2024年菁優(yōu)高考數(shù)學終極押題密卷1（新高考Ⅰ）

2024年高考數(shù)學終極押題密卷1（新高考Ⅰ）一．選擇題（共8小題）1．已知A∪B＝{1，2，3}，A∩B＝{1}，則滿足條件的集合A的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．72．記i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則＝（）A．2 B． C． D．13．對于T（n）＝（2n2+2n+1）單位時間（表示代碼中一條語句執(zhí)行一次的耗時）的算法A來說，由于分析的是代碼執(zhí)行總時間T（n）和代碼執(zhí)行次數(shù)n之間的關(guān)系，可不考慮單位時間．此外，若用f（n）來抽象表示一個算法的執(zhí)行總次數(shù)，前面提到的算法便可以抽象為f（n）＝2n2+2n+1，因此我們可以記作T（n）＝O（f（n）），其中O表示代碼的執(zhí)行總時間T（n）和其執(zhí)行總次數(shù)f（n）成正比．這種表示稱為大O記法，其表示算法的時間復雜度．在大O記法中，非最高次項及各項之前的系數(shù)及對數(shù)的底數(shù)可以忽略，即上面所提的算法A的時間復雜度可以表示為O（n2）．對于如下流程所代表的算法，其時間復雜度可以表示為（）A．O（logn） B．O（nlogn） C．O（n2） D．O（1）4．現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的6名特種兵中選出3人去參加搶險，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．5．已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線的左右焦點，若過F1的直線與圓相切，與C在第一象限交于點P，且PF2⊥x軸，則C的離心率為（）A． B．3 C． D．6．在△ABC中，S△ABC＝，sinB＝cosAsinC，P為線段AB上的動點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．7．記遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若，則S10＝（）A．﹣155 B．125 C．155 D．1858．設(shè)函數(shù)在[π，2π]上至少有兩個不同零點，則實數(shù)ω的取值范圍是（）A． B． C． D．二．多選題（共3小題）（多選）9．下列四個命題中，假命題是（）A．要唯一確定拋物線，只需給出準線和拋物線上的一點 B．要唯一確定以坐標原點為中心的橢圓，只需給出一個焦點和橢圓上的一點 C．要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線，只需給出雙曲線上的兩點 D．要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線方程和離心率（多選）10．已知函數(shù)f（x）＝sinωx+acosωx（x∈R，ω＞0）的最大值為2，其部分圖象如圖所示，則（）A． B．函數(shù)為偶函數(shù) C．滿足條件的正實數(shù)ω，存在且唯一 D．f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為π（多選）11．設(shè)函數(shù)f（x）＝[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，則在同一個直角坐標系中，函數(shù)y＝f（x）的圖象與圓（x﹣t）2+（y+t）2＝2t2（t＞0）的公共點個數(shù)可以是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個三．填空題（共3小題）12．已知樣本x1，x2，x3的平均數(shù)為2，方差為1，則，，的平均數(shù)為．13．財富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)的標志性建筑，同時也是已建成的粵西第一高樓．為測量財富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個最高點A，點A在大廈底部的射影為點O，兩個測量基點B，C與O在同一水平面上，他測得BC＝102米，∠BOC＝120°，在點B處測得點A的仰角為θ（tanθ＝2），在點C處測得點A的仰角為45°，則財富匯大廈的高度OA＝米．14．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，若C上存在一點P滿足|PF1|2＝19|PF2|2，則C的離心率的取值范圍是．四．解答題（共5小題）15．甲、乙兩人進行中國象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒有平局的情況，甲每局贏的概率均為，且每局的勝負相互獨立．（1）求該比賽三局定勝負的概率；（2）在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進行的局數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．16．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1＝B1C1＝3，，D為A1B1的中點．（1）證明：B1C∥平面AC1D．（2）若以AB1為直徑的球的表面積為48π，求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值．17．已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓C的方程；（2）求橢圓C上的點到直線l：y＝2x的距離的最大值．18．已知函數(shù)g（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）有極值，且函數(shù)f（x）＝（x+a）ex的極值點是g（x）的極值點，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．（極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值）．