2024年九年級數(shù)學中考沖刺函數(shù)與幾何綜合

中考沖刺專題——函數(shù)與幾何綜合

類型一反比例、一次函數(shù)與集合綜合

k

1.反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖像經(jīng)過矩形Q43c對角線的交點"，分別與AB,BC

x

交于點D,E,若四邊形。的面積為9,則左的值為

k

2.矩形Q4BC中，41,0),C(0,2),雙曲線y=勺(0〈左<2)的圖像分別交于點

x

E,F,連接5人。跖=2邑防/，則左的值為

與對角線03交于點尸，以下結論：

①AQ4D與AOCE的面積和為2,貝k=2；

②②若3點坐標為(4,2),AD:DB=1:3,貝必=1；

③圖中一定有喘=裝

③若點尸是的中點且左=6,則四邊形。D3E的面積為12.

其中一定正確個數(shù)是()

A1B.2C.3D.4

4.正方形ABC。的邊長為10,點A的坐標為（-8,0）,點3在y軸上，若反比例函數(shù)>=七

的圖像經(jīng)過點C,則左的值為.

5.如圖，將等腰火地。鉆放置于平面直角坐標系中，OA=AB=10,NA=90°,。是

AB邊上的動點（不與端點A,5重合），作NACD=60°交。4于點C,若點C,

k

AC=2AD都在雙曲線y=—（左>0,%>0）上，則女的值為（）

x

31

6.已知，如圖22,點A、5分別在反比例函數(shù)）=-一和丁二一上，OA±OB,連接AB與

xx

y=L交于點。，若。為AB中點，貝（JSAOAB二o

x

7.如圖，已知直線y=-犬+2分別與x軸，y軸交于A,5兩點，與雙曲線y二幺交于

x

E,尸兩點，若AB=2即，則上的值是

2

8.如圖，直線y=-九+4分別交x軸，y軸于A,5兩點，尸是反比例函數(shù)y=—(犬>0)圖

x

象上位于直線下文的一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點交A5于點E,過點P作

y軸的垂線，垂足為點N,交A3于點產(chǎn)，則m?§￡=()

A.2A/2B.4C.4A/2D.8

9.如圖，直線>=-也x+6與y軸交于點A,與雙曲線丁=4在第一象限內交于兩點5、

3x

B,且AB?AC=4,則左=.

10.(2019長沙)如圖，函數(shù)y=((%為常數(shù)，%>0)的圖象與過原點。的直線相交于A,

X

8兩點，點”是第一象限內雙曲線上的動點(點”在點A的左側)，直線40分別交x軸，

y軸于C,D兩點，連接分別交x,y軸于點E,F,現(xiàn)有以下四個結論：①△

與△OG4的面積相等；②若于點貝i]NM&L=3O。；③若點〃的橫坐標為1,

△OAM為等邊三角形，則上=2+6；④若及牛=|〃3,則加D=2M4。其中正確結論的

序號是0(只填序號)

11.(2018?湖南長沙?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=」(m為常

x

數(shù)，m>1,x>0)的圖象經(jīng)過點P(m,1)和Q(1,m),直線PQ與x軸，y軸分別交

于C,D兩點，點M(x,y)是該函數(shù)圖象上的一個動點，過點M分別作x軸和y軸的垂

線，垂足分別為A,B.

(1)求乙OCD的度數(shù)；

(2)當m=3,l<x<3時，存在點M使得△OPMs^ocP,求此時點M的坐標；

(3)當m=5時，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請說明你的理

k

12.如圖，直線丫=6+仇4/0)與雙曲線y=—(左片0)交于一、三象限內的A、8兩點與x軸

x

2

交于點C,點A的坐標為(2,⑼，點8的坐標為(",-2),tanZBOC=y.

⑴求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

(2)點E為坐標軸上一點，以AE為直徑的圓恰好經(jīng)過點2,直接寫出點￡的坐標；

⑶點尸(sj)(s>2)在直線上運動，軸交雙曲線于〃，PN〃，軸交雙曲線于N,

直線MN分別交x軸，，軸于RG,求需譯值.

13.如圖，已知直線y=-x+2與x軸交于點A,與y軸交于點3,P,Q為線段A2上的兩

個動點(P在。的右側)，且始終滿足乙2。。=45。.

