2021年高考數(shù)學(xué)真題（新高考Ⅰ）（解析版）

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用25鉛筆將試卷

類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑:

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以

上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x|—2<x<4},B={2,3,4,5},則AB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定義可求AB.

【詳解】由題設(shè)有Ac8={2,3},

故選：B.

2.已知z=2—i，則zQ+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共輾復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閦=2—i,故W=2+i，故z(z+i)=(2—i)(2+2i)=6+2i

故選：C.

3.已知圓錐的底面半徑為后，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2&C.4D.472

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則乃/=2?x也，解得/=2行.

故選：B.

4.下列區(qū)間中，函數(shù)〃x）=7sin[x—看）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式2左〃—工<x—2<2丘+工/eZ）,利用賦值法可得出結(jié)論.

262

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)丁=5m》的單調(diào)遞增區(qū)間為12左乃—會,2左乃+會）（左eZ）,

對于函數(shù)/(x)=7sin由2左"<%<

26

解得2人;r—g<x<2左;r+g(左eZ),

取左=0,可得函數(shù)/（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

,A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件;

取左=1,可得函數(shù)/（%）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

,CD選項(xiàng)均不滿足條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡成y=Asin（5+9）形式，再求

y=Asin（cox+（p）的單調(diào)區(qū)間，只需把cox+（p看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意

要先把?；癁檎龜?shù).

22

5.已知/工是橢圓c：/+（=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)"在。上，貝閭的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本題通過利用橢圓定義得至U|崢|+|嗎|=2。=6,借助基本不等式

閭即可得到答案.

\MF}\-\MF2\<M'N"

I27

【詳解】由題，/=9/2=4,則|町|+|叫|=2。=6,

所以訃|“工區(qū)M>+配l=9（當(dāng)且僅當(dāng)|孫|=|曬|=3時(shí)，等號成立）.

I2J

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于正確理解能夠想到求最值的方法，即通過基本不等式放縮得到.

則sin￡(l+sin2。),()

6.若tsn0=—2,

sin0+cos0

6226

A.——B.一一C.-D.-

5555

【答案】C

【解析】

【分析】將式子進(jìn)行齊次化處理，代入tan。=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：

22

sin9(1+sin29)sinsin<9+cos^+2sin^cos^)z、

=——----------------------------------=sin<9(sin0+cos9)

sin9+cos。sinP+cos。

sin。(sin6+cos。)_tan2夕+tan。_4-2_2

sin20+cos201+tan201+45

故選：c.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用tan。=-2,求出sinacos，的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通

過齊次化處理，可以避開了這一討論.

7.若過點(diǎn)(。力)可以作曲線y=d的兩條切線，貝U()

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<e&D,0<Z?<ea

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果

【詳解】在曲線y=6上上任取一點(diǎn)對函數(shù)y=eX求導(dǎo)得歹=^,

所以，曲線y=在點(diǎn)P處的切線方程為y—e'=e'(x—即y=e%+(l—

由題意可知，點(diǎn)(a,E)在直線y=e'x+(l-7)e'上，可得Z?=ae'=(a+l-r)e'，

令/(')=(a+l_')e'，則=

當(dāng)/<a時(shí)，此時(shí)函數(shù)/?)單調(diào)遞增，

當(dāng)才〉a時(shí)，此時(shí)函數(shù)/(7)單調(diào)遞減，

所以，/Qmx=/(a)=e"，

由題意可知，直線丁=》與曲線丁=/(。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則Z?</(/)a=e"，

當(dāng)/<a+l時(shí)，/(/)>0,當(dāng)t>a+l時(shí)，/(r)<0,作出函數(shù)/?)的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)0<z?<e"時(shí)，直線y=b與曲線y=的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用且有效的方法

