2024海口二模海南省?？谑?024年高考模擬二數(shù)學(xué)（理）含答案

海南省?？谑?024年高考模擬試題(二)

數(shù)學(xué)(理科)

留意事項：

1.本次考試的試卷分為試題卷和答題卷，本卷為試題卷，請將答案和解答寫在答題卷

指定的位置，在試題卷和其它位置解答無效.

2.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

第?卷選擇題

選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的；每小題選出答案后，請用2B鉛筆把機(jī)讀卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號

涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，在本卷上作答無效)

1.設(shè)全集合&={尤€尺||尤|>3},集合B={xcRp<l},則集合?A)B=

x

A.(1,3]B.(1,3)C.(-3,0)(1,3)D.[-3,0)(1,3]

2.已知命題p：△ABC中，ABAC<0,命題q：△ABC是鈍角三角形，則p是4的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.復(fù)數(shù)z=*需的共輾復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在

1-r013

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式：①6+^22；?-+->2；③abWl；④

ab

G+揚(yáng)4近恒成立的是

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

5.已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)/(尤)=e'+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=lnx+%-2

的零點(diǎn)為b,則下列不等式中成立的是

A./(a)</(l)</(^)B./(a)</(/?)</(l)

C./(1)</(G)</(^)D./(&)</(l)</(?)

6.設(shè)sin(■了-。)=丁則sin29=

8、8「17c17

AA.---B.——C.—D.----

25252525

22

7.過雙曲線=-A=13>0,b>0)的左焦點(diǎn)月作垂直于雙曲線漸近線的直線，以右焦點(diǎn)F,

ab

為圓心，|O工I為半徑的圓和直線相切，則雙曲線的離心率為

A.B.2C.A/3D.75

2

8.設(shè)偶函數(shù)/'(x)=Asin(@c+e)(A>0,。>0,0<°<%)的部分圖象如圖所示，/\KLM

為等腰直角三角形，/KML=90。,\KL\=1,則的值為

V311V3

A.-------B.----C.——D.——

4424

9.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的表面積為

俯視圖

x=7.若總體聽從止態(tài)分布，試估計該次考試中10C

為

A.3413人B.4772A

C.8413人D.9722A

(參考數(shù)據(jù)：若XN(〃，/)，則P(〃-b<X4〃+b)=0.6826;

尸(〃一2b<XV〃+2b)=0.9544;尸(〃一3b<XV〃+3。)=0.9974)

11.已知球O的半徑00=3,線段OD上一點(diǎn)M滿意OAf=2MD,過M且與OD成30角

的平面截球O的表面得到圓C,三棱錐S-ABC的底面ABC內(nèi)接于圓C,頂點(diǎn)S在球O

的表面上，則三棱錐S-加。體積的最大值為

A.8#B.873C.4#D.473

12.已知函數(shù)/(x)=oxlnx在x=l處的切線斜率為，貝I]g(x)=alnx的圖象和直線x=e與尤軸

所圍成的圖形的面積是

A.B.C.e-1D.e2-l

第II卷非選擇題

二.填空題：(本大題共4小題,每小題5分，共20分,把答案填在答題卡中的指定位置)

13.(2x-J=)6的常數(shù)項等于。

)7<X+1,

”一忖X\+l,

14.已知區(qū)域^2=｛（羽丁）y2O,},M=[(x,y)<｝,向區(qū)域。內(nèi)隨機(jī)投

go,

x<l,

一點(diǎn)尸，點(diǎn)P落在區(qū)域舷內(nèi)的概率為.

sin3

15.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若任一=2,且/一/=±ac,

sinA2

貝UcosB=____________

16.已知拋物線/=2Px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過焦點(diǎn)F傾斜角為30的直線交拋物線于A,

3兩點(diǎn)，點(diǎn)A,5在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A,B',若四邊形的面積為48,

則拋物線的方程為

三.解答題：（本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請

將答題的過程寫在爸整巷中指定的位置）

17.（本小題滿分12分）

設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且=S,+2〃+l,nwN*。

（I）求％,a,,%；

（II）求證：數(shù)列｛4+2｝是等比數(shù)歹U；

（III）求數(shù)列｛〃4｝的前〃項和北。

18.（本小題滿分12分）

2024年，首都北京經(jīng)驗了59年來霧霾天氣最多的一個月。經(jīng)氣象局統(tǒng)計，北京市從1

月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣?！董h(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定

