330345636.2.3向量的數(shù)乘運算-2021-2022學年高一新教材配套學案（人教A版必修2 ）

6.2.3向量的數(shù)乘運算學習目標核心素養(yǎng)1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運算的幾何意義．直觀想象2.理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會進行向量的數(shù)乘運算．數(shù)學運算3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法，并能熟練地運用這些知識處理有關(guān)向量共線問題．邏輯推理導(dǎo)學·課前自主學習知識梳理知識點1向量的數(shù)乘定義實數(shù)λ與向量a的積是一個向量記法λa長度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0方向與a的方向相同λ＜0方向與a的方向相反【名師點睛】1.向量數(shù)乘的定義中要注意的問題(1)向量數(shù)乘仍是一個向量.中的實數(shù)叫做向量的系數(shù)；(2)不要忽略特殊情況：當＝0時，＝.當≠0時，若＝，也有＝；(3)實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加減運算.2.數(shù)乘的幾何意義向量的數(shù)乘的幾何意義就是把向量沿著的方向或的反方向擴大或縮小.當＞0時，沿著的方向擴大（＞1）或縮小倍；當＜0時，沿著的反方向擴大（｜｜＞1）或縮?。?知識點2向量的數(shù)乘運算的運算律設(shè)λ，μ為任意實數(shù)①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.【名師點睛】對向量數(shù)乘運算律的理解1.向量數(shù)乘運算律與實數(shù)乘法運算律很相似，只是向量數(shù)乘分配律由于因子的不同，可分為（λ＋μ）＝λ＋μ和λ（＋）＝λ＋λ.2.向量數(shù)乘運算律的理論依據(jù)是兩個向量相等的定義.所以證明此運算律的關(guān)鍵，是證明等式兩邊向量的模相等且方向相同.并對各種可能的情況，做全面的討論.知識點3向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算．對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．【名師點睛】對向量線性運算的理解向量的線性運算也叫向量的初等運算.它們的運算法則在形式上很像實數(shù)加減法與乘法滿足的運算法則，但它們在具體含義上是不同的.不過由于它們在形式上相類似，因此，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項等變形手段在向量的線性運算中都可以使用.知識點4共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.【名師點睛】對共線向量定理的理解1.由＝λ中，若＝0，則＝，零向量與任一向量都平行.若＞0，則與同向；若＜0，則與反向.2.由＝λ中，由的唯一性，得.3.該定理有兩方面的應(yīng)用，一是一個向量可以由另一個向量線性表示，則可以判定兩向量平行；二是若兩向量平行，則一個向量可以由另一非零向量線性表示，可以用來求參數(shù)，它是軸上向量坐標化的依據(jù).【思考交流】【思考交流】(1)何時有λa＝0?(2)從幾何角度考慮，向量2a和－a與向量a分別有什么關(guān)系？【提示】(1)若λ＝0或a＝0則λa＝0.(2)2a與a方向相同，2a的長度是a的長度的2倍，－a與a方向相反，－a的長度是a的長度的.自主測評1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對于任意的向量a，總有0·a＝0.()(2)當λ＞0時，|λa|＝λa.()(3)若a≠0，λ≠0，則a與－λa的方向相反．()【解析】(1)錯誤.0·a＝0；(2)錯誤．|λa|＝λ|a|(λ＞0)．(3)錯誤．當λ＜0時，－λ＞0，a與－λa的方向相同．【答案】(1)×(2)×(3)×2．點C是線段AB靠近點B的三等分點，下列正確的是()A.＝3 B.＝2C.＝ D.＝2【解析】由題意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正確．【答案】D3．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________.【解析】由向量加法的平行四邊形法則知＋＝,又∵O是AC的中點，∴AC＝2AO，∴＝2，∴＋＝＝2，∴λ＝2.【答案】2探究·課堂互動研討考點1向量的線性運算【方法總結(jié)】向量數(shù)乘運算的方法1向量的數(shù)乘運算類似于多項式的代數(shù)運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).2向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算.【例1】化簡下列各式：①3(6a+b)-9(a+b)；②[(3a+2b)-(a+b)]-2(a+b);③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.【思路點撥】根據(jù)向量的運算律求解即可?！窘馕觥竣僭剑?8a＋3b－9a－3b＝9a.②原式＝(2a+b)-a-b=a+b-a-b=0.③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.【變式訓(xùn)練1】已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿足關(guān)系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.【解析】3x－2y＝a,①－4x＋3y＝b,②由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.考點2用已知向量表示未知向量【規(guī)律方法】用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法．(2)方程法．當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．【例2】(1)如圖所示，?ABCD中，E是BC的中點，若＝a，＝b，則＝()A．a(chǎn)－b B．a(chǎn)＋bC．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b(2)如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，M，N分別是DE，BC的中點，已知＝a，＝b，試用a，b分別表示，，.【思路點撥】先用向量加減法的幾何意義設(shè)計好總體思路，然后利用平面圖形的特征和數(shù)乘向量的幾何意義表示．【解析】(1)＝＋＝＋(-)＝－＝a－b.(2)由三角形中位線定理，知DEBC，故＝，即＝a.＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.【互動探究】本例(1)中，設(shè)AC與BD相交于點O，F(xiàn)是線段OD的中點，AF的延長線交DC于點G，如何用a，b表示？【解析】因為DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因為DF＝OD＝×BD＝BD，所以＝＝，所以＝＋＝＋＝a＋b.考點3向量共線問題【規(guī)律方法】1.證明或判斷三點共線的方法(1)一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))(或eq\o(BC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))等)即可．