橢圓及其標準方程高二數學上學期完整課堂

人教A版2019選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.1橢圓及其標準方程我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是一個圓．如果改變圓錐的軸與截平面所成的角，那么會得到怎樣的曲線呢？如圖，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線．我們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線（conicsections）．圓錐曲線與科研、生產以及人類生活有著緊密的關系．如行星繞太陽運行的軌道是橢圓，發(fā)電廠冷卻塔的外形線是雙曲線，探照燈反射鏡面、衛(wèi)星接收天線是拋物線繞其對稱軸旋轉所成的拋物面……為什么圓錐曲線有如此廣泛的應用呢？我們可以從它們的幾何特征及其性質中找到答案．圓錐曲線的發(fā)現與研究始于古希臘．當時人們用純幾何的方法研究這些與圓密切相關的曲線，它們的幾何性質是圓的幾何性質的自然推廣．17世紀，笛卡兒發(fā)明了坐標系，人們開始借助坐標系，運用代數方法研究圓錐曲線．本章我們繼續(xù)采用坐標法，在探究圓錐曲線幾何特征的基礎上，建立它們的方程，通過方程研究它們的性質，并解決與圓錐曲線有關的幾何問題和實際問題，進一步感受數形結合的思想方法，體會坐標法的魅力與威力．橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質，在科研、生產和人類生活中具有廣泛的應用．那么，橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質奠定基礎？探究取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1，F2（圖3.1-1），套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？把細繩的兩端拉開一段距離，筆尖移動的過程中，細繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點的距離的和等于常數．MF1F2這兩個定點叫做橢圓的焦點（focus），兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距（focusdistance），焦距的一半稱為半焦距．由橢圓的定義可知，上述移動的筆尖（動點）畫出的軌跡是橢圓．OMxyF1F2圖3.1-2思考觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？設為2a能為問題研究帶來方便．OPxyF1F2圖3.1-3OxyF1F2圖3.1-4M這個方程也是橢圓的標準方程．你還能用其他方法求它的標準方程嗎？試比較不同方法的特點．ODPMyx圖3.1-5ODPMyx思考由例2我們發(fā)現，可以由圓通過“壓縮”得到橢圓．你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？由此你能發(fā)現橢圓與圓之間的關系嗎？OABMxy圖3.1