330345626.2.2向量的減法運算-2021-2022學年高一新教材配套學案（人教A版必修2 ）

6.2.1向量的減法運算學習目標核心素養(yǎng)1.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義．邏輯推理2.掌握向量減法的運算及其幾何意義，能熟練地進行向量的加減運算．數(shù)學運算3.能夠進行向量加減法的運算及簡單應用.數(shù)學運算導學·課前自主學習知識梳理考點1相反向量(1)定義：與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量．(2)性質(zhì)：①對于相反向量有：a＋(－a)＝0.②若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0.③零向量的相反向量仍是零向量．【名師點睛】關于相反向量的關注點相反向量仍具備兩個要素:方向和長度.互為相反向量的兩個向量一定是共線向量,任一向量與它的相反向量的和是零向量.考點2向量的減法(1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up8(→))，如圖所示．【名師點睛】向量減法中需要注意的幾個問題1.向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義.，就可以把減法化為加法.在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減數(shù)”即可.2.以向量為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為，這一結(jié)論在以后應用還是非常廣泛的，應該理解并會應用.3.在平行四邊形ABCD中，，即兩條對角線所在向量可以用從一個頂點出發(fā)的兩邊所在向量表示?！舅伎冀涣鳌俊舅伎冀涣鳌咳鬭－b＝c－d，則a＋d＝b＋c成立嗎？【提示】成立．移項法則對向量的運算是成立的．自主測評1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若b是a的相反向量，則a與b一定不相等．()(2)若b是a的相反向量，則a∥b.()(3)向量的相反向量是，且＝－.()(4)－＝.()【解析】(1)錯誤．當a＝0時，a的相反向量也是零向量即a＝b.(2)正確；(3)正確．(4)錯誤.－＝.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2．化簡－＋＋的結(jié)果等于()A. B.C. D.【解析】原式＝(+)+(＋)=【答案】B3．如圖，在?ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，則＝________，＝________.【解析】由向量加法的平行四邊形法則，及向量減法的運算法則可知＝a＋b，＝b－a.【答案】a＋b，b－a探究·課堂互動研討考點1向量減法的幾何意義【方法總結(jié)】求作兩個向量的差向量的兩種思路1可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可.2也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.【例1】(1)如圖1所示，四邊形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，則＝()A．a(chǎn)－b＋c B．b－(a＋c)C．a(chǎn)＋b＋c D．b－a＋c(2)如圖2所示，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.圖1圖2【思路點撥】(1)利用向量減法和加法的幾何意義，將向，，轉(zhuǎn)化；(2)利用幾何意義法與定義法求出a＋b－c的值．【解析】(1)＝-＝(＋)－＝a＋c－b.故選A。(2)法一：(幾何意義法)如圖①所示，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝a＋b－c.法二：(定義法)如圖②所示，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝－c，連接OC，則＝a＋b－c.圖①圖②【變式訓練1】如圖所示，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.【解】法一：先作a－b，再作a－b－c即可．如圖①所示，以A為起點分別作向量和，使＝a，＝b.連接CB，得向量＝a－b，再以C為起點作向量，使＝c，連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up8(→)).則向量即為所求作的向量a－b－c.①②法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如圖②.(1)作＝－b和＝－c；(2)作＝a，則＝a－b－c.考點2向量加減法的運算及簡單應用【規(guī)律方法】1.向量減法運算的常用方法2．向量加減法化簡的兩種形式(1)首尾相連且為和．(2)起點相同且為差．解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用．3．與圖形相關的向量運算化簡首先要利用向量加減的運算法則、運算律，其次要分析圖形的性質(zhì)，通過圖形中向量的相等、平行等關系輔助化簡運算．【例2】(1)化簡：①＋－＝________；②＋(＋)＋＝________；③－－－＝________.(2)如圖所示，①用a，b表示；②用b，c表示.【思路點撥】(1)先用運算律調(diào)整，湊出向量加法法則(首尾相接)和向量減法法則(共起點)的形式，再化簡．(2)用向量加減法的幾何意義，將向，轉(zhuǎn)化，將向，轉(zhuǎn)化．【解】(1)①＋－＝＋(－)＝＋＝0；②＋(＋)＋＝＝(＋)＋(＋)＝＋＝0；③－－－＝(－)－(＋)＝.(2)∵＝a，＝b，＝c.①＝－＝－－＝－a－b.