2 微專題：向量有關(guān)概念的易錯點(diǎn) 講義-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊

【學(xué)生版】微專題：向量有關(guān)概念的易錯點(diǎn)了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義；1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模；2、零向量：長度為0的向量，記作；3、單位向量：長度等于1個單位的向量；4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任意向量平行，即：；5、相等向量：長度相等且方向相同的向量；6、相反向量：長度相等且方向相反的向量；【典例】例1、（1）若四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀是；（2）若四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(k>0，且k≠1)，則四邊形ABCD的形狀是；【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例2、若與是共線向量，與是共線向量，則與的關(guān)系是【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例3、判斷下列命題的真假（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢保?；①向量是有向線段，因此可以用有向線段表示向量；（）②單位向量都相等；（）③若，，則；（）④若，，則；（）⑤若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形；（）⑥若，，則；（）⑦向量的充要條件是且；（）⑧與非零向量共線的單位向量為；（）⑨若λ(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；（）【歸納】1、向量概念的四點(diǎn)注意(1)注意0與的區(qū)別，0是一個實(shí)數(shù)，是一個向量，且；(2)單位向量有無數(shù)個，它們的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和單位向量是兩個特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時要注意它們的特殊性．(4)任意一組平行向量都可以平移到同一直線上；2、平面向量基本概念的辨析（1）向量與有向線段：向量可以用有向線段表示，區(qū)別是有向線段位置固定，而向量可以平移；（2）零向量與單位向量：零向量和單位向量是兩個特殊的向量．它們的模都確定，但方向不確定；（3）向量與數(shù)量：向量與數(shù)量不同，向量本身不能比較大小，只可以判斷是否相等，但向量的?？梢员容^大?。?）相等向量與平行向量：相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；（5）向量平行與直線平行：向量平行可以在同一條直線上或者在兩條平行直線上；3、解答向量概念型題目的要點(diǎn)（1）準(zhǔn)確理解向量的有關(guān)知識，應(yīng)重點(diǎn)把握兩個要點(diǎn)：大小和方向.（2）向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，準(zhǔn)確運(yùn)用定義和運(yùn)算律仍需從大小和方向角度去理解.（3）兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大小.（4）大小與方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征.（5）向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上；.【即時練習(xí)】1、判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?（1）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量；()（2）若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反；()（3）若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上；()（4）當(dāng)兩個非零向量，共線時，一定有＝λ，反之亦成立；()2、設(shè)，都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()A．＝－B．∥C．＝2 D．∥且||＝||3、下列命題中正確的有()A．若∥，則與同向B．相反向量就是方向相反的向量C．與同向，且||>||，則>D．兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件4、給出下列命題：①零向量是唯一沒有方向的向量；②零向量的長度等于0；③若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線．其中錯誤的命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．35、在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分別為AB與CD的中點(diǎn)，則在以A，B，C，D，M，N為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有向量中，相等向量的對數(shù)為()A．9B．11C．18D．246、若為非零向量，為其單位向量，則有或【教師版】微專題：向量有關(guān)概念的易錯點(diǎn)了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義；1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模；2、零向量：長度為0的向量，記作；3、單位向量：長度等于1個單位的向量；4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任意向量平行，即：；5、相等向量：長度相等且方向相同的向量；6、相反向量：長度相等且方向相反的向量；【典例】例1、（1）若四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀是；（2）若四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(k>0，且k≠1)，則四邊形ABCD的形狀是；【提示】注意：前提是“兩個向量”，判斷對象是“四邊形”；【答案】（1）平行四邊形；（2）梯形；【解析】（1）eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))表示AD∥BC且AD＝BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形；（2）eq\o(AD,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(k>0，且k≠1)表示AD∥BC，但AD與BC不相等，所以四邊形ABCD是梯形；【說明】本題涉及向量有關(guān)概念的理解誤區(qū)：相等向量；共線向量；例2、若與是共線向量，與是共線向量，則與的關(guān)系是【提示】注意：在處理向量問題時不要忽略零向量；【答案】共線向量或不共線向量；【解析】若，則與未必是共線向量；若是非零向量，則與是共線向量；【說明】本題涉及處理向量問題的常見錯誤：忽視零向量；例3、判斷下列命題的真假（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢保?