8.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示

事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的

數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷

【詳解】P（甲）=2，P（乙）=3P（丙）=2,0（丁）=￡=:，，

oo36366

P（甲丙）=0WP（甲）P（丙），P（￥T）=—=P（甲）P（?。?/p>

36

P（乙丙）=工nP（乙）P（丙），P（丙?。?0wP（丁）P（丙），

36

故選：B

【點(diǎn)睛】判斷事件A3是否獨(dú)立，先計(jì)算對應(yīng)概率，再判斷P（A）P（5）=尸（AB）是否成立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)看,巧，…，居，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)%,為，…，先，其中

y=x,+c(，=l,2,…,"),c為非零常數(shù)，貝！|()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有E(y)=E(x)+c、D(j)=D(x),即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、

極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【詳解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且*0,故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；

B：若第一組中位數(shù)為七，則第二組的中位數(shù)為,=￡+c,顯然不相同，錯(cuò)誤；

C：。(丁)=。(%)+。(。)=￡)(%),故方差相同，正確；

D:由極差的定義知：若第一組的極差為/ax-4^，則第二組的極差為

Vmax—JU=(Xmax+CT=。+，故極差相同，正確；

故選：CD

10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(cos%sincr),7^(cos/?,-sin/7),7^(cos(a+^),sin(6Z+^)),A(l,0),

則()

A|。小網(wǎng)B.|叫=|叫

C.OAOPi=OI\OP,D.OA3=OgOR

【答案】AC

【解析】

UUIUuuu

【分析】A、B寫出。耳，OP【、APX,A8的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量

的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

2

【詳解】A：=(cosa,sin。)，OP2=(cos/?,-sinp),所以|QFJ|=Jcos^a+sina=1

|1="(cospf+(-sin])2=1,故|RORI，正確；

B：APX=(cosa-1,sina),AP2=(cos^-1,-sinJ3),所以

22

|APX|=J(cos=一I)」+sin，a=A/COSa-2cosor+1+sina=J2(l-cosa)=jsin?=21sin言|,

同理|Ag|=J(cos夕—If+siY￡=21sin芻,故||,||不一定相等，錯(cuò)誤；

C：由題意得：OA-OPi=1xcos(a+P)+Oxsin(cif+/3}-cos(6Z+P)，

OROP?=cosa-cos/?+sinor?(-sin/?)=cos(cf+/7),正確；

D：由題意得：OA-OF[=lxcosa+Oxsina=cosa,

OP2,O居=cos[3xcos(a+/?)+(-sinJ3)xsin(c+p)

=cosacos2/?一sinasinf3cos/3-sinasin[3cos0-cosasin20

=cosacos-sinorsin2/3=cos(a+2尸),錯(cuò)誤；

故選：AC

11.已知點(diǎn)「在圓(%—5)2+(丁—5)2=16上，點(diǎn)4(4,0)、6(0,2),貝|()

A.點(diǎn)P到直線A5的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線A3的距離大于2

C.當(dāng)NP5A最小時(shí)，歸卻=3后

D.當(dāng)ZPBA最大時(shí)，歸邳=372

【答案】ACD

【解析】

【分析】計(jì)算出圓心到直線A5的距離，可得出點(diǎn)P到直線A5的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤;

分析可知，當(dāng)NPBA最大或最小時(shí)，依與圓”相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】圓(x—5y+(y—5)2=16的圓心為/(5,5),半徑為4，

直線A6的方程為:+與=1,即x+2y—4=0,

42

圓心"到直線AB的距離為匡二=蟲s>4,

VF涯755

所以，點(diǎn)P到直線45的距離的最小值為生叵-4<2,最大值為^^+4<10,A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)

55

誤；

如下圖所示:

當(dāng)NPR4最大或最小時(shí)，PB與圓〃相切，連接MP、BM，可知

忸叫='（0-5）2+（2-5）2=取,|MP|=4,由勾股定理可得忸尸|=，忸”『—|M/f=30，CD選項(xiàng)

正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線/與半徑為r圓C相離，圓心C到直線/的距離為d,則圓C上一點(diǎn)P到直線

/的距離的取值范圍是[d—r,d+r].