(1)求證：△^。?！酢鱚尸。；

(2)記點P的橫坐標為孫。的縱坐標為〃，試判斷：P,。兩點在移動的過程中，動點

M(m,n)是否始終在一個確定的反比例函數(shù)上；若是，求出反比例函數(shù)的解析式；若不

是，也請說明理由；

(3)在(2)的情況下:

①請判斷：以線段AP,BQ,PQ圍成的三角形的形狀，并給出理由；

②若△A。。與△8尸。的面積相等時，記Ltan乙AOP,當，W龍W1時，拋物線、=辦2-

t-

x+2mn(?<0)的最小值恰好等于以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形的面積，求該拋物線

類型二二次函數(shù)與線段最值問題

14.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖像與x軸交于A(-1,O)、3(3,0),與y軸交

于點C(0,3).

⑴求二次函數(shù)的解析式；

(2)若平行于無軸的直線與拋物線交于〃、N兩點，與拋物線的對稱軸交于〃點，若點打到

x軸的距離是線段的g,求線段的長；

⑶拋物線的頂點為D,過定點。的直線＞=依-左+3與二次函數(shù)交于E、F,ZJEF外接圓

的圓心在一條拋物線上運動，求該拋物線的解析式.

15.如圖，已知拋物線>=尤2+灰+。經(jīng)過原點o,它與x軸的另一個交點記作點C,對稱軸是

直線x=2,點尸在對稱軸上，從拋物線上的點A出發(fā)，沿對稱軸向上運動，運動時間為r

秒，連接OP并延長交拋物線于點8.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖，連接OA,AC,當點8位于直線AC下方的拋物線上(不與點A,C重合)

時，過點B作交AC于點。求線段2。的最大值；

(3)連接A8,若點P的運動速度為每秒g個單位，當AAOB為直角三角形時，求r的

值.

類型三二次函數(shù)與角度問題

16.如圖，拋物線y=訃2_2ax-3a（a為常數(shù)，。<0）與x軸分別交于A,3兩點（點A在

點8的左側），與>軸交于點C,且O3=OC.

⑴求。的值；

⑵點。是該拋物線的頂點，點%〃）是第三象限內拋物線上的一個點，分別連接3。、

BC、CD、BP,當=時，求加的值；

⑶點K為坐標平面內一點，DK=2,點M為線段3K的中點，連接AM,當A"最大時,

求點K的坐標.

17拋物線>="2+。與X軸交于A、8兩點，頂點為C,點P在拋物線上，且位于X軸下

方.

⑴如圖1,若尸(1,-3)、B(4,0),

①求該拋物線的解析式；

②若。是拋物線上一點，滿足乙。尸。=乙尸。2,求點。的坐標；

(2)如圖2,已知直線以、與y軸分別交于E、尸兩點.當點P運動時，OF聯(lián)A；-OF是

否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.

18.已知拋物線了=近2_4履+3左（%>0）與x軸交于A3兩點（點A在點3的左邊），與

■V軸交于點C,頂點為D.

⑵點E為無軸下方拋物線了=入2_4日+3左（％>0）上一動點.

①如圖2,若左=1時，拋物線的對稱軸交x軸于點H,直線AE交丁軸于點M,直線

BE交對稱軸DH于點、N,求MO+NH的值；

②如圖3,若％=2時，點/在x軸上方的拋物線上運動，連接E尸交無軸于點G,且滿足

NFBA=NEBA,當線段E尸運動時，NFG。的度數(shù)大小發(fā)生變化嗎？若不變，請求出

tan/FGO的值；若變化，請說明理由.

19.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=依2+笈+。（。＞0）的頂點為加，經(jīng)過C（L1）,

且與x軸正半軸交于A,3兩點

（1）如圖1,連接0C,將線段0c繞點。順時針旋轉，使得c落在y軸的負半軸上，求

點C的路徑長；

（2）如圖2,延長線段0C至N,使得ON=7L若NOBN=NONA,且

tanNABM=—,求拋物線的解析式；

2

（3）如圖3,拋物線＞="2+法+。的對稱軸為直線尤=^,與y軸交于（0,5）,經(jīng)過點C的

直線/：＞="+〃斗＞0）與拋物線交于點C、D,若在X軸上存在4、￡，使

ZCP.D=ZCP2D=90°,求上的取值范圍.

20.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線y=G2-2ax-3a(awO)交x軸的負半軸

于點A,交x軸的正半軸于點8,交y軸的正半軸于點C,且。8=2OC.