；①向量是有向線段，因此可以用有向線段表示向量；（）②單位向量都相等；（）③若，，則；（）④若，，則；（）⑤若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形；（）⑥若，，則；（）⑦向量的充要條件是且；（）⑧與非零向量共線的單位向量為；（）⑨若λ(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；（）【提示】注意：理解相關(guān)概念與命題的判別方法；【答案】④⑧是（√）；其余都是（×）【解析】①錯誤：向量可以用有向線段表示，但不能說向量就是有向線段．正確說法：向量與有向線段是兩個不同的概念，向量可以用有向線段表示；②錯誤：長度等于1個單位的向量，叫做單位向量，即單位向量的模都為1，但是方向不確定，所以單位向量不一定都相等；③錯誤：向量本身不能比較大小，向量的?？梢员容^大小．正確說法：若，，則；④正確：因?yàn)?，所以，的長度相等且方向相同；又，所以，的長度相等且方向相同；所以，的長度相等且方向相同，故；⑤錯誤：若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，所以直線AB與CD平行或重合，故A，B，C，D四點(diǎn)不一定能構(gòu)成平行四邊形．正確說法：已知A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形．⑥錯誤：零向量與任一向量平行，故當(dāng)，時，若，則，不一定平行．，，則⑦錯誤：當(dāng)且時，若，方向相反，則與是相反向量，即，得不到；當(dāng)向量時，與的模相等且方向相同，所以可以得到且；綜上，向量是且的充分不必要條件．⑧正確：向量的方向與非零向量的方向相同，向量的模為；向量的方向與非零向量的方向相反，向量的模為；綜上，向量是與非零向量共線的單位向量．⑨錯誤：當(dāng)時，λ，所以若λ(λ為實(shí)數(shù))，則λ＝0或；【說明】本題綜合考查了向量的概念與特殊向量與判斷命題真假的方法的整合；【歸納】1、向量概念的四點(diǎn)注意(1)注意0與的區(qū)別，0是一個實(shí)數(shù)，是一個向量，且；(2)單位向量有無數(shù)個，它們的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和單位向量是兩個特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時要注意它們的特殊性．(4)任意一組平行向量都可以平移到同一直線上；2、平面向量基本概念的辨析（1）向量與有向線段：向量可以用有向線段表示，區(qū)別是有向線段位置固定，而向量可以平移；（2）零向量與單位向量：零向量和單位向量是兩個特殊的向量．它們的模都確定，但方向不確定；（3）向量與數(shù)量：向量與數(shù)量不同，向量本身不能比較大小，只可以判斷是否相等，但向量的?？梢员容^大?。?）相等向量與平行向量：相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；（5）向量平行與直線平行：向量平行可以在同一條直線上或者在兩條平行直線上；3、解答向量概念型題目的要點(diǎn)（1）準(zhǔn)確理解向量的有關(guān)知識，應(yīng)重點(diǎn)把握兩個要點(diǎn)：大小和方向.（2）向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，準(zhǔn)確運(yùn)用定義和運(yùn)算律仍需從大小和方向角度去理解.（3）兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大小.（4）大小與方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征.（5）向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上；.【即時練習(xí)】1、判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?（1）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量；()（2）若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反；()（3）若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上；()（4）當(dāng)兩個非零向量，共線時，一定有＝λ，反之亦成立；()【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；2、設(shè)，都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()A．＝－B．∥C．＝2 D．∥且||＝||【答案】C；【解析】因?yàn)橄蛄康姆较蚺c向量方向相同，向量的方向與向量方向相同，且，所以向量與向量方向相同，故可排除選項(xiàng)A，B，D.當(dāng)＝2時，，故＝2是成立的充分條件．3、下列命題中正確的有()A．若∥，則與同向B．相反向量就是方向相反的向量C．與同向，且||>||，則>D．兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件【答案】D；【解析】平行向量也可能方向相反，所以A是錯誤的；因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾?，長度相等的兩個向量，所以B是錯誤的；因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任何兩個向量都不能比較大小，所以C是錯誤的；因?yàn)閮蓚€向量平行不能推出兩個向量相等，而兩個向量相等可以推出這兩個向量平行，因此兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件，所以D是正確的．4、給出下列命題：①零向量是唯一沒有方向的向量；②零向量的長度等于0；③若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線．其中錯誤的命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【答案】B；5、在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分別為AB與CD的中點(diǎn)，則在以A，B，C，D，M，N為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有向量中，相等向量的對數(shù)為()A．9B．11C．18D．24【答案】D；【解析】由題意可得，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，有3對相等向量，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＝e