浙江省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題提升七以圓的切線為背景的計(jì)算與證明試題

專題提升七以圓的切線為背景的計(jì)算與證明熱點(diǎn)解讀直線與圓相切時(shí)，常用的輔助線是過切點(diǎn)的半徑，且構(gòu)造直角三角形來解決問題；動(dòng)圓與直線相切(或動(dòng)直線與圓相切)時(shí)，要注意有兩種位置．直線與圓相切是中考常見題型．母題呈現(xiàn)(2017·常德)如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于C，BE∥CO.(1)求證：BC是∠ABE的平分線；(2)若DC＝8，⊙O的半徑OA＝6，求CE的長．對點(diǎn)訓(xùn)練1．(2016·臺(tái)州)如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是()A．6B．2eq\r(13)＋1C．9D.eq\f(32,2)第1題圖2．如圖，若以平行四邊形一邊AB為直徑的圓恰好與對邊CD相切于點(diǎn)D，則∠C＝____________________度．第2題圖3．如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G.且AB∥CD.BO＝6cm，CO＝8cm，則BE的長為____________________cm.第3題圖4．如圖，平面直角坐標(biāo)系的長度單位是厘米，直線y＝－eq\f(\r(3),3)x＋6分別與x軸、y軸相交于B、A兩點(diǎn)．點(diǎn)C在射線BA上以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，以C點(diǎn)為圓心作半徑為1厘米的⊙C.點(diǎn)P以2厘米/秒的速度在線段OA上來回運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線l∥x軸．若點(diǎn)C與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B、點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中直線l與⊙C最后一次相切時(shí)t＝____________________秒．第4題圖5．(2016·天津)在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點(diǎn)．(1)如圖1.過點(diǎn)C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點(diǎn)P，若∠CAB＝27°，求∠P的大?。?2)如圖2，D為弧AC上一點(diǎn)，且OD經(jīng)過AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DC并延長，與AB的延長線相交于點(diǎn)P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．第5題圖6．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB.第6題圖(1)求證：直線BF是⊙O的切線；(2)若點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，當(dāng)AD＝5時(shí)，求BF的長；(3)填空：在(2)的條件下，如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點(diǎn)到點(diǎn)O的距離為5，則r的取值范圍為______________________．7.(2017·山西)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，OD⊥AB，與AC交于點(diǎn)E，與過點(diǎn)C的⊙O的切線交于點(diǎn)D.(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的長；(2)試判斷∠A與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．第7題圖8．(2017·玉林)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過點(diǎn)C作⊙O的切線DE交AB的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作切線DE的垂線，垂足為D，且與⊙O交于點(diǎn)F，設(shè)∠DAC，∠CEA的度數(shù)分別是α，β.(1)用含α的代數(shù)式表示β，并直接寫出α的取值范圍；(2)連結(jié)OF與AC交于點(diǎn)O′，當(dāng)點(diǎn)O′是AC的中點(diǎn)時(shí)，求α，β的值．第8題圖參考答案專題提升七以圓的切線為背景的計(jì)算與證明【母題呈現(xiàn)】(1)∵DE是切線，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠CBO，∴BC平分∠ABE.(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝eq\r(CD2＋OC2)＝10，∵OC∥BE，∴eq\f(DC,CE)＝eq\f(DO,OB)，∴eq\f(8,CE)＝eq\f(10,6)，∴CE＝4.8.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．C2.453.3.64.eq\f(26,7)5．(1)如圖，連結(jié)OC，∵⊙O與PC相切于點(diǎn)C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E為AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝eq\f(1,2)∠AOD＝40°，∵∠ACD是△ACP的一個(gè)外角，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.第5題圖6．(1)如圖，∵∠CBF＝∠CFB，∴CB＝CF.又∵AC＝CF，∴CB＝eq\f(1,2)AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF.又∵AB是直徑，∴直線BF是⊙O的切線．第6題圖(2)如圖，連結(jié)DO，EO，∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，∴∠AOD＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA＝AD＝OD＝5，∠OAD＝60°，∴AB＝10.∴在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，BF＝AB·tan60°＝10eq\r(3)；(3)如圖，連結(jié)OC.則OC是Rt△ABF的中位線，∵由(2)知，BF＝10eq\r(3)，∴中位線OC＝5eq\r(3)，∵⊙O半徑OA＝5.∴5eq\r(3)－5＜r＜5eq\r(3)＋5.7．(1)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴OA＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(5)，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(OA,AC)，即eq\f(OE,2)＝eq\f(\r(5),4)，解得：OE＝eq\f(\r(5),2).第7題圖(2)∠CDE＝2∠A，理由如下：連結(jié)OC，如圖所示：∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠2＋∠CDE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A.8．(1)連結(jié)OC.∵DE是⊙O的切線，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAE＝2α，∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠E＝90°，∴2α＋β＝90°(0°＜α＜45°)．第8題圖(2)連結(jié)OF交AC于O′，連