（1）若a＝1，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；（3）當a＞0時，若函數(shù)F（x）＝f（x）﹣g（x）的最小值為M（a），證明：M（a）19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意正整數(shù)n，總存在正數(shù)p，q，r，使得an＝pn﹣1，Sn＝qn﹣r恒成立；數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且對任意正整數(shù)n，2Tn＝nbn恒成立．（1）求常數(shù)p，q，r的值；（2）證明：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；（3）若b2＝2，記Pn＝+++…++，是否存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n，Pn≤k恒成立？若存在，求正整數(shù)k的最小值；若不存在，請說明理由．

2024年菁優(yōu)高考數(shù)學終極押題密卷1（新高考Ⅰ）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．已知A∪B＝{1，2，3}，A∩B＝{1}，則滿足條件的集合A的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．7【考點】交集及其運算；并集及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集、并集的定義，即可求解．【解答】解：A∪B＝{1，2，3}，A∩B＝{1}，則A的集合可能為{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．故選：C．【點評】本題主要考查交集、并集的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．記i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則＝（）A．2 B． C． D．1【考點】共軛復數(shù)；復數(shù)的模；復數(shù)的運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：，則＝|z|＝＝．故選：D．【點評】本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．3．對于T（n）＝（2n2+2n+1）單位時間（表示代碼中一條語句執(zhí)行一次的耗時）的算法A來說，由于分析的是代碼執(zhí)行總時間T（n）和代碼執(zhí)行次數(shù)n之間的關(guān)系，可不考慮單位時間．此外，若用f（n）來抽象表示一個算法的執(zhí)行總次數(shù)，前面提到的算法便可以抽象為f（n）＝2n2+2n+1，因此我們可以記作T（n）＝O（f（n）），其中O表示代碼的執(zhí)行總時間T（n）和其執(zhí)行總次數(shù)f（n）成正比．這種表示稱為大O記法，其表示算法的時間復雜度．在大O記法中，非最高次項及各項之前的系數(shù)及對數(shù)的底數(shù)可以忽略，即上面所提的算法A的時間復雜度可以表示為O（n2）．對于如下流程所代表的算法，其時間復雜度可以表示為（）A．O（logn） B．O（nlogn） C．O（n2） D．O（1）【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】對應思想；綜合法；算法和程序框圖；數(shù)學運算．【答案】A【分析】設(shè)語句“count×2”執(zhí)行了x次，x∈N*，分析算法得出算法的執(zhí)行總次數(shù)f（n）＝x+（x+1）+1，由語句“count＝2x＞n”，取x＝log2n+1，代入f（n），根據(jù)大O記法的規(guī)定，即可得出答案．【解答】解：設(shè)語句“count×2”執(zhí)行了x次，x∈N*，語句“count＞n”執(zhí)行了（x+1）次，語句“結(jié)束”執(zhí)行了1次，由算法分析出：count＝1×2x＝2x，∵count＞n，∴2x＞n，解得，x＞log2n，取x＝log2n+1，則f（n）＝x+（x+1）+1＝2log2n+4，又∵在大O記法中，各項之前的系數(shù)及對數(shù)的底數(shù)可以忽略，∴O（2log2n+4）＝O（logn）．故選：A．【點評】本題考查了算法初步，考查了對數(shù)的基本運算，屬于中檔題．4．現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的6名特種兵中選出3人去參加搶險，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．【考點】條件概率與獨立事件；古典概型及其概率計算公式．【專題】對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】C【分析】設(shè)甲被選中為事件A，乙被選中為事件B，再根據(jù)條件概率公式可解．【解答】解：現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的6名特種兵中選出3人去參加搶險，設(shè)甲被選中為事件A，乙被選中為事件B，則P（A）＝＝，P（AB）＝＝，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為P（B|A）＝＝．故選：C．【點評】本題考查條件概率相關(guān)知識，屬于中檔題．5．已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線的左右焦點，若過F1的直線與圓相切，與C在第一象限交于點P，且PF2⊥x軸，則C的離心率為（）A． B．3 C． D．【考點】雙曲線的性質(zhì)．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】D【分析】由PF2⊥x軸，結(jié)合雙曲線的方程，求得P的坐標，直線PF1的方程，圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件，化簡整理，解方程可得所求離心率．