12.在正三棱柱ABC—A與G中，48=/四=1，點(diǎn)尸滿足5尸=；15。+〃54,其中Xe[0,l],

貝i|（）

A.當(dāng)4=1時(shí)，△△瓦尸的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)2時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得5P

D.當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A.B1平面ABF

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

對于B,將P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點(diǎn)的個(gè)數(shù);

對于D,考慮借助向量的平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解尸點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】

易知，點(diǎn)P在矩形3CG4內(nèi)部(含邊界).

對于A,當(dāng)4=1時(shí)，BP=BC+juBB[=BC+juCJ，即此時(shí)Pe線段CC-尸周長不是定值，故A

錯(cuò)誤；

對于B,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=ABC+,故此時(shí)P點(diǎn)軌跡為線段BG,而4G〃3C,BQ

平面ABC,則有P到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于C,當(dāng)人=：時(shí)，BP，BC+〃BB「取BC,中點(diǎn)分別為Q,H,則3P=BQ+〃Q”,所

22

以尸點(diǎn)軌跡為線段Q”,不妨建系解決,建立空間直角坐標(biāo)系如圖，A與0,1,P(0,0,〃)，B[O，；，O]，

則4尸=-*,0,〃T,6P=[。,一-1)=0,所以〃=0或〃=1.故”，。均滿足，故

I2)12J

C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)〃=!時(shí)，BP=ABC+-BB],取55],CG中點(diǎn)為",N.BP=BM+九MN，所以P點(diǎn)

22

軌跡為線段Mv.設(shè)尸,因?yàn)樗訟P=--^-，―,-i，

2)I22)I227

3111

所以*+5%—a=Ony0=—萬，此時(shí)P與N重合，故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi).

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)"x)=V(a2—2一工)是偶函數(shù)，貝.

【答案】1

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)。的值.

［詳解］因?yàn)?(同=丁,.2，_2-，)，故/(—=

因?yàn)?(九)為偶函數(shù),故/(一*)=/(*),

時(shí)丁,.2X-2-￡)=-x3(tz-2T-2*),整理得到(a-1乂2工+2-工)=0,

故a=1,

故答案為：1

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：/=2°x(p>0)的焦點(diǎn)為尸，尸為。上一點(diǎn)，。尸與x軸垂直，Q

為x軸上一點(diǎn)，且PQLOP,若|F9=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

3

【答案】

2

【解析】

【分析】先用坐標(biāo)表示尸，Q,再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得?，即得結(jié)果.

DD口皿

【詳解】不妨設(shè),p)Q(6+々,0),PQ=(6,-p)

因?yàn)镻QLOP,所以Rx6—p2=oQp>o...p=3.?.。的準(zhǔn)線方程為x=—』

3

故答案為：x=—

2

【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.

15.函數(shù)/(x)=|2x—1―21nx的最小值為.

【答案】1

【解析】

【分析】由解析式知/(x)定義域?yàn)?0,+8),討論0<x<L、-<x<l>x>l,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)

22

性，即可求Ax)最小值.

【詳解】由題設(shè)知：〃x)=|2x—1|—21nx定義域?yàn)?0,+8),

.?.當(dāng)0<x<；時(shí)，f(x)=i-2x-2\nx,此時(shí)/(無)單調(diào)遞減；

12

當(dāng)一<x〈l時(shí)，/(x)=2x-l-21nx,有/7x)=2——<0,此時(shí)單調(diào)遞減；

2x

2

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=2x-l-21nx,有/7x)=2——>0,此時(shí)單調(diào)遞增；

又/(X)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

...綜上有：0<xWl時(shí)，/(尤)單調(diào)遞減，尤>1時(shí)，/(X)單調(diào)遞增；

/./U)>/(1)=1

故答案為：L

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dmxl2dm

的長方形紙，對折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和

S,=240dm2,對折2次共可以得至i]5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的

面積之和S2=180dm2,以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折"次,

那么￡5/=dm2.

k=\

a15(3+〃)

【答案】(1).5(2).720—-聲’

【解析】

【分析】(1)按對折列舉即可；(2)根據(jù)規(guī)律可得S〃，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.

