2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)函數(shù)綜合題含解析

函數(shù)的綜合問(wèn)題

專題知識(shí)回顧

1.一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合。

2.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合。

3.二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合。

數(shù)的綜合。

專題典型題考法及解析

【例題11(2019黑龍江綏化)一次函數(shù)y=-x+6與反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象如圖所示.當(dāng)y>y時(shí),

x

【答案】2<x<4

【解析】令-x+6=?，解得x=2,x=4,.?.根據(jù)圖象可得，當(dāng)y>y時(shí)，自變量x的取值范圍是2〈x〈4.

x

_8

【例題2】(2019吉林長(zhǎng)春)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=axz-2ax+g(a>0)與y軸交于點(diǎn)A,過(guò)

點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,P為拋物線的頂點(diǎn)，若直線OP交直線AM于點(diǎn)B,且M為線段AB的中

點(diǎn)，則a的值為

1

【答案】2.

【解析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后

8

將二次函數(shù)的解析式配方寫出y=a(x-l)2+g-a的形式，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出0P的方程，進(jìn)而得出點(diǎn)

8

B的坐標(biāo)，最后根據(jù)M為線段AB的中點(diǎn)，可得「廣=4,進(jìn)而得出答案.

8-3a

8

令x=0,可得y=w，

_8

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,—),

8

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-).

88

y=ax2-2ax+—=a(x-1)2+—-a,

一8

，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,--a),

8

???直線0P的方程為y=(g-a)x,

88

令y=^，可得x=。.,

30—3ci

88

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-——,-).

8-3a3

為線段AB的中點(diǎn)，

8

?i--——=4,解得a=20

8-3。

【例題3】(2019廣西省貴港市)如圖，菱形A8C。的邊在無(wú)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。(4,4)在反

比例函數(shù)y=((x>0)的圖象上，直線y=2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)E,連接AC,AE.

x3

(1)求k,b的值；

(2)求AACE的面積.

【答案】將解析。

【解析】由菱形的性質(zhì)可知8(6,0),C(9,4),點(diǎn)￡>(4,4)代入反比例函數(shù)y=~,求出左；將點(diǎn)C(9,4)代入

X

2

y=-x+b,求出萬(wàn)；求出直線y=±x-2與x軸和y軸的父點(diǎn)，即可求AAEC的面積;

-33

(1)由已知可得AO=5,

Q菱形ABCD,

B(6,0),C(9,4),

(2點(diǎn)。(4,4)在反比例函數(shù)y=5x>0)的圖象上，

X

k=16f

將點(diǎn)C(9,4)代入y=：x+b,

:.b=-2;

(2)E(0,-2),

直線y=*2與x軸交點(diǎn)為(3,0),

:.S=-x2x(2+4)=6

MFC2

專題典型訓(xùn)練題

1.(2019廣東深圳)已知函數(shù)f+bx+c(a^O)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=ax+b與二的圖象為()

【答案】C

【解析】二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；

符號(hào)判斷。先根據(jù)二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0)的圖象確定a,b,c的正負(fù)，則判斷一次函數(shù)與反比例函

數(shù)的圖象所在的象限.

由二次函數(shù)的圖象可知，a<0,b>0,c<0.當(dāng)a<0,b〉0,c〈0時(shí)，一次函數(shù)丫=0*+)3經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；

反比例函數(shù)《位于第二四象限，選項(xiàng)C符合.故選C.

3

-x2+2x(x>0)

2.(2019四川省雅安市)已知函數(shù),八、的圖像如圖所示，若直線y=x+m與該圖像恰有三

x(x<0)

個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍為.