【解答】解：設(shè)F2（c，0），令x＝c，可得y2＝b2（﹣1），解得y＝±，可得P（c，），直線PF1的方程為y＝（x+c），又圓的圓心為（c，0），半徑為c，直線PF1與圓相切，可得＝c，化為b2＝4ac，即（c2﹣a2）＝4ac，可得e2﹣4e﹣＝0，解得e＝（舍去）．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．6．在△ABC中，S△ABC＝，sinB＝cosAsinC，P為線段AB上的動點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算．【答案】A【分析】由已知結(jié)合正余弦定理求得a，b，c的值，建立平面直角坐標系，再由向量等式求得，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵sinB＝cosAsinC，∴由正弦定理可得，b＝c?cosA，再由余弦定理可得，b＝c?，整理得a2+b2＝c2，即∠C＝90°，又S△ABC＝，∴，即，得b＝，∴S△ABC＝，得a＝1，從而c＝．以CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，可得C（0，0），A（，0），B（0，1），P為線段AB上的一點，則存在實數(shù)λ使得＝λ+（1﹣λ）＝（λ，1﹣λ），（0≤λ≤1），設(shè)＝，＝，，＝（1，0），＝（0，1），由＝（x，0）+（0，y）＝（x，y），得x＝λ，y＝1﹣λ，則（x≥0，y≥0），求的最小值，則x，y均不為0，則＝（）（）＝．當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立．故選：A．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，訓練了利用基本不等式求最值，屬難題．7．記遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若，則S10＝（）A．﹣155 B．125 C．155 D．185【考點】等差數(shù)列的前n項和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學運算．【答案】C【分析】令n分別取1，2，得到等差數(shù)列的兩個關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，可求出數(shù)列{an}的首項和公差，進而可求前10項的和．【解答】解：設(shè)遞增的等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＞0．因為，所以當n＝1時，a1a2＝10，即a1（a1+d）＝10①，當n＝2時，a2a3＝40，即（a1+d）（a1+2d）＝40②．聯(lián)立①②，結(jié)合d＞0，解得a1＝2，d＝3．所以．故選：C．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．設(shè)函數(shù)在[π，2π]上至少有兩個不同零點，則實數(shù)ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【考點】正弦函數(shù)的圖象．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學運算．【答案】A【分析】先令f（x）＝0得，并得到，從小到大將的正根寫出，因為x∈[π，2π]，所以，從而分情況，得到不等式，求出答案．【解答】解：令，則，因為ω＞0，所以，令，解得，k∈Z或，k1∈Z，從小到大將的正根寫出如下：，，，，，，……，因為x∈[π，2π]，所以，當，即時，，解得，此時無解，當，即時，，解得，此時無解，，即時，，解得，故，當，即時，，解得，故當ω≥3時，，此時f（x）在[π，2π]上至少有兩個不同零點．綜上，ω的取值范圍是．故選：A．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）9．下列四個命題中，假命題是（）A．要唯一確定拋物線，只需給出準線和拋物線上的一點 B．要唯一確定以坐標原點為中心的橢圓，只需給出一個焦點和橢圓上的一點 C．要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線，只需給出雙曲線上的兩點 D．要唯一確定以坐標原點為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線方程和離心率【考點】雙曲線的性質(zhì)；橢圓的性質(zhì)；拋物線的性質(zhì)．【專題】計算題；綜合法；高考數(shù)學專題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】ACD【分析】根據(jù)圓錐曲線的定義逐項進行判斷即可．【解答】解：對于A、只有準線和拋物線上一點，無法確定焦點位置，故無法確定唯一拋物線，故A錯誤；對于B、給出橢圓的一個焦點，則另一個焦點能確定，再給出橢圓上一點，則可確定橢圓上點到兩個焦點的距離和，由橢圓定義可知，能唯一確定橢圓，故B正確；對于C、若給出的雙曲線上的兩點關(guān)于雙曲線的對稱軸對稱，則無法確定雙曲線，故C不正確；對于D、給出雙曲線的一條漸近線方程和離心率，但無法確定焦點的位置，所以無法唯一確定雙曲線，故D不正確．故選：ACD．【點評】本題考查橢圓、拋物線、雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．已知函數(shù)f（x）＝sinωx+acosωx（x∈R，ω＞0）的最大值為2，其部分圖象如圖所示，則（）A． B．函數(shù)為偶函數(shù) C．滿足條件的正實數(shù)ω，存在且唯一 D．f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為π【考點】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學運算．【答案】ACD【分析】由三角恒等變換可得函數(shù)的解析式，由函數(shù)的最大值可得a的值，再由f（0）＞0可得a的唯一值，再由f（）＝2sin（ω+φ）＝1，及函數(shù)圖象可得＞，可得ω的范圍，由tanφ＝a可得φ的值，進而求出ω的值，分別判斷出所給命題的真假．