553

【詳解】(1)對折4次可得到如下規(guī)格：—dmxl2dm,—dmx6dm,5dmx3dm,lOdmx—dm,

422

2Qdmx—dm,共5種;

4

_120(n+l)

(2)由題意可得Si=2x120,52=3x60,S3=4x30,54=5x15,

-2〃T

120x2120x3120x4120(〃+1)

設(shè)5=++L+

2°廠+尸r71

則工s=120x2120x3120〃120(〃+1)

1+2++^TF+

2222"

1

601-

11120(n+l)2“T120(n+l)

兩式作差得-S=240+120(-+++/———^=240+

22"2"

120120(〃+1)_120(〃+3)

=360-360

廣2"2"

因止匕240/7+3()

S=720-()=720-15n+3

2"2"-4

15(n+3)

故答案為：5；720-2"-4

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用方法:

(1)對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解;

(2)對于｛%%｝結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，論,｝是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和;

(3)對于｛4+2｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法;

111(111

(4)對于《＞結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，公差為d(d叫,則,利用裂

〔6必計(jì)"dIanan+l7

項(xiàng)相消法求和.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

+1,〃為奇數(shù)

17.已知數(shù)列｛??｝滿足％=1,an+l

q+2,九為偶數(shù).

(1)記〃=為.，寫出4,打，并求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式;

(2)求｛。“｝的前20項(xiàng)和.

【答案】⑴乙=2,4=5；(2)300.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得2用=2+3,從而可求也,｝的通項(xiàng).

⑵根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得｛q｝的前20項(xiàng)和為S20可化為S20=2（4+&++4+九）—10,利用

（1）的結(jié)果可求§20.

【詳解】（1）由題設(shè)可得4=4=。1+1=2,%=。4=。3+1=4+2+1=5

又a2k+2=a2k+l+1，a2k+l=2k+2,

故%抖2=〃2左+3即bn+1=bn+3即bn+i-bn=3

所以｛2｝為等差數(shù)列，故2=2+（幾—l）x3=3〃—1.

（2）設(shè)｛。九｝的前20項(xiàng)和為S20,則邑0=%+。2+。3++。20，

因?yàn)閍1=火一1,%=—1，一，/9—a，o—1，

所以S00=2（4+。4++%8+。20）—1。

（gxin、

=2屹+@++%+九）-10=2><10x2+—^—x3—10=300.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系或偶數(shù)項(xiàng)

的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等來求解問題.

18.某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有48兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并

從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一

個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束4類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分：

8類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得。分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確

回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）B類.

【解析】

【分析】（1）通過題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）與（1）類

似，找出先回答3類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可.

【詳解】（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20,100.

p（X=0）=l-0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

p0.20.320.48

(2)由⑴知，E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答3問題，記y為小明的累計(jì)得分，則y的所有可能取值為o,80,wo.

p(y=0)=1-0.6=0.4；

P(Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

所以石(y)=0x0.4+80><0.12+100x0.48=57.6.

因?yàn)?4.4<57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答3類問題.

19.記r,ABC是內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知/^二如，點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2￡>C,求cosNABC

7

【答案】(1)證明見解析；(2)cosZ4BC=—.

12

【解析】

nr

【分析】(1)根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有5。=一,結(jié)合已知即可證結(jié)論.

b

2bb

(2)由題設(shè)50="AO=—,OC=—,應(yīng)用余弦定理求cosNADB、cosZCDB,又

33

A411A2

NADB="NCDB,可得2/+二=±,結(jié)合已知及余弦定理即可求cosNABC.

a23

R

asinCcb口口sinCc

(1)由題設(shè),BD=,由正弦定理知:即---------=—

sinZABCsinCsinzABCsmZABCb

**?BD=——,又b?=ac,

b

：.BD=b,得證.