⑴求點B的坐標和a的值；

⑵如圖L點。，P分別在一、三象限的拋物線上，其中點P的橫坐標為。連接BP,交y

3

軸于點E,連接CDDE,設ACOE的面積為s,若$=t,求點。的坐標；

4

⑶如圖2,在(2)的條件下，將線段。E繞點。逆時針旋轉90。得到線段。F,射線AE與

射線網(wǎng)交于點G,連接AP,若4AG8=24AP5求點尸的坐標.

2L如圖，拋物線y=N+-+c交無軸于A、8兩點，其中點A坐標為(1,0),與y軸交于

點C(0,-3).

圖1圖2

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,連接AC,點。為x軸下方拋物線上任意一點，點。是拋物線對稱軸與x軸

的交點，直線AQ、3。分別交拋物線的對稱軸于點M、N.請問OM+OV是否為定值？如

果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

(3)如圖2,點尸為拋物線上一動點，且滿足4=24ACO.求點尸的坐標.

22.在平面直角坐標系中，0為坐標原點，拋物線y=-23分別交x軸正半軸于點

B,交了軸負半軸于點A,與y軸負半軸交于點C,且AB=4.

⑴如圖L求。的值；

⑵如圖2,。是第一象限拋物線上的點，連AD,過點。作DM//y軸，交CB的延長線于

點M,連接40交8。于點N,若S"BN=S^DMN、求點。的坐標以及tan/ZMB的值；

⑶如圖3,在⑵的條件下，連接A。，P是第一象限拋物線上的點（點P與點。不重合），過

點尸作AD的垂線，交x軸于點尸，點￡在x軸上（點￡在點歹的左側），4=13,點G在

直線開＞上，連接EP、0G.若EP=OG、ZPEF+ZG=45,求點P的坐標.

圖1

類型四二次函數(shù)與面積問題

23.如圖L已知拋物線y=or2+2x+c(。#0),與y軸交于點A(0,6),與無軸交于點B

(6,0).

(1)求這條拋物線的表達式及其頂點坐標；

(2)設點P是拋物線上的動點，若在此拋物線上有且只有三個P點使得△出8的面積是

定值S,求這三個點的坐標及定值S.

(3)若點尸是拋物線對稱軸上的一點，點尸是(2)中位于直線AB上方的點，在拋物線

上是否存在一點。，使得P、。、B、廠為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫

出點。的坐標；若不存請說明理由.

\X\X

圖1備用圖

24.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（4,0）,C（-1,O）與y

3

軸交于點2,已知tan/BAC=—.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖1,點尸為拋物線上的點，且點尸的橫坐標為3,尸是拋物線上異于點P的點，連

接PAPB,當S△9=5寸好求點尸的橫坐標；

⑶如圖2,點。為直線A3上方拋物線上一點，。。交A3于點DQE〃臺。交A3于點

E.記△"E,一QDB,△BD。的面積分別為S―邑，S3.求今+曾的最大值.

25.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線,=-/+云+2（6是常數(shù)）經(jīng)過點

（2,2）.點A的坐標為0,0）,點B在該拋物線上，橫坐標為1-.其中〃z<0.

⑴求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標；

⑵當點B在x軸上時，求點A的坐標；

⑶該拋物線與x軸的左交點為尸，當拋物線在點尸和點3之間的部分（包括尸、5兩點）

的最高點與最低點的縱坐標之差為2-機時，求用的值.

⑷當點B在x軸上方時，過點B作BC_Ly軸于點C,連結AC、80.若四邊形A0BC的

邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形A03C的頂點），設這兩個交點分別為點E、點

F,線段8。的中點為。.當以點C、E、0、D（或以點C、F、。、D）為頂點的四

邊形的面積是四邊形A03C面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的加的值.

26.已知拋物線C|:y=-1x2,將拋物線C1向右平移1個單位，向上平移2個單位得拋物線

圖1

⑴拋物線的解析式為：_

(2)如圖1,拋物線C?與x軸正半軸交于點A,直線y=gx+6經(jīng)過點A,交拋物線C?于另一

點A在拋物線上是否存在點尸，使得=?若存在，求出點尸的坐標；若不存

在，請說明理由；

⑶如圖2,MNE的頂點/、N在拋物線C1上，點/在點N右邊，兩條直線ME、NE

與拋物線C|均有唯一公共點，ME、均與＞軸不平行?若腦VE的面積為27,設/、

N兩點的橫坐標分別為優(yōu)、n,求優(yōu)與"的數(shù)量關系.

