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文檔簡介
甘肅省金昌市永昌縣第四中學2023-2024學年高一下數(shù)學期末考試模擬試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.數(shù)列1,3,6,10,…的一個通項公式是()A. B.C. D.2.在中,角、、所對的邊長分別為,,,,,,則的面積為()A. B. C. D.93.在空間四邊形中,,,,分別是,的中點,,則異面直線與所成角的大小為()A. B. C. D.4.在△中,角,,所對的邊分別為,,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.l:與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為A.6 B.1 C. D.36.在平行四邊形中,為一條對角線,,,則=()A.(2,4) B.(3,5) C.(1,1) D.(-1,-1)7.一個平面截一球得到直徑為6的圓面,球心到這個圓面的距離為4,則這個球的體積為()A. B. C. D.8.在正方體中,異面直線與所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°9.設,則下列結論正確的是()A. B. C. D.10.為了了解某次數(shù)學競賽中1000名學生的成績,從中抽取一個容量為100的樣本,則每名學生成績?nèi)霕拥臋C會是()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.設不等式組所表示的平面區(qū)域為D.若直線與D有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是_____________.12.某中學為了了解全校學生的閱讀情況,在全校采用隨機抽樣的方法抽取一個樣本進行問卷調(diào)查,并將他們在一個月內(nèi)去圖書館的次數(shù)進行了統(tǒng)計,將學生去圖書館的次數(shù)分為5組:制作了如圖所示的頻率分布表,則抽樣總人數(shù)為_______.13.求值:_____.14.若實數(shù)滿足不等式組則的最小值是_____.15.設,數(shù)列滿足,,將數(shù)列的前100項從大到小排列得到數(shù)列,若,則k的值為______;16.如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成角的大小是______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.“精準扶貧”的重要思想最早在2013年11月提出,到湘西考察時首次作出“實事求是,因地制宜,分類指導,精準扶貧”的重要指導。2015年在貴州調(diào)研時強調(diào)要科學謀劃好“十三五”時期精準扶貧開發(fā)工作,確保貧困人口到2020年如期脫貧。某農(nóng)科所實地考察,研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植A、B兩種藥材,可以通過種植這兩種藥材脫貧。通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):藥材A的畝產(chǎn)量約為300公斤,其收購價格處于上漲趨勢,最近五年的價格如下表:編號12345年份20152016201720182019單價(元/公斤)1820232529藥材B的收購價格始終為20元/公斤,其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下:(1)若藥材A的單價(單位:元/公斤)與年份編號具有線性相關關系,請求出關于的回歸直線方程,并估計2020年藥材A的單價;(2)用上述頻率分布直方圖估計藥材B的平均畝產(chǎn)量,若不考慮其他因素,試判斷2020年該村應種植藥材A還是藥材B?并說明理由.附:,.18.已知為等差數(shù)列,且,.(1)求的通項公式;(2)若等比數(shù)列滿足,,求數(shù)列的前項和公式.19.已知,且(1)當時,解不等式;(2)在恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.已知函數(shù)的最小正周期為,且直線是其圖象的一條對稱軸.(1)求函數(shù)的解析式;(2)在中,角、、所對的邊分別為、、,且,,若角滿足,求的取值范圍;(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變,橫坐標伸長為原來的倍后所得到的圖象對應的函數(shù)記作,已知常數(shù),,且函數(shù)在內(nèi)恰有個零點,求常數(shù)與的值.21.在△ABC中,角A,B,C對應的邊分別是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.(1)求角A的大??;(2)若△ABC的面積S=5,b=5,求sinBsinC的值.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】
試題分析:可采用排除法,令和,驗證選項,只有,使得,故選C.考點:數(shù)列的通項公式.2、A【解析】