(2)利用結(jié)論：若A，B，C三點共線，O為直線外一點?存在實數(shù)x，y，使eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))且x＋y＝1.2．利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值．【例3】(1)已知非零向量e1，e2不共線，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，則共線的三個點是________．(2)已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若＝x＋y，求x＋y的值．【思路點撥】(1)將三點共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題，例如∥可推出A，B，D三點共線．(2)先用共線向量定理引入?yún)?shù)λ得＝λ，再用向量減法的幾何意義向＝x＋y變形，最后對比求x＋y.【解析】(1)∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2.∴，共線，且有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)由于A，B，P三點共線，則，在同一直線上，由共線向量定理可知，必存在實數(shù)λ使得＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ.∴x＝1－λ，y＝λ，則x＋y＝1.【變式訓(xùn)練2】素養(yǎng)提升判斷（或證明）圖形形狀【典例】在四邊形ABCD中，=＋2，＝－4－，＝－5－3.求證：四邊形ABCD是梯形.【規(guī)范解答】∵=＋2，＝－4－，＝－5－3，∴＝＋＋＝＋2－4－－5－3＝－8－2，∴＝2∴AD∥BC且AD＝2BC∴四邊形ABCD是梯形.【名師點評】要證明四邊形為梯形，即證明一組對邊平行但不相等.轉(zhuǎn)化為向量問題就是證明一組對邊向量共線而不相等.用向量法證明幾何問題，首先要用向量表示幾何元素，然后進行向量線性運算，最后用線性運算結(jié)果的幾何解釋即可.反饋·課末達標練習1．設(shè)a，b是兩個不共線的向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝()A．－4B．－8C．4D．8【解析】因為向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝－4(因為方向相反，所以λ＜0?k＜0)．【答案】A2．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝()A.－ B.－C.+ D.+【解析】由題可得＝＋＝－(＋)＋＝－.【答案】A3．對于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共線的有()A．①②③ B．②③④C．①③④ D．①②③④【解析】對于①，b＝－a，有a∥b；對于②，b＝－2a，有a∥b；對于③，a＝4b，有a∥b；對于④，a與b不共線．【答案】A4．若|a|＝5，b與a方向相反，且|b|＝7，則a＝________b.【解析】由題意知a＝－b.【答案】－5．如圖所示，已知＝，用，表示.【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.課時評價作業(yè)(一)【基礎(chǔ)鞏固】1．下面四種說法：①對于實數(shù)和向量，，恒有；②對于實數(shù)，和向量，恒有；③對于實數(shù)和向量，，若，則；④對于實數(shù)，n和向量，若，則．其中正確說法的個數(shù)是()A．B．3C．2D．1【解析】由向量的數(shù)乘運算律，得①②均正確．對于③，若，由，未必一定有，錯誤．對于④，若，由，未必一定有，錯誤．【答案】C2．已知向量a與b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，則λ的值等于()A.B．－C．D.－【解析】∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a與b反向，∴λ＝－.【答案】D3．在△中，，，是的中點，則等于（）A.B.C.D.【解析】，故選D.【答案】D4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，則()A．A，B，D三點共線B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線D．A，C，D三點共線【解析】＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴A，B，D三點共線．【答案】A5．已知正方形ABCD的邊長為1，＝，＝，＝，則｜＋＋｜為.【解析】｜＋＋｜＝｜＋＋｜＝｜2｜＝2.【答案】26．如圖所示，已知＝，用，表示.【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3).8．已知M、A、B三點不共線，且存在實數(shù)使得，若A、B、C三點共線，求證：.【證明】若A、B、C三點共線，則存在實數(shù)λ，使得，而.又，所以.則有即.【能力提升】1．如圖，在△OAB中，延長BA到C，使AC＝BA，在OB上取點D，使DB＝OB，DC與OA交點為E，設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量，.【解析】∵AC＝BA，∴A是BC的中點，∴＝(＋)，∴＝2－＝2a－b.∴＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.2．設(shè)兩個非零向量e1，e2不共線，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.問：是否存在實數(shù)k，使得A，B，D三點共線，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【解析】設(shè)存在k∈R，使得A，B，D三點共線，∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2.又∵A，B，D三點共線，∴＝λ，∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴k＝－8，∴存在k＝－8，使得A，B，D三點共線．3．設(shè)a，b都是非零向量．下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)=eq\f(b,|b|)成立的條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|【解析】eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)分別表示a，b的單位向量．對于A，當a＝－b時，eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；對于B，當a∥b時，可能有a＝－b，此時eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；對于C，當a＝2b時，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)；對于D，當a∥b且|a|＝|b|時，可能有a＝－b，此時eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|).綜上所述，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的條件是a＝2b，選C.【答案】C4．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內(nèi)一點P