠MPN＝180°，于是得到∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正確；④根據(jù)角平分線定義得到∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，得到∠BPC＝∠BAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S△APM+S△CPN＝S△APC．故④不正確．【解答】解：①作PD⊥AC于D．∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴點P在∠ACF的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上），故①正確；②∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACF，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBF+∠BPC，∴∠BAC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠BAC，故②正確；③∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正確；④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，∴∠BAC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠BAC，故本小題正確；∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正確．綜上所述，①②③正確．故答案為：①②③．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，有一定綜合性，但難度不大，只要仔細分析便不難求解．18．（2020秋?涪城區(qū)期末）如圖，點CD在線段AB的同側(cè)，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M為AB中點，∠CMD＝120°．則CD的最大值為25．【考點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；軸對稱的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【分析】如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【解答】解：如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝6+7+12＝25，∴CD的最大值為25，故答案為25．【點評】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用兩點之間線段最短解決最值問題，屬于中考?？碱}型．19．（2020秋?李滄區(qū)期末）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，則∠ADC＝70°．【考點】軸對稱的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【分析】根據(jù)∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．【解答】解：∵△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝22°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝46°﹣22°＝24°，∴∠ABD＝2∠ABO＝48°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝22°+48°＝70°，故答案為：70．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．20．（2020秋?溧陽市期末）如圖所示，A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．現(xiàn)在河邊CD上建一水廠分別向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費用為20000元/千米，請你在河CD邊上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費用最省，那么所鋪設(shè)水管的總費用為100000元．【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運算能力；推理能力．【分析】構(gòu)造出以A′B為斜邊的直角三角形，利用勾股定理列式計算即可求出A′B，再乘以單價計算即可得解．【解答】解：如圖，作出以A′B為斜邊的直角三角形，∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，∴A′E＝CD＝3km，BE＝3+1＝4（km），由勾股定理得，A′B＝＝5（km），20000×5＝100000（元）．答：鋪設(shè)水管的總費用100000元．故答案為：100000．【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，勾股定理，熟練掌握最短路線的確定方法是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共10小題）21．（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，AO平分∠BAC交BD于O，過O點作OE∥BC交AC于E．（1）求證：BO＝OC；（2）若∠BAC＝56°，求∠DOE的度數(shù)．【考點】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【分析】（1）根據(jù)三角形全等證明對應(yīng)邊相等；（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等就出底角的度數(shù)，根據(jù)BD⊥AC得∠BDC＝90°，求出∠ABD的度數(shù)，進而求出∠DBC的度數(shù)，最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可證明．【解答】解：（1）∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠OAC，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO＝OC．（2）∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠BAD＝90°﹣56°＝34°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝62°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝62°﹣34°＝28°，∵OE∥BC，∴∠DOE＝∠DBC＝28°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠DBC的度數(shù)．22．（2020秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，F(xiàn)E是AC的垂直平分線，交AD于點F，連接BF．求證：AF＝BF．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得BD＝CD，AD⊥BC，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BF＝CF＝AF．【解答】證明：連接CF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴BF＝CF，∵FE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴AF＝BF．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．23．（2020秋?興化市期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點M、D，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點N、E，△ADE的周長是7．（1）求BC的長度；（2）若∠B+∠C＝60°，則∠DAE度數(shù)是多少？請說明理由．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，EA＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：（1）∵DM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周長為7，∴DA+DE+EA＝7，∴BC＝DA+DE+EC＝7；（2）∠DAE度數(shù)是60°，理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∵∠B+∠C＝60°，∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．24．（2020秋?懷寧縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分線交BC于點D．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周長．【考點】角的計算；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；運算能力．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠C＝40°，得到答案；（2）根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【解答】解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠CAD＝∠C＝40°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．25．（2020秋?叢臺區(qū)校級期末）小明采用如圖所示的方法作∠AOB的平分線OC：將帶刻度的直角尺DEMN按如圖所示擺放，使EM邊與OB邊重合，頂點D落在OA邊上并標記出點D的位置，量出OD的長，再重新如圖放置直角尺，在DN邊上截取DP＝OD，過點P畫射線OC，則OC平分∠AOB．請判斷小明的做法是否可行？并說明理由．【考點】角平分線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DPO＝∠POM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DPO＝∠DOP，由等量代換得到∠POM＝∠DOP，由此可判斷小明的做法可行．【解答】解：小明的做法可行．理由如下：在直角尺DEMN中，DN∥EM，∴∠DPO＝∠POM，∵DP＝OD，∴∠DPO＝∠DOP，∴∠POM＝∠DOP，∴OC平分∠AOB．【點評】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．26．（2020秋?肥西縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC邊上的點，連接AD、BE，且AD、BE相交于點P，∠AEB＝∠CDA．（1）求∠BPD的度數(shù)．（2）過點B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的長．【考點】等邊三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，∠ABC＝∠C＝60°，又根據(jù)∠AEB＝∠CDA，進而求得∠EBC＝∠BAD，即可得出答案；（2）根據(jù)題意求得∠PBQ＝30°，再根據(jù)直角三角形中30°的角的性質(zhì)求出BP的長度，即可得出答案．【解答】解：（1）由△ABC是等邊三角形可得，∠ABC＝∠C＝60°，∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，∴∠BAD＝∠EBC，∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；（2）∵BQ⊥AD于Q，∴∠BQP＝90°，∵∠BPD＝60°，∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，在Rt△BPQ中，∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6，又∵PE＝1，∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2020秋?云南期末）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的長．【考點】角平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【分析】根據(jù)S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分線的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