【解答】解：f（x）＝sin（ωx+φ），且tanφ＝a，因為函數(shù)的最大值為2，所以＝2，解得a＝±，而f（0）＝sin0+acos0＝a＞1，所以a＝，所以A正確；f（）＝2sin（ω+φ）＝1，因為函數(shù)在附近是單調(diào)遞減的，所以ω+φ＝π+2kπ，k∈Z，因為tanφ＝a＝，所以取φ＝，所以ω＝2+8k，k∈Z，因為＞，可得T＞，而T＝，所以＞，解得ω∈（0，4），所以ω＝2，此時f（x）＝2sin（2x+），最小正周期T＝π，所以C，D正確；設(shè)F（x）＝f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，所以F（x）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin2x＝﹣F（x），所以F（x）為奇函數(shù)，即f（x﹣）為奇函數(shù)，所以B不正確．故選：ACD．【點評】本題考查三角函數(shù)的解析式的求法及三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于中檔題．（多選）11．設(shè)函數(shù)f（x）＝[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，則在同一個直角坐標系中，函數(shù)y＝f（x）的圖象與圓（x﹣t）2+（y+t）2＝2t2（t＞0）的公共點個數(shù)可以是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】ABD【分析】借助函數(shù)f（x）＝[x]和圓（x﹣t）2+（y+t）2＝2t2（t＞0）的圖像，對t進行取特殊值進行驗證即可．【解答】解：當t＝1時，（x﹣1）2+（y+1）2＝2，f（x）與圓只過（0，0），A對；當，y＝0，，∴f（x）與圓交于（，0），（0，0）兩點，B對；當時，圓：，y＝1時，，∴f（x）與圓有個交點，y＝0時，x＝0，交點（0，0）；y＝﹣1時，，∴f（x）與圓有個交點，y＝﹣2時，，∴f（x）與圓有個交點，D對．故選：ABD．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系問題，是中檔題．三．填空題（共3小題）12．已知樣本x1，x2，x3的平均數(shù)為2，方差為1，則，，的平均數(shù)為5．【考點】極差、方差與標準差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】5．【分析】利用平均數(shù)和方差的計算公式求解．【解答】解：由題意可知，x1+x2+x3＝6，＝3，所以﹣4（x1+x2+x3）+12＝3，所以＝15，所以，，的平均數(shù)為（）＝5．故答案為：5．【點評】本題主要考查了平均數(shù)和方差的定義，屬于基礎(chǔ)題．13．財富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)的標志性建筑，同時也是已建成的粵西第一高樓．為測量財富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個最高點A，點A在大廈底部的射影為點O，兩個測量基點B，C與O在同一水平面上，他測得BC＝102米，∠BOC＝120°，在點B處測得點A的仰角為θ（tanθ＝2），在點C處測得點A的仰角為45°，則財富匯大廈的高度OA＝204米．【考點】解三角形．【專題】應用題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學運算．【答案】204．【分析】設(shè)OA＝h米，由在點B處測得點A的仰角為θ（tanθ＝2），可求米，由在點C處測得點A的仰角為45°，可求OC＝h米，進而利用余弦定理即可求解．【解答】解：設(shè)OA＝h米，因為在點B處測得點A的仰角為θ（tanθ＝2），所以，則米，因為在點C處測得點A的仰角為45°，所以O(shè)C＝h米，由余弦定理，得BC2＝OB2+OC2﹣2OB?OCcos∠BOC，即，解得h＝204．故答案為：204．【點評】本題考查解三角形的實際應用，考查直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．14．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，若C上存在一點P滿足|PF1|2＝19|PF2|2，則C的離心率的取值范圍是．【考點】橢圓的性質(zhì)．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】．【分析】結(jié)合橢圓的定義與幾何性質(zhì)，求解即可．【解答】解：因為|PF1|2＝19|PF2|2，所以|PF1|＝|PF2|，由橢圓的定義知，|PF1|+|PF2|＝（+1）|PF2|＝2a，所以|PF2|＝∈[a﹣c，a+c]，所以∈[1﹣，1+]，解得離心率e＝≥，又0＜e＜1，所以C的離心率的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題考查橢圓離心率取值范圍的求法，熟練掌握橢圓的定義與幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）15．甲、乙兩人進行中國象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒有平局的情況，甲每局贏的概率均為，且每局的勝負相互獨立．（1）求該比賽三局定勝負的概率；（2）在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進行的局數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【答案】（1）；（2）X的分布列為：X234PE（X）＝．【分析】（1）先求出乙每局贏的概率，若比賽三局定勝負，說明甲前三局都贏，或是乙前三局都贏，再利用獨立事件的概率乘法公式求解；（2）由題意可知X的取值為2，3，4，利用獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，得到X的分布列，再結(jié)合期望公式求解．