類型五二次函數(shù)與特殊三角形問題

27.二次函數(shù)的圖像與X軸交于兩點A、B,與y軸交于點C,若J1OC或，3OC為等腰直

角三角形，則我們稱之為“梅斜拋物線”.

(1)如圖L請判斷二次函數(shù)y=-V-x+2的圖像是否是“梅斜拋物線”，并說明理由；

⑵如圖2,已知二次函數(shù)y=o%2+桁+c(awo)的圖像是"梅斜拋物線”，與y軸交于點

C(0,-3),與x軸交于點A(-2,0)和點5,點3在x軸的正半軸，點。在線段0C上.

①若/CBD=/ACO,求。點坐標；

②若=求△BCD的外接圓半徑.

28.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-gN+笈+c出。為常數(shù)）的頂點為P,等腰

直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0,-1）,C的坐標為（4,3）,平行于x軸，直

⑵平移（1）中的拋物線，使頂點尸在直線AC上滑動，且與AC交于另一點。.

①若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、。三點為頂

點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；

②取BC的中點N,連接NP,BQ,試探究是否存在最大值？若存在，求出該最

Jyr+D（2

大值，若不存在，請說明理由.

29.如圖，在直角坐標系中有RfAAOB,。為坐標原點，OB=l,tanZABO=3,將此三角

形繞原點。順時針旋轉90。，得到HACQD,二次函數(shù)y=-d+云+c的圖象剛好經(jīng)過

A,B,C三點.

(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點尸的坐標；

(2)過定點。的直線/：y=履-左+3與二次函數(shù)圖象相交于兩點.

①若S"“N=2,求左的值；

②證明：無論％為何值，APMN恒為直角三角形；

③當直線/繞著定點。旋轉時，APMN外接圓圓心在一條拋物線上運動，直接寫出該拋物

線的表達式.

30.如圖，已知拋物線〉=依2_2以-30與天軸交于48兩點，與y軸交于點C,且頂點

的縱坐標為了，點。是線段8c的中點，點E、尸分別是線段08,OC上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)是否存在點E,￡使得OEF為等邊三角形？若存在，請求出點E,尸的坐標；若

不存在，請說明理由；

(3)當NBFD的度數(shù)最大時，求tan4OBF的值.

類型六二次函數(shù)與平行四邊形問題

31.如圖，拋物線y=/+fov+c(b、c是常數(shù))的頂點為C,與x軸交于A、3兩點,

A(LO),AB=4,點尸為線段A3上的動點，過尸作PQ〃8c交AC于點。.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵點3是直線C4上一動點，點E是拋物線上一動點，當P點坐標為(-1,0)且四邊形PCDE

是平行四邊形時，求點。的坐標；

⑶求CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標.

32.已知拋物線y=f+(租—1)X-2〃Z-2(WJ<-3)

(1)求證：無論機為何值，此拋物線恒過x軸上一定點；

(2)設拋物線恒過無軸上的定點為4與x軸另一個交點為8,過點A的直線

y=fcr+Z?(左片0)與y軸交于點C,交拋物線對稱軸于點。，若直線>=辰+6(左片0)與拋物

線)=f+(〃2T)%-2m—2(機<一3)有且只有一個公共點，且5AAM)=；5AAsc，求加'人的

值；

(3)(2)的條件下，在拋物線的對稱軸上是否存在一點E,使得以點A、B、C、E為頂點

的四邊形為平行四邊形，如果存在直接寫出點E的坐標，若不存在請說明理由.

*用

33.如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，。為坐標原點，拋物線y=a(x+3)(x-1)(a>

0)與x軸交于A,B兩點(點A在點2的左側).

(1)求點A與點B的坐標；

(2)若點M是拋物線上一動點，若滿足4MA。不大于45。，求點M的橫坐標機

的取值范圍.

(3)經(jīng)過點8的直線/：y=fcv+b與y軸正半軸交于點C.與拋物線的另一個交點為點

D,且0=48。.若點尸在拋物線對稱軸上，點Q在拋物線上，以點5D,P,Q為頂點

的四邊形能否成為矩形？若能，求出點尸的坐標；若不能，請說明理由.