1

【答案】0<m<—

4

,-X2+2x(x>0)

【解析】觀察圖像可知，當(dāng)直線丫=*+1!1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)與函數(shù)y={的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

x(x<0)

再向上平移，有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)向上平移到直線y=x+m與y=-心+2x的圖像有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此直線y=x+m

-X2+2x(x>0)

與函數(shù)y=的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，不符合題意，從而求出m的取值范圍.

x(x<0)

由y=x+m與y=-心+2x得x+機(jī)=一*2+2x,整理得X2-x+機(jī)=0,當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)

b2-4ac=(-1)2-4zn>0,解得

4

-X2+2x(x>0)

當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)與函數(shù)y=z小'的圖像有兩個(gè)

x(x<0)

11

不同的交點(diǎn)，再向上平移，有三個(gè)交點(diǎn)，...m〉。，...m的取值范圍為(Km〈;，故答案為0<m(了.

44

3.(2019湖北仙桃)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形0ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為0(0,0),A(12,0),

B(8,6),C(0,6).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊0A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)

B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，PQ^y.

(1)直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍：；

(2)當(dāng)PQ=3V^時(shí)，求t的值；

(3)連接0B交PQ于點(diǎn)D,若雙曲線y=—(k#0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,問(wèn)k的值是否變化？若不變化，請(qǐng)求出k的

值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

【答案】見解析。

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PELBC于點(diǎn)E,如圖1所示.

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)(0WtW4)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3t,0),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(8-2t,6),

；.PE=6,EQ=|8-2t-3t|=|8-5t|,

；.PQ=PE2+EQ=62+|8-5t|z=25t2-80t+100,

.*.y=25t2-80t+100(0WtW4).

故答案為：y=25t2-80t+100(0WtW4).

(2)當(dāng)PQ=30時(shí)，25t2-80t+100=(3A/5)2,

整理，得：5t2-16t+ll=0,

解得：t=1,t=u.

125

(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的雙曲線y=-(kWO)的k值不變.

連接OB,交PQ于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DF_LOA于點(diǎn)F,如圖2所示.

5

?.?0C=6,BC=8,

0B=2+2=10.

VBQ//0P,

ABDQ^AODP,

?_—2—2

??————,

33

0D=6.

???CB〃OA,

/.NDOF=NOBC.

在RtAOBC中，sinZOBC=——=—=cosZOBC=——=8=4,

104105

,?.0F=0D?COSN0BC=6X幺=%,DF=0D?sinN0BC=6x3=

5555

.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為0,也)，

55

,經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的雙曲線y=-(kWO)的k值為圓x忠=位.

5525

4.(2019湖南湘西)如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=一的圖象在第一象限交于點(diǎn)A(3,

2),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,且0B=4.

(1)求函數(shù)y=—和y=kx+b的解析式；

(2)結(jié)合圖象直接寫出不等式組0＜一＜kx+b的解集.

【答案】見解析。

【解析】⑴把點(diǎn)A(3,2)代入反比例函數(shù)丫=一，可得m=3X2=6,

.??反比例函數(shù)解析式為y=

V0B=4,

.".B(0,-4),

6

把點(diǎn)A(3,2),B(0,-4)代入一次函數(shù)y=kx+b,可得，=2,

解得｛乙

一次函數(shù)解析式為y=2x-4；

(2)不等式組0<-Vkx+b的解集為：x>3.

n

5.(2019山東東營(yíng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線尸mx與雙曲線廠一相交于A(-2,a)B兩點(diǎn)，BC

±X軸，垂足為C,AAOC的面積是.

(1)求m、n的值；

(2)求直線AC的解析式.

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則B(2,a),由于BC，x軸，所以

1

C(2,0),先利用三角形面積公式得到,X2Xa=2,解得a=2,則可確定A(-2,2),然后把A點(diǎn)坐標(biāo)

代入y=mxy=mx和y=2中即可求出m,n；根據(jù)待定系數(shù)法即可得到直線AC的解析式.