（試行）》依據(jù)AQI指數(shù)凹凸將空氣污染級別分為：優(yōu)，指數(shù)為0—50；良，指數(shù)為51—100；

稍微污染，指數(shù)為101—150；輕度污染，指數(shù)為151—200；中度污染，指數(shù)為201—250；

中度重污染，指數(shù)為251—300；重度污染，指數(shù)大于300.下面表1是該觀測點(diǎn)記錄的4

天里，AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y（千米）的狀況，表2是某氣象觀測點(diǎn)記錄的

北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計結(jié)果，

表1:AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y（千米）狀況

AQI指數(shù)M900700300100

空氣可見度y（千米）0.53.56.59.5

表2:北京1月1日到1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計

AQI指數(shù)[0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]

頻數(shù)361263

(I)設(shè)變量余=2-,依據(jù)表1的數(shù)據(jù)，求出，關(guān)于余的線性回來方程；

100■

(II)小王在記錄表2數(shù)據(jù)的觀測點(diǎn)旁邊開了一家小飯館，飯館生意的好壞受空氣質(zhì)量

影響很大。假設(shè)每天空氣質(zhì)量的狀況不受前一天影響。經(jīng)小王統(tǒng)計：AQI指數(shù)不高于200時,

飯館平均每天凈利潤約700元，AQI指數(shù)在200至400時，飯館平均每天凈利潤約400元，

AQI指數(shù)大于400時，飯館每天要凈虧損200元.

(i)將頻率看作概率，求小王在連續(xù)三天里飯館凈利潤約1200元的概率；

(ii)計算該飯館一月份每天收入的數(shù)學(xué)期望.

_“____

(用最小二乘法求線性回來方程系數(shù)公式6=上---------a=y-bx)

―"尤

;=1

19.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐尸—ABCD中，AD//BC,AB1AD,

ABLPA,BC=2AB=2AD=4BE,平面平面

ABCD,

(I)求證：平面PED_L平面上4C；

(II)若直線PE與平面叢C所成的角的正弦值為

―,求二面角A-PC-D的平面角的余弦值

5

(第19題圖)

20.(本小題滿分12分)

定義：若兩個橢圓的離心率相等，則稱兩個橢圓是“相像”的.如圖，橢圓G與橢圓Q

22

是相像的兩個橢圓，并且相交于上下兩個頂點(diǎn).橢圓C-三+?=13>6>0)的長軸長是4,

ab

22

橢圓c?：J+?=1(機(jī)>”>0)短軸長是I,點(diǎn)片，外分別是橢圓G的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)，

mn

(1)求橢圓6，c2的方程；

(II)過月的直線交橢圓C2于點(diǎn)M,N,求4F2MN

面積的最大值.

21.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(彳)=辦2+COSX

(I)證明：azg時，函數(shù)/(x)在[0,+oo)上單調(diào)遞增;

(II)證明：4sinx+2xlnx-3x2一1<0恒成立.

四.選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做

題計入總分，滿分10分.請將答題的過程寫在答季卷中學(xué)零的位置)

22.(本小題滿分10分)選修4一1:幾何證明選講

切線他與圓切于點(diǎn)3,圓內(nèi)有一點(diǎn)C滿意鉆=AC,NCR的平分線鉆交圓于。，

E,延長EC交圓于延長DC交圓于G,連接FG.?----

(I)證明：AC//FG-,

(II)求證：EC=EG.R--------------

(第22題圖)

23.(本小題滿分10分)選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

己知曲線G的極坐標(biāo)方程是O=4cos6,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立平面直

角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是：，=2+fcos?(為參數(shù)).

[y=l+/sin。

(I)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程；

(II)設(shè)直線與曲線G交于A，3兩點(diǎn)，點(diǎn)用的直角坐標(biāo)為(2,1),若AB=3"B,求

直線的一般方程.

24.(本小題滿分10分)選修4■—5:不等式選講

已知函數(shù)/(%)=|兄+1|—|x|+a.