,利用正弦定理,和差公式化簡可得,再利用三角形面積計算公式即可得出.【詳解】化為:的面積故選:【點睛】本題考查正弦定理與兩角和余弦公式化簡求值,屬于基礎題.3、D【解析】
平移兩條異面直線到相交,根據(jù)余弦定理求解.【詳解】如圖所示:設的中點為,連接,所以,則是所成的角或其補角,又根據(jù)余弦定理得:,所以,異面直線與所成角的為,故選D.【點睛】本題考查異面直線所成的角和余弦定理.注意異面直線所成的角的取值范圍是.4、C【解析】
由正弦定理分別檢驗問題的充分性和必要性,可得答案.【詳解】解:充分性:在△中,由,可得,所以,故充分性成立;必要性:在△中,由及正弦定理,可得,可得,,故,必要性成立;故可得:在△中,角,,所對的邊分別為,,,則“”是“”的充分必要條件,故選C.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷,相對不難,注意正弦定理的靈活運用.5、D【解析】
先求出直線與坐標軸的交點,再求三角形的面積得解.【詳解】當x=0時,y=2,當y=0時,x=3,所以三角形的面積為.故選:D【點睛】本題主要考查直線與坐標軸的交點的坐標的求法,意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、C【解析】試題分析:,故選C.考點:平面向量的線性運算.7、C【解析】
過球心作垂直圓面于.連接與圓面上一點構造出直角三角形再計算球的半徑即可.【詳解】如圖,過球心作垂直圓面于,連接與圓面上一點.則.故球的體積為.故選:C【點睛】本題主要考查了球中構造直角三角形求解半徑的方法等.屬于基礎題.8、C【解析】
首先由可得是異面直線和所成角,再由為正三角形即可求解.【詳解】連接.因為為正方體,所以,則是異面直線和所成角.又,可得為等邊三角形,則,所以異面直線與所成角為,故選:C【點睛】本題考查異面直線所成的角,利用平行構造三角形或平行四邊形是關鍵,考查了空間想象能力和推理能力,屬于中檔題.9、B【解析】
利用不等式的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】由題意知,根據(jù)不等式的性質(zhì),兩邊同乘,可得成立.故選:B.【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)及其應用,其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.10、A【解析】
因為隨機抽樣是等可能抽樣,每名學生成績被抽到的機會相等,都是.故選A.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,直線過定點,根據(jù)圖像確定直線斜率的取值范圍.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示,直線過定點,由圖可知,而,所以.故填:.【點睛】本小題主要考查不等式表示區(qū)域的畫法,考查直線過定點問題,考查直線斜率的取值范圍的求法,屬于基礎題.12、20【解析】
總體人數(shù)占的概率是1,也可以理解成每個人在整體占的比重一樣,所以三組的頻率為:,共有14人,即14人占了整體的0.7,那么整體共有人?!驹斀狻壳叭M,即三組的頻率為:,,解得:【點睛】此題考查概率,通過部分占總體的概率即可計算出總體的樣本值,屬于簡單題目。13、【解析】
根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系:,以及反三角函數(shù)即可解決。【詳解】由題意.故答案為:.【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關系,同角角三角函數(shù)基本關系主要有:,.屬于基礎題。14、4【解析】試題分析:由于根據(jù)題意x,y滿足的關系式,作出可行域,當目標函數(shù)z=2x+3y在邊界點(2,0)處取到最小值z=2×2+3×0=4,故答案為4.考點:本試題主要考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解的運用.點評:解決該試題的關鍵是解決線性規(guī)劃的小題時,常用“角點法”,其步驟為:①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數(shù)?④驗證,求出最優(yōu)解.15、【解析】
根據(jù)遞推公式利用數(shù)學歸納法分析出與的關系,然后考慮將的前項按要求排列,再根據(jù)項的序號計算出滿足的值即可.【詳解】由已知,a1=a,0<a<1;并且函數(shù)y=ax單調(diào)遞減;∵∴1>a2>a1∴,∴a2>a3>a1∵,且∴a2>a4>a3>a1……當為奇數(shù)時,用數(shù)學歸納法證明,當時,成立,設時,,當時,因為,結合的單調(diào)性,所以,所以即,所以時成立,所以為奇數(shù)時,;當為偶數(shù)時,用數(shù)學歸納法證明,當時,成立,設時,,當時,因為,結合的單調(diào)性,所以,所以即,所以時成立,所以為偶數(shù)時,;用數(shù)學歸納法證明:任意偶數(shù)項大于相鄰的奇數(shù)項即證:當為奇數(shù),,當時,符合,設時,,當時,因為,結合的單調(diào)性,所以,所以,所以,所以時成立,所以當為奇數(shù)時,,據(jù)此可知:,當時,若,則有,此時無解;當時,此時的下標成首項為公差為的等差數(shù)列,通項即為,若,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用,難度較難.(1)分析數(shù)列的單調(diào)性時,要注意到數(shù)列作為特殊的函數(shù),其定義域為;(2)證明數(shù)列的單調(diào)性可從與的關系入手分析.16、【解析】