(1)?.?直線y=mx與雙曲線丫=口相交于A(-2,a)、B兩點(diǎn)，

x

二點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，

.1.B(2,-a),

：.C(2,0)；

"?'sZAor2,

1

AX2Xa=2,解得a=2,

AA(-2,2),

7

把A(-2,2)代入丫=111*和y=口得-2m=2,2=」二，解得m=-l,n=-4；

x-2

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

?..直線AC經(jīng)過(guò)A、C,

,f,1

.M解得k=T

l2k+b=0

1

直線AC的解析式為y=-2X+1-

6.（2019湖北咸寧）某工廠用50天時(shí)間生產(chǎn)一款新型節(jié)能產(chǎn)品，每天生產(chǎn)的該產(chǎn)品被某網(wǎng)店以每件80元

的價(jià)格全部訂購(gòu)，在生產(chǎn)過(guò)程中，由于技術(shù)的不斷更新，該產(chǎn)品第x天的生產(chǎn)成本y（元/件）與x（天）

之間的關(guān)系如圖所示，第x天該產(chǎn)品的生產(chǎn)量z（件）與x（天）滿足關(guān)系式z=-2X+120.

（1）第40天，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)是元；

（2）設(shè)第x天該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為w元.

①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出第幾天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

②在生產(chǎn)該產(chǎn)品的過(guò)程中，當(dāng)天利潤(rùn)不低于2400元的共有多少天？

【答案】見解析。

【解析】由圖象可知，第40天時(shí)的成本為40元，此時(shí)的產(chǎn)量為z=-2X40+120=40,則可求得第40天的

利潤(rùn).利用每件利潤(rùn)X總銷量=總利潤(rùn)，進(jìn)而求出二次函數(shù)最值即可.

（1）由圖象可知，第40天時(shí)的成本為40元，此時(shí)的產(chǎn)量為z=-2X40+120=40

則第40天的利潤(rùn)為：（80-40）X40=1600元

故答案為1600

（2）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（kWO）,把（0,70）（30,40）代入得

{30=1°=40,解得{=70

=-1

?,?直線AB的解析式為y=-x+70

(I)當(dāng)0<xW30時(shí)

8

w=[80-(-x+70)](-2x+120)

=-2xz+100x+1200

=-2(x-25)2+2450

.?.當(dāng)x=25時(shí)，w=2450

最大值

(II)當(dāng)30<xW50時(shí)，

w=(80-40)X(-2x+120)=-80x+4800

隨x的增大而減小

.?.當(dāng)x=31時(shí)，w=2320

最大值

.r-22+100+1200,(0<<30)

,,-1-80+4800,(30<<50)

第25天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2450元

②(I)當(dāng)0<xW30時(shí)，令-2(x-25)2+2450=2400元

解得x=20,x=30

12

?拋物線w=-2(x-25)z+2450開口向下

由其圖象可知，當(dāng)20WxW30時(shí)，WN2400

此時(shí)，當(dāng)天利潤(rùn)不低于2400元的天數(shù)為：30-20+1=11天

(II)當(dāng)30VXW50時(shí),

由①可知當(dāng)天利潤(rùn)均低于2400元

綜上所述，當(dāng)天利潤(rùn)不低于2400元的共有11天.

7.(2019貴州省畢節(jié)市)已知拋物線y=ax?+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_______:

(2)如圖1,連接0P交BC于點(diǎn)D,當(dāng)SABp=l：2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1),點(diǎn)G為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，Z0GE=15°,連接PE,若NPEG=2

Z0GE,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)如圖3,是否存在點(diǎn)P,使四邊形B0CP的面積為8?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

9

【答案】見解析。

【解析】函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x-1)(x+3)=a(xz+2x-3),即可求解；

r\r\

S：S=1：2,則BD=*BC=*X37I=2應(yīng)，即可求解；

△CPDABPD33

Z0GE=15°,ZPEG=2Z0GE=30°,則/0HE=45°,故OH=OE=1,即可求解;

利用S=S+S=8,即可求解.