類型七二次函數(shù)與相似問題

34.如圖，拋物線y=-d+/zx+c與x軸交于A,8兩點，與y軸交于C點，已知8點的坐

標為（3,0）,C點的坐標為（0,3）.

⑴求拋物線的解析式；

（2）圖1中，點尸為拋物線上的動點，且位于第二象限，過P,B兩點作直線/交y軸于點

D,交直線AC于點E.是否存在這樣的直線/：以CD,E為頂點的三角形與3OD相

似？若存在，請求出這樣的直線/的解析式；若不存在，請說明理由.

⑶圖2中，點C和點C'關于拋物線的對稱軸對稱，點M在拋物線上，且

NMBA=ZCBC,求M點的橫坐標.

35.如圖，拋物線>=辦2-2ax+c的圖象經(jīng)過點C(0,-2),頂點。的坐標為(1,-

Q

-),與X軸交于A、8兩點.

(1)求拋物線的解析式.

AF

(2)連接AC,E為直線AC上一點，當時，求點E的坐標和一的值.

AB

(3)點C關于x軸的對稱點為H,當。FC+BF取最小值時，在拋物線的對稱軸上是否存

在點。，使△QHF是直角三角形？若存在，請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

36.已知拋物線y=a(x+3)(x-l)("0),與x軸從左至右依次相交于A、8兩點，與y軸相

⑵若在第四象限內的拋物線上有點P,使得以A、B、尸為頂點的三角形與ABC相似，求

點P的坐標；

⑶在(1)的條件下，設點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接BE.一動點Q從點B

出發(fā)，沿線段3E以每秒1個單位的速度運動到點E再沿線段ED以每秒氈個單位的速

3

度運動到點。后停止，問當點E的坐標是多少時，點。在整個運動過程中所用時間最少？

37.如圖1,在平面直角坐標系中直線y=x-l與拋物線"-犬+云+c交于A3兩點，其中

A（m,O）,B（4,?）該拋物線與V軸交于點C,與x軸交于另一點D.

⑴求相、”的值及該拋物線的解析式;

⑵如圖2.若點P為線段AD上的一動點（不與4。重合）.分別以AP、。尸為斜邊,在直線AD

的同側作等腰直角△APM和等腰直角△OPN,連接MN，試確定小MPN面積最大時P點的坐

標.

⑶如圖3.連接8。、8,在線段8上是否存在點Q,使得以4D、Q為頂點的三角形與△

的相似，若存在,請直接寫出點。的坐標;若不存在,請說明理由.

類型八二次函數(shù)與圓

B

圖3

(1)求乙AOB的度數(shù)；

⑵如圖2,以點A為圓心，4為半徑作。A,點M在。4上.連接。加、8M

①當△OBM是以08為底的等腰三角形時，求點〃的坐標；

②如圖3,取0M的中點N,連接BN,當點M在。A上運動時，求線段BN長度的取值范

圍.

39.已知一次函數(shù)：y=-3x-3與x軸交于點A,與y交于點C.拋物線

y=ax2-(4+m)ax+4ma(縱機為常數(shù))過定點8,連接8C,點。為線段BC上一動點.

(1)求出點2的坐標；

(2)過。作。尸，AC于點P,。。，苫于點。，設。點橫坐標為f,DP長度為d,試求d

關于f的函數(shù)解析式；

(3)①當機=0,。＞0時，該拋物線上存在唯一的點H使4CA”=45。，求此時拋物線的

解析式；

②過點。作。ELBC交線段08于點E,連接CE并延長交△OBC的外接圓于點E當點

。在BC上移動時，求ODEF的最大值.

圖1圖2

40.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=；xLbx+c交x軸于點A,B,點B的坐標為

(4,0),與y軸于交于點C(0,-2).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線上取點D,若點D的橫坐標為5,求點D的坐標及乙ADB的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，設拋物線對稱軸/交x軸于點H,4ABD的外接圓圓心為M(如

圖1),

①求點M的坐標及。M的半徑；

②過點B作OM的切線交/于點P(如圖2),設Q為OM上一動點，則在點Q運動過程中

券的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由.

圖1圖2

Q

41.已知頂點為M(1,-)的拋物線y=a/+bx+c經(jīng)過點C(0,4),且與尤軸交于A,

8兩點(點A在點8的右邊).