將所求兩條異面直線平移到一起,解三角形求得異面直線所成的角.【詳解】連接,根據(jù)三角形中位線得到,所以是異面直線與所成角.在三角形中,,所以三角形是等邊三角形,故.故填:.【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,考查空間想象能力,屬于基礎題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),當時,;(2)應該種植A種藥材【解析】
(1)首先計算和,將數(shù)據(jù)代入公式得到回歸方程,再取得到2020年單價.(2)計算B藥材的平均產(chǎn)量,得到B藥材的總產(chǎn)值,與(1)中A藥材作比較,選出高的一個.【詳解】解:(1),,當時,(2)利用概率和為1得到430—450頻率/組距為0.005B藥材的畝產(chǎn)量的平均值為:故A藥材產(chǎn)值為B藥材產(chǎn)值為應該種植A種藥材【點睛】本題考查了回歸方程及平均值的計算,意在考察學生的計算能力.18、(1);(2).【解析】
本試題主要是考查了等差數(shù)列的通項公式的求解和數(shù)列的前n項和的綜合運用.、(1)設公差為,由已知得解得,(2),等比數(shù)列的公比利用公式得到和.19、(1);(2).【解析】試題分析:(1)當時,可得,即為,由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得不不等式的解集;(2)由在上恒成立,得在上恒成立,討論,根據(jù)的范圍,由恒成立思想,可得的范圍.試題解析:(1)當時,解不等式,得,即,故不等式的解集為.(2)由在恒成立,得在恒成立,①當時,有,得,②當時,有,得,故實數(shù)的取值范圍.20、(1);(2);(3),.【解析】
(1)由函數(shù)的周期公式可求出的值,求出函數(shù)的對稱軸方程,結合直線為一條對稱軸結合的范圍可得出的值,于此得出函數(shù)的解析式;(2)由得出,再由結合銳角三角函數(shù)得出,利用正弦定理以及內(nèi)角和定理得出,由條件得出,于此可計算出的取值范圍;(3)令,得,換元得出,得出方程,設該方程的兩根為、,由韋達定理得出,分(ii)、;(ii),;(iii),三種情況討論,計算出關于的方程在一個周期區(qū)間上的實根個數(shù),結合已知條件得出與的值.【詳解】(1)由三角函數(shù)的周期公式可得,,令,得,由于直線為函數(shù)的一條對稱軸,所以,,得,由于,,則,因此,;(2),由三角形的內(nèi)角和定理得,.,且,,.,由,得,由銳角三角函數(shù)的定義得,,由正弦定理得,,,,且,,,.,因此,的取值范圍是;(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù),再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變,橫坐標伸長為原來的倍后所得到的圖象對應的函數(shù)為,,令,可得,令,得,,則關于的二次方程必有兩不等實根、,則,則、異號,(i)當且時,則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個根,從而方程在也有偶數(shù)個根,不合乎題意;(ii)當,則,當時,只有一根,有兩根,所以,關于的方程在上有三個根,由于,則方程在上有個根,由于方程在區(qū)間上只有一個根,在區(qū)間上無實解,方程在區(qū)間上無實數(shù)解,在區(qū)間上有兩個根,因此,關于的方程在區(qū)間上有個根,在區(qū)間上有個根,不合乎題意;(iii)當時,則,當時,只有一根,有兩根,所以,關于的方程在上有三個根,由于,則方程在上有個根,由于方程在區(qū)間上無實數(shù)根,在區(qū)間上只有一個實數(shù)根,方程在區(qū)間上有兩個實數(shù)解,在區(qū)間上無實數(shù)解,因此,關于的方程在區(qū)間上有個根,在區(qū)間上有個根,此時,,得.綜上所述:,.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式,以及三角形中的取值范圍問題,以及三角函數(shù)零點個數(shù)問題,同時也涉及了復合函數(shù)方程解的個數(shù)問題,考查分類討論思想的應用,綜合性較強,屬于難題.21、(1)(2)【解析】試題分析:(1)根據(jù)二倍角公式,三角形內(nèi)角和,所以,整理為關于的二次方程,解得角的大??;(2)根據(jù)三角形的面積公式和上一問角,代入后解得邊,這樣就知道,然后根據(jù)余弦定理再求,最后根據(jù)證得定理分別求得和.試題解析:(1)由cos2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA-2=0,即(2c
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