四邊形BOCPAOBCAPBC

(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x-1)(x+3)—a(X2+2X-3),

即：-3a=3,解得：a=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-X2-2x+3…①，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(T,4)；

(2)VOB=OC,

.,.ZCBO=45°,

VS：S=1：2,

△CPDABPD

r\

???BD=WBC=*X3>/2=2"，

33

yD=BDsinZCBO=2,

則點(diǎn)D(-1,2)；

VZ0GE=15°,NPEG=2N0GE=30°,

Z0HE=45°，

10

???OH=OE=1,

貝ij直線HE的表達(dá)式為：y=-x-l???②，

聯(lián)立①②并解得：xJ土嚴(yán)(舍去正值)，

2

故點(diǎn)P(——-——，丁——)；

22

(4)不存在，理由：

連接BC,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H,

直線BC的表達(dá)式為：y=x+3,

設(shè)點(diǎn)P(x,-X2-2x+3),點(diǎn)H(x,x+3),

則SwB『S"S.=g><3X3+g(-X2-2X+3-X-3)X3=8,

整理得：3xz+9x+7=0,

解得：△<(),故方程無(wú)解，

則不存在滿足條件的點(diǎn)P.

8.(2019貴州黔西南州)已知拋物線y=axz+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)拋物線的解析式為,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

(2)如圖1,連接0P交BC于點(diǎn)D,當(dāng)Srp：S=1：2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1),點(diǎn)G為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，Z0GE=15°,連接PE,若/PEG=2

Z0GE,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)如圖3,是否存在點(diǎn)P,使四邊形B0CP的面積為8?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

11

y.y

圖l

【答案】見解析。

【解析】函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(X-1)(x+3)=a(xz+2x-3),即可求解;

S：S=1：2,貝!!BD=2BC=2x3巡=2型，即可求解；

△CPDABPD33

Z0GE=15°,ZPEG=2Z0GE=30°,則N0HE=45°,故OH=OE=1,即可求解;

利用S四邊皿=S△畋+S.=8,即可求解.

(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x-1)(x+3);=a(x2+2x-3),

即:43a=3,解得：a=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-X2-2x+3…①，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-L4)；

(2)VOB=OC,

?,.NCB0=45°,

','SACPD：SABPD=1：2,

；.BD=2BC=2x3?=20,

33

YD=BDsinZCB0=2,

則點(diǎn)D(-1,2)；

(3)如圖2,設(shè)直線PE交x軸于點(diǎn)H,

d\,

J

VZ0GE=15o,ZPEG=2Z0GE=30°,

N0HE=45°，

12

.\OH=OE=1,

則直線HE的表達(dá)式為：y=-x-l…②，

聯(lián)立①②并解得：x=上日(舍去正值)，

2

故點(diǎn)P(士應(yīng)，回);

22

(4)不存在，理由：

連接BC,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H,

設(shè)點(diǎn)P(x,-X2-2x+3),點(diǎn)H(x,x+3),

貝”則BOCP=S*+SAPBC=；X3X3+J-X2-2X+3-X-3)義3=8,

整理得：3X2+9X+7=0,

解得：△<(),故方程無(wú)解，

則不存在滿足條件的點(diǎn)P.

9.(2019湖北十堰)已知拋物線y=a(x-2)z+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)和C(0,與,與x軸交于另一點(diǎn)B,

4

頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖，點(diǎn)E,F分別在線段AB,BD±(E點(diǎn)不與A,B重合)，且NDEF=/A,則4DEF能否為等腰三

角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)P在拋物線上，且一—=m,試確定滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).

13

【答案】見解析。

【解析】利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為解方程組即可解決問(wèn)題.

可能.分三種情形①當(dāng)DE=DF時(shí)，②當(dāng)DE=EF時(shí)，③當(dāng)DF=EF時(shí)，分別求解即可.

如圖2中，連接BD,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的右側(cè)時(shí)，作DHLAB于H,連接PD,PH,PB.設(shè)P[n,—&(n-2)

16

2+3],構(gòu)建二次函數(shù)求出4PBD的面積的最大值，再根據(jù)對(duì)稱性即可解決問(wèn)題.