(I)若a=0,求不等式/(%)20的解集；

(II)若方程/(%)=%有三個不同的解，求。的取值范圍.

2024年?？谑懈呖寄M測試

數(shù)學(xué)試題（理科）參考答案

一'選擇題:

題號123456789101112

答案DACBADBDACBA

三、解答題：

1

13.6014.-15.16.y2=2^/5%

24

三、解答題

；

17.解(I)q=3,a2=8,a3=18

3分

(II)因為2a“=S”+2〃+1,所以有2a”+1=S〃+i+2〃+3成立

兩式相減得:2a“+1—2an—an+l+2,所以an+l=2an+2,即an+l+2—2(。〃+2)

所以數(shù)列｛4+2｝是以5為首項，公比為2的等比數(shù)列。

1分

(III)由(II)得：a,,+2=5x2"T,即a,=5X2"T—2,則“a”=5〃-2"T—2〃

設(shè)數(shù)列｛5?。那皀項和為Pn,

則只=5xlx2°+5x2x2i++5xnx2n-l

12,!

2Pn=5xlx2+5x2x2++5X(H-1)X2^'+5XHX2

2

兩式相減得:~Pn=5+5X21+5X2++5X2"T-5x〃x2"=(5-5九>2"-5

所以巴=(5〃-5>2"+5

所以數(shù)列｛〃/｝的前〃項和7；=(5“—5)?2"+5—2x“(,),

整理得：7；=(5〃—5)2—〃2_”+5

12^-

18.解：(I)由尤=且，則占=9,X,=7,

X3=3,—1,元=5,y=5

100'

44

Z'X=9x0.5+7x3.5+3x6.5+1x9.5=58,fx；=140

4=1i=l

_58-4x5x521

^=5-5x(--)=—

―140—4x5220204

2141

y關(guān)于x的線性回來方程是y二---xd---

204

6分

(H)(i)由表2知AQI指數(shù)不高于200的頻率為0.1,AQI指數(shù)在200至400的頻率為0.2,

AQI指數(shù)大于400的頻率為0.7,設(shè)“飯館某天收入約700元”為事務(wù)A,“飯館某天收入約

400元”為事務(wù)3飯館某天虧損約200元”為事務(wù)C,若將頻率看作概率，則尸(A)=0.1,

尸(3)=0.2,尸(C)=0.7.

則“連續(xù)三天里飯館凈利潤約1200元”的概率：

P=P(BBB)+P(ACC)+P(CAC)+P(CCA)=0.23+C;x0.12x0.7=0.029

(ii)由(i),設(shè)飯館每天的收入為X,則X的分布列為

X-200400700

P0.70.20.1

」。今

貝IX的數(shù)學(xué)期望為E(X)=-200x0.7+400x0.2+700x0.1=10

19.法一(I)取AD中點(diǎn)F,連接所，則FDIJBE,

.??四邊形是平行四邊形，，旗〃瓦)

:直角△血1尸和直角△CBA中，&=g=2

AFBA

二直角△549直角△CBA,易知班'_LAC

/.EDI.AC2分

:平面PABL年而ABCD,PABWffiABCD=AB

ABrPA

R4_L平面ABCD

/.PAYED,_________________________________4^-

PAAC=A

ED_L平面R4C.5分

，平面PED_L平面RAC.6萬

(II)設(shè)即交4c于G,至IPG,廁/EPG是直及PE與平面上4c所成的角.設(shè)3E=1

由△AGOACGE,知型=絲=2,

GEEC3

AB^AD=2

33亞出

EG=—DE=,DKJ一

555

EG75

sinZEPG=

~PE~~5

：.PE=3,AE=y/5,PA=y/PE2-AE2=2

9分

祚GH_LPC于H,由PC_LDE,知PCJ_平面HDG,

???PCA.DG,

：.Z.GHD是二面角A-PC-D的平面角

10^

???△尸C4△GCH,

而GC=JCE?-EG2=述

GHGC5

.z_PA-GC?

a■(Til--------------------

tanZGHD=—

3

：.cosZGHD^—,即二面角A-PC-D的平面角

12^

注二：(I)?.?平面上4B_L平面A5CD,

平面BIB平面=ABrPA

：.R4_L平面ABCD

又；A5JLAr),故可如圖建立空間直角坐標(biāo)系o-邙

2分

由已知。(0,2,0),E(2,l,0),C(2,4,0),P(0,0,2)(Z>0)