⑴求拋物線的解析式；

(2)若尸(X[,%),Q(4，％)是拋物線上的兩點，當"2＜芯＜〃?+3,%25時，均有

求機的取值范圍；

⑶若在第一象限的拋物線的下方有一個動點。，滿足D4=OA,過。作。GLx軸于點G,

設△AZJG的內心為/,試求CI的最小值.

42.如圖，在平面直角坐標系中，已知點4(九0乂0＜根＜⑹、8(2亞,0),以A8為邊在x

軸下方作正方形ABCD,點E是線段。。與正方形ABCD的外接圓的交點，連接BE與AD

相交于點尸.

(1)求證：BF=DO；

(2)若AE=OE，試求經(jīng)過3、F、。三點的拋物線/的解析式；

⑶在(2)的條件下，將拋物線/在無軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得

到一個新圖象，若直線3E向上平移t個單位與新圖象有兩個公共點，試求t的取值范圍.

類型八二次函數(shù)與對稱旋轉

43.如圖，二次函數(shù)>=辦2+法+。的圖象與x軸交于A,8兩點與y軸交于點C,作

CELy軸交函數(shù)圖象上于點E,已知03=1,OC=CE=2,直線是拋物線的對稱軸，D

⑴求二次函數(shù)的解析式；

⑵連接AD,線段0C上的點N關于直線/的對稱點V恰好在線段AD上，求點N的坐標；

⑶探究：拋物線的對稱軸上是否存在點T,使得線段繞點T逆時針旋轉90。后，點B的

對應點？恰好也落在此拋物線上？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

44.如圖，拋物線y=aN+bx+c(a<0,a、b、c為常數(shù))與x軸交于A、C兩點，與y軸

交于8點，A(-4,0),C(1,0),B(0,3).

(1)求該拋物線的函數(shù)關系式；

(2)已知點M(孫0)是線段上的一個動點，過點M作x軸的垂線/,分別與直線

A8和拋物線交于。、E兩點，當機為何值時，恰好是以。E為底邊的等腰三角形；

(3)在(2)問條件下，當△8OE恰好是以QE為底邊的等腰三角形時，動點M相應位置

記為點防，將。腸繞原點。順時針旋轉得到ON(旋轉角在0。到90。之間)；

NP

①探究：線段。8上是否存在定點P(P不與0、8重合)，無論ON如何旋轉，)始終保

NB

持不變，若存在，試求出尸點坐標：若不存在，請說明理由；

2

②試求出此旋轉過程中，+的最小值.

45.已知拋物線、=-]/+云+4上有不同的兩點￡(3,左)和尸(-1,k).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，拋物線,=反+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和8,M為A8的

中點，4PMQ在A3的同側以M為中心旋轉，且4PMQ=45。，MP交y軸于點C,MQ交x

軸于點。設的長為根(m>0),8C的長為w,求”和機之間的函數(shù)關系式；

(3)在(2)的條件下，當機，〃為何值時，乙PMQ的邊過點尸.

0

46.如圖，已知拋物線y=一空尤+6與X軸交于A、8兩點(A點在8點的左側),

33

與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點。.

⑴請直接寫出A、8兩點的坐標及/ACB的度數(shù)；

(2)如圖1,若點尸為拋物線對稱軸上的點，且NBPC=NOCB,求點尸的坐標；

(3)如圖2,若點E、歹分別為線段AC和BC上的動點，且OE1O/，過E、歹分別作x

軸的垂線，垂足分別為M、N.在E、尸兩點的運動過程中，試探究：

①4”是否是一個定值？如果是，請求出這個定值，如果不是，請說明理由；

DN

②若將VADE沿著翻折得到一,將V由m沿著/卯翻折得到_3力?,當點歹從點

3運動到點C的過程中，求點A，和點？的運動軌跡的長度之和.

類型九二次函數(shù)其他問題

47.(2019湖南長沙,中考真題)如圖，拋物線>=加+6"(a為常數(shù)，。>0)與x軸交于

O,A兩點，點8為拋物線的頂點，點。的坐標為a0)(-3<?<0),連接2。并延長與過

O,A,2三點的。尸相交于點C.

(1)求點A的坐標；

(2)過點C作。尸的切線CE交x軸于點E.①如圖1,求證：CE=OE；②如圖2,連接

AC,BE,BO,當NCAE=NOBE時，求二----二的值

ODOE

s

圖1圖2

48.如圖，在平面直角坐標系中，已知一拋物