288727062022屆高考數(shù)學(xué)滬教版一輪復(fù)習(xí)-講義專題04冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

專題04冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

復(fù)習(xí)與檢測(cè)專題04冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

復(fù)習(xí)與檢測(cè)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.冪函數(shù)的概念及其在內(nèi)的單調(diào)性。

2.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，3.掌握冪函數(shù)的定義域及其性質(zhì)，特別是在內(nèi)的單調(diào)性會(huì)畫冪函數(shù)的圖像，4.掌握指數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)。知識(shí)梳理

重點(diǎn)1

1.冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)。

2.指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的形式一定要區(qū)分開。3.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值恒大于零.性質(zhì)2.指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，1）.性質(zhì)3.函數(shù)（>1）在內(nèi)是增函數(shù)；函數(shù)（0<<1）在內(nèi)是減函數(shù).重點(diǎn)2

①冪函數(shù)的定義域由常數(shù)確定，但總有四種。當(dāng)，冪函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，因此研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)，主要是研究?jī)绾瘮?shù)在上的性質(zhì)。當(dāng)是增函數(shù)；當(dāng)上是減函數(shù)，冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過。

②指數(shù)函數(shù)有些同學(xué)常會(huì)與冪函數(shù)混淆。

③換底公式

④函數(shù)的定義域是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域就是它的反函數(shù)的定義域。互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。

⑤對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。⑥在解對(duì)數(shù)方程時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，因?yàn)樵诶脤?duì)數(shù)的性質(zhì)將對(duì)數(shù)方程變形的過程中，如果未知數(shù)的允許值范圍擴(kuò)大，那么可能會(huì)產(chǎn)生增根。例題分析

例1．能推斷出函數(shù)在上為增函數(shù)的是（）A．若、且，則B．若、且，則C．若、且，則D．若、且，則【答案】D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若、且，則且，則函數(shù)在上為增函數(shù)，A選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，若、且，則且，則函數(shù)在上為減函數(shù)，B選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，若、且，無法判斷與的大小，C選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，若、且，則，且、，因?yàn)?，故函?shù)為上的增函數(shù)，D選項(xiàng)滿足條件.故選：D.例2．若實(shí)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)，則，設(shè)，，作出函數(shù)的圖像，如圖所示，由圖可得，所以，故選：B

跟蹤練習(xí)1．已知函數(shù)則（）A． B． C． D．2．對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人約翰·奈皮爾（JohnNapier，1550—1617）是蘇格蘭數(shù)學(xué)家.直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系.人們才認(rèn)識(shí)到指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的天然關(guān)系.對(duì)數(shù)發(fā)現(xiàn)前夕，隨著科技的發(fā)展，天文學(xué)家做了很多的觀察，需要進(jìn)行很多計(jì)算，而且要算幾個(gè)大數(shù)的連乘，往往需要花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間.基于這種需求，1594年，奈皮爾運(yùn)用了獨(dú)創(chuàng)的方法構(gòu)造出對(duì)數(shù)方法.現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的需要，一些冪的值用數(shù)位表示，譬如，所以的數(shù)位為4（一個(gè)自然數(shù)效位的個(gè)數(shù)，叫做數(shù)位）.則的數(shù)位是（）（注）A．6679 B．6680 C．6681 D．66823．設(shè)D是的一個(gè)子集，稱函數(shù)為“機(jī)智”的，若存在奇函數(shù)，使得，有兩個(gè)命題：①若對(duì)任意，都成立，，則是“機(jī)智”的；②若對(duì)任意，都成立，則是“機(jī)智”的；則下列判斷正確的是（）A．①是真命題，②是假命題B．①是假命題，②是真命題C．①?②都是假命題D．①?②都是真命題4．若，則的定義域是（）A．R B． C． D．5．某果農(nóng)借助一平臺(tái)出售水果，為了適當(dāng)?shù)亟o鮮杏保留空氣呼吸，還會(huì)在裝杏用的泡沫箱用牙簽戳上幾個(gè)小洞，同時(shí)還要在鮮杏中間放上冰袋，來保持泡沫箱內(nèi)部的溫度穩(wěn)定，這樣可以有效延長(zhǎng)水果的保鮮時(shí)間．若水果失去的新鮮度與其采摘后時(shí)間（小時(shí)）滿足的函數(shù)關(guān)系式為．若采摘后20小時(shí)，這種杏子失去的新鮮度為10%，采摘后40小時(shí)，這種杏子失去的新鮮度為20%．在這種條件下，杏子約在多長(zhǎng)時(shí)間后會(huì)失去一半的新鮮度（）（已知，結(jié)果取整數(shù)）A．42小時(shí) B．53小時(shí) C．56小時(shí) D．67小時(shí)6．若函數(shù)．則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求k的值；（2）若對(duì)于任意x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．8．最近，考古學(xué)家再次對(duì)四川廣漢“三星堆古基”進(jìn)行考古發(fā)據(jù)，科學(xué)家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為年（即：每經(jīng)過年，該元素的存量為原來的一半），已知古生物中該元素的初始存量為（參考數(shù)據(jù)：）.（1）寫出該元素的存量與時(shí)間（年）的關(guān)系；（2）經(jīng)檢測(cè)古生物中該元素現(xiàn)在的存量為，請(qǐng)推算古生物距今大約多少年？9．設(shè)為給定的實(shí)常數(shù)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．（1）若函數(shù)為“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)為“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知()為“函數(shù)”，設(shè).若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值．10．設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為．（1）解方程：；（2）設(shè)是定義在上且以為周期的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，試求的值．

參考答案1．C【詳解】由題意可知，.故選：C．2．B【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的?shù)位為6680，故選：B.3．D【詳解】為奇函數(shù)，，故選：D4．C【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以的值域?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋蔬x：C5．D【詳解】由題意可得，①，②②①可得，解得，所以，③③①可得，所以，即，解得（小時(shí)）.故選：D6．A【詳解】，則，因此，.故選：A.7．（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，，解得.（2）對(duì)于任意x恒成立，即，亦即對(duì)于任意x恒成立，令，則有，因?yàn)?，，所以，即，?8．（1），；（2）.【詳解】（1）由半衰期的定義可知，每年古生物中該元素的存量是上一年該元素存量的，所以，該元素的存量與時(shí)間（年）的關(guān)系式為，；（2）由可得，所以，，.因此，該古生物距今大約年.9．（1）；（2）；（3）1.【詳解】解：（1）由為“函數(shù)”，得即，解得，故實(shí)數(shù)的值為；（2）由函數(shù)為“G(1)函數(shù)”可知，存在實(shí)數(shù)，使得，，即；由，得，整理得.①當(dāng)時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，即，解得且；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）由為“函數(shù)”，得，即，從而，，不妨設(shè)，則由，即，得，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，如圖，可知，故