2bb

(2)由題意知：BD=b,AD=——，DC=—,

33

22

,24/213b,2b210b-

b+-------c-bH------------a

cosZADB-9同理cosZCDB=-------*-----

c,2b4/—2b-b2b2

2b——

3-T3

?/ZADB=7i-ZCDB,

2

13b222106

--------ca---------11序

―92—=—2一，整理得2a2+c2=------，又Z?2=QC,

4b22b23

亍K

.?.2/+]=獨(dú)，整理得6a4一11/。2+3"=0,解得冬=[或*=

a-3b23b22

由余弦定理知：cos/45C=巴士~匕=

lac32b°

當(dāng)與=J_時(shí)，cos/4BC=Z>l不合題意；當(dāng)雹=3時(shí)，cosZ4BC=—；

b236b2212

7

綜上，cosZ4BC=—.

12

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，根據(jù)余弦定理及=得到”,仇c的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條

件及余弦定理求cosZABC.

20.如圖，在三棱錐A—BCD中，平面ABD，平面5CD，AB=AD,。為BD的中點(diǎn).

（1）證明：OALCD-,

（2）若OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E—3C—。的大小為

45°,求三棱錐A—BCD的體積.

【答案】（1）詳見解析（2）也

6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AO_L平面BCD,即可證得結(jié)果；

（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)锳B=AD,0為BD中點(diǎn)，所以AOLBD

因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD=5D,平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,

因此AO_L平面BCD,

因?yàn)镃DU平面BCD,所以AO_LCD

（2）作EF±BD于F,作FM±BC于M,連FM

因?yàn)锳O_L平面BCD,所以AO_LBD,AO_LCD

所以EFJ_BD,EF_LCD,5￡＞仆8=因此EFJ_平面BCD,即EF_LBC

因?yàn)镕M_LBC,RWIEF=R，所以BC_L平面EFM,即BC_LMF

71

則ZEMF為二面角E-BC-D的平面角，ZEMF=-

4

因?yàn)锽O=OD.OCD為正三角形，所以rOCD為直角三角形

1112

因?yàn)?E=2ED,...9=-3/=一（1+—）=—

2233

2

從而EF=FM=-AO=1

3

QAO,平面BCD,

所以V=LAO.SMC?=Lxlx'xlx^=3

3326

【點(diǎn)睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法.

21.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)片「舊,0）、鳥（而',0）|"可瑪|=2,點(diǎn)〃的軌跡為C.

（1）求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)T在直線x=；上，過T的兩條直線分別交C于A、3兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且|刑?|用=|7?卜|丁。,

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

2

【答案】(1)K-匕=1(x21)；⑵0.

16''

【解析】

【分析】（1）利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點(diǎn)片、工為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出。、力的值，

即可得出軌跡。的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)叫”，設(shè)直線AB的方程為y—=K設(shè)點(diǎn)心,另）、網(wǎng)”2），聯(lián)立直線AB與

曲線C的方程，列出韋達(dá)定理，求出|力4卜|工8|的表達(dá)式，設(shè)直線PQ的斜率為質(zhì)，同理可得出17PHTQ|的

表達(dá)式，由\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\化簡可得左+k2的值.

【詳解】因?yàn)橄抻谩?2<|片閶=2初，

所以，軌跡C是以點(diǎn)耳、工為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

22_________

設(shè)軌跡。的方程為1―4=1（?！?力〉0）,則2。=2,可得。=1,T=J17—片=4,

ub

2

所以，軌跡C的方程為產(chǎn)=1x1;

7176（-）

(2)設(shè)點(diǎn)若過點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線。無公共點(diǎn),

不妨直線A5的方程為y-％=左[

,即y=k、x+1——ky,

1.1

設(shè)點(diǎn)4(%，%)、B(%,j),則可〉一且X>一.

2229-2

k；-2k1

由韋達(dá)定理可得不+x=

26-16

片—16

所以，|啊.|用=（1+好）.%一：.卜2—：=（1+好）.人/一丫+[=^^1^

Z||乙|\乙H-JKJ—1O

產(chǎn)+12乂1+片）

設(shè)直線PQ的斜率為k2,同理可得\TP\.\TQ\

月—16

1+121+將/+121+公,,

因?yàn)?7AH用=|7?卜忙0|,即-——二_-=-——q--，整理可得k；=片,

ky-16k；-16

即(4-4)(%+左2)=。，顯然左一左2/0，故匕+左2=。.

因此，直