【解答】解：（1）因為甲、乙兩人進行中國象棋比賽，采取五局三勝制，假設(shè)他們沒有平局，甲每局贏的概率均為，則乙每局贏的概率均為，若比賽三局定勝負，說明甲前三局都贏，或是乙前三局都贏，概率為；（2）甲贏在第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進行的局數(shù)為X，則X的取值為2，3，4，當X＝2，表示后面兩局甲都贏，比賽結(jié)束，甲獲勝，因此，當X＝3，若甲獲勝，則后面3局中甲贏2局，乙贏1局，且最后一局甲贏；若乙獲勝，則后面3局中，乙贏3局，因此，當X＝4，，所以X的分布列為：X234P所以．【點評】本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．16．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1＝B1C1＝3，，D為A1B1的中點．（1）證明：B1C∥平面AC1D．（2）若以AB1為直徑的球的表面積為48π，求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值．【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）證明過程見解答；（2）．【分析】（1）由線面平行的判斷定理即可證明；（2）由題設(shè)條件和球的表面積公式計算可求得AA1＝4，建立空間直角坐標系，由向量法即可求解．【解答】解：（1）證明：連接A1C交AC1于點E，則E為A1C的中點，因為D為A1B1的中點，所以DE∥B1C，又因為DE?平面AC1D，B1C?平面AC1D，所以B1C∥平面AC1D；（2）因為A1C1＝B1C1，D為A1B1的中點，所以C1D⊥A1B1，且．因為以AB1為直徑的球的表面積為48π，所以＝48π，解得AA1＝4，以D為坐標原點，的方向為y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則．設(shè)平面AC1D的法向量為，則，所以，令z＝1，得．設(shè)平面ACD的法向量為，則，所以，令z′＝1，得．因為，由圖可知，二面角C﹣AD﹣C1為銳二面角，所以二面角C﹣AD﹣C1的余弦值為．【點評】本題考查線面平行的證明和二面角的求法，屬于中檔題．17．已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓C的方程；（2）求橢圓C上的點到直線l：y＝2x的距離的最大值．18．已知函數(shù)g（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）有極值，且函數(shù)f（x）＝（x+a）ex的極值點是g（x）的極值點，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．（極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值）．（1）若a＝1，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；（3）當a＞0時，若函數(shù)F（x）＝f（x）﹣g（x）的最小值為M（a），證明：M（a）【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解．（2）推導出f′（x）＝ex（x+a+1），令f′（x）＝0，得x＝﹣a﹣1，求出g′（x）＝3x2+2ax+b，從而g′（﹣a﹣1）＝3（﹣a﹣1）2+2a（﹣a﹣1）+b＝0，由此能求出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．（3）F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x+a）ex﹣x3﹣ax2+（a2+4a+3）x，推導出F′（x）＝（x+a+1）ex﹣3x2﹣2ax+a2+4a+3＝（x+a+1）（ex﹣3x+a+3），令h（x）＝ex﹣3x+a+3，則h′（x）＝ex﹣3，令h′（x）＝0，得x＝ln3，h（ln3）＝6﹣3ln3+a為h（x）最小值，推導出F（﹣a﹣1）為F（x）最小值，M（a）＝F（﹣a﹣1）＝﹣e﹣a﹣1﹣（a+1）2?（a+2），由此能證明M（a）＜﹣．【解答】解：（1）a＝1時，f（x）＝）＝（x+1）exf′（x）＝（x+2）exf′（1）＝3e，f（1）＝2e函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程：y﹣2e＝3e（x﹣1）．即y＝3ex﹣e（2）∵函數(shù)f（x）＝（x+a）ex，∴f′（x）＝ex（x+a+1），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a﹣1，∵函數(shù)g（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R），∴g′（x）＝3x2+2ax+b，∵函數(shù)g（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）有極值，且函數(shù)f（x）＝（x+a）ex的極值點是g（x）的極值點，∴g′（﹣a﹣1）＝3（﹣a﹣1）2+2a（﹣a﹣1）+b＝0，解得b＝﹣a2﹣4a﹣3．證明：（3）F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x+a）ex﹣x3﹣ax2﹣bx＝（x+a）ex﹣x3﹣ax2+（a2+4a+3）x，F(xiàn)′（x）＝（x+a+1）ex﹣3x2﹣2ax+a2+4a+3＝（x+a+1）ex﹣（x+a+1）（3x﹣a﹣3）＝（x+a+1）（ex﹣3x+a+3），令h（x）＝ex﹣3x+a+3，則h′（x）＝ex﹣3，令h′（x）＝0，得x＝ln3，h（ln3）為h（x）最小值，且h（ln3）＝6﹣3ln3+a，∵a＞0，∴h（ln3）＞0，∴h（x）＞0，對于F′（x）＝（x+a+1）h（x）＝0，有唯一解x＝﹣a﹣1，當x∈（﹣∞，﹣a﹣1）時，F(xiàn)′（x）＜0，當x∈（﹣a﹣1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（﹣a﹣1）為F（x）最小值，M（a）＝F（﹣a﹣1）＝﹣e﹣a﹣1﹣（a+1）2?（a+2），當a＞0時，∴M（a）是減函數(shù)，M（a）＜M（0）＝﹣﹣2＜﹣，∴M（a）＜﹣．