(16+=0

(1)由題意：j+_9,

(4

解得[=一2

I=3

，拋物線的解析式為y=(X-2)2+3,

16

二頂點(diǎn)D坐標(biāo)(2,3).

VA(-2,0),D(2,3),B(6,0),

AB=8,AD=BD=5,

①當(dāng)DE=DF時(shí)，ZDFE=/DEF=ZABD,

AEF/7AB,此時(shí)E與B重合，與條件矛盾，不成立.

②當(dāng)DE=EF時(shí)，

又；ABEF^AAED,

AABEF^AAED,

BE=AD=5

14

③當(dāng)DF=EF時(shí)，NEDF=NDEF=NDAB=ZDBA,

△FDE^ADAB,

=------=u

8

,/AAEF^ABCE

-—-----—--5，

8

.\EB=$AD=犯

88

答：當(dāng)BE的長(zhǎng)為5或鬻,ACFE為等腰三角形.

（3）如圖2中，連接BD,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的右側(cè)時(shí)，作DIUAB于H,連接PD,PH,PB.設(shè)P[n,-3(n

16

=1x4X1(n-2)2+3]+1X3X(n-2)-LX4X3=-3(n-4)2+3,

2162282

?.?一3<0,

8

，=4時(shí)，NBD的面積的最大值為當(dāng)

=m,

，當(dāng)點(diǎn)P在BD的右側(cè)時(shí)，m的最大值=：=&,

510

觀察圖象可知：當(dāng)0<m〈a時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有4個(gè)，

10

當(dāng)m=3時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)，

10

當(dāng)ni>3時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有2個(gè)（此時(shí)點(diǎn)P在BD的左側(cè)）.

10

10.（2019湖北咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-1x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋

2

物線y=-Wbx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)且與X軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

2

15

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)/ABD=2/BAC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)已知E,F分別是直線AB和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)B,0,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接

寫出所有符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo).

備用圖

【答案】見解析。

【解析】求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式，獲得b、c的值，獲得拋物線的解析式.

通過(guò)平行線分割2倍角條件，得到相等的角關(guān)系，利用等角的三角函數(shù)值相等，得到點(diǎn)坐標(biāo).

B、0、E、F四點(diǎn)作平行四邊形，以已知線段0B為邊和對(duì)角線分類討論，當(dāng)0B為邊時(shí)，以EF=0B的關(guān)

系建立方程求解，當(dāng)0B為對(duì)角線時(shí)，0B與EF互相平分，利用直線相交獲得點(diǎn)E坐標(biāo).

(1)在=-1+2中，令y=0,得x=4,令x=0,得y=2

2

AA(4,0),B(0,2)

把A(4,0),B(0,2),代入=—L2++，得

2

{—Lx16+4+=0，解得{[g

...拋物線得解析式為=—L23+2

2+2

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)B作x軸得平行線交拋物線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作BE得垂線，垂足為F

16

BE〃x軸,，NBAC=ZABE

NABD=2ZBAC,NABD=2ZABE

即NDBE+NABE=2NABE

NDBE=NABE

???NDBE=NBAC

設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,-12+3+2）,則BF=x,DF=—12+3

2222

tan^DBE=---,tanNBAC=—

/.---=---,即―；2+；=2

4

解得x=0（舍去），X=2

12

當(dāng)x=2時(shí)，-L2+3+2=3

22

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,3）

（3）

當(dāng)B0為邊時(shí)，OB〃EF,OB=EF

設(shè)E（m,一1+2）,F（m,一12+3+2）

222

17

EF=|(-i+2)-(-i2+2+2)|=2

222

解得ni]=2,2=2-3=2+2近

過(guò)點(diǎn)。作0F〃AB,直線OF=_】交拋物線于點(diǎn)F(2+2近，一1一方)和(2-2近，-1+V2)