②＝－＝－(＋)＝－b－c.【變式訓練2】如圖所示，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且＝a，＝b，＝c，則用a，b，c表示下列向量．①＝________；②＝________；③＝________；④＝________.【解析】∵四邊形ACDE為平行四邊形，∴＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，∴＝＋＝b－a＋c.【答案】①c②b－a③c－a④b－a＋c考點3向量減法幾何意義的應用【規(guī)律方法】用向量法解決平面幾何問題的步驟(1)將平面幾何問題中的量抽象成向量．(2)化歸為向量問題，進行向量運算．(3)將向量問題還原為平面幾何問題．【例3】已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范圍.【思路點撥】由|||－|||≤|－|≤||＋||求范圍．【解】∵|||－|||≤|－|≤||＋||且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.當與同向時，|－|＝3；當與反向時，|－|＝15.∴|－|的取值范圍為[3,15]．【互動探究】將本例的條件改為“||＝8，||＝5”，|eq\o(BD,\s\up8(→))|的取值范圍如何？【解析】因為＝－，||＝8，||＝5，|||－|||≤|－|≤||＋||，所以3≤||≤13，當與同向時，||＝3，當與反向時，||＝13，所以||的取值范圍是[3,13]．反饋·課末達標練習1．在平行四邊形ABCD中，－等于()A. B.C. D.【解析】－=.【答案】A2．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0.正確的個數(shù)是()A．3B．4C．5D．6【解析】由向量減法、相反向量的定義可知①②③④⑤都正確；⑥錯誤．【答案】C3．化簡－＋－＝________.【解析】－＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.【答案】04．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，則|a－b|＝________.【解析】如圖，在矩形OACB中，－＝，則|a－b|＝||＝＝＝13.【答案】135．如圖所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.【解析】如圖所示，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，＝c，＝d.則a－b＝，c－d＝.課時評價作業(yè)(一)【基礎鞏固】1．下列向量的運算中，正確的是（）A．B．C．D．【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選C．【答案】C2．在平行四邊形中，若，則必有（）A．B．或C．四邊形為矩形D．四邊形為正方形【解析】由于，，則有，則平行四邊形為矩形，故選C.【答案】C3．已知向量與反向，則下列等式中成立的是（）A.B.C.D.【解析】向量與反向：=，=，故選：C【答案】C4．如圖，分別是△的邊的中點，則()A．B．C．D．【解析】∵分別為的中點，∴，，∴．【答案】A5.現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號為________．【解析】①；③.【答案】①③6．如圖所示，已知到平行四邊形的三個頂點、、的向量分別為，則__________.【解析】【答案】7．如圖，已知正方形ABCD的邊長等于1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，試作向量并分別求模．(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.【解析】(1)如圖，由已知得a＋b＝＋＝，又＝c，∴延長AC到E，使||＝||.則a＋b＋c＝，且||＝2.(2)作＝，連接CF，則＋＝，而＝－＝a－＝a－b，∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.8．如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示向量,,,及.【解析】∵四邊形ACDE是平行四邊形,∴=＝c，=-=b-a，=-=c-a，=-=c-b，∴=+=b-a+c.【能力提升】1.化簡以下各式：(1)＋＋；(2)－＋－；(3)－＋；(4)＋＋－則等于0的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【解析】對于(1)：＋＋＝0；對于(2)：－＋－＝(＋)－(＋)＝0；對于(3)：－＋＝(＋)－＝－＝0；對于(4)：＋＋－＝(＋＋)－＝0.【答案】D2．已知三角形ABC為等腰直角三角形，且∠A＝90O，有下列命題：①｜－｜＝｜＋｜；②｜－｜＝｜－｜；③｜－｜＝｜－｜；④｜－｜2＝｜－｜2＋｜－｜2.其中正確命題的序號為.【解析】以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，則它是正方形.∵｜－｜＝｜｜，｜＋｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，∴①正確.∵｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，∴②正確.∵｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，∴③正確.｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＋｜－｜2＝｜＋｜2＋｜＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴④正確.【答案】①②③④3．已知菱形AB