【點評】本題考查導數(shù)幾何意義、不等式的證明，考查函數(shù)性質(zhì)、導數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意正整數(shù)n，總存在正數(shù)p，q，r，使得an＝pn﹣1，Sn＝qn﹣r恒成立；數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且對任意正整數(shù)n，2Tn＝nbn恒成立．（1）求常數(shù)p，q，r的值；（2）證明：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；（3）若b2＝2，記Pn＝+++…++，是否存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n，Pn≤k恒成立？若存在，求正整數(shù)k的最小值；若不存在，請說明理由．【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）運用數(shù)列的遞推式，解方程即可得到所求值；（2）由數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義，即可得證；（3）求得bn＝2n﹣2，又由（1）知an＝2n﹣1，求得Pn，判斷單調(diào)性，可得最大值，即可得到k的最小值．【解答】解：（1）因為Sn＝qn﹣r，①所以Sn﹣1＝qn﹣1﹣r，（n≥2）②①﹣②得Sn﹣Sn﹣1＝qn﹣qn﹣1，即an＝qn﹣qn﹣1，（n≥2），因為an＝pn﹣1，所以pn﹣1＝qn﹣qn﹣1，（n≥2），當n＝2時，p＝q2﹣q；當n＝3時，p2＝q3﹣q2．因為p，q為正數(shù)，所以p＝q＝2．因為a1＝1，S1＝q﹣r，且a1＝S1，所以r＝1；（2）證明：因為2Tn＝nbn，③當n≥2時，2Tn﹣1＝（n﹣1）bn﹣1，④③﹣④得2bn＝nbn﹣（n﹣1）bn﹣1，即（n﹣2）bn＝（n﹣1）bn﹣1，⑤方法一：由（n﹣1）bn+1＝nbn，⑥⑤+⑥得（2n﹣2）bn＝（n﹣1）bn﹣1+（n﹣1）bn+1，即2bn＝bn﹣1+bn+1，所以{bn}為等差數(shù)列．方法二：由（n﹣2）bn＝（n﹣1）bn﹣1，得＝，當n≥3時，＝＝…＝，所以bn＝b2（n﹣1），所以bn﹣bn﹣1＝b2．因為n＝1時，由2Tn＝nbn得2T1＝b1，所以b1＝0，則b2﹣b1＝b2，所以bn﹣bn﹣1＝b2對n≥2恒成立，所以{bn}為等差數(shù)列．（3）因為b1＝0，b2＝2，由（2）知{bn}為等差數(shù)列，所以bn＝2n﹣2．又由（1）知an＝2n﹣1，所以Pn＝++…++，Pn+1＝+…++++，所以Pn+1﹣Pn＝+﹣＝，令Pn+1﹣Pn＞0得12n+2﹣4n?2n＞0，所以2n＜＝3+＜4，解得n＝1，所以當n＝1時，Pn+1﹣Pn＞0，即P2＞P1，當n≥2時，因為2n≥4，3+＜4，所以2n＞3+＝，即12n+2﹣4n?2n＜0，此時Pn+1＜Pn，即P2＞P3＞P4＞…，所以Pn的最大值為Pn＝+＝，若存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n，Pn≤k恒成立，則k≥Pmax＝，所以正整數(shù)k的最小值為4．【點評】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的遞推式，考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，以及數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．并集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算形狀：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解題方法點撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復．【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．2．交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．3．正弦函數(shù)的圖象【知識點的認識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（，0）（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ4．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【知識點的認識】根據(jù)圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點確定．5．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【知識點的認識】1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學習函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點撥】用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%＝x，A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當x＞600時，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當x＝1000時，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故滿足公司要求；D中，函數(shù)y＝x2，易知滿足①，當x＝400時，y＞5不滿足公司要求；故選C點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計，解題的關(guān)鍵是一一驗證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3﹣x＝（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件服裝的售價定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：（1）2015年的利潤y（萬元）關(guān)于促銷費t（萬元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？