2

求得直線EF解析式為=-返+1或=應(yīng)+1

22

直線EF與AB的交點(diǎn)為E,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-2近-2或2迎-2

???E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)或(2-2近,1+北)或(2+2/，1-V2W-2-2V2,3+禽)或(-2+2禽，3-0)

11.(2019湖南湘西)如圖，拋物線y=ax2+bx(a>0)過(guò)點(diǎn)E(8,0),矩形ABCD的邊AB在線段0E上(點(diǎn)

A在點(diǎn)B的左側(cè))，點(diǎn)C、D在拋物線上，NBAD的平分線AM交BC于點(diǎn)M,點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，已知0A=2,

且0A：AD=1：3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)F、G分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF,求四邊形MNGF周長(zhǎng)的最小

值；

(3)在x軸下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使AODP中0D邊上的高為說(shuō)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

5

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)矩形ABCD不動(dòng)，將拋物線向右平移，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L,且直線KL平分

矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.

18

【答案】見解析。

【解析】由點(diǎn)E在x軸正半軸且點(diǎn)A在線段0E上得到點(diǎn)A在x軸正半軸上，所以A(2,0)；由0A=2,且

0A：AD=1：3得AD=6.由于四邊形ABCD為矩形，故有ADLAB,所以點(diǎn)D在第四象限，橫坐標(biāo)與A的橫坐

標(biāo)相同，進(jìn)而得到點(diǎn)D坐標(biāo).由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E,用待定系數(shù)法即求出其解析式.畫出四邊形MNGF,由

于點(diǎn)F、G分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，故可作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)M',作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N',

得FM=FM'、GN=GN>.易得當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí)N'G+GF+FM'=M'N'最小，故四邊形MNGF周長(zhǎng)

最小值等于MN+M'N'.根據(jù)矩形性質(zhì)、拋物線線性質(zhì)等條件求出點(diǎn)蟲M'、N、N'坐標(biāo)，即求得答案.

因?yàn)?D可求，且已知aODP中0D邊上的高，故可求AODP的面積.又因?yàn)椤鱋DP的面積常規(guī)求法是過(guò)點(diǎn)P

作PE平行y軸交直線0D于點(diǎn)E,把AODP拆分為AOPE與4DPE的和或差來(lái)計(jì)算，故存在等量關(guān)系.設(shè)點(diǎn)P

坐標(biāo)為t,用t表示PE的長(zhǎng)即列得方程.求得t的值要討論是否滿足點(diǎn)P在x軸下方的條件.

由KL平分矩形ABCD的面積可得K在線段AB上、L在線段CD上，畫出平移后的拋物線可知，點(diǎn)K由點(diǎn)。平

移得到，點(diǎn)L由點(diǎn)D平移得到，故有K(m,0),L(2+m,0).易證KL平分矩形面積時(shí)，KL一定經(jīng)過(guò)矩形

的中心H且被H平分，求出H坐標(biāo)為(4,-3),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即求得m的值.

(1)?.?點(diǎn)A在線段0E上，E(8,0),0A=2

AA(2,0)

VOA：AD=1：3

AD=30A=6

?.?四邊形ABCD是矩形

.\AD±AB

.".D(2,-6)

?..拋物線y=ax2hbx經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E

?—得:{：14

19

二拋物線的解析式為y=/2-4x

2

(2)如圖1,作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)M',作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N',連接FW、GN、M'N'

一［圖］

Vy=-X2-4x=-(x-4)2-8

22

.??拋物線對(duì)稱軸為直線X=4

?.?點(diǎn)c、D在拋物線上，且CD〃x軸，D(2,-6)

.-.yc=yD=-6,即點(diǎn)C、D關(guān)于直線x=4對(duì)稱

...XC=4+(4D-X)=4+4-2=6,即C(6,-6)

/.AB=CD=4,B(6,0)

：AM平分/BAD,ZBAD=ZABM=90