AC=(2,4,0),AP=(0,0,2),DE=(2,-1,0)

ADEAC=4-4+0=0.DEAP=Q,

：.DELAC,DELAP,

：.ED_L平面A4C.4分

???平面PED_L平面PAC6分

(II)由(I),平面R4C的一個法向量是。石=(2,-1,0),PE=(2,1,-2)

設(shè)直線PE與平面PAC所成的角為。，

4-1J5

Asin<9=Icos<PE,DE>\=\.|=—,2=±2

石，5+35

*/Z>0

???4=2,即P(0,0,2)

§登

設(shè)平面PCD的一個法向量為憶二(%,%,z0),OC=(2,2,0),DP=(0,-2,2)

由〃_LDC,nJ_DP

e/2x+2y=O人

??〈oo，Y—1，則

1-2%+2z0=0

吟a=巫

cos<n,

V3x^55

加顯二面角A-PC-D的平面角是銳角，

岳

二面角A-PC-D的平面角的余弦為

支金

20.(I)設(shè)橢圓q的半焦距為c,橢圓C2的c'.由已知a=2,b=m,〃=；.

:橢圓Cj與橢圓C2的離心率相等，即￡=二

am

bn

am

39

BPbm=吩=an=l,

b=m=l

4分

,橢圓G的方程是j+/=i，橢圓c?的方程是丁+,=1

4

§登

(II)明顯直線的斜率不為0,故可設(shè)直線的方程為：x=my-^.

x=my-6

聯(lián)立,得V+4(my—石)2—1=0,即(1+4根2)/—86沖+n=0

y1+4x2=1

7±

■\l4-rn2—11

A=192m2-44(1+4m2)=16m2-44>0|MN|=2jl+〃/

l+4m2

8分

陌-0根+@2A/3

△F2MN的高即為點(diǎn)F2到直線I:x-my+43=0的距離h=

1+m21+m2

99

174m2-112百

???△89的面積5=5|四伙=26

i+4加,12

V4m2-11

2等號成立當(dāng)且僅當(dāng)?療一口=12

'4m-11+^^——>2712=473,,即

“蘇-1174m2-11

機(jī)=士叵時,

2

S<^=-，即△F,MN的面積的最大值為工

47322

12^

21.(I)證明：g(i)=/'(%)=2or—sinX，貝！Jg(0)=0,g'(;r)=2a—cos%,1

為

9?a>—,-1<cosx<1，

2

g'(x)—2a—cosx>l—cosx>l—1=0.

g(x)在[0,+8)單調(diào)遞增

3登

???—())=且(°)=°，即r(x)>o

M而/(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增

§金.

(II)證明：要證4sin%+2xln%-3%之一1<。，

只需證一2%lnx+3%2+l>4sinx,即x(-21nx+3x+—)>4sinx，證明如下：

x

,幾1/\ClC1rrt.l1f7\2c1312—2x—1(3x+l)(x—1)

設(shè)/z(x)=-21nx+3x+-,貝lj/(%)=一—+3一一=----------=-----y——-,

XXXrXX

§登

已知當(dāng)工￡(0,1)時，/ir(x)<0,人(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)了￡口,+8)時，hr(x)>0,%(%)單調(diào)遞增.

h(x)在(0,+8)上的最小值為/i(l)=4,即〃(x)=-21nx+3x+,24，

lOjt

又由(I),當(dāng)。=,且x>0時，x>sin尤，

2

x(—21nx+3x+—)>4sinx，即不等式4sinx+2xlnx—3x2—1<0恒成立.

x

12^

H.選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做

題計入總分，滿分10分.請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置)

22.(I)證明：：鉆切圓于3,

AB2=ADAE,

又：AB^AC,

AC2=ADAE,

：.△ACD△AEC,

,ZACD=ZAEC,

又；ZAEC^ZDGF,

：.ZACD=ZDGF

AC//FG5_分

(II)證明：連至BD,BE,EG

由AB=AC,==知△ABD三△ACD,同理有三△ACE,

AZBDE=