（注：利潤＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用+生產(chǎn)費用）分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)．（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大．解答：解：（1）由題意：3﹣x＝，且當t＝0時，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價，…（2分）所以，y＝…（3分）＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）（2）因為當且僅當，即t＝7時取等號，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大．…（1分）點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用，看出基本不等式在求最值中的應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，強調(diào)對知識的理解和熟練運用，考查轉(zhuǎn)化思想的應用．6．等差數(shù)列的前n項和【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案為：55點評：此題考查了等差數(shù)列的前n項和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項為負，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點評：本題考查等差數(shù)列的前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．其實方法都是一樣的，要么求出首項和公差，要么求出首項和第n項的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見，單獨考察等差數(shù)列的題也比較簡單，一般單獨考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識考察，特別是錯位相減法的運用．7．數(shù)列的求和【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝．點評：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．8．利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【知識點的認識】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點；（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點．2、極值的性質(zhì)：（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最?。唬?）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點．3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值．【解題方法點撥】在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，（5）可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點．9．利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【知識點的認識】利用導數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個?？键c，它既可以考查學生求導能力，也考察了學生對導數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式把直線方程求出來．【解題方法點撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個函數(shù)的圖象在點x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當x＝1時，y＝0，所以切點為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導數(shù)；第三步利用點斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應用，認真總結(jié)．10．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當，方向相同時，＝||||；當，方向相反時，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）（4）cosθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．【命題方向】本知識點應該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個常考點，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．11．解三角形【知識點的認識】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝12．復數(shù)的運算【知識點的認識】復數(shù)的加、減、乘、除運算法則13．共軛復數(shù)【知識點的認識】實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)，叫做互為共軛復數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復數(shù)，用數(shù)學語言來表示即：復數(shù)Z＝a+bi的共軛復數(shù)＝a﹣bi．【解題方法點撥】共軛復數(shù)的常見公式有：；；；【命題方向】共軛復數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復數(shù)的性質(zhì)，并能將復數(shù)的共軛加法運算和乘法運算進行推廣．運用共軛復數(shù)運算解決一些簡單的復數(shù)問題，提高數(shù)學符號變換的能力，培優(yōu)學生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．14．復數(shù)的?！局R點的認識】1．復數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a+bi為實數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復數(shù)的模：的長度叫做復數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．15．直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．16．二面角的平面角及求法【知識點的認識】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點O的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點O．3、二面角的平面角求法：（1）定義；（2）三垂線定理及其逆定理；①定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直．②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延長（展）線（面）法；（5）射影公式；（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角；（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設(shè)平面α和β的法向量分別為和，若兩個平面的夾角為θ，則（1）當0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此時cosθ＝cos＜，＞＝．（2）當＜＜，＞＜π時，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．17．直線與圓的位置關(guān)系【知識點的認識】直線與圓的位置關(guān)系【解題方法點撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由消元，得到一元二次方程的判別式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．18．橢圓的標準方程【知識點的認識】橢圓標準方程的兩種形式：（1）（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同．標準方程（a＞b＞0）中心在原點，焦點在x軸上（a＞b＞0）中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）準線x＝±y＝±19．橢圓的性質(zhì)【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當且僅當a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．20．直線與橢圓的綜合【知識點的認識】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點撥】（1）直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質(zhì)來判斷．根據(jù)直線系方程抓住直線恒過定點的特征，將問題轉(zhuǎn)化為點和橢圓的位置關(guān)系，也是解決此類問題的難點所在．（2）弦長的求法設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|＝＝（k為直線斜率）注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式．（3）中點弦、弦中點常見問題①過定點被定點平分的弦所在直線的方程；②平行弦中點的軌跡；③過定點的弦的中點的軌跡．解決有關(guān)弦及弦中點問題常用方法是“韋達定理”和“點差法”，這兩種方法的前提都必須保證直線和橢圓有兩個不同的公共點．（4）橢圓切線問題①直線與橢圓相切，有且僅有一個公共點；②過橢圓外一點可以作兩條直線與橢圓相切；③過橢圓上一點只能作一條切線．（5）最值與范圍問題的解決思路①構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解；②構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過解不等式來獲得問題的解．在解題過程中，一定要深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等可利用條件．【命題方向】1．由已知條件求橢圓的方程或離心率；2．由已知條件求直線的方程；3．中點弦或弦的中點問題；4．弦長問題；5．與向量結(jié)合求參變量的取值．21．拋物線的性質(zhì)【知識點的認識】拋物線的簡單性質(zhì)：22．雙曲線的性質(zhì)【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝023．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．24．條件概率與獨立事件【知識點的認識】1、條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）＝【解題方法點撥】典例1：利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是．解：由題意得，利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，基本事件的總個數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P＝＝故答案為：典例2：甲乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為，，，乙隊每人答對的概率都是．設(shè)每人回